突破专项针对训练--苏州市部分四星级高中高频错题点集中汇编
文档属性
| 名称 | 突破专项针对训练--苏州市部分四星级高中高频错题点集中汇编 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-11-10 22:15:00 | ||
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文档简介
120突破专项针对训练——苏州市部分四星级高中高频错题点集中汇编
高三数学复习内部交流资料
2006年3月23日——4月30日
填充题专项训练(1)
1．已知是定义在（-3，3）上的奇函数，当0的图象如图所示，那么不等式>0 的解集为
。
2．设不等式对于满足的一切m的值都成立，x的取值范围 。
3．已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，
若A∩B＝，则实数a的值为 4或-2 .
4．关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写为；④在[，]上为增函数．其中正确的命题的序号是： 1 ,4 ．
5．函数的最小值是
6．对于函数，给出下列四个命题：①存在（0，），使；②存在（0，），使恒成立；③存在R，使函数的图象关于轴对称；④函数的图象关于（，0）对称．其中正确命题的序号是 1,3,4 ．
7．点A在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。已知点A从x轴正半轴出发一分钟转过θ(0<θ<π)角，2分钟到达第三象限，14分钟回到原来的位置，则θ=。
8．函数f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值为___7_____。
9．已知 的值为。
10．已知向量，，若与垂直，则实数等于 -1
备用题：
1．若是R上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，－2），则不等式的解集为（－1，2）时，的值为 1
2．若，则α的取值范围是：
3．已知向量,向量则的最大值是 4 _____
4．有两个向量，。今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设、在时刻秒时分
别在、处，则当时， 2 秒．
5．若平面向量与向量的夹角是，且，则＝(-3,6)
6． (.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的
矩形最大面积为__2500____围墙厚度不计).
7．求函数的最大值为
8．向量,满足，且，,则与夹角等于
9．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5) ＝-36，则a与b的夹角是_____
作业
1．已知则不等式≤5的解集是
2．已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.
3．函数的定义域是
4．函数的最大值是_______________.
5．已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则 2
6．不等式的解集为，且，则的取值范围为
7．若x∈[-1，1，则函数的最大值_____-1____________。
8．在△ABC中，若∠B=40°，且 ，则 ；Ｃ＝
9．在中，为三个内角，若，则是_______钝角三角形
(填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 )
10．平面向量,中，已知，，且，则向量=
填充题专项训练(2)
1．对于函数f1(x)=cos(π+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(π/2-x),任取其中两个相乘所得的若干个函数中，偶函数的个数为（3）
2．不等式的解集为
解：①当即 或时
原式变形为即解得或 ∴或
②当即时
原式变形为即 ∴
综上知：原不等式解集为或且
3．已知向量．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则实数m的值为 。
解：若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴，
解得
4．已知ΔABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ΔABC的外接圆的半径为，则角C= 。
解：2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,
又2R=2，由正弦定理得：2=(a-b),
∴a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab
结合余弦定理得:2ab cosC=ab,∴cosC=又∵0＜C＜π,
∴C=
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=，则sin2+cos2A的值
解: =
===
6．已知平面向量，，若存在不同时为零的实数和，使x = ，y，且xy，则函数关系式k= （用t表示）；
7．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝()，且x∈[0，]．若f (x)＝a · b－2｜a＋b｜的最小值是，则的值为 ．
解：a · b
| a＋b |
∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x
∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即
∴0≤cos x≤1
①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾
②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值，
综上所述，为所求
8．已知，则实数a的取值范围为
. 解：由 A={x|a-2所以：a-2≥-2且a+2≤3；所以0≤a≤1
9．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，向量=
解：设=（x,y），则
∴解得
10．下列四个命题：
①a+b≥2； ②sin2x+≥4；
③设x、y∈R+，若+=1，则x+y的最小值是12；
④若|x－2|其中所有真命题的序号是______________.
备用题：
1．已知函数（m>0）的定义域为，值域为，则函数（）的最小正周期为 最大值为
最小值为 。
解：
因为＞0，，
解得，从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；
2．记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.若BA, 则实数a的取值范围是 。.
解: 2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1，即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]
由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
若a<1,则a+1>2a, 则B=(2a,a+1).
因为BA, 所以2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,
若≤a<1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(－∞,－2)∪[,1]。
3．已知函数，则函数f(x)的值域 .
解：，得
化简得
所以
4．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R. f(x)=1-且x∈[-，]，则x= 。
解：f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1-，得sin(2x+)=-.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，
即x=-.
5．已知点A(1, －2),若向量与=（2,3）同向, =2,则点B的坐标为
解：∵向量与={2,3}同向， =2
∴=（4，6）∴B点坐标为：（1，-2）+（4，6）=（5，4）
6．不等式的解集为
解：原不等式等价于；移项，通分得
由已知，所以解①得 ；解②得 或
故原不等式的解集为
7． 已知||=4，||=3，（2－3）·（2+）=61，则与的夹角θ= .
解：∵（2－3）·（2+）=61，∴
又||=4，||=3，∴·=－6.
∴θ=120°.
8．已知x≥0，y≥0，则 x（比较大小）
可用特殊值法快速解答：令x=y=0和x=0, y=1可知道是大于或等于。
9．把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 2π/3 。
解：由y=cosx-sinx得y=2cos(π/3+x)所以当m=2π/3时得y=2cos(π+x)=2cosx
10. 已知二次项系数为正的二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，不等式f（）＞f（）的解集为 。
解：设f（x）的二次项系数为m，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，
因m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数．
∵ ，，，
，，，
∴
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，． ∵ ，
∴ ．所以,的解集是；
填空题训练（3）
复习目标：本专题为常规题型，通过本专题的复习，旨在培养学生解答填空题的基本素养：审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小（巧）做。
一、典型例题
例1.等差数列的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项为 ；数列｛︱︳｝的前9项和等于 . ( 9 ; 41 )
例2.数列的前项和，则=_________________。( 45 )
例3. 设x，y，z为实数，2x，3y，4z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是 . ( )
例4. 在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题：“第一次投中”命题：“第二次投中”。试用、和联接词“或、且、非”表示命题“两次恰有一次投中”。______________________ ( 或 )
例5.设函数=，则的定义域是 .；的最小值是 .
( ; 2 )
例6.已知＞1，0＜x＜1，且＞1，那么b的取值范围是 . （0 ，1）
例7.设函数则实数a的取值范围是 . （ ）
例8.若函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
（1） 对于任意的，都有；
（2） 对于内任意，若，则有；
（3） 函数的图象关于轴对称，
则，的大小顺序是
（〈 〈〉
例9.已知函数与的图象关于直线对称，函数的反函数是，如果，则的值为 。 （ 9 ）
例10.等差数列的前项和为,且,.记,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,都成立.则M的最小值是 . （ 2 ）
作业:
1.已知数列的通项公式，则_________________。 ( 250 )
2.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，则：：=_________________。 ( 4：1：（） )
3. 若是数列的前项的和,,则= （ 33 ）
4. 设数列的通项公式为且满足＜＜＜…＜＜＜…，则实数的取值范围是 . （＞－3 ）
5.函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________________ （ ）
6.已知，，且，则的取值范围是_______________。 ( )
7.已知a＞0，b＞0，a、b的等差中项是，且，则的最小值是 . （ 5 ）
8.函数()的反函数是 。
（ ）
9. 已知函数是奇函数，当时, ，设的反函数是y=g(x)，则g(－8)= . ( -3 )
10．在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最______值（填“大”或“小”），且该值为______
( 大 , -3 )
备用题
1、在项数为的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，则=___________
答：10
2、等差数列的前15项的和为，前45项的和为405，则前30项的和为___________
答：68
3、设等差数列的公差为，又、、成等比数列，则=____________
答：
4、已知数列，，则在数列的前30项中 ，最大项和最小项分别为_________
答：，
5、已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________
答：99
6、等差数列中，=180，则=_______________。答：36
7、等差数列中，，公差，则_________________。
答：160
8、设等差数列的前项和为，已知12，，，则，，， 中，_________________最大。
答：
9、关于数列有下面四个判断：
①若、、、成等比数列，则、、也成等比数列；
②若数列既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；
③若数列的前项和为，且，则为等差或等比数列；
④若数列为等差数列，公差不为零，则数列中不含有；
其中正确判断的序号是_____________
答：② ④
10、设函数的定义域为，如果对于任意，存在唯一，使（为常数）成立，则称在的均值为。给出下列四个函数：①②③④，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是____________
答：①③
11、不等式的解集为，则______ ______
答：
12、设集合，若，则____________。
答：
13、若函数对任意实数，都有。则的大小关系是______________
答：
14、已知偶函数在时有，则在区间内的最大值与最小值之差等于_______________
答：1
15、不等式的解集是或，则_________。
答：
填空题（4）（集合、逻辑、函数、数列、导数）
复习目标：本专题主要为新颖填空题和导数部分，通过本专题的复习，旨在培养学生的阅读能力、数形结合和运用数学知识解决实际问题的能力以及一些非常规问题的解法。
典型例题
例1.已知下列四个函数:(1); (2); (3); (4)其中图象不经过第一象限的函数有 (注:把你认为符合条件的函数的序号都填上) （ （2），（3） ）
例2.设集合，，则集合中元素的个数为 . （ 2 ）
例3.定义在上的函数满足，则____________。 ( 7 )
例4.已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则= . （ ）
例5.给出下面四个命题：
（1） 若，则；
（2） 函数的值域为；
（3） 数列一定为等比数列；
（4） 两个非零向量，若∥，则
其中正确的命题有 . （ （2），（4） ）
例6.曲线在点（）处的切线的倾斜角是 . （）
例7.若函数的单调递减区间是（0 ，4），则的值是 . （ ）
例8.设，表示不大于的最大整数，如，，，则使成立的取值范围是 . （ ）
例9.已知，，，，，，，为各项都大于零的数列，命题①：，，，，，，，不是等比数列；命题②：＜+则命题②是命题①的 .条件。 （ 充分不必要 ）
例10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ （3，）
作业:
1. 一张厚度为0.1mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次（假定这样的折叠是可以完成的），这样折叠后纸的总厚度与一座塔的高度=100m的大小关系为 . ( > )
2.删去正整数数列1、2、3、4…中所有能被100整除的数的项，得到一个新数列，则这个新数列的第2005项是 . ( 2025 )
3. 对任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知1*2=3，2*3=4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m= . ( 4 )
4. 函数的极值是 . ( 极小值-26 )
5. 若直线是曲线的切线，则 （1或）
6. 已知曲线及点,则过点P的曲线的切线方程是 . （ ）
7. 设集合(),集合.若中有且只有一个元素,则正数的取值范围是 （ 3或7 ）
8. 如果函数的图象在轴上方,那么该函数的定义域可以是
（ （ 的任一子集 ）
9.已知函数的反函数为(),则函数的图象必过定点 . （ （1，0） ）
10. 设是函数f(x)=的反函数，则与的大小关系是 . （ ）
备用题
1.定义符号函数，则不等式的解集是________________
答：
2.如果在上的最大值是2，那么在上的最小值是__________
答：
3.将正奇数按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
那么，2005应在第______行______列。
答： 251行第4列
4. 若数列是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应的，若数列是等比数列，且，则有____________也是等比数列。
答：
5.从2001年到2004年间，王先生每年7月1日都到银行存入元的一年定期储蓄，准备为孩子读大学用。若年利率为（扣税后）保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年的定期，到2005年7月1日，其不再去银行存款，而将所有存款本息取回，则取回的总金额是______________
答：
6.某林场去年年底木材存量为（立方米），若森林以每年25%的增长率生长，每年冬天要砍伐的木材量为（立方米），设经过年林场木材的存量为，则=_____________
答：
7. 2000年某内河可供船只航行的河流段长为1000千米，由于水资源的过度使用，促使河水断流。从2000起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2009年，该内河可供船只行驶的河段长度为___________
答：
三角函数专题
第一课时
例1.
解：
例2.
解：
，
。
例3.
解：
例4.
解：
备用题1.
求的值。
解：由得
即
两边同时除以得，。
(本题也可以进行切割化弦，进而求的值。)
备用题2.
解：由题设知，
，
由求根公式，
作业1.
解：
作业2.
解：
作业3.
解：
作业4.
解：(1)因为
(2)
第二课时
例1．已知且为锐角，试求的值。
解：且为锐角，所以
，所以。
例2．求证：。
证明：左边=
=右边，原式得证。
例3．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例4．已知的最大值为3，最小值为－１，求的值。
解：当时，由，当时，由，
所以，。
备用题1．已知求的值。
解：，
又，，
而，所以，所以。
备用题2．已知求证：。
证明：所以
所以，
又所以。
作业1．已知都是锐角，且求。
解：由题意，
所以
，又因为都是锐角，所以，
所以，。(也可以用、来求)
作业2．求函数的值域。
解：设，则，
原函数可化为
当t=1时，，当时，，所以，函数值域为。
作业3．求函数的最大值与最小值。
解：，当时，，
当时，。
作业4．求证：。
证明：
，
所以，左边=右边，原式得证。
第三课时
例1．求函数的最小值，并求其单调区间。
解：
因为，所以，所以，
所以，当即时，的最小值为，
因为是单调递增的，所以上单调递增。
例2．已知函数。
(1) 求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
(2) 证明：函数的图像关于直线对称。
解：
(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例3．已知函数，若，且，求的取值范围。
解：，因为，所以，所以，
所以，而，即，
所以，，解得：，所以的取值范围是。
例4．已知函数。
(1) 求的最小正周期；
(2) 求的最小值及取得最小值时相应的x值；
(3) 若当时，求的值。
解：
(1) 由上可知，得最小正周期为；
(2) 当，即时，得最小值为－2；
(3) 因为，所以，令，
所以，所以。
备用题1．已知函数。
(1) 将写成含的形式，并求其对称中心；
(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。
解：(1) ，
令得，即对称中心为
(2)由b2=ac，，所以，此时，所以，
所以，即值域为。
备用题2．已知函数，求
(1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？
(2) 求将函数的图像按向量平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的奇偶性。
解：(1)，
当，即时，；
(2)按平移，即将函数的图像向左平移单位，再向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为
，
由，所以平移后函数为偶函数。
作业1．已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，(1)求 的解析式；(2)求的单调递增区间。
解：(1)
，由题意，
当时，，，不是最小值。
当时，，，是最小值。
所以；
(2)当，
即时，函数单调递增。
作业2．已知定义在R上的函数的最小正周期为，，。(1)写出函数 的解析式；(2)写出函数 的单调递增区间；(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来。
解：(1) ，由题意，
，代入，有，所以；
(2) 当，函数单调增；
(3) 将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。
作业3．已知，求的最值。
解：因为，即，原函数化为
，
当时，，当时，。
作业4．就三角函数的性质，除定义域外，请再写出三条。
解：
a. 奇偶性：非奇非偶函数；
b. 单调性：在上为单调增函数，
在上为单调减函数；
c. 周期性：最小正周期；
d. 值域与最值：值域，当时，取最小值，
当时，取最大值；
e.对称性：对称轴，对称中心。
第四课时
例1．在中，角A、B、C满足的方程的两根之和为两根之积的一半，试判断的形状。
解：由条件可知，，即，因为，所以，即，所以，所以A=B，即为等腰三角形。
例2．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，求角C的值。
解：，所以，所以，所以，又，所以，即，
得，所以。
例3．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，，所以，因为，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面积为
。
例4．在中，A、B、C满足，求的值。
解：由，且，所以，
，
所以。
备用题1．在中，A、B、C满足，
(1)用表示； (2)求角B的取值范围。
解：(1) 因为，所以，由，
得(1)，易知，
若，则，所以，不合题意，
若，则，不合题意，
对(1)式两边同除以得，；
(2)因为C为的一个内角，所以，则由，
知异号，若，则A为钝角，B为锐角，此时
，因为，不合题意；
若，则B为钝角， A为锐角，
则，因为A为锐角，所以，所以，所以。
备用题2．已知A、B、C是的三个内角，，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。
证明：因为A、B、C是的三个内角，，所以，
，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变。
作业1．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1) 求角B的大小；(2)若，求a的值。
解：(1)由正弦定理，条件可化成，
即，
因为，所以，所以，
因为，所以，B为三角形内角，所以；
(也可以用余弦定理进行角化边完成)
(2)将，代入余弦定理，得
，整理得，解得。
作业2．在中，，且，判断三角形形状。
解：因为，则，则，
又因为，所以，所以，若，则，无意义，
所以，三角形为正三角形。
作业3．在中，已知A、B、C成等差数列，求的值。
解：因为A、B、C成等差数列，则，所以
。
作业4．在中，，求的值和三角形面积。
解：由，因为，
所以，又因为
，
第五课时
例1．已知向量，
(1)求的值；(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以。
例2．已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以。
例3．已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。
(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。
解：(1) ，
由周期为且最大值为1，所以由，
所以；
(2)由(1)知，令，解得对称轴方成为，
，所以是的对称轴。
例4．已知向量，定义函数。
(1)求函数 的最小正周期；
(2)确定函数的单调区间。
解：(1)，
所以，所以最小正周期为；
(2)令，
而在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减。
备用题1．已知，(1)求；
(2)设，且已知，求。
解：(1)由已知，即，
所以，由余弦定理
；
(2)由(1)，，所以
如果则，所以
此时。
备用题2．已知向量
，的夹角为，的夹角为，且，求的值。
解：，所以，所以，所以，
而，又因为，
所以，又，所以，又因为，，，所以，
，，所以。
作业1．已知0为坐标原点，是常数)，若，
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。
解：(1)，所以；
(2)
令时，f(x)的最大值为3+a，解得a=－1。
作业2．已知
，求的值。
解：设，，所以，因为，
所以，所以，所以，
又因为，
所以。
作业3．已知向量
，若，求的值。
解：由已知得，因为，所以，即，
化简得，，因为，所以，所以。
作业4．设平面内两个向量，
(1)证明：；
(2)若有，求的值。
(1)证明：，
所以，所以；
(2)解：，
，又因为，
所以，即，又因为，所以，
， 所以，又，则，即。
第六课时
例1．已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。
解：
，因为为偶函数，
所以，对，有，即
，
亦即，所以，由，
解得，此时，
当时，，最大值为0，不合题意，
当时，，最小值为0，
当时，由最大值，此时自变量x的集合为：
。
例2．已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
解：(1)，由题意，可得，解得，所以；
(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。
例3．已知函数，
(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；
(2)判断函数奇偶性。
解：(1)，
定义域：，值域为：R，最小正周期为；
(2) ，且定义域关于原点对称，
所以为奇函数。
例4．已知，求的最值。
解：，
令，则有，
所以，因为，则
当时，，当时，。
备用题1．设函数已知函数的最小正周期相同，且，(1)试确定的解析式；(2)求函数的单调增区间。
解：，由函数的最小正周期相同，有，即a=2m，又，即，把a=2m代入上式，得，
所以有，
所以或，
若，则有这与矛盾，
若，则有，
于是有，又，所以，
所以；
(2)由，
所以，函数的单调递增区间为。
备用题2．已知函数，若函数的最大值为3，求实数m的值。
解：，
令，则函数变为，分类讨论如下：
(1)当时，在t=1时，；
(2)当时，在t=－1时，；
综上所述，。
作业1．已知函数
，求得取值范围，使函数在区间上是单调函数。
解：，所以的图像的对称轴为，因为函数在区间上是单调函数，所以，即，
又因为，所以得取值范围是。
作业2．已知函数，
(1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。
解：(1)定义域，
，
所以函数为偶函数；
(2)，所以，
所以，
所以是函数的一个周期。
作业3．已知，求的值。
解：由……(1)，所以，
因为，所以，
，
所以……(2)，联立(1)(2)解得，
所以。
作业4．函数的图像一部分如图所示，
(1)求此函数解析式；
(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数图像。
解：(1) 依题意知，
将点代入 得，又
，所以，所求函数解析式为；
(2)先把函数的图像横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)， 得函数的图像，再把函数上所有点向右平移单位得到函数的图像，最后将的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，(横坐标不变)，得到函数图像。
数 列
第一课时
1、 设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且＝9S2，S4＝4S2，求数列的通项公式．
2、已知数列的前项和满足．
（1） 写出数列的前三项；
（2） 求证数列为等比数列，并求出的通项公式．
3、 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：
（Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
4、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(i)数列{}是等比数列；(ii)Sn+1=4an.
答案：
1、设数列的公差为
由题意得： 或
因为 所以
2、（1）在中分别令 得：
解得：
（2）由得：
两式相减得：
即：
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．
所以
3、（1）设数列的公差为
由题意得： 或 （舍去）
所以：
（2）
由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立
即：
或 （舍去）
所以
4、（1）由 得： 即
所以
所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
所以
所以
第二课时
1、已知等差数列｛an｝，公差大于0，且a2、a5是方程x2—12x+27=0的两个根，数列｛bn｝的前n 项和为Tn，且Tn=1—．
（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；
（2）记cn= an·bn，求证：．
2、设是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前n项之和，对任意自然数与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）写出；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
2、 已知数列成等差数列，表示它的前项和，且， .
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？
4、设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
答案：
1、 （1）设的公差为
由题意得： 即： 解得：
所以：
由 得：
两式相减： 即：
所以是以为公比为首项的等比数列．
在中令得： 所以
所以
（2）
所以：
因为了 所以
2、 （1）由题意得：令得：
解得：
（2）将两边平方得：
用代替得：
两式相减得：即：
即： 由于 所以
所以是以2为首项公差为4的等差数列
所以
3、（1）设数列的公差为，由题意得：解得：
所以：
（2）令 所以
解不等式 得：
所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数．
4、（1）由题意得：
=
所以
（）
上式对也成立
所以
所以
（2）
当 时
当时
故不存在正整数使
第三课时
1、设等差数列的前n项和为；设，问是否可能为一与n无关的常数？若不存在，说明理由．若存在，求出所有这样的数列的通项公式．
2、已知等比数列及等差数列，其中，公差，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,…,求这个新数列的前10项之和．
3、设Sn为等差数列{an}的前n项和.(n∈N*)．
（Ⅰ）若数列{an}单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明：
（Ⅱ）设{an}的首项为a1，公差为d，且，问是否存在正常数c，使对任意自然数n都成立，若存在，求出c(用d表示)；若不存在，说明理由.
4、Ⅰ．已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数．
Ⅱ．设，是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．
答案：
1、设等差数列的公差为，并假设存在使是与无关的常数
令
所以恒成立
化简得：对一切自然数恒成立
所以 即
解得： 解得：
故存在等差数列使是一与无关的常数
2、设等比数列的公比为
由题意得： 解得：
所以
所以新数列的前10项的和为
3、（1）设等差数列的公差为
由题意得： 即： 解得：
所以
所以
所以
（2）假设存在正常数使得恒成立
令，则有恒成立
即：
化简得：
两边平方化简得：．
以下证明当时，恒成立．
故存在正常数使恒成立．
4、（1）由题意得：恒成立．对一切正整数恒成立（为常数）
即：
化简得：对一切正整数恒成立
所以： 解得： 或
所以：或
（2）设数列的公比分别为与，
并假设数列是等比数列，其公比为
则有： 即：
化简得：
即对一切正整数恒成立
所以： 即： 这与互相矛盾
故不是等比数列．
函数专题
第一课时
1、 设函数
（1）解不等式f(x)<0;
（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.
2、已知函数（a＜0， ，设关于x的方程的两根为，的两实根为、．
（1）若，求a，b关系式
（2）若a，b均为负整数，且，求解析式
（3）若＜1＜＜2，求证：＜7
3、已知函数在处取得极值．
(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；
(II)过点作曲线的切线，求此切线方程．
4、已知是定义在上且以2为周期的函数，当时，其解析式为．
（1）作出在上的图象；
（2）写出在上的解析式，并证明是偶函数．
答案：
1、（1）由得：
该不等式等价于： 或
等价于：或 即：或
所以不等式的解集是：
（2）
因为，所以当时，为增函数；当时，为减函数．
所以当时，
2、（1）即
由题意得： 消去得：
（2）由于都是负整数，故也是负整数，且
由得：
所以 所以
所以
（3）令，则 的充要条件为：
即： 又
所以
因为 所以
即：
3、（1）由于在处取得极值
所以：即： 解得：
所以：
当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数．
所以是极小值，是极大值．
（2）设切点为
由题意得： 解得：
所以切线的斜率为
所以过点（0，16）的切线方程为：
4、（1）略
（2）当时，有，因为2为函数的周期，
所以：
对于内的任一，必定存在整数，使得：
此时，又因为2为函数的周期
所以：
所以：是偶函数
第二课时
1、设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；
（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；
（3）求证：当x≤－时，恒有f(x)＞g(x).
2、已知函数．
（1）证明函数的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；
（2）当，时，求证：，；
3、已知函数
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）是否存在实数,使之满足？若存在，求出它的取值范围；若不存在，请说明理由．
4、 知函数．
a) 求函数的反函数；
b) 若时，不等式恒成立，试求实数的范围．
答案：
1、（1）由题意得： 所以
化简方程： 得：
因为 所以
所以：函数与的图象有两个不同的交点
（2）设方程的两根为，
则：
所以： 由于
所以：
将代入得： 解得：
所以：
2、(1)函数的图象关于点对称的充分必要条件为：
由于
所以：函数的图象关于点对称
(2)易证明在上为增函数
所以
即：
3、（1）因为所以当时，
当时，为增函数
所以
（2）易求得函数的值域为
所以当时，对一切实数c，都有
当时，对一切实数c，都有
当时，不存在实数c，使成立
当时，解不等式组： 得：
当时，
当 ，无解
下结论略．
4、（1）因为，所以：
由得： 解得：
所以函数的反函数是
（1） 不等式恒成立
即恒成立
即：恒成立
即：恒成立
所以：
解得：
第三课时
1、已知函数为实数），，
（1）若f (－1) = 0，且函数的值域为，求表达式；
（2）在（1）的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；
2、设f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r，且y=f(x)与y=g(x)的图象关于点（0，1） 对称．（I）求p、q、r的值；
（II）若函数g(x)在区间(0，m)上递减，求m的取值范围；
（III）若函数g(x)在区间 上的最大值为2，求n的取值范围．
3、已知二次函数，设方程 有两个实数根．
①如果，设函数的对称轴为，求证：；
②如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围．
4、某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是：
该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是：，求这种商品的日销售额的最大值.
答案：
1、（1）由题意得： 解得：
所以：
（2）
当时，是单调函数的充要条件是：
解得:
2、（1）关于点（0，1）对称的函数为：
所以：
（2）
所以：当即：时，是增函数
当即：时，是减函数
所以当在（0，m）上是减函数的充要条件为：
(3)由（2）得：当时，
所以：的取值范围是
3、（1）即为：
它的两根满足的充要条件是：
又，所以：
因为：，所以：，即：
（2） 由题意得： 即：
消去得：，此不等式等价于：
解得：
4、 售额Z=PQ=
=
当时，此时当
当时，Z为减函数，此时当
所以：当
概 率
第一课时
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=．
类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
剖析 本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
解: P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=.
备用
1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求
（I） 恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
解：基本事件的种数为=15种
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 所求事件概率P1==0.6
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生,所求事件概率P2=
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生,所求事件概率P3=
2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）
解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7
乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6
(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
作业
1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率
是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2＝17外部的概率应为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率
相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
4. 若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .
（结果用分数表示）
5. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
（Ⅰ）摸出2个或3个白球 ; （Ⅱ）至少摸出一个黑球.
6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.
作业答案
1. B 2. D 3. 0.05 4.
5.（Ⅰ）P（A+B）= P（A）+P（B）＝=; （Ⅱ） P=-=
6.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝ =
（Ⅱ）P（两人至少投进三个球）＝
第二课时
例题
例1 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)
例2 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新课程卷)
例3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002年新课程卷)
例4 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） (2003年新课程卷)
备用 从分别写有0，1，2，3，4，5，6的七张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被9整除的概率；
(3)这个四位数比4510大的概率。
解： （1）组成的所有四位数共有个。四位偶数有：个位是0时有,个位不是0时有,共有120+300=420个.
组成的四位数为偶数的概率为
(2)能被9整除的数，应该各位上的数字和能被9整除.数字组合为：1，2，6，0 1，3，5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0 此时共有.
能被9整除的四位数的概率为
(3)比4510大的数分别有：千位是4，百位是5时，有;千位是4，百位是6时，有;千位大于4时，有;故共有240+20+18=278.
四位数且比4510大的概率为
作业
1. 一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自
动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( )
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和
3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 .
4. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女
生当选的概率是 (用分数作答)
5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.
6. 如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统
正常工作.已知元件正常工作的概率
依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系
统正常工作的概率.
例题答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ). 2. 0.648; 0.792. 3. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 5人. 4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .
作业答案
1. D 2. A 3. 4. 5．解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为
P＝＝0.1998
6．解： =0.752
第三课时
例题
例1 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：
（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
(2004年全国卷Ⅰ)
例2 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A、B两组,每组4支.求：
（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ)
例3 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ)
例4 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)
备用 A、B、C、D、E五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
(1)A不分甲书，B不分乙书的概率；
(2)甲书不分给A、B，乙书不分给C的概率。
解： （1）分别记“分不到书的是A，B不分乙书”，“分不到书的是B，A不分甲书”，“分不到书的是除A,B以外的其余的三人中的一人，同时A不分甲书，B不分乙书”为事件A1,B1,C1，它们的概率是
.
因为事件A1,B1,C1彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A不分甲书，B不分乙书的概率是：
(2) 在乙书不分给C的情况下，分别记“甲书分给C”，“甲书分给D”，“甲书分给E”为事件A2,B2,C2彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲书不分给A,B，乙书不分给C的概率为：
作业
1. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩
具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
4. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
5. 已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
例题答案
1（Ⅰ）;（Ⅱ） 2（Ⅰ）;（Ⅱ）. 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
作业答案
1. D 2. B 3. 4. 5. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）最少应抽取9件产品作检验.
6. 解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
第四课时
例题
例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电
（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)
例2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004年湖南卷)
例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下:
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)
备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为P，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.
(1)因新药有效且P=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为
(2)因新药无效，故P=0.25，试验被认为有效的概率为
答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242
作业
1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
（A） （B） （C） （D） ( )
2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )
(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7
3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________．
4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）
5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.
（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设
6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
例题答案
1．（Ⅰ）； （Ⅱ）. 2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
3．（Ⅰ）；（Ⅱ） 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施
作业答案
1. C 2. D 3. 4. 5. （Ⅰ）（Ⅱ） 6. （Ⅰ）,（Ⅱ）
第五课时
例题
例1 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(2004年南京市一模)
例2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内
（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率；
（Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模)
例3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是，，.如果对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测. 问
（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004年南京市三模)
例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)
备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.
解： 三局两胜制的甲胜概率：
甲胜两场：,甲胜三场：,
甲胜概率为+=0.648
五局三胜制：
甲胜三场：,甲胜四场：,甲胜五场：,
甲胜概率为++=0.682
由0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.
作业
1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是 ．
4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.
6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．
例题答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 2. (Ⅰ)(Ⅱ)
3.（Ⅰ），；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441
作业答案
1. D 2. A 3. 4. 0.625 5. (Ⅰ) ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A与B是不独立的．
备用课时一 随机事件的概率
例题
例1 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
例2 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例3 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
例4 将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.
(2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.
作业
1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.
解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=。
解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=
解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.
备用课时二 互斥事件有一个发生的概率
例题
例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.
解 6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.
例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌是同一花色为事件B3；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B4，可见，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= , P(B2)= ,
P(B3)= , P(B4)= ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同， P（）=，
答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945
例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
注 研究至少情况时，分类要清楚。
作业
1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
(1) 2件都是合格品的概率；
(2) 2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为：
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为：
备用课时三 相互独立事件同时发生的概率
例题
例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
例2 1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.
解 设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为
例3 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？
解：
例4 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
作业
1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要
所以
立体几何
1平行关系
例题讲解：
例1：已知四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：
(1)MN∥平面ABD；
(2)BD∥平面CMN。
答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证
MN∥EF∥BD
例2.已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α的上方，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离BB1=2，CC1=4．
(1)求证：BB1∥平面ACC1
(2)求证：BD⊥平面ACC1
(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积
答案与提示：（3）30
例3.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.
(1) 求证：MN∥平面PAD；
(2) 求证：MN⊥CD；
(3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.
答案与提示：（3）45°
备用题
如图,在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为正三角形， D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2，
(1)如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？说明理由；
(2)对于(1)中的点F，求二面角P-EF-A的大小；
答案与提示：（1）F为CD中点（2）arctan2
作业
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1，B，M三点的平面交C1D1于点N。
(1)求证：EM∥平面ABCD；
(2)求二面角B-A1N-B1的正切值。
答案与提示：（2）arctan EQ \F(,4)
2垂直关系
例题讲解：
例1：如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点．
(1)求证：CD⊥PB；
(2)设二面角A-PB-C的平面角为α，且tanα=，若底面边长为1，求三棱锥P-ABC的体积．
答案与提示：（2）
例2：已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点．
(1)求证平面BFD1E⊥平面BGD1；
(2)求点G到平面BFD1E的距离；
(3)求四棱锥A1-BFD1E的体积．
答案与提示：（2） EQ \F(,6)a (3) a3
例3：四边形ABCD中．AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC；
(3)求二面角P—BC—D的大小．
答案与提示：(2)先证PB⊥面PCD (3)arctan
备用题
在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45°,SA与底面ABC所的角为30°.
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角S—BC—A的大小；
(3)求三棱锥S—ABC的体积．
答案与提示：(2)arctan(3)9
作业
1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积．
(2)求证：AD⊥PB．
答案与提示：(1) EQ \F(,4)a3
2.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D—AB—C的大小；
答案与提示：(2)arctan
3 空间角
例1、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且
(1)求证：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大小．
解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，
∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；
(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，
∴， ∴，
∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。
例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与成45o角，与成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
以CD为轴，将平 以AB为轴，将平
面BCD旋转至与 面ABD旋转至与
平面ACD共面 平面ABC共面
图 1 图 2 图 3
解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．
为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，
∵ cosB＝＝,
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB
＝()2＋()2 －2﹒﹒ ＝．
（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面， ∴ AC⊥DF． ∴ DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．）
在△DEF中，由余弦定理：
cos∠DEF＝＝＝.
∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos (*)
（注：这里的是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜ o≤90o， 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜ ＜180o，异面直线所成的角为180o－ .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，
从而算得 cos＝， ∴ ＝arccos.
例3、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，
D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，
求二面角D－AC 1－C的大小．
解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7
∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1
∴ D为BC的中点．
过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1，
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．
连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝，CF＝.
∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin.
∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin.
例4、（2004年北京春季高考题）如图，
四棱锥的底面是边长为1的正方形， 图（1）
SD垂直于底面ABCD，SB=√3。
（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：如图1
∵底面ABCD是正方形
SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，
又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
图2 图3
（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点
面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为
(Ⅳ) 45°
练习：1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120 .求：
(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.
(2).异面直线AD与BC所成的角.
(3) .二面角A-BD-C的大小.
答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan2
2..如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D,E分别为AA1,B1C1的中点.
(1)求证：平面AA1E⊥平面BCD；
(2)求直线A1B1与平面BCD所成的角．
答案：（2）30°
3.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC=a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与AC所成角的大小；
(3)求二面角A-PB-D的大小；
(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．
答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a/2
4.在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45 ,SA与底面ABC所成的角为30 .
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角S—BC—A的大小;
(3)求三棱锥S—ABC的体积．
答案：（3）9
4 距离
例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直
角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为
CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
例2、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1） 求MN的长；
（2） 当为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
例3. 如图，平面∩平面＝MN，
二面角A－MN－B为60°,点A∈，
B∈，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.
AC＝1,
(1) 求点A到平面的距离；
(2) 求二面角A－BC－M的大小．
答案(1)； (2)arctan(提示：求出点A在平面 的射影到直线BC的距离为).
例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm，
它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E是AB的
中点．
(1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm；
(2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小．
答案 (2) arccos.
练习：1.已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm．
(1)求点P到平面ABC的距离；
(2)求PA与平面ABC所成角的余弦．
2.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点．
(1)求点E到平面ABD的距离：
(2)求二面角A—BD—C的正切值．
3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，AD⊥C1D.
(1).求证：截面ABC1⊥侧面BCC1B1.
(2)求二面角C-AC1-D的大小.
(3)若AB=2，求直线A1B与截面ADC1的距离.
.
4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证：四边形B1EDF是菱形；
(2)求直线A1C与DB的距离；
(3)求直线AD与平面B1EDF所成的角.
(4)求平面B1D1C与A1DB的距离
5多 面 体
例1．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，
侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.
例2．三棱锥各侧面与底面均成45°角，底面三角形三内角A、B、C满足2B＝A＋C，最大边与最小边是方程3x2－27x＋32=0的两根．
（1）求棱锥的高；（2） 求棱锥的侧面积．
例3．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MN⊥AB1
（1）试求三棱锥的体积；
（2）求点C1到平面AMN的距离。
例4．如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面，∠＝60°，M是的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角的正切值；
（3）求三棱锥的体积．
习题
1．正三棱锥P－ABC的底面边长为a，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直于侧面PBC．
（1） 求棱锥的全面积；（2） 侧面与底面所成的角的余弦值．
2．如图，直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BD=a的矩形，E为的中点。
(.1)求二面角E-BD-C的大小;
(2)求三棱锥的体积.
3．如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证点M为边BC的中点；
（2）求点C到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
答案：
例题
1． ，
2．作PO面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边，连结PD，PE，PF，，易得，B＝600
,=7,,
,
3．三棱锥的体积为， 点C1到平面AMN的距离为
4．（1）证明：∵ 是菱形，∠＝60°△是正三角形
又∵
（2） ∴ ∠BEM为所求二面角的平面角
△中，60°，Rt△中，60° ∴ ， ∴ 所求二面角的正切值是2；
（3）
习题
1．，
2. 二面角E-BD-C的大小为45°，三棱锥的体积为
3．（1）∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 且．∵ 正三棱柱， ∴ 底面ABC．
∴ 在底面内的射影为CM，AM⊥CM．
∵ 底面ABC为边长为a的正三角形，∴ 点M为BC边的中点．
（2）过点C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，
∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面内， ∴ CH⊥AM，
∴ CH⊥平面，由（1）知，，且．
∴ ． ∴ ．
∴ 点C到平面的距离为底面边长为．
（3）过点C作CI⊥于I，连HI， ∵ CH⊥平面，
∴ HI为CI在平面内的射影，
∴ HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．
在直角三角形中，，
， ∴ ∠CIH＝45°， ∴ 二面角的大小为45°
6球
例1．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20，求点B的位置
例2．半径为13cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，求这三点所在的平面到球心的距离.
例3．半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。
例4．如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为π，点A与B、C两点间的球面距离均为，O为球心，求：
（1）∠BOC、∠AOB的大小；
（2）球心O到截面ABC的距离.
习题
1．已知正方体的全面积为24，求：（1）求外接球的表面积； （2）求内切球的表面积.
2．一个正四面体的棱长为2，求该四面体的外接球的体积.
3．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，求这两个切点A、B在球面上的最短距离
答案：
例题
1． 东径1100，或者西径70° 2．12cm
3. 18π，， 18π
4. ∠BOC=, ∠AOB=, 球心O到截面ABC的距离为
习题
1．外接球的表面积为12π，内切球的表面积为4π， 2．36π
3．
7综合应用(1)
例题讲解：
例1：如图，在斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，若点A1在平面ABCD上的射影是BD的中点，设点E是CC1上的中点，AA 1＝4．?
(1)求证：BB1D1D是矩形；?
(2)求二面角E—BD—C的大小；?
(3)求四面体B1—BDE的体积．
答案与提示：(2)arccos (3)
例2：三棱锥S—ABC中，底面△ABC是顶角为∠ABC=α、AC=a的等腰三角形，SCA=，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为θ（0<θ≤）,E、D分别为SA和AC的中点.
（1）求证无论θ，α为何值时，点S到截面BDE的距离为定值;
（2）求三棱锥S—ABC的体积.
答案与提示：(1)(2) c2bcotsinθ
例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EBD；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.
答案与提示：(3)60°
备用题：
1.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，BD和AC相交于O点，侧面SAB是等边三角形，且平面SAB平面ABCD。
(1)求SO与平面SAB所成的角；
(2)求二面角B－SA－C的大小；
(3)求点C到平面SBD的距离。
答案与提示：(1)30°(2)arctan
作业
1.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD；
(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使得PQ⊥QD ，求这时二面角Q-PD-A的大小.
答案与提示：(1)当a≥2时存在，当a<2时不存在 (2)arctan
2.如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA.
(1) 求异面直线PA与CD所成的角；
(2) 求证：PC∥平面EBD；
(3) 求二面角A-BE-D的大小.
答案与提示：(1) 60° (3)arctan
8综合应用(2)
例题讲解：
例1：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α
（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。
（1）求证：AC⊥面BB’C’C。
（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
答案与提示：(2) 60°
例2：如图，已知面，于D，。
（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？
答案与提示：(1) = 最大值为 (2)存在
例3：长方体中，，，是侧棱中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积．
答案与提示：(1)45°(2) (3)
备用题：
如图，直四棱柱中ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AA1=2AB=4，E、F分别为AA1、DD1上的点，且A1E=DF=1=BC=CD.
(1) 求直线EF与平面ABB1A1所成的角；
(2) 求证：平面CEF⊥平面ADD1A1.
答案与提示：(1)arctan(2)证AF⊥面CEF
作业
1.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D.
（1）求证BD⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示）
答案与提示：(2)arctan
2.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点.
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角；
（3）求二面角A—PC—D的大小.
答案与提示：(2)30°(3) arctan
解析几何
高考第一问训练（第一课时）
高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。
例一．（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
解答：．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.
（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解.…………………………2分
将①代入②并化简得，，所以
于是
…………6分
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方
程为………………8分
解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
………………8分
例二（2004.湖南理）（本小题满分12分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；
31．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
例三．(2004. 天津卷)（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算:
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率
（课后训练）
1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；：答案：（1）
2．（2004. 福建理）（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
答案：. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－=-，
∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M是PQ的中点
x0==-，
∴
y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则x0==kl=-，
∴x1=－，
将上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
3．（2004.湖北理）（本小题满分12分）
直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
答案：．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.
解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
5. （04. 上海春季高考）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.
(1) 求点的坐标；
(2) 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；
答案： (1) 直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为。
（2）由得，设，则，得。
。
解析几何第一问(第二课时)
例一椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
答案：）设, 对 由余弦定理, 得
，
解出
例二知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.
（１）求此椭圆的离心率；
答案：设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的
高三数学复习内部交流资料
2006年3月23日——4月30日
填充题专项训练(1)
1．已知是定义在（-3，3）上的奇函数，当0
。
2．设不等式对于满足的一切m的值都成立，x的取值范围 。
3．已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，
若A∩B＝，则实数a的值为 4或-2 .
4．关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写为；④在[，]上为增函数．其中正确的命题的序号是： 1 ,4 ．
5．函数的最小值是
6．对于函数，给出下列四个命题：①存在（0，），使；②存在（0，），使恒成立；③存在R，使函数的图象关于轴对称；④函数的图象关于（，0）对称．其中正确命题的序号是 1,3,4 ．
7．点A在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。已知点A从x轴正半轴出发一分钟转过θ(0<θ<π)角，2分钟到达第三象限，14分钟回到原来的位置，则θ=。
8．函数f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值为___7_____。
9．已知 的值为。
10．已知向量，，若与垂直，则实数等于 -1
备用题：
1．若是R上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，－2），则不等式的解集为（－1，2）时，的值为 1
2．若，则α的取值范围是：
3．已知向量,向量则的最大值是 4 _____
4．有两个向量，。今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设、在时刻秒时分
别在、处，则当时， 2 秒．
5．若平面向量与向量的夹角是，且，则＝(-3,6)
6． (.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的
矩形最大面积为__2500____围墙厚度不计).
7．求函数的最大值为
8．向量,满足，且，,则与夹角等于
9．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5) ＝-36，则a与b的夹角是_____
作业
1．已知则不等式≤5的解集是
2．已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.
3．函数的定义域是
4．函数的最大值是_______________.
5．已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则 2
6．不等式的解集为，且，则的取值范围为
7．若x∈[-1，1，则函数的最大值_____-1____________。
8．在△ABC中，若∠B=40°，且 ，则 ；Ｃ＝
9．在中，为三个内角，若，则是_______钝角三角形
(填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 )
10．平面向量,中，已知，，且，则向量=
填充题专项训练(2)
1．对于函数f1(x)=cos(π+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(π/2-x),任取其中两个相乘所得的若干个函数中，偶函数的个数为（3）
2．不等式的解集为
解：①当即 或时
原式变形为即解得或 ∴或
②当即时
原式变形为即 ∴
综上知：原不等式解集为或且
3．已知向量．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则实数m的值为 。
解：若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴，
解得
4．已知ΔABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ΔABC的外接圆的半径为，则角C= 。
解：2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,
又2R=2，由正弦定理得：2=(a-b),
∴a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab
结合余弦定理得:2ab cosC=ab,∴cosC=又∵0＜C＜π,
∴C=
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=，则sin2+cos2A的值
解: =
===
6．已知平面向量，，若存在不同时为零的实数和，使x = ，y，且xy，则函数关系式k= （用t表示）；
7．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝()，且x∈[0，]．若f (x)＝a · b－2｜a＋b｜的最小值是，则的值为 ．
解：a · b
| a＋b |
∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x
∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即
∴0≤cos x≤1
①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾
②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值，
综上所述，为所求
8．已知，则实数a的取值范围为
. 解：由 A={x|a-2
9．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，向量=
解：设=（x,y），则
∴解得
10．下列四个命题：
①a+b≥2； ②sin2x+≥4；
③设x、y∈R+，若+=1，则x+y的最小值是12；
④若|x－2|
备用题：
1．已知函数（m>0）的定义域为，值域为，则函数（）的最小正周期为 最大值为
最小值为 。
解：
因为＞0，，
解得，从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；
2．记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.若BA, 则实数a的取值范围是 。.
解: 2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1，即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]
由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
若a<1,则a+1>2a, 则B=(2a,a+1).
因为BA, 所以2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,
若≤a<1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(－∞,－2)∪[,1]。
3．已知函数，则函数f(x)的值域 .
解：，得
化简得
所以
4．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R. f(x)=1-且x∈[-，]，则x= 。
解：f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1-，得sin(2x+)=-.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，
即x=-.
5．已知点A(1, －2),若向量与=（2,3）同向, =2,则点B的坐标为
解：∵向量与={2,3}同向， =2
∴=（4，6）∴B点坐标为：（1，-2）+（4，6）=（5，4）
6．不等式的解集为
解：原不等式等价于；移项，通分得
由已知，所以解①得 ；解②得 或
故原不等式的解集为
7． 已知||=4，||=3，（2－3）·（2+）=61，则与的夹角θ= .
解：∵（2－3）·（2+）=61，∴
又||=4，||=3，∴·=－6.
∴θ=120°.
8．已知x≥0，y≥0，则 x（比较大小）
可用特殊值法快速解答：令x=y=0和x=0, y=1可知道是大于或等于。
9．把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 2π/3 。
解：由y=cosx-sinx得y=2cos(π/3+x)所以当m=2π/3时得y=2cos(π+x)=2cosx
10. 已知二次项系数为正的二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，不等式f（）＞f（）的解集为 。
解：设f（x）的二次项系数为m，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，
因m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数．
∵ ，，，
，，，
∴
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，． ∵ ，
∴ ．所以,的解集是；
填空题训练（3）
复习目标：本专题为常规题型，通过本专题的复习，旨在培养学生解答填空题的基本素养：审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小（巧）做。
一、典型例题
例1.等差数列的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项为 ；数列｛︱︳｝的前9项和等于 . ( 9 ; 41 )
例2.数列的前项和，则=_________________。( 45 )
例3. 设x，y，z为实数，2x，3y，4z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是 . ( )
例4. 在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题：“第一次投中”命题：“第二次投中”。试用、和联接词“或、且、非”表示命题“两次恰有一次投中”。______________________ ( 或 )
例5.设函数=，则的定义域是 .；的最小值是 .
( ; 2 )
例6.已知＞1，0＜x＜1，且＞1，那么b的取值范围是 . （0 ，1）
例7.设函数则实数a的取值范围是 . （ ）
例8.若函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
（1） 对于任意的，都有；
（2） 对于内任意，若，则有；
（3） 函数的图象关于轴对称，
则，的大小顺序是
（〈 〈〉
例9.已知函数与的图象关于直线对称，函数的反函数是，如果，则的值为 。 （ 9 ）
例10.等差数列的前项和为,且,.记,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,都成立.则M的最小值是 . （ 2 ）
作业:
1.已知数列的通项公式，则_________________。 ( 250 )
2.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，则：：=_________________。 ( 4：1：（） )
3. 若是数列的前项的和,,则= （ 33 ）
4. 设数列的通项公式为且满足＜＜＜…＜＜＜…，则实数的取值范围是 . （＞－3 ）
5.函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________________ （ ）
6.已知，，且，则的取值范围是_______________。 ( )
7.已知a＞0，b＞0，a、b的等差中项是，且，则的最小值是 . （ 5 ）
8.函数()的反函数是 。
（ ）
9. 已知函数是奇函数，当时, ，设的反函数是y=g(x)，则g(－8)= . ( -3 )
10．在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最______值（填“大”或“小”），且该值为______
( 大 , -3 )
备用题
1、在项数为的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，则=___________
答：10
2、等差数列的前15项的和为，前45项的和为405，则前30项的和为___________
答：68
3、设等差数列的公差为，又、、成等比数列，则=____________
答：
4、已知数列，，则在数列的前30项中 ，最大项和最小项分别为_________
答：，
5、已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________
答：99
6、等差数列中，=180，则=_______________。答：36
7、等差数列中，，公差，则_________________。
答：160
8、设等差数列的前项和为，已知12，，，则，，， 中，_________________最大。
答：
9、关于数列有下面四个判断：
①若、、、成等比数列，则、、也成等比数列；
②若数列既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；
③若数列的前项和为，且，则为等差或等比数列；
④若数列为等差数列，公差不为零，则数列中不含有；
其中正确判断的序号是_____________
答：② ④
10、设函数的定义域为，如果对于任意，存在唯一，使（为常数）成立，则称在的均值为。给出下列四个函数：①②③④，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是____________
答：①③
11、不等式的解集为，则______ ______
答：
12、设集合，若，则____________。
答：
13、若函数对任意实数，都有。则的大小关系是______________
答：
14、已知偶函数在时有，则在区间内的最大值与最小值之差等于_______________
答：1
15、不等式的解集是或，则_________。
答：
填空题（4）（集合、逻辑、函数、数列、导数）
复习目标：本专题主要为新颖填空题和导数部分，通过本专题的复习，旨在培养学生的阅读能力、数形结合和运用数学知识解决实际问题的能力以及一些非常规问题的解法。
典型例题
例1.已知下列四个函数:(1); (2); (3); (4)其中图象不经过第一象限的函数有 (注:把你认为符合条件的函数的序号都填上) （ （2），（3） ）
例2.设集合，，则集合中元素的个数为 . （ 2 ）
例3.定义在上的函数满足，则____________。 ( 7 )
例4.已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则= . （ ）
例5.给出下面四个命题：
（1） 若，则；
（2） 函数的值域为；
（3） 数列一定为等比数列；
（4） 两个非零向量，若∥，则
其中正确的命题有 . （ （2），（4） ）
例6.曲线在点（）处的切线的倾斜角是 . （）
例7.若函数的单调递减区间是（0 ，4），则的值是 . （ ）
例8.设，表示不大于的最大整数，如，，，则使成立的取值范围是 . （ ）
例9.已知，，，，，，，为各项都大于零的数列，命题①：，，，，，，，不是等比数列；命题②：＜+则命题②是命题①的 .条件。 （ 充分不必要 ）
例10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ （3，）
作业:
1. 一张厚度为0.1mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次（假定这样的折叠是可以完成的），这样折叠后纸的总厚度与一座塔的高度=100m的大小关系为 . ( > )
2.删去正整数数列1、2、3、4…中所有能被100整除的数的项，得到一个新数列，则这个新数列的第2005项是 . ( 2025 )
3. 对任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知1*2=3，2*3=4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m= . ( 4 )
4. 函数的极值是 . ( 极小值-26 )
5. 若直线是曲线的切线，则 （1或）
6. 已知曲线及点,则过点P的曲线的切线方程是 . （ ）
7. 设集合(),集合.若中有且只有一个元素,则正数的取值范围是 （ 3或7 ）
8. 如果函数的图象在轴上方,那么该函数的定义域可以是
（ （ 的任一子集 ）
9.已知函数的反函数为(),则函数的图象必过定点 . （ （1，0） ）
10. 设是函数f(x)=的反函数，则与的大小关系是 . （ ）
备用题
1.定义符号函数，则不等式的解集是________________
答：
2.如果在上的最大值是2，那么在上的最小值是__________
答：
3.将正奇数按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
那么，2005应在第______行______列。
答： 251行第4列
4. 若数列是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应的，若数列是等比数列，且，则有____________也是等比数列。
答：
5.从2001年到2004年间，王先生每年7月1日都到银行存入元的一年定期储蓄，准备为孩子读大学用。若年利率为（扣税后）保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年的定期，到2005年7月1日，其不再去银行存款，而将所有存款本息取回，则取回的总金额是______________
答：
6.某林场去年年底木材存量为（立方米），若森林以每年25%的增长率生长，每年冬天要砍伐的木材量为（立方米），设经过年林场木材的存量为，则=_____________
答：
7. 2000年某内河可供船只航行的河流段长为1000千米，由于水资源的过度使用，促使河水断流。从2000起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2009年，该内河可供船只行驶的河段长度为___________
答：
三角函数专题
第一课时
例1.
解：
例2.
解：
，
。
例3.
解：
例4.
解：
备用题1.
求的值。
解：由得
即
两边同时除以得，。
(本题也可以进行切割化弦，进而求的值。)
备用题2.
解：由题设知，
，
由求根公式，
作业1.
解：
作业2.
解：
作业3.
解：
作业4.
解：(1)因为
(2)
第二课时
例1．已知且为锐角，试求的值。
解：且为锐角，所以
，所以。
例2．求证：。
证明：左边=
=右边，原式得证。
例3．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例4．已知的最大值为3，最小值为－１，求的值。
解：当时，由，当时，由，
所以，。
备用题1．已知求的值。
解：，
又，，
而，所以，所以。
备用题2．已知求证：。
证明：所以
所以，
又所以。
作业1．已知都是锐角，且求。
解：由题意，
所以
，又因为都是锐角，所以，
所以，。(也可以用、来求)
作业2．求函数的值域。
解：设，则，
原函数可化为
当t=1时，，当时，，所以，函数值域为。
作业3．求函数的最大值与最小值。
解：，当时，，
当时，。
作业4．求证：。
证明：
，
所以，左边=右边，原式得证。
第三课时
例1．求函数的最小值，并求其单调区间。
解：
因为，所以，所以，
所以，当即时，的最小值为，
因为是单调递增的，所以上单调递增。
例2．已知函数。
(1) 求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
(2) 证明：函数的图像关于直线对称。
解：
(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例3．已知函数，若，且，求的取值范围。
解：，因为，所以，所以，
所以，而，即，
所以，，解得：，所以的取值范围是。
例4．已知函数。
(1) 求的最小正周期；
(2) 求的最小值及取得最小值时相应的x值；
(3) 若当时，求的值。
解：
(1) 由上可知，得最小正周期为；
(2) 当，即时，得最小值为－2；
(3) 因为，所以，令，
所以，所以。
备用题1．已知函数。
(1) 将写成含的形式，并求其对称中心；
(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。
解：(1) ，
令得，即对称中心为
(2)由b2=ac，，所以，此时，所以，
所以，即值域为。
备用题2．已知函数，求
(1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？
(2) 求将函数的图像按向量平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的奇偶性。
解：(1)，
当，即时，；
(2)按平移，即将函数的图像向左平移单位，再向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为
，
由，所以平移后函数为偶函数。
作业1．已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，(1)求 的解析式；(2)求的单调递增区间。
解：(1)
，由题意，
当时，，，不是最小值。
当时，，，是最小值。
所以；
(2)当，
即时，函数单调递增。
作业2．已知定义在R上的函数的最小正周期为，，。(1)写出函数 的解析式；(2)写出函数 的单调递增区间；(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来。
解：(1) ，由题意，
，代入，有，所以；
(2) 当，函数单调增；
(3) 将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。
作业3．已知，求的最值。
解：因为，即，原函数化为
，
当时，，当时，。
作业4．就三角函数的性质，除定义域外，请再写出三条。
解：
a. 奇偶性：非奇非偶函数；
b. 单调性：在上为单调增函数，
在上为单调减函数；
c. 周期性：最小正周期；
d. 值域与最值：值域，当时，取最小值，
当时，取最大值；
e.对称性：对称轴，对称中心。
第四课时
例1．在中，角A、B、C满足的方程的两根之和为两根之积的一半，试判断的形状。
解：由条件可知，，即，因为，所以，即，所以，所以A=B，即为等腰三角形。
例2．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，求角C的值。
解：，所以，所以，所以，又，所以，即，
得，所以。
例3．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，，所以，因为，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面积为
。
例4．在中，A、B、C满足，求的值。
解：由，且，所以，
，
所以。
备用题1．在中，A、B、C满足，
(1)用表示； (2)求角B的取值范围。
解：(1) 因为，所以，由，
得(1)，易知，
若，则，所以，不合题意，
若，则，不合题意，
对(1)式两边同除以得，；
(2)因为C为的一个内角，所以，则由，
知异号，若，则A为钝角，B为锐角，此时
，因为，不合题意；
若，则B为钝角， A为锐角，
则，因为A为锐角，所以，所以，所以。
备用题2．已知A、B、C是的三个内角，，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。
证明：因为A、B、C是的三个内角，，所以，
，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变。
作业1．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1) 求角B的大小；(2)若，求a的值。
解：(1)由正弦定理，条件可化成，
即，
因为，所以，所以，
因为，所以，B为三角形内角，所以；
(也可以用余弦定理进行角化边完成)
(2)将，代入余弦定理，得
，整理得，解得。
作业2．在中，，且，判断三角形形状。
解：因为，则，则，
又因为，所以，所以，若，则，无意义，
所以，三角形为正三角形。
作业3．在中，已知A、B、C成等差数列，求的值。
解：因为A、B、C成等差数列，则，所以
。
作业4．在中，，求的值和三角形面积。
解：由，因为，
所以，又因为
，
第五课时
例1．已知向量，
(1)求的值；(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以。
例2．已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以。
例3．已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。
(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。
解：(1) ，
由周期为且最大值为1，所以由，
所以；
(2)由(1)知，令，解得对称轴方成为，
，所以是的对称轴。
例4．已知向量，定义函数。
(1)求函数 的最小正周期；
(2)确定函数的单调区间。
解：(1)，
所以，所以最小正周期为；
(2)令，
而在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减。
备用题1．已知，(1)求；
(2)设，且已知，求。
解：(1)由已知，即，
所以，由余弦定理
；
(2)由(1)，，所以
如果则，所以
此时。
备用题2．已知向量
，的夹角为，的夹角为，且，求的值。
解：，所以，所以，所以，
而，又因为，
所以，又，所以，又因为，，，所以，
，，所以。
作业1．已知0为坐标原点，是常数)，若，
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。
解：(1)，所以；
(2)
令时，f(x)的最大值为3+a，解得a=－1。
作业2．已知
，求的值。
解：设，，所以，因为，
所以，所以，所以，
又因为，
所以。
作业3．已知向量
，若，求的值。
解：由已知得，因为，所以，即，
化简得，，因为，所以，所以。
作业4．设平面内两个向量，
(1)证明：；
(2)若有，求的值。
(1)证明：，
所以，所以；
(2)解：，
，又因为，
所以，即，又因为，所以，
， 所以，又，则，即。
第六课时
例1．已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。
解：
，因为为偶函数，
所以，对，有，即
，
亦即，所以，由，
解得，此时，
当时，，最大值为0，不合题意，
当时，，最小值为0，
当时，由最大值，此时自变量x的集合为：
。
例2．已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
解：(1)，由题意，可得，解得，所以；
(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。
例3．已知函数，
(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；
(2)判断函数奇偶性。
解：(1)，
定义域：，值域为：R，最小正周期为；
(2) ，且定义域关于原点对称，
所以为奇函数。
例4．已知，求的最值。
解：，
令，则有，
所以，因为，则
当时，，当时，。
备用题1．设函数已知函数的最小正周期相同，且，(1)试确定的解析式；(2)求函数的单调增区间。
解：，由函数的最小正周期相同，有，即a=2m，又，即，把a=2m代入上式，得，
所以有，
所以或，
若，则有这与矛盾，
若，则有，
于是有，又，所以，
所以；
(2)由，
所以，函数的单调递增区间为。
备用题2．已知函数，若函数的最大值为3，求实数m的值。
解：，
令，则函数变为，分类讨论如下：
(1)当时，在t=1时，；
(2)当时，在t=－1时，；
综上所述，。
作业1．已知函数
，求得取值范围，使函数在区间上是单调函数。
解：，所以的图像的对称轴为，因为函数在区间上是单调函数，所以，即，
又因为，所以得取值范围是。
作业2．已知函数，
(1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。
解：(1)定义域，
，
所以函数为偶函数；
(2)，所以，
所以，
所以是函数的一个周期。
作业3．已知，求的值。
解：由……(1)，所以，
因为，所以，
，
所以……(2)，联立(1)(2)解得，
所以。
作业4．函数的图像一部分如图所示，
(1)求此函数解析式；
(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数图像。
解：(1) 依题意知，
将点代入 得，又
，所以，所求函数解析式为；
(2)先把函数的图像横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)， 得函数的图像，再把函数上所有点向右平移单位得到函数的图像，最后将的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，(横坐标不变)，得到函数图像。
数 列
第一课时
1、 设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且＝9S2，S4＝4S2，求数列的通项公式．
2、已知数列的前项和满足．
（1） 写出数列的前三项；
（2） 求证数列为等比数列，并求出的通项公式．
3、 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：
（Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
4、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(i)数列{}是等比数列；(ii)Sn+1=4an.
答案：
1、设数列的公差为
由题意得： 或
因为 所以
2、（1）在中分别令 得：
解得：
（2）由得：
两式相减得：
即：
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．
所以
3、（1）设数列的公差为
由题意得： 或 （舍去）
所以：
（2）
由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立
即：
或 （舍去）
所以
4、（1）由 得： 即
所以
所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
所以
所以
第二课时
1、已知等差数列｛an｝，公差大于0，且a2、a5是方程x2—12x+27=0的两个根，数列｛bn｝的前n 项和为Tn，且Tn=1—．
（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；
（2）记cn= an·bn，求证：．
2、设是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前n项之和，对任意自然数与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）写出；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
2、 已知数列成等差数列，表示它的前项和，且， .
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？
4、设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
答案：
1、 （1）设的公差为
由题意得： 即： 解得：
所以：
由 得：
两式相减： 即：
所以是以为公比为首项的等比数列．
在中令得： 所以
所以
（2）
所以：
因为了 所以
2、 （1）由题意得：令得：
解得：
（2）将两边平方得：
用代替得：
两式相减得：即：
即： 由于 所以
所以是以2为首项公差为4的等差数列
所以
3、（1）设数列的公差为，由题意得：解得：
所以：
（2）令 所以
解不等式 得：
所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数．
4、（1）由题意得：
=
所以
（）
上式对也成立
所以
所以
（2）
当 时
当时
故不存在正整数使
第三课时
1、设等差数列的前n项和为；设，问是否可能为一与n无关的常数？若不存在，说明理由．若存在，求出所有这样的数列的通项公式．
2、已知等比数列及等差数列，其中，公差，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,…,求这个新数列的前10项之和．
3、设Sn为等差数列{an}的前n项和.(n∈N*)．
（Ⅰ）若数列{an}单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明：
（Ⅱ）设{an}的首项为a1，公差为d，且，问是否存在正常数c，使对任意自然数n都成立，若存在，求出c(用d表示)；若不存在，说明理由.
4、Ⅰ．已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数．
Ⅱ．设，是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．
答案：
1、设等差数列的公差为，并假设存在使是与无关的常数
令
所以恒成立
化简得：对一切自然数恒成立
所以 即
解得： 解得：
故存在等差数列使是一与无关的常数
2、设等比数列的公比为
由题意得： 解得：
所以
所以新数列的前10项的和为
3、（1）设等差数列的公差为
由题意得： 即： 解得：
所以
所以
所以
（2）假设存在正常数使得恒成立
令，则有恒成立
即：
化简得：
两边平方化简得：．
以下证明当时，恒成立．
故存在正常数使恒成立．
4、（1）由题意得：恒成立．对一切正整数恒成立（为常数）
即：
化简得：对一切正整数恒成立
所以： 解得： 或
所以：或
（2）设数列的公比分别为与，
并假设数列是等比数列，其公比为
则有： 即：
化简得：
即对一切正整数恒成立
所以： 即： 这与互相矛盾
故不是等比数列．
函数专题
第一课时
1、 设函数
（1）解不等式f(x)<0;
（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.
2、已知函数（a＜0， ，设关于x的方程的两根为，的两实根为、．
（1）若，求a，b关系式
（2）若a，b均为负整数，且，求解析式
（3）若＜1＜＜2，求证：＜7
3、已知函数在处取得极值．
(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；
(II)过点作曲线的切线，求此切线方程．
4、已知是定义在上且以2为周期的函数，当时，其解析式为．
（1）作出在上的图象；
（2）写出在上的解析式，并证明是偶函数．
答案：
1、（1）由得：
该不等式等价于： 或
等价于：或 即：或
所以不等式的解集是：
（2）
因为，所以当时，为增函数；当时，为减函数．
所以当时，
2、（1）即
由题意得： 消去得：
（2）由于都是负整数，故也是负整数，且
由得：
所以 所以
所以
（3）令，则 的充要条件为：
即： 又
所以
因为 所以
即：
3、（1）由于在处取得极值
所以：即： 解得：
所以：
当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数．
所以是极小值，是极大值．
（2）设切点为
由题意得： 解得：
所以切线的斜率为
所以过点（0，16）的切线方程为：
4、（1）略
（2）当时，有，因为2为函数的周期，
所以：
对于内的任一，必定存在整数，使得：
此时，又因为2为函数的周期
所以：
所以：是偶函数
第二课时
1、设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；
（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；
（3）求证：当x≤－时，恒有f(x)＞g(x).
2、已知函数．
（1）证明函数的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；
（2）当，时，求证：，；
3、已知函数
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）是否存在实数,使之满足？若存在，求出它的取值范围；若不存在，请说明理由．
4、 知函数．
a) 求函数的反函数；
b) 若时，不等式恒成立，试求实数的范围．
答案：
1、（1）由题意得： 所以
化简方程： 得：
因为 所以
所以：函数与的图象有两个不同的交点
（2）设方程的两根为，
则：
所以： 由于
所以：
将代入得： 解得：
所以：
2、(1)函数的图象关于点对称的充分必要条件为：
由于
所以：函数的图象关于点对称
(2)易证明在上为增函数
所以
即：
3、（1）因为所以当时，
当时，为增函数
所以
（2）易求得函数的值域为
所以当时，对一切实数c，都有
当时，对一切实数c，都有
当时，不存在实数c，使成立
当时，解不等式组： 得：
当时，
当 ，无解
下结论略．
4、（1）因为，所以：
由得： 解得：
所以函数的反函数是
（1） 不等式恒成立
即恒成立
即：恒成立
即：恒成立
所以：
解得：
第三课时
1、已知函数为实数），，
（1）若f (－1) = 0，且函数的值域为，求表达式；
（2）在（1）的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；
2、设f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r，且y=f(x)与y=g(x)的图象关于点（0，1） 对称．（I）求p、q、r的值；
（II）若函数g(x)在区间(0，m)上递减，求m的取值范围；
（III）若函数g(x)在区间 上的最大值为2，求n的取值范围．
3、已知二次函数，设方程 有两个实数根．
①如果，设函数的对称轴为，求证：；
②如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围．
4、某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是：
该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是：，求这种商品的日销售额的最大值.
答案：
1、（1）由题意得： 解得：
所以：
（2）
当时，是单调函数的充要条件是：
解得:
2、（1）关于点（0，1）对称的函数为：
所以：
（2）
所以：当即：时，是增函数
当即：时，是减函数
所以当在（0，m）上是减函数的充要条件为：
(3)由（2）得：当时，
所以：的取值范围是
3、（1）即为：
它的两根满足的充要条件是：
又，所以：
因为：，所以：，即：
（2） 由题意得： 即：
消去得：，此不等式等价于：
解得：
4、 售额Z=PQ=
=
当时，此时当
当时，Z为减函数，此时当
所以：当
概 率
第一课时
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=．
类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
剖析 本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
解: P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=.
备用
1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求
（I） 恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
解：基本事件的种数为=15种
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 所求事件概率P1==0.6
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生,所求事件概率P2=
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生,所求事件概率P3=
2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）
解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7
乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6
(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
作业
1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率
是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2＝17外部的概率应为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率
相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
4. 若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .
（结果用分数表示）
5. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
（Ⅰ）摸出2个或3个白球 ; （Ⅱ）至少摸出一个黑球.
6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.
作业答案
1. B 2. D 3. 0.05 4.
5.（Ⅰ）P（A+B）= P（A）+P（B）＝=; （Ⅱ） P=-=
6.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝ =
（Ⅱ）P（两人至少投进三个球）＝
第二课时
例题
例1 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)
例2 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新课程卷)
例3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002年新课程卷)
例4 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） (2003年新课程卷)
备用 从分别写有0，1，2，3，4，5，6的七张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被9整除的概率；
(3)这个四位数比4510大的概率。
解： （1）组成的所有四位数共有个。四位偶数有：个位是0时有,个位不是0时有,共有120+300=420个.
组成的四位数为偶数的概率为
(2)能被9整除的数，应该各位上的数字和能被9整除.数字组合为：1，2，6，0 1，3，5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0 此时共有.
能被9整除的四位数的概率为
(3)比4510大的数分别有：千位是4，百位是5时，有;千位是4，百位是6时，有;千位大于4时，有;故共有240+20+18=278.
四位数且比4510大的概率为
作业
1. 一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自
动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( )
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和
3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 .
4. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女
生当选的概率是 (用分数作答)
5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.
6. 如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统
正常工作.已知元件正常工作的概率
依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系
统正常工作的概率.
例题答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ). 2. 0.648; 0.792. 3. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 5人. 4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .
作业答案
1. D 2. A 3. 4. 5．解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为
P＝＝0.1998
6．解： =0.752
第三课时
例题
例1 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：
（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
(2004年全国卷Ⅰ)
例2 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A、B两组,每组4支.求：
（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ)
例3 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ)
例4 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)
备用 A、B、C、D、E五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
(1)A不分甲书，B不分乙书的概率；
(2)甲书不分给A、B，乙书不分给C的概率。
解： （1）分别记“分不到书的是A，B不分乙书”，“分不到书的是B，A不分甲书”，“分不到书的是除A,B以外的其余的三人中的一人，同时A不分甲书，B不分乙书”为事件A1,B1,C1，它们的概率是
.
因为事件A1,B1,C1彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A不分甲书，B不分乙书的概率是：
(2) 在乙书不分给C的情况下，分别记“甲书分给C”，“甲书分给D”，“甲书分给E”为事件A2,B2,C2彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲书不分给A,B，乙书不分给C的概率为：
作业
1. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩
具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
4. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
5. 已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
例题答案
1（Ⅰ）;（Ⅱ） 2（Ⅰ）;（Ⅱ）. 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
作业答案
1. D 2. B 3. 4. 5. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）最少应抽取9件产品作检验.
6. 解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
第四课时
例题
例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电
（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)
例2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004年湖南卷)
例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下:
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)
备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为P，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.
(1)因新药有效且P=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为
(2)因新药无效，故P=0.25，试验被认为有效的概率为
答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242
作业
1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
（A） （B） （C） （D） ( )
2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )
(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7
3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________．
4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）
5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.
（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设
6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
例题答案
1．（Ⅰ）； （Ⅱ）. 2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
3．（Ⅰ）；（Ⅱ） 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施
作业答案
1. C 2. D 3. 4. 5. （Ⅰ）（Ⅱ） 6. （Ⅰ）,（Ⅱ）
第五课时
例题
例1 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(2004年南京市一模)
例2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内
（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率；
（Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模)
例3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是，，.如果对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测. 问
（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004年南京市三模)
例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)
备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.
解： 三局两胜制的甲胜概率：
甲胜两场：,甲胜三场：,
甲胜概率为+=0.648
五局三胜制：
甲胜三场：,甲胜四场：,甲胜五场：,
甲胜概率为++=0.682
由0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.
作业
1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是 ．
4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.
6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．
例题答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 2. (Ⅰ)(Ⅱ)
3.（Ⅰ），；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441
作业答案
1. D 2. A 3. 4. 0.625 5. (Ⅰ) ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A与B是不独立的．
备用课时一 随机事件的概率
例题
例1 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
例2 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例3 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
例4 将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.
(2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.
作业
1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.
解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=。
解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=
解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.
备用课时二 互斥事件有一个发生的概率
例题
例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.
解 6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.
例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌是同一花色为事件B3；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B4，可见，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= , P(B2)= ,
P(B3)= , P(B4)= ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同， P（）=，
答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945
例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
注 研究至少情况时，分类要清楚。
作业
1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
(1) 2件都是合格品的概率；
(2) 2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为：
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为：
备用课时三 相互独立事件同时发生的概率
例题
例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
例2 1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.
解 设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为
例3 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？
解：
例4 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
作业
1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要
所以
立体几何
1平行关系
例题讲解：
例1：已知四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：
(1)MN∥平面ABD；
(2)BD∥平面CMN。
答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证
MN∥EF∥BD
例2.已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α的上方，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离BB1=2，CC1=4．
(1)求证：BB1∥平面ACC1
(2)求证：BD⊥平面ACC1
(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积
答案与提示：（3）30
例3.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.
(1) 求证：MN∥平面PAD；
(2) 求证：MN⊥CD；
(3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.
答案与提示：（3）45°
备用题
如图,在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为正三角形， D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2，
(1)如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？说明理由；
(2)对于(1)中的点F，求二面角P-EF-A的大小；
答案与提示：（1）F为CD中点（2）arctan2
作业
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1，B，M三点的平面交C1D1于点N。
(1)求证：EM∥平面ABCD；
(2)求二面角B-A1N-B1的正切值。
答案与提示：（2）arctan EQ \F(,4)
2垂直关系
例题讲解：
例1：如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点．
(1)求证：CD⊥PB；
(2)设二面角A-PB-C的平面角为α，且tanα=，若底面边长为1，求三棱锥P-ABC的体积．
答案与提示：（2）
例2：已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点．
(1)求证平面BFD1E⊥平面BGD1；
(2)求点G到平面BFD1E的距离；
(3)求四棱锥A1-BFD1E的体积．
答案与提示：（2） EQ \F(,6)a (3) a3
例3：四边形ABCD中．AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC；
(3)求二面角P—BC—D的大小．
答案与提示：(2)先证PB⊥面PCD (3)arctan
备用题
在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45°,SA与底面ABC所的角为30°.
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角S—BC—A的大小；
(3)求三棱锥S—ABC的体积．
答案与提示：(2)arctan(3)9
作业
1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积．
(2)求证：AD⊥PB．
答案与提示：(1) EQ \F(,4)a3
2.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D—AB—C的大小；
答案与提示：(2)arctan
3 空间角
例1、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且
(1)求证：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大小．
解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，
∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；
(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，
∴， ∴，
∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。
例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与成45o角，与成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
以CD为轴，将平 以AB为轴，将平
面BCD旋转至与 面ABD旋转至与
平面ACD共面 平面ABC共面
图 1 图 2 图 3
解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．
为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，
∵ cosB＝＝,
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB
＝()2＋()2 －2﹒﹒ ＝．
（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面， ∴ AC⊥DF． ∴ DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．）
在△DEF中，由余弦定理：
cos∠DEF＝＝＝.
∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos (*)
（注：这里的是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜ o≤90o， 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜ ＜180o，异面直线所成的角为180o－ .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，
从而算得 cos＝， ∴ ＝arccos.
例3、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，
D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，
求二面角D－AC 1－C的大小．
解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7
∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1
∴ D为BC的中点．
过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1，
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．
连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝，CF＝.
∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin.
∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin.
例4、（2004年北京春季高考题）如图，
四棱锥的底面是边长为1的正方形， 图（1）
SD垂直于底面ABCD，SB=√3。
（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：如图1
∵底面ABCD是正方形
SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，
又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
图2 图3
（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点
面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为
(Ⅳ) 45°
练习：1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120 .求：
(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.
(2).异面直线AD与BC所成的角.
(3) .二面角A-BD-C的大小.
答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan2
2..如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D,E分别为AA1,B1C1的中点.
(1)求证：平面AA1E⊥平面BCD；
(2)求直线A1B1与平面BCD所成的角．
答案：（2）30°
3.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC=a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与AC所成角的大小；
(3)求二面角A-PB-D的大小；
(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．
答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a/2
4.在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45 ,SA与底面ABC所成的角为30 .
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角S—BC—A的大小;
(3)求三棱锥S—ABC的体积．
答案：（3）9
4 距离
例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直
角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为
CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
例2、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1） 求MN的长；
（2） 当为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
例3. 如图，平面∩平面＝MN，
二面角A－MN－B为60°,点A∈，
B∈，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.
AC＝1,
(1) 求点A到平面的距离；
(2) 求二面角A－BC－M的大小．
答案(1)； (2)arctan(提示：求出点A在平面 的射影到直线BC的距离为).
例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm，
它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E是AB的
中点．
(1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm；
(2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小．
答案 (2) arccos.
练习：1.已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm．
(1)求点P到平面ABC的距离；
(2)求PA与平面ABC所成角的余弦．
2.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点．
(1)求点E到平面ABD的距离：
(2)求二面角A—BD—C的正切值．
3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，AD⊥C1D.
(1).求证：截面ABC1⊥侧面BCC1B1.
(2)求二面角C-AC1-D的大小.
(3)若AB=2，求直线A1B与截面ADC1的距离.
.
4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证：四边形B1EDF是菱形；
(2)求直线A1C与DB的距离；
(3)求直线AD与平面B1EDF所成的角.
(4)求平面B1D1C与A1DB的距离
5多 面 体
例1．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，
侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.
例2．三棱锥各侧面与底面均成45°角，底面三角形三内角A、B、C满足2B＝A＋C，最大边与最小边是方程3x2－27x＋32=0的两根．
（1）求棱锥的高；（2） 求棱锥的侧面积．
例3．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MN⊥AB1
（1）试求三棱锥的体积；
（2）求点C1到平面AMN的距离。
例4．如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面，∠＝60°，M是的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角的正切值；
（3）求三棱锥的体积．
习题
1．正三棱锥P－ABC的底面边长为a，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直于侧面PBC．
（1） 求棱锥的全面积；（2） 侧面与底面所成的角的余弦值．
2．如图，直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BD=a的矩形，E为的中点。
(.1)求二面角E-BD-C的大小;
(2)求三棱锥的体积.
3．如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证点M为边BC的中点；
（2）求点C到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
答案：
例题
1． ，
2．作PO面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边，连结PD，PE，PF，，易得，B＝600
,=7,,
,
3．三棱锥的体积为， 点C1到平面AMN的距离为
4．（1）证明：∵ 是菱形，∠＝60°△是正三角形
又∵
（2） ∴ ∠BEM为所求二面角的平面角
△中，60°，Rt△中，60° ∴ ， ∴ 所求二面角的正切值是2；
（3）
习题
1．，
2. 二面角E-BD-C的大小为45°，三棱锥的体积为
3．（1）∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 且．∵ 正三棱柱， ∴ 底面ABC．
∴ 在底面内的射影为CM，AM⊥CM．
∵ 底面ABC为边长为a的正三角形，∴ 点M为BC边的中点．
（2）过点C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，
∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面内， ∴ CH⊥AM，
∴ CH⊥平面，由（1）知，，且．
∴ ． ∴ ．
∴ 点C到平面的距离为底面边长为．
（3）过点C作CI⊥于I，连HI， ∵ CH⊥平面，
∴ HI为CI在平面内的射影，
∴ HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．
在直角三角形中，，
， ∴ ∠CIH＝45°， ∴ 二面角的大小为45°
6球
例1．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20，求点B的位置
例2．半径为13cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，求这三点所在的平面到球心的距离.
例3．半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。
例4．如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为π，点A与B、C两点间的球面距离均为，O为球心，求：
（1）∠BOC、∠AOB的大小；
（2）球心O到截面ABC的距离.
习题
1．已知正方体的全面积为24，求：（1）求外接球的表面积； （2）求内切球的表面积.
2．一个正四面体的棱长为2，求该四面体的外接球的体积.
3．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，求这两个切点A、B在球面上的最短距离
答案：
例题
1． 东径1100，或者西径70° 2．12cm
3. 18π，， 18π
4. ∠BOC=, ∠AOB=, 球心O到截面ABC的距离为
习题
1．外接球的表面积为12π，内切球的表面积为4π， 2．36π
3．
7综合应用(1)
例题讲解：
例1：如图，在斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，若点A1在平面ABCD上的射影是BD的中点，设点E是CC1上的中点，AA 1＝4．?
(1)求证：BB1D1D是矩形；?
(2)求二面角E—BD—C的大小；?
(3)求四面体B1—BDE的体积．
答案与提示：(2)arccos (3)
例2：三棱锥S—ABC中，底面△ABC是顶角为∠ABC=α、AC=a的等腰三角形，SCA=，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为θ（0<θ≤）,E、D分别为SA和AC的中点.
（1）求证无论θ，α为何值时，点S到截面BDE的距离为定值;
（2）求三棱锥S—ABC的体积.
答案与提示：(1)(2) c2bcotsinθ
例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EBD；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.
答案与提示：(3)60°
备用题：
1.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，BD和AC相交于O点，侧面SAB是等边三角形，且平面SAB平面ABCD。
(1)求SO与平面SAB所成的角；
(2)求二面角B－SA－C的大小；
(3)求点C到平面SBD的距离。
答案与提示：(1)30°(2)arctan
作业
1.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD；
(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使得PQ⊥QD ，求这时二面角Q-PD-A的大小.
答案与提示：(1)当a≥2时存在，当a<2时不存在 (2)arctan
2.如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA.
(1) 求异面直线PA与CD所成的角；
(2) 求证：PC∥平面EBD；
(3) 求二面角A-BE-D的大小.
答案与提示：(1) 60° (3)arctan
8综合应用(2)
例题讲解：
例1：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α
（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。
（1）求证：AC⊥面BB’C’C。
（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
答案与提示：(2) 60°
例2：如图，已知面，于D，。
（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？
答案与提示：(1) = 最大值为 (2)存在
例3：长方体中，，，是侧棱中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积．
答案与提示：(1)45°(2) (3)
备用题：
如图，直四棱柱中ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AA1=2AB=4，E、F分别为AA1、DD1上的点，且A1E=DF=1=BC=CD.
(1) 求直线EF与平面ABB1A1所成的角；
(2) 求证：平面CEF⊥平面ADD1A1.
答案与提示：(1)arctan(2)证AF⊥面CEF
作业
1.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D.
（1）求证BD⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示）
答案与提示：(2)arctan
2.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点.
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角；
（3）求二面角A—PC—D的大小.
答案与提示：(2)30°(3) arctan
解析几何
高考第一问训练（第一课时）
高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。
例一．（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
解答：．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.
（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解.…………………………2分
将①代入②并化简得，，所以
于是
…………6分
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方
程为………………8分
解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
………………8分
例二（2004.湖南理）（本小题满分12分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；
31．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
例三．(2004. 天津卷)（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算:
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率
（课后训练）
1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；：答案：（1）
2．（2004. 福建理）（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
答案：. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－=-，
∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M是PQ的中点
x0==-，
∴
y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则x0==kl=-，
∴x1=－，
将上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
3．（2004.湖北理）（本小题满分12分）
直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
答案：．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.
解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
5. （04. 上海春季高考）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.
(1) 求点的坐标；
(2) 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；
答案： (1) 直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为。
（2）由得，设，则，得。
。
解析几何第一问(第二课时)
例一椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
答案：）设, 对 由余弦定理, 得
，
解出
例二知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.
（１）求此椭圆的离心率；
答案：设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的
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