第23章 解直角三角形 期末复习(2) 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 第23章 解直角三角形 期末复习(2) 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-25 16:02:21 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第23章 解直角三角形 期末复习(2)
解直角三角形的应用
沪科版
(1)三边之间的关系
A
C
B
c
a
b
1.直角三角形各元素之间的关系
a2＋b2=c2
(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系
(3)边角之间的关系
∠A＋∠B=90°
sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ ，
sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ .
a
c
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
复习要点
2．锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
如图②，坡面的 高度h和 宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tana＝ ，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(2)坡度(坡比)、坡角
铅直
水平
例1 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
A
C
D
B
解:
∵∠ACB=90°，
∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°.
∵tan∠ACD= ，
tan∠BCD= .
∴AD=CDtan30°= ，
BD=CDtan60°= ，
∴AB=AD＋BD
= ＋
2
3
6
3
2
3
6
3
= .
8
3
CD
AD
CD
BD
例题解析
例2 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线 AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°.
(1)风筝离地面多少米
(2)A，C相距多少米 (结果保留小数点后一位，参考数据:sin30=0. 5， cos30°≈0.8660，tan30° ≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)
A
C
B
(1)解:过点 B作 BD ⊥ AC 于点 D，
A
C
B
D
∵∠ADB=90°，
∠A=30°，
∴ AB=2BD.
∵AB=40米，
∴ BD=20米.
答：风筝离地面20米； A，C相距44.1米.
(2)
在 Rt△ABD 和 Rt△CBD中，
∵cosA= ，
tanC= ，
AB
AD
CD
BD
∴ AD=ABcos30 °
=40×0.8660=34.64
CD=
tan50 °
20
=
1.1918
20
≈1.1918
∴ AC=AD ＋ CD=34.64 ＋10.43≈44.1(米)
B
A
C
30°
北
15°
例3 如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 30°方向，距离小岛 40海里的点A处，它沿着点 A的南偏东 15°方向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近 (结果保留根号)
(2)渔船到达距离小岛B的最近点后，按原航向继续航行
20 海里到点C处时突 然发生事故，渔船马上向
小岛B上的救援教队求救，问救援队从B
处出发沿着哪个方向航行到达事故地点
航程最短，最短航程是多少
(结果保留根号)
解:(1)过点 B作 BM ⊥ AC 于点M，
由题意知∠ BAM= 45° ，
则 ∠ABM=45°
在 Rt△ABM 中，
AM=ABsin ∠ABM=AB sin45 ° .
∵AB=40，
答:渔船航行 20 海里距离小岛B最近.
∴ AM=
40×
=20
2
2
2
2
B
A
C
30°
北
15°
M
(2) ∵ BM= 20 √2 海里，MC= 20 √6 海里，
∴ tan ∠ MBC=
∴ ∠ MBC=60°
∴ ∠CBG=180 °－60 °
－ 45° － 30°=45°.
在Rt△BCM中， ∵∠ CBM=60°，
∴BC=2BM=40√2 (海里).
答:救援队从B处出发沿着点B的南偏东 45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40√2 海里.
B
A
C
30°
北
15°
M
∴ ∠C=30°.
BM
MC
=
20 √6
20 √2
=
3
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
解：
∴ ∠BEF=45°.
A
B
C
D
E
F
∵ ∠DAC=∠BDF=30°，
AD=BD=40米，
∴ BF=EF= BD=20米.
DF=
∴ DE=DF－EF=( －20)米
答：平台 DE 的长为(20 －20)米.
20
3
20
3
3
1
2
例5 城市规划期间，欲拆除一电线杆 AB，已知距电线杆 AB 水平距离 14 m 的 D 处有一大坝，背水坡 CD的坡度 i =2∶1，坝高 CF 为 2 m，在坝顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30°，D，E 之间是宽为 2 m 的人行道．试问：在拆除电线杆 AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？
A
B
G
C
E D
F
30°
人行道
A
B
G
C
E D
F
30°
人行道
解：
∵背水坡 CD的坡度 i =2∶1，坝高 CF 为 2 m，
∴ DF 为 1 m，
∴BF=BD＋DF=14＋1=15(m)
∴BE=BF－DF － DE=15 －1－2=12(m)
∵四边形BFCG是矩形，
∴CG=BF=15，
BG=CF=2.
在Rt△AGC中，
tan C=
CG
AG
∴ AG=CG tan30 °
∴ AB=AG＋BG
=15×
3
3
=5
3
=5
3
＋2
≈10.6(m)
∴不需要将此人行道封上.
＜12(m)
1.如图，某景区有一处索道游览山谷的旅游点，已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB=90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A
B
C
D
480
练习巩固
(结果精确到1米)
2．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图).点A到桥的距离是40米，测得∠A=83°，则大桥BC的长度是 米.
(参考数据：sin83°≈0.99，
cos83°≈0.12，
tan83°≈8.14．)
A
B
C
326
3.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度 AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B， ∠ACB=52°， ∠ ADB=60°， CD=200m.则AB的高度为 m.
(精确到1m)(参考数据:sin52° ≈ 0.79，cos52°≈ 0.62，
tan 52°≈1.28 ， ≈ 1.73)
3
60°
A
B
C
D
52°
984
4.海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= .
(1)求小岛两端A、B的距离；
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
求sin∠BCF的值.
A
B
C
D
E
F
3
5
练习巩固
解：(1)在Rt△CDE中，
(海里) ．
A
B
C
D
E
F
∵ cos∠D =
DE
CD
∴
DE=30，
cos∠D =
3
5
30
CD
=
3
5
∴CD=50
∴BE= CD
∵B点是CD的中点，
1
2
=25
∴AB=
BE－AE
=25－8.3
=18.7
(2)在Rt△CDE中，由勾股定理得
A
B
C
D
E
F
∴BE= CD
1
2
=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴cos∠BEC=cos∠BCE
∴
EF
EC
=
EC
CD
∴EF=
EC2
CD
=
402
50
=32
∴BF=
EF－BE
=32－25
=7
∴sin∠BCF =
BF
BC
=
7
25
EC2=
CD2－DE2
=502－302
∴EC=40.
=402，
要求BF
要求EF
要求CE
5.如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡脚到楼房的距离CB＝8m.在D点处观察楼顶A点的仰角为54°，坡角∠DCE＝30 .求楼房AB的高. (结果精确到0.1m).( ， ， ， . )
E
A
B
C
D
30
54°
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F．
在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB，
∴DF=CB＋EC
在Rt△ADF中，tan∠ADF= ，
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= ×1.38
∴AB=
∴楼房AB的高度约是21.2m．
3
3
=8＋ ．
3
3
AF
DF
≈18.20．
(8＋ )
3
3
E
A
B
C
D
30°
F
EC=
AF＋FB
=18.20＋3=21.20
≈21.2．
54°
3．如图，大楼外墙有高为AB 的广告牌，由距离大楼20 米的点 C(即CD=20米)观察它的顶部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．求 AB的高度．参考数据：
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
6.如图，大楼外墙有高为AB 的广告牌，由距离大楼20 米的点 C(即CD=20米)观察它的顶部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．求 AB的高度．参考数据：
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
在Rt△ACD中，
∵ tan∠ACD =
AD
CD
∴AD=CD×tan55°
在Rt△BCD中，
∵ tan∠BCD =
BD
CD
∴BD=CD×tan42°
∴AB=
AD－BD
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
在Rt△ACD中，
∵ tan∠ACD =
AD
CD
∴AD=CD×tan55°
在Rt△BCD中，
∵ tan∠BCD =
BD
CD
∴BD=CD×tan42°
∴AB=
AD－BD
=CD×tan55°
－CD×tan42°
=CD(tan55°－tan42°)
≈20×(1.43－0.90)
=10.6(m)．
第23章 解直角三角形 期末复习(2)
解直角三角形的应用
沪科版
(1)三边之间的关系
A
C
B
c
a
b
1.直角三角形各元素之间的关系
a2＋b2=c2
(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系
(3)边角之间的关系
∠A＋∠B=90°
sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ ，
sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ .
a
c
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
复习要点
2．锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
如图②，坡面的 高度h和 宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tana＝ ，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(2)坡度(坡比)、坡角
铅直
水平
例1 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
A
C
D
B
解:
∵∠ACB=90°，
∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°.
∵tan∠ACD= ，
tan∠BCD= .
∴AD=CDtan30°= ，
BD=CDtan60°= ，
∴AB=AD＋BD
= ＋
2
3
6
3
2
3
6
3
= .
8
3
CD
AD
CD
BD
例题解析
例2 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线 AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°.
(1)风筝离地面多少米
(2)A，C相距多少米 (结果保留小数点后一位，参考数据:sin30=0. 5， cos30°≈0.8660，tan30° ≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)
A
C
B
(1)解:过点 B作 BD ⊥ AC 于点 D，
A
C
B
D
∵∠ADB=90°，
∠A=30°，
∴ AB=2BD.
∵AB=40米，
∴ BD=20米.
答：风筝离地面20米； A，C相距44.1米.
(2)
在 Rt△ABD 和 Rt△CBD中，
∵cosA= ，
tanC= ，
AB
AD
CD
BD
∴ AD=ABcos30 °
=40×0.8660=34.64
CD=
tan50 °
20
=
1.1918
20
≈1.1918
∴ AC=AD ＋ CD=34.64 ＋10.43≈44.1(米)
B
A
C
30°
北
15°
例3 如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 30°方向，距离小岛 40海里的点A处，它沿着点 A的南偏东 15°方向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近 (结果保留根号)
(2)渔船到达距离小岛B的最近点后，按原航向继续航行
20 海里到点C处时突 然发生事故，渔船马上向
小岛B上的救援教队求救，问救援队从B
处出发沿着哪个方向航行到达事故地点
航程最短，最短航程是多少
(结果保留根号)
解:(1)过点 B作 BM ⊥ AC 于点M，
由题意知∠ BAM= 45° ，
则 ∠ABM=45°
在 Rt△ABM 中，
AM=ABsin ∠ABM=AB sin45 ° .
∵AB=40，
答:渔船航行 20 海里距离小岛B最近.
∴ AM=
40×
=20
2
2
2
2
B
A
C
30°
北
15°
M
(2) ∵ BM= 20 √2 海里，MC= 20 √6 海里，
∴ tan ∠ MBC=
∴ ∠ MBC=60°
∴ ∠CBG=180 °－60 °
－ 45° － 30°=45°.
在Rt△BCM中， ∵∠ CBM=60°，
∴BC=2BM=40√2 (海里).
答:救援队从B处出发沿着点B的南偏东 45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40√2 海里.
B
A
C
30°
北
15°
M
∴ ∠C=30°.
BM
MC
=
20 √6
20 √2
=
3
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
解：
∴ ∠BEF=45°.
A
B
C
D
E
F
∵ ∠DAC=∠BDF=30°，
AD=BD=40米，
∴ BF=EF= BD=20米.
DF=
∴ DE=DF－EF=( －20)米
答：平台 DE 的长为(20 －20)米.
20
3
20
3
3
1
2
例5 城市规划期间，欲拆除一电线杆 AB，已知距电线杆 AB 水平距离 14 m 的 D 处有一大坝，背水坡 CD的坡度 i =2∶1，坝高 CF 为 2 m，在坝顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30°，D，E 之间是宽为 2 m 的人行道．试问：在拆除电线杆 AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？
A
B
G
C
E D
F
30°
人行道
A
B
G
C
E D
F
30°
人行道
解：
∵背水坡 CD的坡度 i =2∶1，坝高 CF 为 2 m，
∴ DF 为 1 m，
∴BF=BD＋DF=14＋1=15(m)
∴BE=BF－DF － DE=15 －1－2=12(m)
∵四边形BFCG是矩形，
∴CG=BF=15，
BG=CF=2.
在Rt△AGC中，
tan C=
CG
AG
∴ AG=CG tan30 °
∴ AB=AG＋BG
=15×
3
3
=5
3
=5
3
＋2
≈10.6(m)
∴不需要将此人行道封上.
＜12(m)
1.如图，某景区有一处索道游览山谷的旅游点，已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB=90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A
B
C
D
480
练习巩固
(结果精确到1米)
2．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图).点A到桥的距离是40米，测得∠A=83°，则大桥BC的长度是 米.
(参考数据：sin83°≈0.99，
cos83°≈0.12，
tan83°≈8.14．)
A
B
C
326
3.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度 AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B， ∠ACB=52°， ∠ ADB=60°， CD=200m.则AB的高度为 m.
(精确到1m)(参考数据:sin52° ≈ 0.79，cos52°≈ 0.62，
tan 52°≈1.28 ， ≈ 1.73)
3
60°
A
B
C
D
52°
984
4.海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= .
(1)求小岛两端A、B的距离；
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
求sin∠BCF的值.
A
B
C
D
E
F
3
5
练习巩固
解：(1)在Rt△CDE中，
(海里) ．
A
B
C
D
E
F
∵ cos∠D =
DE
CD
∴
DE=30，
cos∠D =
3
5
30
CD
=
3
5
∴CD=50
∴BE= CD
∵B点是CD的中点，
1
2
=25
∴AB=
BE－AE
=25－8.3
=18.7
(2)在Rt△CDE中，由勾股定理得
A
B
C
D
E
F
∴BE= CD
1
2
=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴cos∠BEC=cos∠BCE
∴
EF
EC
=
EC
CD
∴EF=
EC2
CD
=
402
50
=32
∴BF=
EF－BE
=32－25
=7
∴sin∠BCF =
BF
BC
=
7
25
EC2=
CD2－DE2
=502－302
∴EC=40.
=402，
要求BF
要求EF
要求CE
5.如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡脚到楼房的距离CB＝8m.在D点处观察楼顶A点的仰角为54°，坡角∠DCE＝30 .求楼房AB的高. (结果精确到0.1m).( ， ， ， . )
E
A
B
C
D
30
54°
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F．
在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB，
∴DF=CB＋EC
在Rt△ADF中，tan∠ADF= ，
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= ×1.38
∴AB=
∴楼房AB的高度约是21.2m．
3
3
=8＋ ．
3
3
AF
DF
≈18.20．
(8＋ )
3
3
E
A
B
C
D
30°
F
EC=
AF＋FB
=18.20＋3=21.20
≈21.2．
54°
3．如图，大楼外墙有高为AB 的广告牌，由距离大楼20 米的点 C(即CD=20米)观察它的顶部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．求 AB的高度．参考数据：
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
6.如图，大楼外墙有高为AB 的广告牌，由距离大楼20 米的点 C(即CD=20米)观察它的顶部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．求 AB的高度．参考数据：
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
在Rt△ACD中，
∵ tan∠ACD =
AD
CD
∴AD=CD×tan55°
在Rt△BCD中，
∵ tan∠BCD =
BD
CD
∴BD=CD×tan42°
∴AB=
AD－BD
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
在Rt△ACD中，
∵ tan∠ACD =
AD
CD
∴AD=CD×tan55°
在Rt△BCD中，
∵ tan∠BCD =
BD
CD
∴BD=CD×tan42°
∴AB=
AD－BD
=CD×tan55°
－CD×tan42°
=CD(tan55°－tan42°)
≈20×(1.43－0.90)
=10.6(m)．