二次函数解答题专项练习（含解析）
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2024初三二次函数解答题专项练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、作图题
1．（2023·广东深圳·校考二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)①点的限变点的坐标是________；
②以下三个选项中的点是反比例函数图象上某一个点的限变点的是（ ）
A． B． C．
(2)若点P在一次函数的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象点Q的纵坐标的取值范围为________．
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数的图象上，其限变点Q的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求s关于t的函数解析式．
2．（2023·深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当时函数图象位于轴下方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．
… 4 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line 16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运站至田心站）．
数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
(1)【建立模型】
①收集数据：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 …
s（米） 400 324 256 196 144 100 64 36 …
②绘制图象：
在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接．
③猜想模型：
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．（请填写选项）
A．一次 B．二次 C．反比例
④求解析式：
请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）．
⑤验证结论：
将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们 满足该函数解析式．（填“都”或“不都”）
(2)【问题解决】
地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下．
(3)【拓展应用】
已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；
停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；
出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．
数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是 米．
4．（2023·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．
(1)已知点、点，则 ， ．
(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．
5．（2023·广东深圳·校联考二模）（一）、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．
（二）、问题解决：
（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．
（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．
… 0 1 2 3 4 …
… 8 0 3 8 …
（三）、拓展提升
（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
6．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：与直线l：的交点坐标；
(3)已知P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围．
7．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．
8．（2023·广东深圳·校联考一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值；______，______，______；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集为______．
9．（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
二、问答题
10．（2023·广东深圳·统考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；
①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；
【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．
11．（2023·广东深圳·统考二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
12．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
13．（2022·广东深圳·校考二模）已知抛物线（m为常数，且）．
(1)抛物线的对称轴为______；
(2)设直线x＝－1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N，当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为．若，请求出m的值；
(3)如下图，与坐标轴分别交于A、B、C，且B点坐标为，D为BC上方抛物线上一动点，过D点作，轴于点G，交BC于点F，当时，求此时点D的坐标．
14．（2022·广东深圳·统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于米．如图2，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：
(1)直接写出点的坐标是______，抛物线顶点的坐标是______；
(2)求出这条抛物线的函数表达式；
(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．
15．（2022·广东深圳·统考二模）已知抛物线 y ax2 bx2 经过点 A （2，0）．
(1)b＝_____（用含 a 的代数式表示）；
(2)若抛物线 y ax2 bx2 与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．求 a 的值；
(3)在（2）的条件下，当 a 为整数时，记抛物线的顶点为 M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线 OM 上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
16．（2022·广东深圳·统考二模）如图，已知抛物线C：y=x2+bx+c经过点A(0， 4) ，B(4，0)．
(1)求b，c的值；
(2)连结AB，交抛物线C的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线C向左平移m(m>0)个单位得到抛物线C1．过点M作MN∥y轴，交抛物线C1于点N．P是抛物线C1上一点，横坐标为 1，过点P作PE∥x轴，交抛物线C于点E，点E在抛物线C对称轴的右侧．若PE+MN=，求m的值．
17．（2022·广东深圳·校联考二模）如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点A（3，-1），点C（0，-4）顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接BC．
(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
18．（2022·广东深圳·统考二模）如图，直线与x轴交于点A，与抛物线交于抛物线的顶点C（1，4），抛物线与x轴的一个交点是点B（3，0），点P是抛物线上的一个动点．
(1)________；点A的坐标是________；抛物线的解析式是________；
(2)如图2，若点P在第一象限，当时，求出点P的坐标；
(3)如图3，CP所在直线交x轴于点D，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标
．
19．（2021·广东深圳·深圳中学校考二模）已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；
（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．
20．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是点关于x轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
21．（2021·广东深圳·统考二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，其对称轴直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段的两端点，都在抛物线上（点在对称轴左侧，点在对称轴右侧），且，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；
（3）如图2，点是直线：上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，确定点的坐标和的值．
22．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点P，使，求点Р的坐标；
（3）如图2，直线交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线上一点，且，求点N的坐标．
23．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，直线：与轴、轴分别交于、两点，二次函数的图像经过点，交轴于点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，经过点作轴的垂线，交直线于点，过点作，垂足为，连接．设点的横坐标为．
①若，求的值．
②如图2，将绕点顺时针旋转得到，且旋转角．当点的对应点落在坐标轴上时，求的值．
24．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线的顶点坐标为（－1，）与y轴交于A（0，3），交直线：x＝－2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点的坐标；
25．（2021·广东深圳·深圳市南山区华侨城中学校考二模）如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧），且与直线 l1：y＝x＋2 交于 A，D 两点，已知 B 点的坐标为（6，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点 B 的直线 l2 与线段 AD 交于点 E，且满足，与抛物线交于另一点 C．
①若点 P 为直线 l2 上方抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上一动点，设点 P 的横坐标为 t，当 t 为何值时，△PEB 的面积最大；
②过 E 点向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F，在抛物线上是否存在一点 N，使得∠NAD＝∠FEB，若 存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线与x轴交于A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）抛物线的表达式是__________，顶点P的坐标为_________；
（2）如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段EF（点E在点F的上方），已知EF＝1，当|EC－BF|的值最大时，求四边形EFBC的面积．
（3）如图3，沿射线AC方向或相反方向平移抛物线，平移过程中，A，C两点的对应点分别记为M，N，抛物线顶点P的对应点记为点P`，在平移过程中，是否存在以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，若存在，请求出此时平移后的抛物线顶点P`的坐标；若不存在，请简要说明理由．
27．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
28．（2020·广东深圳·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．
①连接CD、CE、BE，当S△BCE＝3S△CDE时，求m的值；
②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．
29．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
30．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
图1 备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
31．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
32．（2021·广东深圳·统考中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
33．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2019·广东深圳·统考中考真题）如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
三、计算题
35．（2023·广东深圳·统考二模）深圳地铁是深圳市的城市轨道交通系统．截至2022年12月28日，深圳地铁运营里程为547.12千米(如图1)．其中深圳地铁6号线是经过光明区的第一条地铁线，于2020年8月18日开通运营．小颖同学乘坐6号线从红花山站去公明广场站，她了解到列车车头从距离停车线256米处开始减速，可恰好停在停车线上．她想知道列车从减速开始经过多长时间停下来．
为了解决这个问题，小颖通过建立函数模型来描述列车车头离停车线的距离S(米)与滑行时间t(秒)之间的关系，再用函数的知识解决问题．她收集了部分数据并制成如下表格：
t(秒) 0 4 8 12 16 20 24 …
S(米) 256 196 144 100 64 36 16 …
(1)①根据小颖收集的数据，在图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线依次连接；
②观察这条曲线联形状，它可能是我们学习过的( )的图象：
A.一次函数 B.二次函数 C.反比例函数
(2)求出你所画的函数图象的表达式(需写出必要的解答过程)；
(3)计算：列车从减速开始经过________秒后列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．
参考答案：
1．(1)①；②B
(2)图象见解析，
(3)
【分析】（1）①由题意知，，中，则，进而可得限变点坐标；
②分别求出各选项点坐标的限变点，然后代入反比例函数中进行判断即可；
（2）由题意知，Q的函数表达式为，然后在坐标系中画函数图象，进而可确定的取值范围；
（3）根据限变点的定义进行分情况求解：若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；当时，的值小于，即，进而可得．
【详解】（1）①解：，
∵，
∴，
∴点的限变点的坐标是，
故答案为：；
②解：由题意知，的限变点坐标为；
的限变点坐标为；
的限变点坐标为；
将代入得，，则不在反比例函数图象上，故A不符合要求； 在反比例函数图象上，故B符合要求；
将代入得，，则不在反比例函数图象上，故C不符合要求；
故选：B；
（2）解：由题意知，Q的函数表达式为，画图象如下：
由图象可得，的取值范围为；
故答案为：；
（3）解：由题意知，分情况求解：
若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；
若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；
当时，的值小于，即，
∴，
∴s关于t的函数解析式为．
【点睛】本题考查了新定义下的一次函数图象与性质、反比例函数、二次函数的图象与性质．解题的关键在于理解题意并数形结合．
2．(1)①，③
(2)
(3)①全体实数；；②见解析；③或或
【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；
（2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；
（3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．
【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；
故答案为：①，③
（2）解：，
设，解得：，，
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当时函数图象位于轴上方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：；
（3）解：①自变量的取值范围是全体实数；
当时，，即
列表；
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
故答案为：全体实数；；
②描点，连线，函数图象如图：
③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即．
一元二次不等式的解集为：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
3．(1)③B，④，⑤都
(2)40
(3)
【分析】（1）③根据图象可判断是二次函数； ④利用待定系数法求出二次函数解析式； ⑤把其他数值代入进行验证即可；
（2）把代入可得t的值，
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；当时，，可得此时站内长度为：（米），在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，可得当时，，从而可得答案．
【详解】（1）解：③根据图象可得：观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象．
故选B；
④设函数为，把，，代入可得：
，解得：，
∴；
⑤当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：都
（2）∵，
∴；
∴地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；
故答案为：40
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；
∴当时，，
∴此时站内长度为：（米），
∵在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，
∴当时，，
∴整个站的长度为：（米）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
4．(1)4，4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据点到轴的距离是0，到轴的距离是4，可得；然后根据点到轴的距离是1，到轴的距离是3，求出的值是多少即可；
（2）首先设点的坐标是，然后根据，可得，据此求出点运动所形成的图形即可；
（3）首先作于点，轴于点，交于点，设点的坐标为，其中，则，然后判断出点的坐标，以及，的大小，再判断出，即可判断出，据此求出；最后求出的值，根据二次函数最值的求法，求出当取最大值时点的坐标即可．
【详解】（1）解：点到轴的距离是0，到轴的距离是4，
，
点到轴的距离是1，到轴的距离是3，
．
综上，可得，．
故答案为：4；4；
（2）解：设点的坐标是，
，
，
点运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：如图4，作于点，轴于点，交于点，
，
把代入，得
．
解得．
设点的坐标为，其中，
则，
点的坐标为，，
，．
∵，
．
，
．
，
当时，取得最大值．
此时，点的坐标为．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
5．（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，
【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；
（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，
由可得，当时，，当时，，
点关于对称的点的坐标为
设一次函数共根点为的共根函数为，
则
解得：
∴一次函数共根点为的共根函数为；
故答案为：．
（2）解：如图所示，根据对称性可得
列表如下，
描点，连线如图所示，
将向右平移1个单位得到，
根据图象可知共根轴为，
由，令，解得：
∴这对共根函数的共根点坐标是，
故答案为：，．
（3）根据（2）可知当时，或，
设
∴,
∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，
当为平行四边形时，
则，
根据题意，，
解得：，；
解得：，
如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，
即
解得：
【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．
6．(1)①-3；②见解析；③2或-2，1
(2)(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)
(3)或
【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得的值；
②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；
③根据函数图像直接求解；
（2）分两种情况联立解方程求解即可；
（3）根据函数图象选取函数图象中随增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解
【详解】（1）①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称，
当与的函数值相等，则
故答案为：
②画图如下，
③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值为1；
故答案为：2或-2，1
（2）由，
当时，
解得
当时，
综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；
（3）观察函数图像可知，当以及时，随增大而增大
∵P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上， ，
∴或，
解得，m<-3或0由对称性可知：当m=-2.5，-0.5，1.5时，，
当时，；当时，；当时，；
因此，当时， m的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7．(1)①；②见解析；
(2)①；②；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称，
∴点A的坐标为，即，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
由题意得：，
∴，
∴ ，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴或，
解得m=0，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，
∴设符合条件的抛物线M的解析式为，
∴，
整理得：，
∵抛物线M与有唯一交点，
当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，
此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当时，
，
即，
整理得：，
∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，
∴当m取任意实数时，上述等式成立，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
8．(1)，3，4
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解：由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，
解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；
当时，；
∴，，，
故答案为：，3，4；
（2）解：通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）解：要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满足条件，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
9．(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
10．【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】
【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；
【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．
【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线关于轴的矢高是4，
当时，，
解得：，
∴点，
∴跨径是，
∴矢跨比是；
故答案为：4；4；1
②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，
∴抛物线经过点的矢高是，
∵与抛物线开口方向与大小一样，
∴可设该抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：（舍去）或3，
∴该抛物线解析式为，
当时，，
解得：或2，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为，
∴该抛物线的跨径是，
∴它关于轴的矢跨比是；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，
∴第一条抛物线的解析式为，
对于，顶点坐标为，
当时，，
∴第二条抛物线的跨径是，
对于，
当时，，
∴第一条抛物线的跨径是，
∵，
∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；
故答案为：
【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，
∴主跨的矢高是米，
根据题意得：，
解得：，
∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，
∴边跨的矢高是米，
∴边跨的矢跨比是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为，求解即可;
【知识迁移】由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
【理解应用】由二次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
当时，无论值如何变化，
故二次函数必过定点，．
所以二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是，落在轴正半轴的定点的坐标是；
故答案为：，．
【知识迁移】由题意得
∴，
由上一小题得：，
作轴交直线于点，作轴交直线于点，则，，，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则，，，
，
，
∵，，
即
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．
12．(1)原计划每天修20米
(2)①；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：
解得：或
经检验，是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：
设抛物线的函数表达式为
由题意可得：，解得：
所以抛物线的函数表达式为
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令时，，
∴货车安全行驶装货的最大高度为（米）．
③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令，则有：，解得：（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
13．(1)直线x＝1
(2)
(3)D的坐标为
【分析】（1）根据对称轴的公式可直接得出结论；
（2）令x＝ 1，可求出y的值，得出点M（ 1，3m＋2），N（ 1，0）；令y＝3m＋2，可得出x的值，进而可得出M′的坐标，分两类，列出关于m的方程，可求出m的值；
（3）先求出函数解析式，从而得，，根据题意得．过E作于点H，设，则，，结合面积相等可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线：，
故答案为：直线x＝1；
（2）当时，则，，，
∴，，
若，则，解得（不合题意，舍去）；
当时，如图，，，
若，则，解得；
综上，若，则．
（3）∵过，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
过E作于点H，设，则，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴将代入抛物线的解析式得，
∴D的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，解直角三角形．关键是设出参数，并根据题意列出方程．
14．(1),；
(2)
(3)3米
【分析】（1）直接根据题意以及图形可知点A、点P的坐标．
（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．
（3）由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，将代入函数解析式中表示出，进而根据“最小空隙不少于米”可求解出答案．
【详解】（1）解：由题意可知：
点的坐标是，抛物线顶点的坐标
（2）解：法1：∵顶点坐标
∴设（）
又∵图象经过，∴，
∴，
∴这条抛物线的函数表达式为，即；
法2：∵抛物线与轴两交点分别为和
∴设（）
又∵图象经过，∴，
∴
∴这条抛物线的函数表达式为，即；
（3）解：通过隧道车辆的高度不能超过3米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，
此时，，
此时，，
由题意，，
所以，．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应起来是解决本题的关键．
15．(1)2a＋1；
(2)或﹣1；
(3)y＝或y＝
【分析】（1）把 A 点坐标代入抛物线的解析式便可得结果；
（2）求出 B 点的所有坐标，再将 A 、B 点坐标代入抛物线的解析式列出方程组解答便可；
（3）根据题意求得原拋物线的解析式及顶点 M 的坐标，再用待定系数法求出 OM 的解析式，设出新抛物线的解析式，代入原点坐标便可求得结果．
【详解】（1）解：把A （2，0）代入y ax2 bx2得
4a－2b＋2＝0，
整理得 b＝2a＋1
故答案为：2a＋1
（2）解：∵ 抛物线 y ax2 bx2 经过点 A （2，0），与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．
∴ 点B的坐标为（﹣5，0）或（1，0）
当点B的坐标为（﹣5，0）时，有
解得
当B点坐标为（1，0）时，有
解得
综上，a＝或﹣1
（3）解：在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1
∴抛物线的解析式为y＝＝
∴顶点M的坐标为（，）
设直线OM的解析式为y＝mx
则＝m
解得m＝
∴直线OM的解析式为y＝x，
∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，
∴可设新抛物线的顶点的坐标为（t，t）
∴平移后的抛物线的解析式为y＝
∵平移后的抛物线经过原点（0，0）
∴0＝
解得t＝0或
∴平移后的抛物线的解析式为y＝或y＝
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．(1)﹣3；﹣4
(2)①；②1或
【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+t（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x=，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是，P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），分三种情况，（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P及右侧，（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN=列出方程可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，﹣4）和点B（4，0），
∴， 解得：，
∴b，c的值分别为﹣3，﹣4；
（2）解：①设直线AB的解析式为y＝kx+t，(k≠0)，
把A（0，﹣4），B（4，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣4
由（1）得，抛物线C的对称轴是直线x＝，
当x＝时，y＝x﹣4=﹣4=，
∴点M的坐标是；
②设抛物线C1的表达式为y＝（x﹣+m）2﹣，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是，且M、N不能重合
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），
设PE交抛物线C1于另一点Q，
∵抛物线C1的对称轴是直线x＝﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（4﹣2m，m2﹣5m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M下方，即0＜m＜时，
∴PQ＝4﹣2m﹣（﹣1）＝5﹣2m，MN＝﹣（m2﹣）＝﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝5﹣2m+m＝5﹣m，
∵PE+MN＝，
∴5﹣m+﹣m2＝，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，
即＜m＜时，
PE＝5﹣m，MN＝m2﹣，
∵PE+MN＝，
∴5﹣m+ m2﹣ ＝，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，
即m＞时，PE＝m，MN＝m2﹣，
∵PE+MN＝，
∴m+ m2﹣＝，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
17．(1)，M（1，-5）
(2)
(3)P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）
【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【详解】（1）把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为， 配方得，
∴点M的坐标为（1，-5）；
（2）设直线AC解析式为，
把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F，
把代入直线AC解析式，得：，
∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1），
∴，
解得：；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，-5）
∵MG=1，，
∴， 把代入直线AC解析式，得：，
解得，
则点N坐标为（﹣1，-5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有△PCM∽△BDC，则有，
将代入二次函数解析式，得：，
解得：或，
又点A（3，-1），
∴点B（-1，-1），
∵BD=1，CD=3，
∴，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，，
∴，
把代入直线AC解析式，得：，
∴P1（，）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，
∴P2（，）；
②若有△PCM∽△CDB，则有，
∴，
∴，
若点P在y轴右侧，把x=3代入，解得，
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入，解得，
∴P3（3，-1）；P4（﹣3，-7）．
综上所述，所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、相似三角形的判定及其性质，其中题（3）要注意利用分类思想去求解，避免遗漏．
18．(1)，，；
(2)P是；
(3)，，．
【分析】（1）将C点坐标代入AC直线解析式即可求出m的值，并确定AC直线解析式，然后令y=0，即可求出A点坐标，设抛物线顶点式，将B、C两点代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出AC的长度，通过面积相等可以得到点P在∠BAC的角平分线上，利用等腰三角形的三线合一，得到直线AP经过BC的中点，由此可求出AP所在直线解析式，通过与抛物线解析式联立即可求出P点坐标；
（3）分类讨论，根据△ACD为等腰三角形，先确定D点坐标，然后求出直线CD解析式，再与抛物线解析式联立，从而求出P点的坐标．
【详解】（1）解：将C（1，4）代入中，解得；
直线AC的解析式为，
令，解得，
；
∵抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，将B（3，0）代入解得，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：；；；
（2）解：由、可得（两点间距离公式），
连接BC，则△ABC为等腰三角形，
又∵，∴点P在∠BAC的角平分线上，
如图，取BC的中点E，连接AE并延长与抛物线的交点即为所求P点，
由、可得，
设直线AE的解析式为，将、代入得
，解得，
∴直线AE是：，
联立，
解得点P．
（3）解：①当时，即，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
②当时，此时A、D两点关于抛物线的对称轴对称，，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
③当时，
设，即，
解得，则，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，解题的关键是能够将函数问题转化为方程问题，要能够灵活运用待定系数法求解析式，两点间距离公式等知识解决问题．
19．（1）；（2）的值为45°；（3）的周长的最小值为
【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）由中点公式可得：点，则，则，进而求解；
（3）设点，则，则，而，即，进而求解．
【详解】解：（1）将点代入得：，解得，
；
（2）由题意得：
解得：或，
结合题意可得：
顶点 而
，故，
连接并延长至点，使，
则是的中垂线，连接交轴于点，
由中点公式可得：点，则，
则，
设为：
则，
解得：，
所以直线的函数表达式为：，故点，
在中，，，，
过点作与点，设：，则，
则，
解得：，则，故，
即：；
（3）作直线，交轴于点，过点作直线交于点，连接，
则点，设点，
则，
则，而，即，
而（点位于点时取等号），
故的最小值为，而，
故周长的最小值为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），关键在于确定，本题难度很大．
20．（1）；（2）的值是一个定值，这个定值为；（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式．
（2）分别过点、作，，垂足分别为、，分别过点、作轴，轴，与分别交于、．由所作辅助线易证∽，即得出．由三角形面积公式可推出．再由题意可求出直线为：．有可求出，，，，即求出，．即．
（3）连接，根据各点坐标易证，，即证明∽，得出．从而由三角形外角性质可间接证明．由，即得出，即，再利用三角函数可说明，，即点在轴的上方．过点作轴于点，过点作交于点S，过点S作轴于点．由所作辅助线易得≌，即得出，．直线为：．故可设，则，，即可求出，代入直线解析式，解出，即可求出N点坐标．
【详解】（1）解：由已知得：，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，分别过点、作，，垂足分别为、，分别过点、作轴，轴，与分别交于、．
根据所作辅助线可知∽，
∴．
∵，，
∴．
∵直线过点，
∴，解得：，
∴直线为：．
抛物线改为顶点式为，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴，
∴
对于，当时，，
∴，
∴
∴．
∴的值是一个定值，这个定值为．
（3）解：连接，
对于抛物线，当时，．
∴．
∵，，
∴，，，
∴， ，，
∴．
∵，．
∴，，
∴∽，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点在轴的上方．
过点作轴于点，过点作交于点S，过点S作轴于点．
∵，
∴，
∴易得≌，
∴，
∵，，
∴直线为：．
设，则，，
∴，代入直线得：，
解得，
∴．
【点睛】本题为二次函数综合题．涉及的知识点有利用待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理逆定理，三角形外角性质，三角形全等的判定和性质，利用三角函数解直角三角形以及一次函数的性质等知识，综合性强，为压轴题，难易程度为困难．能够作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．（1）；（2）四边形最大值为，点的坐标为；（3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时﹐Q（6，-4）、-或（2，4）、或（-6，-4）、．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据当（或）时，四边形面积最大为9，再根据点和点关于直线对称，即可求解；
（3）分AC为边、AC是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
，解得，，
所以抛物线的解析式为.
（2）把代入，得，
所以.
如图1，当（或）时，四边形面积最大，
最大面积为，
此时点和点关于直线对称，又因为，所以点的横坐标为3，
把代入，得，
所以点的坐标为.
（3）设点Q的坐标为（m，km+1），
当AC为边时，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位的得到点C，同样点B（Q）向右平移2个单位向下平移4个单位的得到点Q（B），
即或，解得或，
故点Q的坐标和k分别为（6，-4）、-或（2，4）、1.5；
当AC是对角线时，
由中点公式得，解得，
故点Q的坐标和k分别为（-6，-4）、；
综上，点Q的坐标和k分别为（6，-4）、-或（2，4）、或（-6，-4）、．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（1）；（2）或；（3）或
【分析】（1）直接将A、C两点坐标带入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；
（2）过P作BC的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与B和C两点所构成的三角形面积均等于3，由△MBC面积为3，可以求得M点坐标，再由直线BC解析式，可以求得直线PM的解析式，联立直线PM与抛物线解析式，即可解决；
（3）利用△BCO，可以求得tan∠BCO，从而得到tan∠MAN，接联立抛物线与直线y=x+3，可以求得交点A、M坐标，则N的位置可以分为在AM上方和AM下方，利用M为直角顶点，AM为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线AN的解析式，联立AN与抛物线解析式，从而求得交点N的坐标．
【详解】解：（1）将C（0，3）代入到抛物线解析式中得，c=3，
将B（3，0）代入到抛物线解析式中得，93b3=0，
∴b=2，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x3；
（2）令y=0，则x2+2x3=0，
解得x1=3，x2=1，
∴B（1，0），
∴S△BCO＝OB OC＝，
∵S△BCP=2S△BCO，
∴S△BCP=3，
如图1，过P作PM∥BC交x轴于M，连接MC，则S△MBC=S△BCP=3，
∴MB OC＝3，
∴MB=2，
∴M（1，0），
设直线BC为y=k1x3，
代入点B（1，0）得，k1=3，
∴直线BC为：y=3x3，
则直线PM设为：y=3x+b，
代入点M（1，0）得，b=3，
∴直线PM为：y=3x+3，
联立，
解得，，
∴P（3，12）或（2，3）；
（3）∵直线y=x+3交抛物线于第一象限的点M，
∴联立，
解得，，
∴A（3，0），M（2，5），
在Rt△OBC中，tan∠OCB=，
∴tan∠MAN＝tan∠OCB＝，
①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，
∴∠AGM=∠MHQ=90°，
∴∠AMG+∠GAM=90°，
又AM⊥MQ，
∴∠AMQ=90°，
∴∠AMG+∠HMQ=90°，
∴∠GAM=∠HMQ，
又∠AGM=∠MHQ=90°，
∴△AGM∽△MHQ，
∴，
∵A（3，0），M（2，5），
∴AG=5，GM=5，
∴MH=HQ=，
∴Q（，），
设直线AQ为：y=k2（x+3），
代入点Q，得k2＝，
∴直线AQ为y＝x+，
联立，
化简得，2x2+3x9=0，
解得x=或3（舍去），
当x=时，y=，
∴N（，），
②当N在AM上方时，
同理可得，N（3，12），
∴N（，）或（3，12）．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题，考查了面积问题和角的存在性问题，面积问题，通过构平行线转化，角的存在性问题，利用已知点构造一线三等角相似来求解，数形结合，一定要注意分类讨论．
23．（1）抛物线的表达式为：；（2）①，；②当点的对应点落在坐标轴上时， 的值为，，．
【分析】（1）利用一次函数求出两轴交点坐标，把A点坐标代入抛物线解析式求即可；
（2）①由MD⊥x轴，可得ME∥OC，由CE∥OM，可证四边形OMEC为平行四边形，由OC=ME，列方程解方程即可；
②由勾股定理AB，分两种情况，当点M′在y轴上时，可证四边形NMDC为矩形，利用三角函数比tan∠OAB=tan∠NCM=，得，由DM+ON=3，列方程，当点M′在x轴上时，过M作MH⊥CM′于H，过H作NQ∥x轴，交y轴于N，交DM延长线于Q，tan∠OAB=tan∠NCM=，可证△ONH∽△COM′，可求，ON= ，再证△CNH∽△QHM，可求MQ=，利用yM=ON+MQ列方程求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=-4，当y=0时，，解得x=3
∴A（3，0），B（0，-4），
∵抛物线过点A，
∴解得
∴抛物线的表达式为：；
（2）①∵MD⊥x轴，
∴ME∥OC，
又∵CE∥OM，
∴四边形OMEC为平行四边形，
∴OC=ME，，
∵M（m，），E（m，），
当x=0时，y=3，C（0，3），
∴ME=-（）=，OC=3，
∴整理得，
∴,
∴，；
②∵OA=3，OB=4，由勾股定理AB=，
当点M′在y轴上时，
过M作MN⊥OC于N，
∵MD⊥CD，CD∥x轴，
∴∠NCD=∠D=∠CNM=90°，
∴四边形NMDC为矩形，
∴CD=MN=m， ON=，
∴tan∠OAB=tan∠NCM=，
∴即，
∵DM+ON=3，
∴，
解得；
当点M′在x轴上时，过M作MH⊥CM′于H，过H作NQ∥x轴，交y轴于N，交DM延长线于Q，
∴tan∠OAB=tan∠NCM=，
在Rt△CHM中设CH=3n，HM=4n ，CM′=CM=5n，
∴HM′=5n-3n=2n，
∵NH平行OM′，
∴∠CHN=∠CM′O，∠NCH=∠OCM′，
∴△ONH∽△COM′，
∴，
∴，
∴ON=OC-CN=3-，
∵∠CNH=∠CHM=∠HQM=90°，∠NCH+∠CHN=∠CHN+∠MHQ=90°，
∴∠NCH=∠QHM，
∴△CNH∽△QHM，
∴，
∴，
∴NH=m，
∴MQ=，
∴yM=ON+MQ==，
整理得，
解得，
∴，，
∴当点的对应点落在坐标轴上时， 的值为，，．
【点睛】本题考查待定系数求抛物线解析式，一次函数与两轴交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行线性质，二次函数与一元二次方程，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程的解法，掌握待定系数求抛物线解析式，一次函数与两轴交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行线性质，二次函数与一元二次方程，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程的解法是解题关键．
24．（1）；（2）E(-2,-1)；（3）（-2，1）或（-2，9）
【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，故可设抛物线解析式为顶点式：，代入A点坐标可得，从而可得答案；
（2）数学典型题型“面积问题”，解题突破口：紧盯面积方法；先求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设 再利用面积关系列方程，解方程可得答案；
（3）二次函数典型题型“二次函数与特殊三角形分类讨论题型”，注意分类讨论；①当∠APQ=90°时，即PQ⊥AP，由PQ⊥DE可得AP//DE，可以采用代数方法“两平行线K相等”的方法求解P坐标；②当∠PAQ=90°时，由直线DE的解析式为y=x+1可知∠PED=45°，△PQE是等腰直角三角形，如图构造“一线三垂直模型”，则△NPQ≌△MEQ，且△NPQ、△MEQ均为等腰直角三角形，四边形PEMN是矩形，由Q在直线DE上，设Q(a，a+1)，则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4，则PB=2a；在Rt△PBA中可得，在Rt△PNQ中可得，由两点的距离公式可得，在Rt△PAQ中由可得，从而可得答案．
【详解】解：（1） 抛物线的顶点坐标为
设抛物线解析式为顶点式：，
代入A点坐标：
则抛物线解析式为.
（2）如图1，当时，y=，
∴
令
AB//y轴，
设直线BC的解析式为： 而
，解得： ，
所以直线BC的解析式为：y=，
则联立方程，
解得或 (舍去)，
则D点坐标为（，），
设，则
，
解得，
∴
（3）∵PQ⊥DE，由PQ与AQ不会垂直，
∴当△APQ为直角三角形时，存在以下两种情形：
①当∠APQ=90°时，即PQ⊥AP，如图，
PQ⊥DE，
AP//DE，
同理可得：直线DE的解析式为：y=x+1，
设直线AP的解析式为y=x+b，代入A点坐标得b=3，
则直线AP的解析式为y=x+3，
当时y=1，
∴；
②当∠PAQ=90°时，如图，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，分别交过与轴的平行线于则 则四边形PEMN是矩形，
直线DE的解析式为y=x+1，设
△PQE是等腰直角三角形，
同理可得：△PNQ是等腰直角三角形，
△NPQ≌△MEQ，而Q在直线DE上，
设则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4，
PB=2a；
在Rt△PBA中可得，
在Rt△PNQ中可得,
，
在Rt△PAQ中由
，
解得a=3或a=0(舍去)，
则；
综上所述，当△APQ为直角三角形时，P点坐标为（-2，1）或（-2，9）.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，坐标与图形面积，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，分类讨论思想的掌握是解题的关键．
25．（1）y=-x2+4x+12；（2）①当t=时，△PEB的面积最大；②存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）．
【分析】（1）先求出点A的坐标，利用交点式，即可得出结论；
（2）①先求出点E的坐标，利用面积公式得出△PEB的面积与t的关系，即可得出结论；
②当点N在直线l1下方时，求出tan∠BEF=，过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．判断出点K坐标，进而求出点M的坐标，求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求解，即可得出结论；当点N在直线l1上方时，利用对称性求出点M'的坐标，求出直线AN'的解析式，联立抛物线解析式求解即可得出结论．
【详解】解：（1）针对于直线y=x+2，令y=0，则x+2=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-2，0），B（6，0），
∴抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-6)=-x2+4x+12；
（2）①由题意得，
，
解得，或，
∴点D的坐标为（5，7），
如图1，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EF⊥x轴于F，
∴H（5，0），
∴AH=7，
∵，
∴，
∴HF=1，AF=6，
∴F（4，0），
∴E（4，6），
∵直线l2经过E（4，6），B（6，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b1，
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为y=-3x+18，
设P（t，-t2+4t+12），
过点P作PG∥y轴交l2于G，
则G（t，-3t+18），
∴S△PEB=PG (xB-xE)=(-t2+4t+12+3t-18)(6-4)=-t2+7t-6=-(t-)2+，
∴当t=时，△PEB的面积最大；
②存在，理由：当点N在直线l1下方时，
∵EF⊥x轴，E（4，6），B（6，0），
∴EF=6，BF=2，
在Rt△BEF中，，
如图2，∵直l1的解析式为y=x+2，
∴∠BAD=45°，
过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．
∴∠AKF=90°，
∴∠AFK=45°，
∴AK=FK，
∴KQ=AQ=FQ=3，
∴K（1，3），
∵∠NAD=∠FEB，
∴，
∴，
∴M（2，2），
同理求得直线AN的的解析式为y=x+1，
联立直线AN和抛物线解析式，
解得，或，
∴N（，）；
当点N在直线l1的上方时，
点M（2，2）关于直线y=x+2的对称点M'（0，4），
∴直线AN'的解析式为y=2x+4，
联立直线AN'和抛物线解析式，
解得，或，
∴N'（4，12），即存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，三角形面积的计算方法，构造出几何图形求出点M的坐标是解本题的关键．
26．（1），（－，）；（2）2；（3）存在，P`（，）或（，）．
【分析】（1）代入A、B两点坐标，可得抛物线解析式，再根据抛物线性质求得P点坐标即可；
（2）先证得四边形EFC`C为平行四边形，即可得到最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`，再求出直线BC`的解析式，求得EF两点坐标，再根据即可求得；
（3）对MN的位置进行分情况讨论，再根据相似三角形的性质列出比例式解方程即可．
【详解】（1）代入A、B两点坐标，得
解得
∴抛物线解析式为，顶点P坐标为（－，）．
（2）将点C（0，4）往下平移1个单位，得C`（0，3），连接BC`并延长，交对称轴于点F，将F点往上平移1个单位得到E点，此时|EC－BF|有最大值，
∵CC`//EF且CC`＝EF＝1
∴四边形EFC`C为平行四边形，
∴最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`．
由B（1，0），C`（0，3）可得直线BC`的解析式为y＝－3x＋3，
∴当x＝－时y＝，则F（－，），E（－，），
∴．
（3）存在，由题可知OA＝OC＝4，AB＝5，∠CAO＝45°，MN＝AC＝4，P坐标为（－，）
①当M、N均在x轴上方时，如图2－1，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a＋4，
∴a（a＋4）＝25，
∴a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，则AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往右、往上平移了个单位长度，
∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
②当M、N分别在x轴两侧时，如图2－2，△MAB是钝角三角形，且∠MAB＞∠ANB，此时△ABM与△ABN不相似；
③当M、N均在x轴下方时，如图2－3，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a－4，
∴a（a－4）＝25，解得a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往左、往下平移了个单位长度，、∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
综上所述，当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似时，平移后的抛物线顶点P`的坐标是（，）或（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数性质、相似三角形的判定与性质，第三问的解题关键在于能够对MN进行分情况讨论．
27．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；（3）D（，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；
（2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；
（3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑：
①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，
解得：a＝2，a＝3（舍去），
∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2，
∴a＝ ，a＝﹣ （舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4﹣5），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2，
整理得：a2＝1+（a﹣1）2，
解得a＝1．
∴P（1，0）．
综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴ ，
又∵AC＝ ，
∴AE＝ ，
∵DEBC，设D（m，0），
∴ ，
∴ ，
∴m＝ ，
∴D（，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
28．（1）y＝﹣x2+x+；（2）①，②存在，
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题．
（2）①首先证明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，推出四边形BEDF是平行四边形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），设D（n，n+m），则E[n+1，（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式，解方程组即可解决问题．
②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．由题意直线l经过OM或OM′的中点，构建方程组求出点M，M′的坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．
（2）①如图，
对于y＝﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，
∴C（0，），
∵B（3，0），
∴OC＝，OB＝3，
∴tan∠CBO＝，
∴∠CBO＝30°，
∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），
∴tan∠MNO＝＝，
∴∠NMO＝30°＝∠CBO，
∴l∥BC，
∵S△BCE＝3S△CDE，
∴BC＝3DE，
∴直线l应该在BC的上方，
在BC上取一点F，使得BC＝3BF，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，
∴F（2，），
设D（n，n+m），则E[n+1，﹣（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式得到：
，
解得：，
∴m的值为．
②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．
则直线OM的解析式为y＝x，
由，
解得：或，
∴M（，），M′（，），
由题意直线l经过OM或OM′的中点，
∴或，
解得：m＝．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，等高模型，轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键．
30．(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；
（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，即，，
，，
又点在直线上，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为；
（3）解：存在点使得，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点 关于对称轴的对称点坐标为，
；
②当时，则有，
直线的解析式，
直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，（舍去），
，
综上，存在点使得，点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
32．（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元
【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，
则，
解得：，
故y与x的函数关系式为： ；
（2）设总销售利润为W，
则有：，
当，销售利润万，
即单价为13万时，最大获利125万元．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．
33．（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0（3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）
∵A(-3,0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ，解得：
∴直线AD的解析式为y=2x+6,
当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t
∵O＇C//OC
∴△ ∽△OM
∴,即，解得：OM=3(1-t)
S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇
=
②当时，完全在四边形AOCD内，
③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，
∵GH//AB
∴,∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴，
∵直线AD的解析式为y=2x+6,
∴
∴ ,
∴,KO＇=2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇= C＇K+AO＇
∴
∴
S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK
=
∴
综上：；
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴=-
∴，即
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．
34．（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．
【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．
35．(1)①见解析；②B
(2)
(3)，
【分析】（1）①根据描点，连线，画出函数图象即可求解；
②观察函数图象即可求解；
（2）待定系数法求二次函数解析式即可求解．
（3）将代入，解方程即可求解；令，即可得出最后一秒钟，列车滑行的距离．
【详解】（1）①描点，连线如图所示，
②是二次函数，故选B
（2）设，将点代入得：
将，代入中，
得：
解得：，
∴；
（3）解：依题意，当时，
解得：，
当时，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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2024初三二次函数解答题专项练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、作图题
1．（2023·广东深圳·校考二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)①点的限变点的坐标是________；
②以下三个选项中的点是反比例函数图象上某一个点的限变点的是（ ）
A． B． C．
(2)若点P在一次函数的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象点Q的纵坐标的取值范围为________．
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数的图象上，其限变点Q的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求s关于t的函数解析式．
2．（2023·深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当时函数图象位于轴下方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．
… 4 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line 16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运站至田心站）．
数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
(1)【建立模型】
①收集数据：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 …
s（米） 400 324 256 196 144 100 64 36 …
②绘制图象：
在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接．
③猜想模型：
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．（请填写选项）
A．一次 B．二次 C．反比例
④求解析式：
请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）．
⑤验证结论：
将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们 满足该函数解析式．（填“都”或“不都”）
(2)【问题解决】
地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下．
(3)【拓展应用】
已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；
停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；
出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．
数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是 米．
4．（2023·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．
(1)已知点、点，则 ， ．
(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．
5．（2023·广东深圳·校联考二模）（一）、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．
（二）、问题解决：
（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．
（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．
… 0 1 2 3 4 …
… 8 0 3 8 …
（三）、拓展提升
（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
6．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：与直线l：的交点坐标；
(3)已知P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围．
7．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．
8．（2023·广东深圳·校联考一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值；______，______，______；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集为______．
9．（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
二、问答题
10．（2023·广东深圳·统考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；
①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；
【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．
11．（2023·广东深圳·统考二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
12．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
13．（2022·广东深圳·校考二模）已知抛物线（m为常数，且）．
(1)抛物线的对称轴为______；
(2)设直线x＝－1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N，当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为．若，请求出m的值；
(3)如下图，与坐标轴分别交于A、B、C，且B点坐标为，D为BC上方抛物线上一动点，过D点作，轴于点G，交BC于点F，当时，求此时点D的坐标．
14．（2022·广东深圳·统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于米．如图2，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：
(1)直接写出点的坐标是______，抛物线顶点的坐标是______；
(2)求出这条抛物线的函数表达式；
(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．
15．（2022·广东深圳·统考二模）已知抛物线 y ax2 bx2 经过点 A （2，0）．
(1)b＝_____（用含 a 的代数式表示）；
(2)若抛物线 y ax2 bx2 与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．求 a 的值；
(3)在（2）的条件下，当 a 为整数时，记抛物线的顶点为 M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线 OM 上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
16．（2022·广东深圳·统考二模）如图，已知抛物线C：y=x2+bx+c经过点A(0， 4) ，B(4，0)．
(1)求b，c的值；
(2)连结AB，交抛物线C的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线C向左平移m(m>0)个单位得到抛物线C1．过点M作MN∥y轴，交抛物线C1于点N．P是抛物线C1上一点，横坐标为 1，过点P作PE∥x轴，交抛物线C于点E，点E在抛物线C对称轴的右侧．若PE+MN=，求m的值．
17．（2022·广东深圳·校联考二模）如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点A（3，-1），点C（0，-4）顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接BC．
(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
18．（2022·广东深圳·统考二模）如图，直线与x轴交于点A，与抛物线交于抛物线的顶点C（1，4），抛物线与x轴的一个交点是点B（3，0），点P是抛物线上的一个动点．
(1)________；点A的坐标是________；抛物线的解析式是________；
(2)如图2，若点P在第一象限，当时，求出点P的坐标；
(3)如图3，CP所在直线交x轴于点D，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标
．
19．（2021·广东深圳·深圳中学校考二模）已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；
（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．
20．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是点关于x轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
21．（2021·广东深圳·统考二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，其对称轴直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段的两端点，都在抛物线上（点在对称轴左侧，点在对称轴右侧），且，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；
（3）如图2，点是直线：上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，确定点的坐标和的值．
22．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点P，使，求点Р的坐标；
（3）如图2，直线交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线上一点，且，求点N的坐标．
23．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，直线：与轴、轴分别交于、两点，二次函数的图像经过点，交轴于点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，经过点作轴的垂线，交直线于点，过点作，垂足为，连接．设点的横坐标为．
①若，求的值．
②如图2，将绕点顺时针旋转得到，且旋转角．当点的对应点落在坐标轴上时，求的值．
24．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线的顶点坐标为（－1，）与y轴交于A（0，3），交直线：x＝－2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点的坐标；
25．（2021·广东深圳·深圳市南山区华侨城中学校考二模）如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧），且与直线 l1：y＝x＋2 交于 A，D 两点，已知 B 点的坐标为（6，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点 B 的直线 l2 与线段 AD 交于点 E，且满足，与抛物线交于另一点 C．
①若点 P 为直线 l2 上方抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上一动点，设点 P 的横坐标为 t，当 t 为何值时，△PEB 的面积最大；
②过 E 点向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F，在抛物线上是否存在一点 N，使得∠NAD＝∠FEB，若 存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2021·广东深圳·统考二模）如图1，已知抛物线与x轴交于A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）抛物线的表达式是__________，顶点P的坐标为_________；
（2）如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段EF（点E在点F的上方），已知EF＝1，当|EC－BF|的值最大时，求四边形EFBC的面积．
（3）如图3，沿射线AC方向或相反方向平移抛物线，平移过程中，A，C两点的对应点分别记为M，N，抛物线顶点P的对应点记为点P`，在平移过程中，是否存在以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，若存在，请求出此时平移后的抛物线顶点P`的坐标；若不存在，请简要说明理由．
27．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
28．（2020·广东深圳·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．
①连接CD、CE、BE，当S△BCE＝3S△CDE时，求m的值；
②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．
29．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
30．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
图1 备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
31．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
32．（2021·广东深圳·统考中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
33．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2019·广东深圳·统考中考真题）如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
三、计算题
35．（2023·广东深圳·统考二模）深圳地铁是深圳市的城市轨道交通系统．截至2022年12月28日，深圳地铁运营里程为547.12千米(如图1)．其中深圳地铁6号线是经过光明区的第一条地铁线，于2020年8月18日开通运营．小颖同学乘坐6号线从红花山站去公明广场站，她了解到列车车头从距离停车线256米处开始减速，可恰好停在停车线上．她想知道列车从减速开始经过多长时间停下来．
为了解决这个问题，小颖通过建立函数模型来描述列车车头离停车线的距离S(米)与滑行时间t(秒)之间的关系，再用函数的知识解决问题．她收集了部分数据并制成如下表格：
t(秒) 0 4 8 12 16 20 24 …
S(米) 256 196 144 100 64 36 16 …
(1)①根据小颖收集的数据，在图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线依次连接；
②观察这条曲线联形状，它可能是我们学习过的( )的图象：
A.一次函数 B.二次函数 C.反比例函数
(2)求出你所画的函数图象的表达式(需写出必要的解答过程)；
(3)计算：列车从减速开始经过________秒后列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．
参考答案：
1．(1)①；②B
(2)图象见解析，
(3)
【分析】（1）①由题意知，，中，则，进而可得限变点坐标；
②分别求出各选项点坐标的限变点，然后代入反比例函数中进行判断即可；
（2）由题意知，Q的函数表达式为，然后在坐标系中画函数图象，进而可确定的取值范围；
（3）根据限变点的定义进行分情况求解：若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；当时，的值小于，即，进而可得．
【详解】（1）①解：，
∵，
∴，
∴点的限变点的坐标是，
故答案为：；
②解：由题意知，的限变点坐标为；
的限变点坐标为；
的限变点坐标为；
将代入得，，则不在反比例函数图象上，故A不符合要求； 在反比例函数图象上，故B符合要求；
将代入得，，则不在反比例函数图象上，故C不符合要求；
故选：B；
（2）解：由题意知，Q的函数表达式为，画图象如下：
由图象可得，的取值范围为；
故答案为：；
（3）解：由题意知，分情况求解：
若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；
若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；
当时，的值小于，即，
∴，
∴s关于t的函数解析式为．
【点睛】本题考查了新定义下的一次函数图象与性质、反比例函数、二次函数的图象与性质．解题的关键在于理解题意并数形结合．
2．(1)①，③
(2)
(3)①全体实数；；②见解析；③或或
【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；
（2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；
（3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．
【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；
故答案为：①，③
（2）解：，
设，解得：，，
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当时函数图象位于轴上方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：；
（3）解：①自变量的取值范围是全体实数；
当时，，即
列表；
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
故答案为：全体实数；；
②描点，连线，函数图象如图：
③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即．
一元二次不等式的解集为：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
3．(1)③B，④，⑤都
(2)40
(3)
【分析】（1）③根据图象可判断是二次函数； ④利用待定系数法求出二次函数解析式； ⑤把其他数值代入进行验证即可；
（2）把代入可得t的值，
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；当时，，可得此时站内长度为：（米），在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，可得当时，，从而可得答案．
【详解】（1）解：③根据图象可得：观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象．
故选B；
④设函数为，把，，代入可得：
，解得：，
∴；
⑤当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：都
（2）∵，
∴；
∴地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；
故答案为：40
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；
∴当时，，
∴此时站内长度为：（米），
∵在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，
∴当时，，
∴整个站的长度为：（米）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
4．(1)4，4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据点到轴的距离是0，到轴的距离是4，可得；然后根据点到轴的距离是1，到轴的距离是3，求出的值是多少即可；
（2）首先设点的坐标是，然后根据，可得，据此求出点运动所形成的图形即可；
（3）首先作于点，轴于点，交于点，设点的坐标为，其中，则，然后判断出点的坐标，以及，的大小，再判断出，即可判断出，据此求出；最后求出的值，根据二次函数最值的求法，求出当取最大值时点的坐标即可．
【详解】（1）解：点到轴的距离是0，到轴的距离是4，
，
点到轴的距离是1，到轴的距离是3，
．
综上，可得，．
故答案为：4；4；
（2）解：设点的坐标是，
，
，
点运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：如图4，作于点，轴于点，交于点，
，
把代入，得
．
解得．
设点的坐标为，其中，
则，
点的坐标为，，
，．
∵，
．
，
．
，
当时，取得最大值．
此时，点的坐标为．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
5．（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，
【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；
（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，
由可得，当时，，当时，，
点关于对称的点的坐标为
设一次函数共根点为的共根函数为，
则
解得：
∴一次函数共根点为的共根函数为；
故答案为：．
（2）解：如图所示，根据对称性可得
列表如下，
描点，连线如图所示，
将向右平移1个单位得到，
根据图象可知共根轴为，
由，令，解得：
∴这对共根函数的共根点坐标是，
故答案为：，．
（3）根据（2）可知当时，或，
设
∴,
∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，
当为平行四边形时，
则，
根据题意，，
解得：，；
解得：，
如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，
即
解得：
【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．
6．(1)①-3；②见解析；③2或-2，1
(2)(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)
(3)或
【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得的值；
②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；
③根据函数图像直接求解；
（2）分两种情况联立解方程求解即可；
（3）根据函数图象选取函数图象中随增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解
【详解】（1）①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称，
当与的函数值相等，则
故答案为：
②画图如下，
③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值为1；
故答案为：2或-2，1
（2）由，
当时，
解得
当时，
综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；
（3）观察函数图像可知，当以及时，随增大而增大
∵P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上， ，
∴或，
解得，m<-3或0
当时，；当时，；当时，；
因此，当时， m的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7．(1)①；②见解析；
(2)①；②；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称，
∴点A的坐标为，即，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
由题意得：，
∴，
∴ ，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴或，
解得m=0，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，
∴设符合条件的抛物线M的解析式为，
∴，
整理得：，
∵抛物线M与有唯一交点，
当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，
此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当时，
，
即，
整理得：，
∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，
∴当m取任意实数时，上述等式成立，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
8．(1)，3，4
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解：由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，
解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；
当时，；
∴，，，
故答案为：，3，4；
（2）解：通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）解：要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满足条件，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
9．(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
10．【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】
【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；
【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．
【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线关于轴的矢高是4，
当时，，
解得：，
∴点，
∴跨径是，
∴矢跨比是；
故答案为：4；4；1
②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，
∴抛物线经过点的矢高是，
∵与抛物线开口方向与大小一样，
∴可设该抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：（舍去）或3，
∴该抛物线解析式为，
当时，，
解得：或2，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为，
∴该抛物线的跨径是，
∴它关于轴的矢跨比是；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，
∴第一条抛物线的解析式为，
对于，顶点坐标为，
当时，，
∴第二条抛物线的跨径是，
对于，
当时，，
∴第一条抛物线的跨径是，
∵，
∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；
故答案为：
【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，
∴主跨的矢高是米，
根据题意得：，
解得：，
∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，
∴边跨的矢高是米，
∴边跨的矢跨比是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为，求解即可;
【知识迁移】由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
【理解应用】由二次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
当时，无论值如何变化，
故二次函数必过定点，．
所以二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是，落在轴正半轴的定点的坐标是；
故答案为：，．
【知识迁移】由题意得
∴，
由上一小题得：，
作轴交直线于点，作轴交直线于点，则，，，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则，，，
，
，
∵，，
即
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．
12．(1)原计划每天修20米
(2)①；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：
解得：或
经检验，是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：
设抛物线的函数表达式为
由题意可得：，解得：
所以抛物线的函数表达式为
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令时，，
∴货车安全行驶装货的最大高度为（米）．
③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令，则有：，解得：（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
13．(1)直线x＝1
(2)
(3)D的坐标为
【分析】（1）根据对称轴的公式可直接得出结论；
（2）令x＝ 1，可求出y的值，得出点M（ 1，3m＋2），N（ 1，0）；令y＝3m＋2，可得出x的值，进而可得出M′的坐标，分两类，列出关于m的方程，可求出m的值；
（3）先求出函数解析式，从而得，，根据题意得．过E作于点H，设，则，，结合面积相等可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线：，
故答案为：直线x＝1；
（2）当时，则，，，
∴，，
若，则，解得（不合题意，舍去）；
当时，如图，，，
若，则，解得；
综上，若，则．
（3）∵过，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
过E作于点H，设，则，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴将代入抛物线的解析式得，
∴D的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，解直角三角形．关键是设出参数，并根据题意列出方程．
14．(1),；
(2)
(3)3米
【分析】（1）直接根据题意以及图形可知点A、点P的坐标．
（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．
（3）由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，将代入函数解析式中表示出，进而根据“最小空隙不少于米”可求解出答案．
【详解】（1）解：由题意可知：
点的坐标是，抛物线顶点的坐标
（2）解：法1：∵顶点坐标
∴设（）
又∵图象经过，∴，
∴，
∴这条抛物线的函数表达式为，即；
法2：∵抛物线与轴两交点分别为和
∴设（）
又∵图象经过，∴，
∴
∴这条抛物线的函数表达式为，即；
（3）解：通过隧道车辆的高度不能超过3米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，
此时，，
此时，，
由题意，，
所以，．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应起来是解决本题的关键．
15．(1)2a＋1；
(2)或﹣1；
(3)y＝或y＝
【分析】（1）把 A 点坐标代入抛物线的解析式便可得结果；
（2）求出 B 点的所有坐标，再将 A 、B 点坐标代入抛物线的解析式列出方程组解答便可；
（3）根据题意求得原拋物线的解析式及顶点 M 的坐标，再用待定系数法求出 OM 的解析式，设出新抛物线的解析式，代入原点坐标便可求得结果．
【详解】（1）解：把A （2，0）代入y ax2 bx2得
4a－2b＋2＝0，
整理得 b＝2a＋1
故答案为：2a＋1
（2）解：∵ 抛物线 y ax2 bx2 经过点 A （2，0），与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．
∴ 点B的坐标为（﹣5，0）或（1，0）
当点B的坐标为（﹣5，0）时，有
解得
当B点坐标为（1，0）时，有
解得
综上，a＝或﹣1
（3）解：在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1
∴抛物线的解析式为y＝＝
∴顶点M的坐标为（，）
设直线OM的解析式为y＝mx
则＝m
解得m＝
∴直线OM的解析式为y＝x，
∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，
∴可设新抛物线的顶点的坐标为（t，t）
∴平移后的抛物线的解析式为y＝
∵平移后的抛物线经过原点（0，0）
∴0＝
解得t＝0或
∴平移后的抛物线的解析式为y＝或y＝
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．(1)﹣3；﹣4
(2)①；②1或
【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+t（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x=，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是，P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），分三种情况，（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P及右侧，（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN=列出方程可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，﹣4）和点B（4，0），
∴， 解得：，
∴b，c的值分别为﹣3，﹣4；
（2）解：①设直线AB的解析式为y＝kx+t，(k≠0)，
把A（0，﹣4），B（4，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣4
由（1）得，抛物线C的对称轴是直线x＝，
当x＝时，y＝x﹣4=﹣4=，
∴点M的坐标是；
②设抛物线C1的表达式为y＝（x﹣+m）2﹣，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是，且M、N不能重合
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），
设PE交抛物线C1于另一点Q，
∵抛物线C1的对称轴是直线x＝﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（4﹣2m，m2﹣5m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M下方，即0＜m＜时，
∴PQ＝4﹣2m﹣（﹣1）＝5﹣2m，MN＝﹣（m2﹣）＝﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝5﹣2m+m＝5﹣m，
∵PE+MN＝，
∴5﹣m+﹣m2＝，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，
即＜m＜时，
PE＝5﹣m，MN＝m2﹣，
∵PE+MN＝，
∴5﹣m+ m2﹣ ＝，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，
即m＞时，PE＝m，MN＝m2﹣，
∵PE+MN＝，
∴m+ m2﹣＝，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
17．(1)，M（1，-5）
(2)
(3)P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）
【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【详解】（1）把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为， 配方得，
∴点M的坐标为（1，-5）；
（2）设直线AC解析式为，
把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F，
把代入直线AC解析式，得：，
∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1），
∴，
解得：；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，-5）
∵MG=1，，
∴， 把代入直线AC解析式，得：，
解得，
则点N坐标为（﹣1，-5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有△PCM∽△BDC，则有，
将代入二次函数解析式，得：，
解得：或，
又点A（3，-1），
∴点B（-1，-1），
∵BD=1，CD=3，
∴，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，，
∴，
把代入直线AC解析式，得：，
∴P1（，）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，
∴P2（，）；
②若有△PCM∽△CDB，则有，
∴，
∴，
若点P在y轴右侧，把x=3代入，解得，
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入，解得，
∴P3（3，-1）；P4（﹣3，-7）．
综上所述，所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、相似三角形的判定及其性质，其中题（3）要注意利用分类思想去求解，避免遗漏．
18．(1)，，；
(2)P是；
(3)，，．
【分析】（1）将C点坐标代入AC直线解析式即可求出m的值，并确定AC直线解析式，然后令y=0，即可求出A点坐标，设抛物线顶点式，将B、C两点代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出AC的长度，通过面积相等可以得到点P在∠BAC的角平分线上，利用等腰三角形的三线合一，得到直线AP经过BC的中点，由此可求出AP所在直线解析式，通过与抛物线解析式联立即可求出P点坐标；
（3）分类讨论，根据△ACD为等腰三角形，先确定D点坐标，然后求出直线CD解析式，再与抛物线解析式联立，从而求出P点的坐标．
【详解】（1）解：将C（1，4）代入中，解得；
直线AC的解析式为，
令，解得，
；
∵抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，将B（3，0）代入解得，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：；；；
（2）解：由、可得（两点间距离公式），
连接BC，则△ABC为等腰三角形，
又∵，∴点P在∠BAC的角平分线上，
如图，取BC的中点E，连接AE并延长与抛物线的交点即为所求P点，
由、可得，
设直线AE的解析式为，将、代入得
，解得，
∴直线AE是：，
联立，
解得点P．
（3）解：①当时，即，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
②当时，此时A、D两点关于抛物线的对称轴对称，，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
③当时，
设，即，
解得，则，
由、可得直线CD解析式为：，
联立，解得；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，解题的关键是能够将函数问题转化为方程问题，要能够灵活运用待定系数法求解析式，两点间距离公式等知识解决问题．
19．（1）；（2）的值为45°；（3）的周长的最小值为
【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）由中点公式可得：点，则，则，进而求解；
（3）设点，则，则，而，即，进而求解．
【详解】解：（1）将点代入得：，解得，
；
（2）由题意得：
解得：或，
结合题意可得：
顶点 而
，故，
连接并延长至点，使，
则是的中垂线，连接交轴于点，
由中点公式可得：点，则，
则，
设为：
则，
解得：，
所以直线的函数表达式为：，故点，
在中，，，，
过点作与点，设：，则，
则，
解得：，则，故，
即：；
（3）作直线，交轴于点，过点作直线交于点，连接，
则点，设点，
则，
则，而，即，
而（点位于点时取等号），
故的最小值为，而，
故周长的最小值为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），关键在于确定，本题难度很大．
20．（1）；（2）的值是一个定值，这个定值为；（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式．
（2）分别过点、作，，垂足分别为、，分别过点、作轴，轴，与分别交于、．由所作辅助线易证∽，即得出．由三角形面积公式可推出．再由题意可求出直线为：．有可求出，，，，即求出，．即．
（3）连接，根据各点坐标易证，，即证明∽，得出．从而由三角形外角性质可间接证明．由，即得出，即，再利用三角函数可说明，，即点在轴的上方．过点作轴于点，过点作交于点S，过点S作轴于点．由所作辅助线易得≌，即得出，．直线为：．故可设，则，，即可求出，代入直线解析式，解出，即可求出N点坐标．
【详解】（1）解：由已知得：，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，分别过点、作，，垂足分别为、，分别过点、作轴，轴，与分别交于、．
根据所作辅助线可知∽，
∴．
∵，，
∴．
∵直线过点，
∴，解得：，
∴直线为：．
抛物线改为顶点式为，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴，
∴
对于，当时，，
∴，
∴
∴．
∴的值是一个定值，这个定值为．
（3）解：连接，
对于抛物线，当时，．
∴．
∵，，
∴，，，
∴， ，，
∴．
∵，．
∴，，
∴∽，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点在轴的上方．
过点作轴于点，过点作交于点S，过点S作轴于点．
∵，
∴，
∴易得≌，
∴，
∵，，
∴直线为：．
设，则，，
∴，代入直线得：，
解得，
∴．
【点睛】本题为二次函数综合题．涉及的知识点有利用待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理逆定理，三角形外角性质，三角形全等的判定和性质，利用三角函数解直角三角形以及一次函数的性质等知识，综合性强，为压轴题，难易程度为困难．能够作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．（1）；（2）四边形最大值为，点的坐标为；（3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时﹐Q（6，-4）、-或（2，4）、或（-6，-4）、．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据当（或）时，四边形面积最大为9，再根据点和点关于直线对称，即可求解；
（3）分AC为边、AC是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
，解得，，
所以抛物线的解析式为.
（2）把代入，得，
所以.
如图1，当（或）时，四边形面积最大，
最大面积为，
此时点和点关于直线对称，又因为，所以点的横坐标为3，
把代入，得，
所以点的坐标为.
（3）设点Q的坐标为（m，km+1），
当AC为边时，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位的得到点C，同样点B（Q）向右平移2个单位向下平移4个单位的得到点Q（B），
即或，解得或，
故点Q的坐标和k分别为（6，-4）、-或（2，4）、1.5；
当AC是对角线时，
由中点公式得，解得，
故点Q的坐标和k分别为（-6，-4）、；
综上，点Q的坐标和k分别为（6，-4）、-或（2，4）、或（-6，-4）、．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（1）；（2）或；（3）或
【分析】（1）直接将A、C两点坐标带入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；
（2）过P作BC的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与B和C两点所构成的三角形面积均等于3，由△MBC面积为3，可以求得M点坐标，再由直线BC解析式，可以求得直线PM的解析式，联立直线PM与抛物线解析式，即可解决；
（3）利用△BCO，可以求得tan∠BCO，从而得到tan∠MAN，接联立抛物线与直线y=x+3，可以求得交点A、M坐标，则N的位置可以分为在AM上方和AM下方，利用M为直角顶点，AM为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线AN的解析式，联立AN与抛物线解析式，从而求得交点N的坐标．
【详解】解：（1）将C（0，3）代入到抛物线解析式中得，c=3，
将B（3，0）代入到抛物线解析式中得，93b3=0，
∴b=2，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x3；
（2）令y=0，则x2+2x3=0，
解得x1=3，x2=1，
∴B（1，0），
∴S△BCO＝OB OC＝，
∵S△BCP=2S△BCO，
∴S△BCP=3，
如图1，过P作PM∥BC交x轴于M，连接MC，则S△MBC=S△BCP=3，
∴MB OC＝3，
∴MB=2，
∴M（1，0），
设直线BC为y=k1x3，
代入点B（1，0）得，k1=3，
∴直线BC为：y=3x3，
则直线PM设为：y=3x+b，
代入点M（1，0）得，b=3，
∴直线PM为：y=3x+3，
联立，
解得，，
∴P（3，12）或（2，3）；
（3）∵直线y=x+3交抛物线于第一象限的点M，
∴联立，
解得，，
∴A（3，0），M（2，5），
在Rt△OBC中，tan∠OCB=，
∴tan∠MAN＝tan∠OCB＝，
①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，
∴∠AGM=∠MHQ=90°，
∴∠AMG+∠GAM=90°，
又AM⊥MQ，
∴∠AMQ=90°，
∴∠AMG+∠HMQ=90°，
∴∠GAM=∠HMQ，
又∠AGM=∠MHQ=90°，
∴△AGM∽△MHQ，
∴，
∵A（3，0），M（2，5），
∴AG=5，GM=5，
∴MH=HQ=，
∴Q（，），
设直线AQ为：y=k2（x+3），
代入点Q，得k2＝，
∴直线AQ为y＝x+，
联立，
化简得，2x2+3x9=0，
解得x=或3（舍去），
当x=时，y=，
∴N（，），
②当N在AM上方时，
同理可得，N（3，12），
∴N（，）或（3，12）．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题，考查了面积问题和角的存在性问题，面积问题，通过构平行线转化，角的存在性问题，利用已知点构造一线三等角相似来求解，数形结合，一定要注意分类讨论．
23．（1）抛物线的表达式为：；（2）①，；②当点的对应点落在坐标轴上时， 的值为，，．
【分析】（1）利用一次函数求出两轴交点坐标，把A点坐标代入抛物线解析式求即可；
（2）①由MD⊥x轴，可得ME∥OC，由CE∥OM，可证四边形OMEC为平行四边形，由OC=ME，列方程解方程即可；
②由勾股定理AB，分两种情况，当点M′在y轴上时，可证四边形NMDC为矩形，利用三角函数比tan∠OAB=tan∠NCM=，得，由DM+ON=3，列方程，当点M′在x轴上时，过M作MH⊥CM′于H，过H作NQ∥x轴，交y轴于N，交DM延长线于Q，tan∠OAB=tan∠NCM=，可证△ONH∽△COM′，可求，ON= ，再证△CNH∽△QHM，可求MQ=，利用yM=ON+MQ列方程求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=-4，当y=0时，，解得x=3
∴A（3，0），B（0，-4），
∵抛物线过点A，
∴解得
∴抛物线的表达式为：；
（2）①∵MD⊥x轴，
∴ME∥OC，
又∵CE∥OM，
∴四边形OMEC为平行四边形，
∴OC=ME，，
∵M（m，），E（m，），
当x=0时，y=3，C（0，3），
∴ME=-（）=，OC=3，
∴整理得，
∴,
∴，；
②∵OA=3，OB=4，由勾股定理AB=，
当点M′在y轴上时，
过M作MN⊥OC于N，
∵MD⊥CD，CD∥x轴，
∴∠NCD=∠D=∠CNM=90°，
∴四边形NMDC为矩形，
∴CD=MN=m， ON=，
∴tan∠OAB=tan∠NCM=，
∴即，
∵DM+ON=3，
∴，
解得；
当点M′在x轴上时，过M作MH⊥CM′于H，过H作NQ∥x轴，交y轴于N，交DM延长线于Q，
∴tan∠OAB=tan∠NCM=，
在Rt△CHM中设CH=3n，HM=4n ，CM′=CM=5n，
∴HM′=5n-3n=2n，
∵NH平行OM′，
∴∠CHN=∠CM′O，∠NCH=∠OCM′，
∴△ONH∽△COM′，
∴，
∴，
∴ON=OC-CN=3-，
∵∠CNH=∠CHM=∠HQM=90°，∠NCH+∠CHN=∠CHN+∠MHQ=90°，
∴∠NCH=∠QHM，
∴△CNH∽△QHM，
∴，
∴，
∴NH=m，
∴MQ=，
∴yM=ON+MQ==，
整理得，
解得，
∴，，
∴当点的对应点落在坐标轴上时， 的值为，，．
【点睛】本题考查待定系数求抛物线解析式，一次函数与两轴交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行线性质，二次函数与一元二次方程，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程的解法，掌握待定系数求抛物线解析式，一次函数与两轴交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行线性质，二次函数与一元二次方程，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程的解法是解题关键．
24．（1）；（2）E(-2,-1)；（3）（-2，1）或（-2，9）
【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，故可设抛物线解析式为顶点式：，代入A点坐标可得，从而可得答案；
（2）数学典型题型“面积问题”，解题突破口：紧盯面积方法；先求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设 再利用面积关系列方程，解方程可得答案；
（3）二次函数典型题型“二次函数与特殊三角形分类讨论题型”，注意分类讨论；①当∠APQ=90°时，即PQ⊥AP，由PQ⊥DE可得AP//DE，可以采用代数方法“两平行线K相等”的方法求解P坐标；②当∠PAQ=90°时，由直线DE的解析式为y=x+1可知∠PED=45°，△PQE是等腰直角三角形，如图构造“一线三垂直模型”，则△NPQ≌△MEQ，且△NPQ、△MEQ均为等腰直角三角形，四边形PEMN是矩形，由Q在直线DE上，设Q(a，a+1)，则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4，则PB=2a；在Rt△PBA中可得，在Rt△PNQ中可得，由两点的距离公式可得，在Rt△PAQ中由可得，从而可得答案．
【详解】解：（1） 抛物线的顶点坐标为
设抛物线解析式为顶点式：，
代入A点坐标：
则抛物线解析式为.
（2）如图1，当时，y=，
∴
令
AB//y轴，
设直线BC的解析式为： 而
，解得： ，
所以直线BC的解析式为：y=，
则联立方程，
解得或 (舍去)，
则D点坐标为（，），
设，则
，
解得，
∴
（3）∵PQ⊥DE，由PQ与AQ不会垂直，
∴当△APQ为直角三角形时，存在以下两种情形：
①当∠APQ=90°时，即PQ⊥AP，如图，
PQ⊥DE，
AP//DE，
同理可得：直线DE的解析式为：y=x+1，
设直线AP的解析式为y=x+b，代入A点坐标得b=3，
则直线AP的解析式为y=x+3，
当时y=1，
∴；
②当∠PAQ=90°时，如图，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，分别交过与轴的平行线于则 则四边形PEMN是矩形，
直线DE的解析式为y=x+1，设
△PQE是等腰直角三角形，
同理可得：△PNQ是等腰直角三角形，
△NPQ≌△MEQ，而Q在直线DE上，
设则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4，
PB=2a；
在Rt△PBA中可得，
在Rt△PNQ中可得,
，
在Rt△PAQ中由
，
解得a=3或a=0(舍去)，
则；
综上所述，当△APQ为直角三角形时，P点坐标为（-2，1）或（-2，9）.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，坐标与图形面积，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，分类讨论思想的掌握是解题的关键．
25．（1）y=-x2+4x+12；（2）①当t=时，△PEB的面积最大；②存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）．
【分析】（1）先求出点A的坐标，利用交点式，即可得出结论；
（2）①先求出点E的坐标，利用面积公式得出△PEB的面积与t的关系，即可得出结论；
②当点N在直线l1下方时，求出tan∠BEF=，过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．判断出点K坐标，进而求出点M的坐标，求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求解，即可得出结论；当点N在直线l1上方时，利用对称性求出点M'的坐标，求出直线AN'的解析式，联立抛物线解析式求解即可得出结论．
【详解】解：（1）针对于直线y=x+2，令y=0，则x+2=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-2，0），B（6，0），
∴抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-6)=-x2+4x+12；
（2）①由题意得，
，
解得，或，
∴点D的坐标为（5，7），
如图1，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EF⊥x轴于F，
∴H（5，0），
∴AH=7，
∵，
∴，
∴HF=1，AF=6，
∴F（4，0），
∴E（4，6），
∵直线l2经过E（4，6），B（6，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b1，
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为y=-3x+18，
设P（t，-t2+4t+12），
过点P作PG∥y轴交l2于G，
则G（t，-3t+18），
∴S△PEB=PG (xB-xE)=(-t2+4t+12+3t-18)(6-4)=-t2+7t-6=-(t-)2+，
∴当t=时，△PEB的面积最大；
②存在，理由：当点N在直线l1下方时，
∵EF⊥x轴，E（4，6），B（6，0），
∴EF=6，BF=2，
在Rt△BEF中，，
如图2，∵直l1的解析式为y=x+2，
∴∠BAD=45°，
过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．
∴∠AKF=90°，
∴∠AFK=45°，
∴AK=FK，
∴KQ=AQ=FQ=3，
∴K（1，3），
∵∠NAD=∠FEB，
∴，
∴，
∴M（2，2），
同理求得直线AN的的解析式为y=x+1，
联立直线AN和抛物线解析式，
解得，或，
∴N（，）；
当点N在直线l1的上方时，
点M（2，2）关于直线y=x+2的对称点M'（0，4），
∴直线AN'的解析式为y=2x+4，
联立直线AN'和抛物线解析式，
解得，或，
∴N'（4，12），即存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，三角形面积的计算方法，构造出几何图形求出点M的坐标是解本题的关键．
26．（1），（－，）；（2）2；（3）存在，P`（，）或（，）．
【分析】（1）代入A、B两点坐标，可得抛物线解析式，再根据抛物线性质求得P点坐标即可；
（2）先证得四边形EFC`C为平行四边形，即可得到最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`，再求出直线BC`的解析式，求得EF两点坐标，再根据即可求得；
（3）对MN的位置进行分情况讨论，再根据相似三角形的性质列出比例式解方程即可．
【详解】（1）代入A、B两点坐标，得
解得
∴抛物线解析式为，顶点P坐标为（－，）．
（2）将点C（0，4）往下平移1个单位，得C`（0，3），连接BC`并延长，交对称轴于点F，将F点往上平移1个单位得到E点，此时|EC－BF|有最大值，
∵CC`//EF且CC`＝EF＝1
∴四边形EFC`C为平行四边形，
∴最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`．
由B（1，0），C`（0，3）可得直线BC`的解析式为y＝－3x＋3，
∴当x＝－时y＝，则F（－，），E（－，），
∴．
（3）存在，由题可知OA＝OC＝4，AB＝5，∠CAO＝45°，MN＝AC＝4，P坐标为（－，）
①当M、N均在x轴上方时，如图2－1，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a＋4，
∴a（a＋4）＝25，
∴a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，则AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往右、往上平移了个单位长度，
∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
②当M、N分别在x轴两侧时，如图2－2，△MAB是钝角三角形，且∠MAB＞∠ANB，此时△ABM与△ABN不相似；
③当M、N均在x轴下方时，如图2－3，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a－4，
∴a（a－4）＝25，解得a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往左、往下平移了个单位长度，、∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
综上所述，当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似时，平移后的抛物线顶点P`的坐标是（，）或（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数性质、相似三角形的判定与性质，第三问的解题关键在于能够对MN进行分情况讨论．
27．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；（3）D（，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；
（2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；
（3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑：
①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，
解得：a＝2，a＝3（舍去），
∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2，
∴a＝ ，a＝﹣ （舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4﹣5），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2，
整理得：a2＝1+（a﹣1）2，
解得a＝1．
∴P（1，0）．
综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴ ，
又∵AC＝ ，
∴AE＝ ，
∵DEBC，设D（m，0），
∴ ，
∴ ，
∴m＝ ，
∴D（，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
28．（1）y＝﹣x2+x+；（2）①，②存在，
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题．
（2）①首先证明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，推出四边形BEDF是平行四边形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），设D（n，n+m），则E[n+1，（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式，解方程组即可解决问题．
②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．由题意直线l经过OM或OM′的中点，构建方程组求出点M，M′的坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．
（2）①如图，
对于y＝﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，
∴C（0，），
∵B（3，0），
∴OC＝，OB＝3，
∴tan∠CBO＝，
∴∠CBO＝30°，
∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），
∴tan∠MNO＝＝，
∴∠NMO＝30°＝∠CBO，
∴l∥BC，
∵S△BCE＝3S△CDE，
∴BC＝3DE，
∴直线l应该在BC的上方，
在BC上取一点F，使得BC＝3BF，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，
∴F（2，），
设D（n，n+m），则E[n+1，﹣（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式得到：
，
解得：，
∴m的值为．
②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．
则直线OM的解析式为y＝x，
由，
解得：或，
∴M（，），M′（，），
由题意直线l经过OM或OM′的中点，
∴或，
解得：m＝．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，等高模型，轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键．
30．(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；
（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，即，，
，，
又点在直线上，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为；
（3）解：存在点使得，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点 关于对称轴的对称点坐标为，
；
②当时，则有，
直线的解析式，
直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，（舍去），
，
综上，存在点使得，点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
32．（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元
【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，
则，
解得：，
故y与x的函数关系式为： ；
（2）设总销售利润为W，
则有：，
当，销售利润万，
即单价为13万时，最大获利125万元．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．
33．（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）
∵A(-3,0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ，解得：
∴直线AD的解析式为y=2x+6,
当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0
∵O＇C//OC
∴△ ∽△OM
∴,即，解得：OM=3(1-t)
S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇
=
②当时，完全在四边形AOCD内，
③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，
∵GH//AB
∴,∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴，
∵直线AD的解析式为y=2x+6,
∴
∴ ,
∴,KO＇=2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇= C＇K+AO＇
∴
∴
S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK
=
∴
综上：；
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴=-
∴，即
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．
34．（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．
【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．
35．(1)①见解析；②B
(2)
(3)，
【分析】（1）①根据描点，连线，画出函数图象即可求解；
②观察函数图象即可求解；
（2）待定系数法求二次函数解析式即可求解．
（3）将代入，解方程即可求解；令，即可得出最后一秒钟，列车滑行的距离．
【详解】（1）①描点，连线如图所示，
②是二次函数，故选B
（2）设，将点代入得：
将，代入中，
得：
解得：，
∴；
（3）解：依题意，当时，
解得：，
当时，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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