2023年12月高中数学三角函数解答题专项（含解析）

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2023年12月高中数学 三角函数解答题专项
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)求函数单调递减区间；
(3)求在区间上的最值．
2．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数取最大值时的取值集合；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.
3．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)若，使得成立，求的集合；
(2)若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值
4．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最值.
5．（2022上·广东深圳·高一深圳中学校考期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示．若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)求在上的单调递减区间;
(3)若在区间上恰有2022个零点，求的取值范围．
6．（2022上·广东深圳·高一深圳中学校考期末）比较下列各组数的大小（写出结果即可）：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
7．（2022上·深圳·高一深圳外国语学校校考期末）已知函数.
(1)当，求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)若函数在区间内有且只有两个零点，求的取值范围.
8．（2022上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）解决下列问题：
(1)已知，求值.
(2)已知，，求的值.
9．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的最大值为1，
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)求使成立的x的取值集合．
10．（2022上·广东深圳·高一统考期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
11．（2021上·深圳·高一深圳中学校考期末）设函数，其中.
(1)求函数的值域；
(2)若，讨论在区间上的单调性；
(3)若在区间上为增函数，求的最大值.
12．（2021上·黑龙江绥化·高一绥化市第一中学校考期末）设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(1)求在上的单调区间；
(2)若，且，求sin2x0的值．
13．（2021上·广东深圳·高一深圳中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，其中.
(1)求的值；
(2)若角是的一个内角，且，求的值.
14．（2022上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，判断方程的根的个数.
15．（2021上·广东深圳·高一深圳市皇御苑学校校考期末）已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在闭区间上的值域.
16．（2021上·广东深圳·高一深圳市皇御苑学校校考期末）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）求的单调递增区间.
17．（2021上·广东深圳·高一统考期末）如图，在扇形OAB中，半径OA=1，圆心角C是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，且OE=OF.记∠AOC=θ，求当角θ为何值时，矩形CDEF的面积S最大 并求出这个最大的面积.
18．（2021上·广东深圳·高一统考期末）函数的部分图象如图所示.
（1）求函数f(x)的解析式;
（2）当x∈[-2，2]时，求f(x)的值域.
19．（2015上·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
20．（2020上·广东深圳·高一统考期末）已知，函数，且
（1）求的最小正周期及的对称中心；
（2）若在上单调递增，求的最大值.
21．（2020上·广东深圳·高一统考期末）函数的部分图像如图所示.
（1）求的表达式；
（2）若，求的值域；
（3）将的图像向右平移个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递减区间.
22．（2020上·广东深圳·高一统考期末）已知且
（1）求和；
（2）求的值.
23．（2019上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，其中，求的值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
24．（2017上·北京西城·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求及图中的值；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.
25．（2020下·高一湖北省崇阳县第一中学校考阶段练习）已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为3，求m的最小值.
26．（2020下·云南昆明·高一期末）已知函数.
（1）求在区间的最小值；
（2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间.
27．（2022下·江西萍乡·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，其中轴.
(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
28．（2023下·广东广州·高一校联考期末）已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
29．（2023下·广东广州·高一统考期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)解不等式，；
(2)证明：．
30．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数的最大值为．
(1)求a的值：
(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x的集合．
31．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值．
32．（2023上·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）设函数，.
(1)求解关于的不等式：；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
33．（2023上·高一广州大学附属中学校联考期末）已知最大值为2，若满足，
(1)求和的值；
(2)求的单调递增区间.
34．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
(1)求的值；
(2)求的值.
35．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数在区间(0,)上有两个零点，求实数k的取值范围.
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)最小值为，最大值
【分析】（1）先通过周期公式求出参数,再求的值;
（2）利用整体的思想令求解即可;
（3）还是利用整体的思想,先算出的范围，再求出的范围，即可求得最值.
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以，可得，
则
，
（2），
令
解得
则函数单调递减区间.
（3）因为，所以，
可得，
，
所以在区间上的最小值为，最大值.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，根据正弦型三角函数的最大值取值情况即可求得的取值集合；
（2）根据函数的单调性，确定实数的取值范围，即可得最大值.
【详解】（1）函数，
当取最大值时，，
此时满足，即，
所以取最大值时的取值集合为：；
（2）由，
得，
所以的单调增区间为，
当时，是的一个单调增区间，
因为，所以，
因此，实数m的最大值为.
3．(1)
(2)最小值为，最大值为.
【分析】（1）根据对称性求得，进而将问题转化为求解即可；
（2）令，进而将问题转换为方程，有解,再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）．
函数的图象上取点，其关于直线对称点的坐标为，
代入，
可得，
因为，使得成立，
所以，，即，故，
所以，，解得
所以，的集合为
（2）解：因为，，
所以， ，
所以，等式，可化为， ，
所以，存在，使等式成立时，方程，有解,
所以，由基本不等式的性质知，当时，m的最小值为，当或2时，m的最大值为3；
所以，实数m的最大值为，最小值为.
4．(1)
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用整体代入法求函数的单调递减区间；
（2）由所在区间，求出的范围，由正弦函数单调性，求函数的最值.
【详解】（1）由，解得，
所以函数的单调递减区间为
（2），则，，
当，即时，有最大值，；
当，即时，有最小值，；
5．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据三角函数的图象，建立方程组，求得函数的解析式，利用函数变换，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，解得函数的单调性，结合题意，可得答案；
（3）根据正弦函数的性质，即周期与零点之间的关系，利用点的个数与点与点的间隔数的关系，可得答案.
【详解】（1）由题可得，，则，
当时，取得最大值，则，所以，
又因为，故，所以，
则.
（2）由（1）可知，
令，，则，，
故的单调递减区间为，
则在上的单调递减区间为；
（3）周期为4，则相邻两个零点之间的距离为，
若函数在区间上恰有2022个零点，
则个零点之间最短距离为，
由个零点之间最短距离为，
解得的取值范围为．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用函数的单调性比较，即可得解；
（2）利用诱导公式结合函数的单调性比较，即可得解；
（3）利用诱导公式先化为同名函数，再结合函数的单调性比较，即可得解；
（4）利用角的象限的正负即可判断.
【详解】（1）∵函数在上单调递减，且，∴．
（2），，又在上单调递增，
∴．
（3）∵，，又在上单调递增，
∴．
（4）∵，∴，，∴．
7．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用辅助角公式对函数进行化简，然后利用正弦函数的性质求解即可；
（2）根据是函数的单调递增区间的子集，建立不等式组求解即可；
（3）函数有零点即，，，若函数在区间内有且只有两个零点，则只有和时在内，即可求得答案.
【详解】（1）由题意，
所以当时，，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）若在区间上单调递增，
则由，得的单调递增区间为，，
因为，所以，解得.
（3）令，即，，
若函数在区间内有且只有两个零点，
则只有和时在内，
所以且，解得.
8．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案；
（2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案.
【详解】（1）由诱导公式，，
又，则.
（2）因，
则，
即一正一负，又，则，
即.又，
则.
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据的最大值求得.
（2）利用整体代入法求得的单调递减区间.
（3）解三角不等式求得正确答案.
【详解】（1）的最大值为1，
，解得：．
（2）由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：，．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
（3）由题意：，即，可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范围是．
10．(1)（）
(2)
【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；
（2）根据函数在上的单调性求出函数在上的值域，将不等式在上恒成立，化为在上恒成立，再利用的最值列式可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
令，，
解得，，
即的单调递减区间为（）.
（2）当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，，，
所以的值域是，
又由在上恒成立，得在上恒成立，
得，解得.
所以实数的取值范围是.
11．(1)
(2)在区间上单调递增，在上单调递减
(3)
【分析】（1）首先化简函数，再求函数的值域；
（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；
（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.
（1）
，
所以函数的值域是；
（2）
时，，
当，，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；
（3）
若，则，
若函数在区间上为增函数，
则，解得：，
所以的最大值是.
12．(1)单调增区间为，单调减区间为；
(2).
【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；
（2）由题可得，，再利用差角公式即求.
【详解】（1）∵
，
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又，所以，因此，
∴，
当时，，
∴由，得，函数单调递增，
由，得，函数单调递减，
所以函数单调增区间为，单调减区间为.
（2）∵，且，
∴，
又，
∴，
∴
.
13．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据图象的特征，列式确定的值；
（2）根据（1）的结果，代入解析式，得，结合同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】（1）由图象可知， ，解得：，，
，解得：，
当时，，得，
因为，所以，
综上可知，，，，；
（2）由（1）可知，
，即,
因为，解得：
14．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）利用转化法，结合函数的图象、正弦型函数的单调性进行分类讨论即可
【详解】（1）.
由，得函数在上的增区间为.
由于函数在上的单调递增区间为.
（2）方程的根的个数也就是函数与函数图象的交点个数.
由（1）知，在为增函数，在为减函数，在为增函数，
而，
，
根据图象可知，
当时，方程无解，
当时，方程有3个根，
当或时，方程有2个根.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）化简得，即得函数的最小正周期；
（2）求出，再利用三角函数的图象和性质得解.
【详解】（1）由已知得，
的最小正周期；
（2），，
当，即时，取得最大值为，
当，即时，取得最小值为，
的值域为.
16．（1），；（2）.
【分析】（1）由周期求得，进而由对称轴求得；
（2）由（1）知，令可得结果.
【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故.
又图象关于直线，故，，
所以，，因为，故令得.
（2）由（1）知，
令，得，
故函数的单调递增区间为：.
17．当时，矩形的面积最大为．
【分析】由点向作垂线，垂足为，利用平面几何知识得到为等边三角形，然后利用表示出和，从而得到矩形的面积，利用三角函数求最值进行分析求解，即可得到答案．
【详解】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，
由题意可知，，，
所以为等边三角形，
所以，
则，
所以，
所以，
，
所以矩形的面积为
，
因为，所以当，即时，最大为．
所以当时，矩形的面积最大为．
18．（1）；（2） .
【分析】（1）由最大值求出，由周期求出，由求出，进而求得的解析式；
（2）由的范围求得的范围，从而得到的范围，进而求得的值域.
【详解】（1）由图象可知，，，
由可得，又，所以，
所以.
（2）当时，，所以，
故的值域为.
19．（1），；（2）．
【解析】（1）根据对称轴和周期可求和的值．
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．
【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故．
又图象关于直线，故，
所以，因为，故．
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故．
又
．
【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
20．（1）最小正周期为，对称中心；（2）
【解析】（1）由已知条件求出，再利用正弦函数的性质即可求解；
（2）求出函数的单调递增区间，得到即可求出.
【详解】（1）,的图象关于对称，
，解得，
，，
，
则的最小正周期，
令，则，
的对称中心为；
（2）令，
则可得的单调递增区间为，
若在上单调递增，则，解得，
的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是根据得出的图象关于对称，进而求出，即可结合正弦函数的性质求解.
21．（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意可得，得，又可求出函数表达式.
（2）当时，，由余弦函数图像可得答案.
（3）先根据图象变换求出的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可.
【详解】（1）由题意可得，得
所以，又当时，
即，则
所以，
所以
（2）当时，
所以当时，的值域为
（3）将的图像向右平移个单位后可得：，
再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，
由
所以的单调递减区间为：
【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象求解析式以及根据解析式求值域和解决图象平移问题，解答本题的关键是读懂三角函数的图象，得到和从而求出解析式，在根据图象左右平移求解析式时，要注意将的图像向右平移个单位后可得：，属于中档题.
22．(1) , (2)
【解析】（1）由，则，，根据可得，结合平方关系可求解.
(2)先求出，然后由，求出的值，可得答案.
【详解】(1)由，则，
由，即 即
由，则，
所以
（2）
所以，所以
又，所以
【点睛】关键点睛：本题考查已知三角函数值求三角函数值和求角，解答本题的关键是弄清楚角的范围，在利用平方关系求正弦和余弦时的符号，利用角的变换关系得到，从而求出的值，属于中档题.
23．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由函数的图象可得出的最小正周期的值，可求得，再将点代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）求得，结合，可求得的值；
（3）求出函数在区间上的最大值和最小值，由题意可得，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期为，，
则，
，可得，
，，，解得，
因此，；
（2），可得，
，，，解得；
（3）当时，，则，
，，
由可得，则，
，，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：根据三角函数（或）的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
24．（1），；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）利用求得，根据对称性求得.
（2）求得的解析式，根据三角函数最值的求法求得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由图可知，函数图象过点，故，由于，所以.
所以.
令，则，
令得.
由图可知，与关于直线对称，所以.
（2）
.
由得，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】要求三角函数的最大值、最小值，可采用整体法（换元法）.
25．（1）；单调递减区间是；（2）.
【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
（2）由（1）知，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）由已知，有
，
所以的最小正周期：.
由，
得的单调递减区间是.
（2）由（1）知，因为，
所以.
要使在区间上的最大值为3.
即在区间的最大值为1.
所以.即
所以m的最小值为.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
26．（1）-1；（2），.
【解析】(1)根据正余弦的倍角公式、辅助角公式化简，确定它在内的最值，即可求得最小值；(2)根据图象的平移得到，由于为增函数，根据复合函数的单调性及余弦函数的性质有在上单调递减，即可求得递减区间
【详解】（1）解：，
当时， ，有
∴当时，在区间的最小值为-1.
（2）由题意知：
∴，
由，解得，.
因此，函数的单调递减区间为，
【点睛】本题考查了三角函数，根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式，并求区间最值，由函数图象平移得到新函数解析式，结合复合函数的单调性求单调区间
27．(1)；
(2).
【分析】（1）由题图知求得，应用五点法求，即可得解析式；
（2）根据图象平移写出解析式，由正弦型函数的性质求其增区间，结合已知区间求m的范围.
【详解】（1）由图知，点M与N间的最大值对应的横坐标为，
设的最小正周期为T，则，得，则，
把代入中，即，得，
因为，故，所以；
（2）由题知，，
由得：，
又中，即，故m的取值范围是.
28．(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.
(2)最小值为，相应的.
【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；
（2）根据余弦函数的图象可求出结果.
【详解】（1），
函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）当时，，
所以当，即时，取得最小值.
29．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据正切函数型的图象与性质算得，解出即可；
（2）首先得到平移后的解析式，再利用两角和与差的正切公式以及二倍角的正切公式即可证明.
【详解】（1），则，
因为，则，
解得.
（2）函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，解析式变为，再向右平移个单位长度，则，
.
故原等式成立.
30．(1)
(2)最小值为-5，的取值构成的集合为
【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；
(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x的集合．
【详解】（1）
，
令，则，对称轴，
当即时，
在单调递减，
所以不满足题意；
当即时，
在单调递增，单调递减，
所以，
即解得或（舍）；
当即时，
在单调递增，
所以，
解得不满足题意，
综上.
（2）由(1)可得在单调递增，单调递减，
所以当时函数有最小值为，
此时，则的取值构成的集合为.
31．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.
（2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
所以函数的周期为.
（2）由（1）知，，
在中，，有，于是，解得，则，
，
显然，，因此当，即时，，
所以的最大值为.
32．(1)
(2)
【分析】（1）写出不等式的表达式，解可得不等式的解集；（2）由题意可知，若对任意的，，都有，即，利用换元法和分类讨论分别求得最大值和最小值的表达式解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，
即，即，
两边同时平方可得，
解得，
所以不等式的解集为，
（2）对任意的，都有，
即，
易知时，的最小值为1，
时，的最小值为.
故在上的最小值为1，
，
令，因为，所以且，其对称轴为，
当时，在上是减函数，最大值为，
此时，，无解；
当时，当时有最大值，
此时，即，又，∴，
当时，在上是增函数，最大值为0
此时，显然恒成立，
综上可知，的范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二小问解题关键是将恒成立转化为，分别求出相应最值即可得到答案.
33．(1)，
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式化简，再根据函数的最大值可求出，再根据即可求得；
（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.
【详解】（1）因为最大值为2，
所以，解得，
又因为，所以，
∴，
因为，所以；
（2）由（1）得，
令，得，
所以单调递减区间.
34．(1)；
(2)
【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值；
（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.
【详解】（1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点，则，
则；
（2）由（1）得，则，
则
35．(1)；
(2).
【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即可；
（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性求出值域，即可求出实数k的取值范围．
【详解】（1），
令，
解得，
则的单调递减区间为；
（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，
要使在上有两个解，则.
即k的取值范围为.
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