新课标高一数学必修1、2、3、4全部教案

(共31张PPT)
普通高中课程标准试验教科书
北师大版数学必修3
算法的基本思想
问题情境
×
【1】一个农夫带着一只狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
学生活动
问题情境
【2】“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：鸡兔各几何？”
解决问题
×
【2】“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：雉兔各几何？”
解：
设
笼子里有鸡 只，兔子 只.
列
方程得
解
方程得
答：
笼子中有鸡23只，兔12只.
设
列
解
答：
解决问题
×
解方程
第一步,
由（1）得
第二步,
将（3）代入（2）得
第三步,
解（4）得
第四步,
将（5）代入（3）得
第五步,
得到方程组的解得
提出问题
×
【3】写出一般二元一次方程组的解法步骤.
解:第一步,
第二步,解（3）得
第三步,
第四步,解（4）得
第五步,得到方 程组的解为
体验
×
算法的概念
×
算法：
在数学中算法通常指按照一定规则 解决某一类问题的明确和有限的步骤.
现在,算法通常可以编成
计算机程序,让计算机执行并
解决问题.
应用举例
×
例1.(1)设计一个算法判断7是否为质数.
第一步, 用2除7,得到余数1.因为余数不为0，
所以2不能整除7.
第二步, 用3除7,得到余数1.因为余数不为0，
所以3不能整除7.
第三步, 用4除7,得到余数3.因为余数不为0，
所以4不能整除7.
第四步, 用5除7,得到余数2.因为余数不为0，
所以5不能整除7.
第五步, 用6除7,得到余数1.因为余数不为0，
所以6不能整除7.因此，7是质数.
应用举例
×
例1.(2)设计一个算法判断35是否为质数.
第一步, 用2除35,得到余数1.因为余数不为0，
所以2不能整除35.
第二步, 用3除35,得到余数2.因为余数不为0，
所以3不能整除35.
第三步, 用4除35,得到余数3.因为余数不为0，
所以4不能整除7.
第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0，
所以5能整除35.因此，35不是质数.
应用举例
×
例1.(3)设计一个算法判断整数　　　　　　n(n>2) 是否为质数.
第一步:给定大于2的整数n
第二步:令i=2
第三步:用i除n,得到余数r
第四步:判断”r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示
第五步:判断”i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步
例1.(3)设计一个算法判断整数n (n>2) 是否为质数.
×
应用举例
×
例2.写出用“二分法”求方程
的近似解的算法.
对于区[a,b ]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
x2=2
x1=1
1.5
1.25
1.375
1.4375
解决问题
×
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为［a,m］；
第一步, 令 .给定精确度d.
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步, 取中间点　　　　　．
第五步, 判断［a,b］的长度是否小于d或者
f(m)是否等于０.若是，则m是方程的近似　　　　　　　　　　　　　　　
解;否则，返回第三步．
将新得到的含零点的仍然记为［a,b］ .
　　　否则，含零点的区间为［m, b］.
　　　　　　　　　
算法的基本特征:
明确性:算法对每一个步骤都有确切的,能
有效执行且得到确定结果的,不能模棱两可。
顺序与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干
明确的步骤,每一步都只能有一个确定的继任者,
只有执行完前一步才能进入到后一步,并且每一
步都确定无误后,才能解决问题。
有限性:算法应由有限步组成,至少对某些
输入,算法应在有限多步内结束,并给出计算结果．
不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是
唯一的,对于同一个问题可以有不同的解法
练习1:在中央电视台幸运52节目中,有一个猜商品价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出某种商品的价格,就可获得该件商品.现有一商品,价格在0-8000元之间,采取怎样的策略才能在短的时间内说出正确(大体上)的答案呢
第一步:报“4000”；
第二步:若主持人说高了(说明答案在0~4000之间),就报“2000”,否则(答数在4000~8000之间)报“6000”；
第三步:重复第二步的报数方法取中间数,直至得到正确结果.
一位商人有9枚金币，其中有一枚略轻的假币，你能用天平（无砝码）将假币找出来吗？写出解决这一问题的算法。
第一步：把9枚金币平均分成三组，每组三枚。
先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假金币就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假金币就在未称量的那一组里。
取出含假币的那一组，从中任取两枚金币放在天平两边进行称量，如果天平不平衡，则假金币在轻的那一边；若平衡，则未称的那一枚就是假币。
第二步：
第三步：
问题2陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检测试题（普通班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A ( http: / / www. / wxc / ) B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.函数y=sin(3x-)图象是函数y=sin3x的图象按如下变换所得 （　　）
A.左移 B.右移 C.左移 D.右移
5．函数 值域是（ ）
A [0，1] B [－1，1] C [0，] D
6.已知sinθ－cosθ＝，则sin2θ的值是 。
A. B. － C. D. －
7．已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ． C． D．
8．设且，则锐角x为（　　）
A.　 B.　 　 C.　 　D.
9．已知向量，，则与（ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
10．与向量=(6,8)共线的单位向量是 （ ）
A.(-,-) B.(0,1) C.(3,4) D.(,)
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11．在中，，．则角=
12．正⊿ABC的边长为2，则 = 　　　 　　　
13．已知向量．若向量，则实数的值是
14．在函数的图象中，相邻的对称轴与对称中心之间的距离是 .
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数
（1）求的定义域； （2）设是锐角，且，求的值。
16．已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），试判断A，B，C三点的位置关系并证明。
17．已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
18．已知向量a=e1-e2，b=4e1+3e2，其中e1= (1，0)，e2= (0，1) ( http: / / www. / wxc / )
(1)试计算a·b；|a+b|的值； (2)求向量a与b所成夹角的余弦值
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．已知 ||＝1，||＝，
（I）若//，求； （II）若，的夹角为135°，求 |＋| ．
2．设函数，其中向量
若
陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检测答题纸（普通班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11． 12．　　 　　　
13． 　　 　 14．　　 　　　
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数
（1）求的定义域； （2）设是锐角，且，求的值。
16．已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），试判断A，B，C三点的位置关系并证明。
17．已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
18．已知向量a=e1-e2，b=4e1+3e2，其中e1= (1，0)，e2= (0，1) ( http: / / www. / wxc / )
(1)试计算a·b；|a+b|的值；
(2)求向量a与b所成夹角的余弦值
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．已知 ||＝1，||＝，
（I）若//，求； （II）若，的夹角为135°，求 |＋| ．
2．设函数，其中向量
若
陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检测答案（普通班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C C D B A A
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11． 12．　　 -2　　　
13． -3 　　 　14．　　　　　
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由 得
所以的定义域为
（2）因为是锐角，且，从而，
故
16．解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点，观察图形，猜想A，B，C三点共线。
下面给出证明。
又2×6-3×4=0， ∴//
因为直线AB，直线AC有公共点A，∴A，B，C三点共线。
17．解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
18． 解(1)a= (1，0) – (0，1) = (1，-1)，b = (4，0) +(0，3) =(4，3) ( http: / / www. / wxc / )
a·b = (1，-1) ·(4，3)=1； |a+b|=|(5，2)|= ( http: / / www. / wxc / )
(2)=
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．解（I）∵//，
①若，共向，则＝|| ||＝
②若，异向，则＝－|| ||＝－
（II）∵，的夹角为135°， ∴＝|| || cos135°＝－1
∴|＋|2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1
∴
2． 解：（1）依题设得
　　　　　　　　　　　　
由
1§2 集合间的基本关系
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2. 过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想 ．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.学法与教学用具
1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.
2.教学用具：投影仪.
四.教学过程
(一)创设情景，揭示课题
问题l：实数有相等.大小关系，如5<7，2≤2等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探. （宣布课题）
(二)研探新知
1. 子集
问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？
(1) ；
(2) ={西安中学高一(1)班女生}，={西安中学高一(1)班学生}；
(3) ,
组织学生充分讨论.交流，使学生发现：
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。
综合归纳给出定义：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.
记作：
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
举例：如， 则
思考：包含关系与属于关系定义有什么区别 试结合实例作出解释. {1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}}
温馨提示：
（1）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
（2）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
（3）若，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。
非子集关系的反例：(1) A={1,3,5} B={2,4,6}
(2) C={x|x≥9} D={x|x≤3} 可用数轴直观表示
(3) E={ x|x≥9} F={ x|x≤12}
当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，分别记作： (或)
2. 集合的相等
引入时举例：
由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.
问题3：与实数中的结论“”相类比，在集合中，你能得出什么结论
教师引导学生通过类比，思考得出结论: .
3. 真子集
问题4：A={小于7的正整数} B={1，2，3，4，5，6，} C={}1，3，5}
显然，，又发现B=A ，C≠A ，如何确切表明C与A的特殊关系？
文 字 语 言对于两个集合A与B，如果，就说集合A是集合B的真子集（proper subset） 符 号 语 言若,但存在元素x,则A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）
教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。
图1 图2
问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
做练习4，并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。
思考：
(1) 对于集合A，B，C,如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系 如果真包含呢？
(2) 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别
(3) 空集是任何集合的子集吗 空集是任何集合的真子集吗
(4) 0，{0}与三者之间有什么关系
(三)巩固深化，发展思维
1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2（与书上有变动） 分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集.
，{1}, {1,2}, {1,2,3}
集 合 子 集 子集个数 真子集个数
1 0
{1} ,{1} 2 1
{1,2} ,{1},{2},{1,2} 4 3
{1,2,3} ,{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3} 8 7
推广归纳：有限集 的子集个数，真子集个数，非空
子集个数，非空真子集个数。
2. 练习第5题
(四)归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些.
1.
也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。
2. 性质结论：
（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
(2) 空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
空集是任何非空集合的真子集。
(3) 欲证，只须证且都成立即可。
（4 对于集合A、B、C，若AB，BC,则AC. 若AB,BC,则AC.
(五)布置作业
基础题：
第9页习题1-2 A组2，4，5题. B组第1题.
思考题：
1. (06年上海理)已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．
2. 已知集合,≥，且满足，求实数的取值范围。
A（B）
B(共7张PPT)
4.9 函数 的图像
4.9 函数 的图像
探索研究
（1）函数 与 的图像的联系
例1．画出函数 及 （ ）的简图．
解：函数 及 的周期均为 ，
先作 上的简图．
列表并描点作图：
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
－1
－2
2
0
利用这两个函数的
周期性，我们可以
把它们在 上
的简图向左、右分
别扩展，从而得到
它们的简图.
x
y
o
动画演示
4.9 函数 的图像
归纳总结：
函数 （ 且 ）的图像可以看做是把函数
的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当
）到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振
幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅．
， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
4.9 函数 的图像
（2）函数 与 的图像的联系
例2．作函数 及 的简图．
解：函数 的周期 ，
先作 时的简图．
列表：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
－1
1
－1
函数 的周期 ，先作 时的简图．
y
x
动画演示
4.9 函数 的图像
归纳总结：
函数 （ 且 ）的图像,可以看做是把
的图像上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）
到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，
它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 ．
利用这两个函数的周期性，把各函数一个周期的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图.
1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图
（1） （2）
4.9 函数 的图像
练习：
x
y
x
y
2．函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦
曲线有什么联系．
周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长倍
（纵坐标不变）即得 的图像．
3．说明如何由 ；由
的图像沿轴方向压缩 得 的图像（纵坐标不
变）；把 的图像上纵坐标缩短 倍（横坐标不变），即得
的图像．(共15张PPT)
2.2.2 用样本的数字特征估
计总体的数字特征
　 平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７　８　７　９　５　４　９　１０　７　４
乙：９　５　７　８　７　６　８　６　７　７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价
如果看两人本次射击的平均成绩,由于
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差异吗
4
5
6
7
8
9
10
环数
频率
0.1
0.2
0.3
(甲)
4
5
6
7
8
9
10
0.1
0.2
0.3
0.4
环数
频率
(乙)
直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩
相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如:在作统计图,表时提到过的极差.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差．
一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:
考虑一个容量为2的样本:
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
由 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系可用图直观地表示出来.
4
5
6
7
8
9
10
a
例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异同点.
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
(2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6;
(3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;
(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
解:四组样本数据的直方图是:
频率
o
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
S=0.00
(1)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
频率
o
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
S=1.49
(2)
频率
o
1
2
3
4
5
6
7
8
S=0.82
频率
o
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
S=2.83
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82,
1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数
标准差s=0.868 ,所以
例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42
25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44
25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48
25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34
25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47
25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高
分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体,
由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.00mm的差异在时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样比较两人的生产质量只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据,然后比较这两个样本的平均数,标准差,以此作为两个总体之间的估计值.
解:用计算器计算可得:
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于
从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与我们抽取的内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本(为什么 ).这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数,标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.
生产过程中的质量控制图
正态分布：一些总体的分布密度曲线是由它的平均
数 与标准差 完全确定的，我们把这样的分布
记作 ，称为平均数为 ，方差为 的
正态分布.
生产过程中的质量控制图(共13张PPT)
练习3：若A、B、C、D是同一平面内不共线的四点，
求证 是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。
证明：充分性：
必要性：
实际问题：如图，小船由A地向东北方向航行15海里到达B地，再由B地向西北方向航行10海里到达C地。
问：小船实际位移了多小海里？
A
B
C
*求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
实例1：如图，求 a 与 b 的和。
C
A
B
实例2：如图，求 a 与 b 的和。
C
A
B
实例3：如图，求 a 与 b 的和。
练习一：作图证明
（2）
*向量的加法满足交换律，即：
*向量的加法满足结合律，即：
A
B
D
C
A
B
D
C
*向量加法的 平行四边形法则
A
B
C
*向量加法的 三角形法则
思考：
*向量加法的多边形法则
例2：如图，一艘船从A点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h。求船实际航行数度的大小与方向(用与流速间的夹角表示。）
A
B
D
C简单的旋转体育多面体
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3．课本P8，习题1.1 A组第1题。
4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
四、巩固深化
练习：课本P7 练习1、2（1）（2）
课本P8 习题1.1 第2、3、4题
五、归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
六、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题
空间几何体的直观图
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）研探新知
1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
练习反馈
根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
3．探求空间几何体的直观图的画法
（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。
4．平行投影与中心投影
投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。
5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4
三、归纳整理
学生回顾斜二测画法的关键与步骤
四、作业
1．书画作业，课本P17 练习第5题
2．课外思考 课本P16，探究（1）（2）
空间几何体的三视图
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图
难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比
2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
3．三视图与几何体之间的相互转化。
（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？
（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。§1.1利用函数性质判定方程解的存在
教学目标：
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法 零点存在性的判定．
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设置 师生双边互动
创设情境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
组织探究 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：　代数法；　几何法．
二次函数的零点：二次函数　　　　　．１）△＞０，方程有两不等 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
环节 教学内容设置 师生双边互动
组织探究 实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象： 在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）． 在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
环节 教学内容设置 师生互动设计
例题研究 例1．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数，并画出它的大致图象． 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
尝试练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）． 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
探究与发现 1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．2．设函数．（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
环节 教学内容设置 师生互动设计
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）；（4）．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）．已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）
课外活动 研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达． 考虑列表，建议画出图象帮助分析．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
§1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 ( BinarySearch.exe )．材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组织探究 二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，，验证·，给定精度；2．求区间，的中点；3．计算： 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
组织探究 若=，则就是函数的零点； 若·<，则令=（此时零点）； 若·<，则令=（此时零点）；4．判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4． 生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
例题解析：例1．求函数的一个正数零点（精确到）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略）．注意： 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．解：（略）．思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点． 师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
探究与发现 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．用二分法求函数的变号零点二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝试练习 教材P106练习1、2题；教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求方程的解的个数及其大致所在区间；求方程的实数解的个数；探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；提高作业： 已知函数．（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求的值． 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）； 用二分法求的近似值（精确到）．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
课外活动 查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
创设情境
组织探究
尝试练习
探索研究
作业回馈
课外活动
结合二次函数引入课题．
二次函数的零点及零点存在性的．
零点存在性为练习重点．
进一步探索函数零点存在性的判定．
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
创设情境
组织探究
探索发现
尝试练习
作业回馈
课外活动
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
二分法的意义、算法思想及方法步骤．
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．
二分法应用于实际．
1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
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正弦型函数(2）
讲授新课
例 题
练 习
小 结
一、函数y=sin(x+ ）的图象
设X＝ x+π/3，则X的取值为
由X＝ x+π/3，得x＝X－ π/3，可求得对应的x的值。
0、π/2、 π 、 3π/2、2π
取 ＝ π/3，则y=sin(x+ π/3 ）
no
yes
X
x
y
0
1
0
-1
0
0
-π/3
π/2
π/6
π
2π/3
3π/2
7π/6
2π
5π/3
y=sin(x-π/3）的图象可用类似方法得到。
y
x
0
（-π/3，0）
π/3
（2π/3，0）
（5π/3，0）
7π/3
（π/6，1）
（7π/6，-1）
y=sinx
y=sin(x+ ）
向左
向右
＞0
＜0
：初相
二、函数y=Asin( x+ ）的图象
作y=2sin(2x+π/3）的图象
X
=2x＋π／3 0 π／2 π 3 π／2 2 π
x - π/6 π ／12 π／3 7 π／12 5π／6
y 0 2 0 -2 0
y
x
-π/6
5π/6
-2
2
也可由y=sinx变化而得到
y=sinx
向左平移（ ＞0）
y=Asin( x+ ）
向右平移（ ＜0）
y=sin(x+ )
横坐标变为原来的1／
y=sin( x+ ）
纵坐标变为原来的A倍
例题：指出函数y=2sin(x+π／3）的振幅、周期和初相，并说明它的图象可由y=sinx经过怎样的变化而得到。
初相为π／3.
振幅为2，
周期T＝ 2π，
回主页
A、ω、 对函数图象的综合影响：
no
yes
练习：指出函数y=3sin(2x+π/4）的振幅、周期和初相。
初相： π/4.
振幅：3
周期： π(共9张PPT)
§4.6 两角和与差的三角函数
（二）
我们的目标
掌握两角和与差的正弦公式
结合余弦公式初步涉及“变角”和“拆角”以及“合一变形”的方法
两角和与差的正弦公式
1、两角和的余弦公式
2、两角差的余弦公式
解：
解：
提示：(共20张PPT)
　　　　　如何抽取样本，直接关系到对总体估计的
准确度，因此抽样时要保持每一个个体都可能被抽到，
每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样的条件
的抽样是随机抽样。
　　　研究总体的性状，当总体中包含的个体很多时，很难对每一个个体进行考察。一个行之有效的办法是
从总体中随机抽取若干个个体进行考察，这若干个个
体构成的集合就是总体的一个样本。
复习回顾
　　　　　　　我们一般把所考察的对象的某一数值
指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个
元素作为个体。
总体、个体：
　　如考察某市高中生的身高，学生身高尺寸的全部
数据就是总体，每一个学生的身高尺寸就是个体。
样本：
随机抽样：
阅读课本P55材料，思考：你认为预测结果出错的原因
是什么？由此可以总结出什么教训？
　　由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具
有代表性，否则调查的结果与实际相差较大。
　　原因：抽取的样本不具有代表性，1936年拥有汽车
和电话的美国人是一小部分，那时大部分人还很穷，其
调查的结果只是富人的意见，不能代表穷人的意见。
　　　　假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食
品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验。你准备怎样做？显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验
的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？　
探究
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫简单随机抽样。
简单随机抽样
注意以下四点：
（1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限；
（2）它是从总体中逐个进行抽取；
（3）它是一种不放回抽样；
（4）它是一种等概率抽样。
简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的。如果用从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽取的概率等于
　　　　假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食
品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验。你准备怎样做？显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验
的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？　
探究
解:将这批小饼干放入一个不透明的袋子中,搅拌均匀,然后不放回地摸取
(这样可以保证每一袋饼干被抽中的机会相等)
２、将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上；
　　　　先将总体中的所有个体（共N个）编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。对个体编号时，也可以利用已有的编号。例如学生的学号，座位号等。
抽签法和随机数法
最常用的简单随机抽样的方法：
1、抽签法
步骤：
1、将总体中个体从1~N编号；
5、从总体中将与抽取到的签的编号一致的个体取出。
３、将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
４、从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次;
优点：
缺点：
简单易行。
　　　　当总体的容量非常大时，费时费力，如果标号的签搅拌
　不均匀，会导致抽样不公平，因些说当总体中的个数很多时，
　用抽签法不方便。这时用随机数法。
抽签法的优点和缺点
2、用随机数表法进行抽取
　　　随机数表是由数字0,1,2,…,9组成，是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。　　
步骤：
1、将总体中个体编号；
２、在随机数表中任选一个数作为开始；
３、规定从选定的数读取数字的方向；
４、开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中，则取出，依次取下去，直到取满为止；
５、根据选定的号码抽取样本。
注意：
1、由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽取样本保证了被抽取个体的概率是相等的；
２、选定的初始数和读数方向是任意的；
３、若个体的编号是三位数时，从表中某一数字开始，每次连续读三个数即为一个号码；
４、当编号位数不一致时，需要对号码作适当调整，可以位数较少的数前加“０”或把原来的号码加上10的倍数重新编号。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明:
假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 96 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
随机数法的优点:简单易行，
缺点:是当总体个数很多，且样本容量也很大时，用随机数法仍不方便
随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素
思考：当N=100时，分别0、3、6为起点对总体编号，再利用随机数表抽取10个号码，你能说出从0开始对总体编号的好处吗？
答：从0开始编号时，号码是00,01, … 99,从3开始编号时，号码是003,004, …,102,从6开始编号时，号码是006,007, …,105.所以以3、6为起点对总体编号时，所编的号码是三位数，而从０开始编号时，所编号码是两位，在随机数表中读数时，读取两位比读取三位要省时，所以从０开始对总体编号比较好。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是 ( )
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了了解加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个零件
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性
是 。
练习:
D
C
抽签法
2.简单随机抽样的方法：
随机数表法
注:随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.
小结
一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
1.简单随机抽样的概念(共10张PPT)
§4.6 两角和与差的三角函数
（三）
我们的目标
掌握正、余弦的和、差角及二倍角公式
掌握角的组合（变角）及正切变形公式
1、两角和、差角的余弦公式
2、两角和、差角的正弦公式
3、二倍角的正、余弦公式
两角和与差的正切公式
1、两角和的正切公式
2、两角差的正切公式
3、二倍角的正切公式
解：
解：
解：(共14张PPT)
F
S
θ
问题：如图，如果一个物体在力F的作用下产生位移S，则力F所做的功W为多少？
W=F·S·cosθ
W=| |·| |·cosθ
1. 两个非零向量的夹角
O
A
B
θ
与 的夹角为θ，(其中0≤θ≤π）
= 0
= 180
＝900
O
A
B

O
A
B
O
A
B
O
A
B

O
A
B
定义：已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角
为θ，我们把数量 | a | | b |cosθ叫做 a 与 b 的数
量积，记作 a · b .
a · b= | a | | b |cosθ
*零向量与任一向量的数量积为0
a
b
o
A
B
B1
a
b
o
A
B
B1
a
b
o
A
B
B1
3、如图，| b |cosθ叫做向量 b 在 a 方向上的投影。
4、 a · b 的几何意义：
数量积 a · b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b |cosθ的乘积。
性质
设 a , b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单
位向量，θ是 a 与 e 的夹角，则
(1) e · a = a · e =| a | cos θ
(2) a ⊥ b <=> a · b =0
(3) 当 a 与 b 同向时，a · b =| a | | b| ;
当 a 与 b 同反时，a · b =-| a | | b|；
a · a = | a |2
运算律
(1) a · b = b · a
(2) (λa) · b =λ( a · b) = a · (λb)
(3) ( a + b ) · c =a · c + b · c
(4) ( a + b )2 = a 2 +2 a · b + b 2
(5) ( a - b )2 = a 2 -2 a · b + b 2
(6) ( a + b ) · ( a – b) = a 2 – b 2
巩 固练习
判断题：
(1) | a · b | =| a | | b | <=> a // b
(2) a 与 b 反向 <=> a · b =-| a | | b|
(3) a⊥ b <=> | a + b |=| a – b |
(4) | a | = | b | <=> | a · c |=| b · c |
(2)(3)正确
作业
课本P119页，习题5.6 第1、2题(共15张PPT)
第二课时 系统抽样
分层抽样
注意以下四点：
（1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限；
（2）它是从总体中逐个进行抽取；
（3）它是一种不放回抽样；
（4）它是一种等概率抽样。
简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的。如果用从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽取的概卒等于
一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
1、简单随机抽样
2、用随机数表法进行抽取
随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素
（1）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。
（2）随机数表并不是唯一的，因此可以任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。
（3）用随机数表进行抽样的步骤：将总体中个体编号；选定开始的数字；获取样本号码。
（4）由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽取样本保证了被抽取个体的概率是相等的。
（2）要抽样了解某年参加高考考生的语文考试成绩，我们可以
提出问题
（1）一个礼堂有30排座位，每排有40个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为20的30名听众进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方法？写出抽取过程。
①按照科目分类：文科、理科、艺术、体育和外语五个层次。
②按照地区分类：大城市、中等城市、城镇、乡镇四个层次。
③按照学校分类：重点、非重点两个层次。
为了了解高一年级12000名学生的数学成绩,需要抽取容量为120的样本,请用合适的方法抽取.
解:(1)对全体学生的数学成绩进行编号:1,2,3……,12000.
(2)分段:由于样本容量与总体容量的 比是1:100,我们将总体平均分为100个部分,其中每一部分包含100个个体.
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样,抽取一个号码,比如是50.
(4)以50作为起始数,,然后顺序抽取150,250,350,…..11950.这样就得到容量为100的一个样本.
由于每排的座位有40个，各排每个号码被抽取的概率都是,
第1排被抽取前，其他各排中各号码被抽取哪率也是 ，也就是
说被抽取的概率是 ，每排的抽样也是简单随机抽样，因此这种
抽样的方法是系统抽样。
（1）一个礼堂有30排座位，每排有40个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为20的30名听众进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方法？写出抽取过程。
当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样。
2．系统抽样
系统抽样的步骤为：
（1)先将总体中的N个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码.
（2）确定分段间隔k。对编号均衡地分段，
是整数时， ；
不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止。
（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l。
（4）按照规则抽取样本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk
系统抽样时，将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用简单随机抽样；系统抽样每次抽样时，总体中各个个体被抽取的概率也是相等的;如总体的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行。需要说明的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。
系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点？
1、系统抽样比简单随机抽样更容易实施；
2、系统抽样的效果会受个体编号的影 响，而简单随机抽样的效果不受个体编号的影响；
3、系统抽样比简单随机抽样的应用范围广。
3．分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样。其中所分成的各部分叫做层。
由于分层抽样的要求不同，各层的抽样的样本容量也不相同，所以，应当按照实际情况，合理地将样本容量分配到各个层，以确保抽样的合理性，研究时可以根据不同的要求来分层抽样。
分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样。这种方法较充分地利用了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方法。
分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层。分层抽样中分多少层，要视具体情况而定。总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义。
分层抽样的实施步骤：
（2）根据总体中的个体数N与样本容量n确定抽样比:k=
（3）确定各层应该抽取的个体数。各层的抽取数之和应等于样本容量。对于不能取整的数，求其近似值。
（4）按(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体,合在一起得到容量为n的样本.
(1) 根据已有信息,将总体分成互不相交的层;
(1)分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样。这种方法较充分地利用了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方法。而且更具代表性。
(2)分层抽样的一个重要问题是总体如何分层,分多少层，这要视具体情况而定。总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义。
注:
例2、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个层，因此该总体可以分为3个层。由于抽取的样本为100，所以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。
解：抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，则各年龄段（层）的职工人数依次是125：280：95＝25：56：19，然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取。
答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人。
分层抽样的抽取步骤：
（1）总体与样本容量确定抽取的比例。
（2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
（4）对于不能取整的数，求其近似值。
4．三种抽样方法的比较
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2400 4200 3800 1600
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
5．课堂练习
6、布置作业 教科书习题2．1第4、5、6题。(共20张PPT)
探究:
我国是世界上严重缺水的 国家之一，城市缺水问题较为突出。某市政府为了节约用水，计划在 本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的按平价收费，超过 a的按议价收费。如果希望大部分居民的 日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做什么工作？
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1
2、决定组距与组数（将数据分组）
3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)
画频率分布直方图的步骤
组距：指每个小组的两个端点的距离
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少常分5-12组。
复习
画频率分布直方图的步骤
4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏)
复习
表2－2 100位居民月均用水量的 频率分布表
分组 频数累计 频数 频率
[0 , 0.5) 4 0.04
[0.5 , 1) 8 0.08
[1 , 1.5) 15 0.15
[1.5 , 2) 22 0.22
[2 , 2.5) 25 0.25
[2.5 , 3) 14 0.14
[3 , 3.5) 6 0.06
[3.5 , 4) 4 0.04
[4 , 4.5) 2 0.02
合计 100 1.00
频率分布直方图如下：
月均用水量/t
频率
组距
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图
注：小长方形的面积＝组距×频率/组距＝频率
各长方形的面积总和等于1。
利用样本频分布对总体分布进行相应估计
（3）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线。
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
（1）上例的样本容量为100，如果增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增至10000呢？
总体密度曲线
频率
组距
月均用水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值百分比。
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具.
总体密度曲线
茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
(1)甲运动员得分：
13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39
(2)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39
茎叶图
甲
乙
0
1
2
3
4
5
2 5
5 4
1 6 1 6 7 9
4 9
0
8
4 6 3
6 8
3 8 9
1
小结
图形 优点 缺点
频率分布 1）易表示大量数据 丢失一些
直方图
2）直观地表明分布地 情况 信息
1）无信息损失 只能处理样本
茎页图
2）随时记录方便记录和表示 容量较小数据
练 习
1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5）的百分比是多少
解:组距为3
分组 频数 频率 频率/ 组距
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
0.020
0.053
0.060
0.073
0.067
0.033
0.027
频率分布直方图如下：
频率
组距
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
12.5
15.5
0.060
0.070
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1
2、决定组距与组数（将数据分组）
3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)
小结:画频率分布直方图的步骤
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
5、画出频率分布直方图。
组距：指每个小组的两个端点的距离，组距
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少常分5-12组。
1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
小结第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）
教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课：
1.函数模型思想及函数概念：
①给出第一节生活中的变量关系三个实例略．
②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
　　归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：
③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？
一次函数、二次函数的定义域与值域？
⑤练习：，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值．
求值域.
例1：见课本27页例1
2.区间及写法：
① 概念：设是两个实数，且，则：
叫闭区间； 叫开区间；
； ；都叫半开半闭区间．
② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”
③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x④ 用区间表示：函数y＝的定义域 ，值域是 ． （观察法）
3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
三、巩固练习：
1. 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)
2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？
3. 课堂作业：
第二课时： 1.2.1 函数的概念（二）
教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法．
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域．
教学难点：值域求法．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域.
二、讲授新课：
1.教学函数定义域：
①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=； f(x)=； f(x)=－
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
②练习：求定义域（用区间）→
f(x)＝； f(x)＝＋
③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
2.教学函数相同的判别：
①讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？
②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
A.；； B.；
C．； 、D.；
②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。
3.教学函数值域的求法：
① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝ ；
f(x)＝
先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个
②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：；
2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)． 变：，求f(f(x))
解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求．（特殊值法）
3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 ．
4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域．
解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域
5.课堂作业：
第三课时： 2.2 函数的表示法
教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
教学难点：分段函数的表示及其图象．
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
1.教学函数的三种表示方法：
① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值．
具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表．
②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．
③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
⑤处理课本P29例2
2．教学分段函数：
①出示例3：写出函数解析式，并画出函数的图像．
邮局寄信，不超过20g重时付邮资1.2元，超过20g重而不超过40g重付邮资2.4元。超过40g重而不超过60g重付邮资3.6元。超过60g重而不超过80g重付邮资4.8元。超过80g重而不超过100g重付邮资6.00元。每封x克（0（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ）
②练习：A. 写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg．批发x千克应付的钱数（元）．
B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像．
③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例
④课本P30例4
3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段
三、巩固练习：1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值．
2.作业：P34 1、2题
第四课时：2.3 映射
教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：理解概念．
教学过程：
一、复习准备：
1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.
二、讲授新课：
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方；
，，对应法则：平方；
, , 对应法则：求正弦；
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？
举例一一映射的实例 （一对一）
2.教学例题：
① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P | P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B= ？
（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）
② 讨论：如果是从B到A呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
，对应法则；
，，；
设；
，
3. 小结：映射概念.
三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.
第五课时 函数及其表示 （练习课）
教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．
教学难点：函数记号的理解.
教学过程：
一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1. 说出下列函数的定义域与值域： ； ； .
2. 已知，求， ， .
3. 已知，作出的图象，求的值.
二、教学典型例题：
1.函数记号的理解与运用：
① 出示例1. 已知f(x)= 1 g(x)=求f[g(x)]
（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）
② 练习：已知=xx+3 求： f(x+1), f()
已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
③ 出示例2. 若,求
分析：如何理解？ 如何转化为
解法一：换元法，设，则……
解法二：配元法，，则……
解法三：代入法，将x用代入，则……
讨论：中，自变量x的取值范围？
④ 练习：若， 求.
2. 函数应用问题：
①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）.
Ⅰ.写出与x之间的函数关系式？
Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？
小结：简单函数应用模型 ）
三、巩固练习：1. 已知满足，求.
2.若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域
3.设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.1．1．1算法的概念 海口实验中学 李朝戟
1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、 创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。
2、 探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
3、 例题分析：
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数 [1] 做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：解③，得；
第三步：将代入①，得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：计算与
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算；
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:00从家出发到公共汽车站
（2）1:10上公共汽车
（3）1:40到达体育馆
（4）1:45做准备活动。
（5）2:00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S1 1:00从家出发到公共汽车站
S2 1:10上公共汽车
S3 1:40到达体育馆
S4 1:45做准备活动
S5 2:00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：算法如下
S1 计算△=b2-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1
S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、作业：1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。
解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：
第一步：计算△= ；
第二步：若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x | x>x1或x第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；
第二步：若x1= x2；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若x1≠x2；
第五步：计算；
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：计算；
第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；
第五步：计算S=；
第六步：输出运算结果
PAGE
6
^1(共7张PPT)
1、求下列角的余弦值：
2、化简：
3、已知角A的终边经过点P(2t，－4t)，求sinA+cosA的值。
1、填表
余弦函数
函数 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 周期
y=sinx
y= cosx
y=sin(x+ )
y=3－2cosx
y=|cosx|
2、已知
的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，
该图形的面积是 （ ）
A．4π B．2π C．8 D．4
3、函数y=2x与y=cosx的图像的交点个数为_________.
4、
的定义域为___________________;
的值域
5、求y=3cos2x+4cosx+1
6、求函数y=log2(cosx)的单调区间。
1、已知sinx>cosx,则x的范围为_________
2、设角
的值等于_____
.
4、求函数
5、求函数y=log2(cosx)的定义域、值域、单调区间和周期。
的定义域。(共13张PPT)
§4.9 函数 的图象
（二）
我们的目标
1、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅变换的规律
2、能够熟练地进行函数图象之间的变换
例题1
动画
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
步骤5
沿x轴 平行移动
横坐标 伸长或缩短
纵坐标 伸长或缩短
沿x轴 扩展
例题2
函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移
个单位，所得到的曲线是 的图象，
试求函数的解析式.
用“五点法”作出函数 的图象，并
指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
例题3
例题4
已知函数
在一个周期内的简图（如图），求其相应的函数表
达式，并说明它是 经过怎样变换得到的.
如果函数 的图象关于
直线 对称，那么a= ( )
例题5
1、函数 的图象可以由函数 的
图象经过下列哪种变换得到 （　）
Ａ.向右平移　　个单位
Ｂ.向右平移　　个单位
Ｃ.向左平移　　个单位
Ｄ.向左平移　　个单位
２、在　　　　上既是增函数，又是奇函数的是　　（　）
3分钟内完成
3、函数 的图象的一条对称轴方程是 （ ）
4、右图是函数 的图象，那么 （ ）
3分钟内完成
5、已知 ，则 的图象 （ ）
6、正弦函数 的定义域为R，周期为 ，初相为 ，
值域为 ，则其函数式的最简形式为 （ ）
4分钟内完成
7、函数 的单调增区间为 （ ）
8、函数 的图象关于原点中心对称的充要
条件是 （ ）
5分钟内完成指数函数测试题
一、单项选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1.若指数函数的反函数的图象过点（-2，1），则是
A . B. C. D.
2.集合A=， B=，则
A.AB B. AB C. AB D.A=B
3.函数的图象必过点
A.(0,1) B. (1,1) C.(2,0) D.(2,2)
4.已知，则等于
A. B. ―2 C. D.2
5.已知是奇函数，且当时,则时等于
A. B. C. D.
6.设指数函数，则下列等式中不正确的是
A. B.
C. D.
7.函数的值域是
A.(0,+∞) B.(0,9) C. [,27] D. (,27)
8.若，则等于
A.1 B.5 C.5或1 D.2或5
9.函数的奇偶性为
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D.是奇函数又是偶函数
10.若，则下列各式成立的是
A. B.
C. D.
11.若指数函数在[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数为
A. B. C. D.
12.若，且，则等于
A. B. 2或―2 C.―2 D.2
题 号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12
答 案
二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.已知，则=
14.已知，则=
15.方程的实数解的个数是
16.如果当时恒成立，则实数的范围是
三求解题：（本大题共6小题，共76分）
17.（满分12分）求下列函数的定义域和值域：
（1） （2）
18.（1）（满分6分）计算：0.027―+2560.75―3-1
（2）（满分6分）化简：
19.（1）（满分6分）已知，求的值
（2）（满分6分）若，求证：对任意，等式
都成立
20.（满分12分）已知，求函数的值域
21.（满分13分）已知函数在定义域[]上具有奇偶性；
（2）判断它的奇偶性；（2）求出此函数的值域
22.（满分13分）已知关于的方程有负根；（1）求实数的值的集合；
（2）若函数的定义域恰为M，求的值域
2003级高一对数函数及函数应用测试题
1. 选择题:(8X5`=40`)
1.已知lgm=b--2lgn,那么m等于 (D)
A. B. C.b--2n D.
2.若loga2A.0b>1 D.b>a>1
3.若x=60,则的值为 ( A )
A.1 B. C.2 D.以上结果都不对
4.函数y=定义域是 ( C )
A.(5,+∞) B.(6,+∞) C.(5, 6] D.(5,6)
5.函数y=log0.5(4x-x2)的值域是 ( A )
A[-2,+ ∞) B.R C.[0,+ ∞) D.(0,4]
6.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值为 (B )
A.128 B.256 C.512 D.8
7.某商品降价10%后,又想恢复原价,则就提价 (D )
A.10% B.9% C.11% D.%
8.下列不等式中正确的是 ( A )
A. log0.3>log0.3>log30.3 B. log30.3>log0.3> log0.3
C. log30.3> log0.3> log0.3 D. log0.3> log0.3> log30.3
二.填空题:(4X5`=20`)
9.计算lg--lg+lg12.5--log89·log278的值等于
10.已知y=loga(-ax+3)在 [0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （1，3）
11.函数y=()-x+1的反函数是 y=log5(x-1)(x>1)
12. 若y=lg（ax2+2x+1）的值域为R，则a的取值范围是 [0，1]
三.解答题:
13. 已知函数y=(xR),求反函数y=f-1(x).(本题满分13分)
14. 若f（x）=log3x+3（1≤x≤16），求y=f2（x）+f（x2）的值域(本题满分13分)
15．某商店某种商品的进货单价为40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件；售价每提高1元，那么一个月的销售个数将会减少10件，现采用提高售价而减少进货的办法增加利润，问如何定价才能获得最大的利润？并求出最大的利润。(本题满分14分)
16．选作题：已知x>0,且x≠1，f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较f(x)与g(x)的大小。(本题满分4`,计入总分,但总分不超过100分)
≠(共6张PPT)
平面向量的数量积
及运算律（二）
判断题：
1.若a =0, 则对任一向量b ,有 a b=0
2.若a ≠ 0, 则对任一非零向量b ,有 a b≠ 0
3.若a≠ 0, a b=0, 则b=0
4.若a b=0，则a、b中至少有一个为0
5.若 a ≠ 0, a b= a c, 则 b = c
6. 若 a b= a c， 则b ≠ c当且仅当a= 0时成立
7. 对任意向量 a、b、c，有（a b) c ≠a(b c)
8. 对任一向量 a ,有 a2 =| a |2
×
√
×
×
×
×
×
×
判断题：
(1) | a · b | =| a | | b | <=> a // b
(2) a 与 b 反向 <=> a · b =-| a | | b|
(3) a⊥ b <=> | a + b |=| a – b |
(4) | a | = | b | <=> | a · c |=| b · c |
√
×
×
√
2、填空
(1) 0 · a =_____;(2) 0 a =______;(3) t 0 =_______
0
0
0
例4：已知 | a |=3, | b |=4,(且 a 与 b 不共线)，
当且仅当 k 为何值时，向量 a +k b 与a-k b
互相垂直？
创新练习
1、设 a 是非零向量，且 b ≠ c ，求证：
a · b = a · c <=> a ⊥ ( b – c )
3、求证：
平行四边形两条对角线平方和
等于四条边平方和。
A
B
C
D
(出P157)
2、已知非零向量 a , b 的夹角为θ，模为 | a |,| b |.
求 | a + b |,| a – b |(共11张PPT)
基础练习
化 简:
1. cos(240－α)cos(160+α)－
sin(240－α) sin(160+α)－sin500
=____
2. cos450 cos(－150)－ sin450 sin(－150)
=____
0
4. cos(250－x)cos(350+x)－
cos(550－x) cos(650+x)
3. cos800 cos350+cos100 cos550
=____
=____
5. 若sin2xsin3x=cos2xcos3x,则x的一
个值是( ).
A.
B.
C.
D.
A
1. 已知 cosα+cosβ=
sinα－sinβ=
求 cos(α+β).
例题讲解
2. 已知: sin(α+β)=
sin(α－β)=
求 .
求 cos(α+β).
3. 已知:
<α< ,
sin( +β)=－ .
0<β< .
且 cos( －α)= ,
4. 已知α,β为锐角,sinα= ,
sinβ = , 求α+β的值.
5. 已知函数y=
当函数y取得最大值时,求x的集合.
5. 已知:
tan(α+ )=－
求 tanα, tan(α－ ).
6. 求下列各式的值:
①
②
=1
=
③
=
④ 1+tan660+tan690－tan660·tan690
= 0
7. 已知α,β为锐角,cosα= ,
tan(α－β) =－ ,求cosβ的值.算法的概念
珠海北大附属实验学校 何莲姣
教学目标：通过分析具体问题过程与步骤，建立算法的概念，感受算法的思想，了解算法的含义，能用自然语言描述解决具体问题的算法。
教学重点：通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义。
教学难点：同重点。
教学过程：
一、本章章头图说明
章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。
中国古代数学注重实际问题的解决，以算法为中心，寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思想，割圆术、秦九韶算法等都是很经典的算法，所以算法不是一个全新的概念。
古代的计算工具：算筹与算盘；元代朱世杰著《四元玉鉴》。
20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。
二、引入新课
1、怎样理解算法？
广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。做任何事情都有一定的步骤。例如：描述太极拳动作的图解，就是“太极拳的算法”；一首歌的乐谱，可以称之为该歌曲的算法。从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题。
实例1：求整数1到100的和，可以先进行1＋2，再加3，再加4，一直加到100；也可以采取这样的方法：100＋（1＋99）+（2＋98）＋…＋（49＋51）＋50=100＋49×100＋50=5050，还可以有其他的方法。
实例2：求1×2×3×4×5。
步骤1：先求1×2，得到结果2；
步骤2：将步骤1得到的结果2再乘以3，得到6；
步骤3：将步骤2得到的结果6再乘以4，得到结果24；
步骤4：将步骤3得到的结果24再乘以5，得到120。
实例3：解二元一次方程组 x－2y＝－1 ①
2x＋y＝1 ②
第一步：②－①×2，得 5y＝3； ③
第二步：解③得y＝；
第三步：将y＝代入①，得x＝。
这三步就构成了解这一个二元一次方程组的算法。
推广开来，对于一般的二元一次方程组
a1x＋b1y＝c1
a2x＋b2y＝c2
可以根据实例3中解方程组的算法编制程序，让计算机来解二元一次方程组。
2、现代意义上的算法
算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤
必须是明确的和有效的，而且能够在有限步之内完成。
对算法定义的理解：
（1）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系。算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决。
（2）算法的五个特征
①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去。
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的。
③逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。
④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法。
⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决。
例1、（1）下列关于算法的说法中，正确的有（ ）
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（2）对于像“喝一碗水”这类含有动作性的语言能否出现在算法的一个步骤中，下列说法正确的是（ ）
A、能 B、不能 C、有些题目能，有些不能 D、上述说法均不对
例2、写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法。
解：算法1：
第一步：移项，得x2－2x＝3； ①
第二步：①式两边同加1并配方，得（x－1）2＝4； ②
第三步：②式两边开方，得x－1＝±2； ③
第四步：解③得x＝3或x＝－1。
算法2：
第一步：计算方程的判别式判断其符号△＝22＋4×3＝16＞0；
第二步：将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝ EQ \F(－b±,2)，
得x1＝3，x2＝－1
评析：比较两种算法，算法2更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想、合算的算法。因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式。
下面设计一个求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下：
第一步：计算△＝b2＋4ac；
第二步：若△＜0；
第三步：输出方程无实根；
第四步：若△≥0；
第五步：计算并输出方程根x1,2＝ EQ \F(－b±,2)。
评析：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果。
练习：1、写出解方程2x＋7＝0的一个算法。
2、写出求过P1（3，2），P2（－1，6）两点的直线的斜率的一个算法。
例3、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。
分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。
解：算法步骤如下：
第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；
第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
第五步：交换结束。
变式引申：一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元。你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法。
评析：对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法。
三、小结
1、算法概念和算法的基本思想
（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；
（2）算法的五个特征。
2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法
3、两类算法问题
（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。
（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述。
四、布置作业
课本第4页练习1、2题(共26张PPT)
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作
λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
θ=180°
θ =90°
向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
θ=0°
特殊情况
O
B
A
θ
例1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点！
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
分析：
(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，
符号由夹角决定
(2)a · b不能写成a×b
1) 对实数a≠0,若a · b=0，则b=0，但对向量a≠0 时，若a · b=0 , 能不能推出b是零向量？
2）对于实数a、b、c（b≠0），若a · b=b · c，则
a=c , 对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？
3）对于实数a、b、c，有（a · b） · c=a · （b · c）
但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？
(3)向量的数量积与实数积的区别:
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。
θ为锐角时
θ为钝角时
θ=90°
θ=0°
θ=180°
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
（1）e·a=a·e = |a| cosθ
重要性质:
（5）|a·b|≤|a||b|
a·b
|a||b|
（4）cosθ=
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|
当a与b反向时，a·b=－|a| |b|
特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（2）a⊥b a·b=0
1．若a=0，则对任一向量b ，有a · b=0
2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0
3.若a≠0，a · b=0,则b=0
4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0
5.若a≠0，a · b= b · c,则a=c
6.若a · b= a · c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立
7.对任意向量a , b ,c,有(a · b)·c≠a ·(b · c)
8.对任一向量a,有a2=|a|2
练习：判断正误
( √ ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( √ ）
练习:
1.在△ABC中, =a , =b ,a·b<0 ,则△ABC
是_____三角形
BA
BC
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
则 a在е方向上的投影是_____
2π
3
3.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（ ）
（A）数量
（B）与a共线的向量
(C) 与c共线的向量
(D)无意义
钝角
–2
C
5.6 平面向量的数量积及运算律
例3、已知
与 的夹角为60°，
求：（1） 在 方向上的投影；
（2） 在 方向上的投影；
（3）
（4）
=2
=3
解：（3）
当且仅当　为何值时，　　　与　　　　互相垂直？
（5）
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
P119
练习 2 ，3
已知△ABC的顶点A（1，1），B（4，1），C（4，5）。
计算cosA, cosB, cosc.
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
1 . a·b=|a| |b| cosθ
2. 数量积几何意义
3. 重要性质
课本 :
第 3题
P119 第 4题
第 5题
复 习
例题讲解
小结回顾
引 入
新课讲解
性质讲解
课堂练习
敬请指教
O
B
A
当θ=0°时，a与b同向
返回
O
B
A
当θ=180°时，a与b反向。
返回
O
B
A
θ
θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。
返回
O
B
A
返回
当θ=0°时，它是|b|
O
B
A
返回
当θ=180°时，它是－|b|。
O
B
A
θ
返回
当θ=90°，它是0。
O
B
A
θ
B1
a
b
当θ为锐角时，它是正值；
返回
O
B
A
θ
B1
当θ为钝角时，它是负值；
返回三、解答题（要写出必要的文字说明和步骤，6小题，一共80分）
4．已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
5.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，高是cm，
（1）求三棱台的体积；
（2）求三棱台的侧面积.
5．长方体ABCD—A/B/C/D/中，
（1）求证：A/C///平面ABCD；
（2）若该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，用过三点A/、B、C/的平面截去长方体的一个角，求剩余部分几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，画出剩余部分几何体的三视图.
7．在三棱柱—中，点D是BC的中点，欲过点作一截面与平面　平行，问应当怎样画线，并说明理由。
8．如图，在棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中。
（Ⅰ）求证：B1D⊥平面A1C1B；
（Ⅱ）求三棱锥A1—BC1D的体积。
1．（本小题满分12分）
如图，已知三角形的顶点为，，，求：
（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
2．设直线.
（1） 若在两坐标轴上的截距相等，求的方程
（2） 若不经过第二象限，求实数a的取值范围
6．（本小题满分14分）过点作直线，使其夹在直线与之间的线段被平分，求直线的方程.
7．（本小题满分12分）已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线平行于AB,且分别交AC,BC于E, F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的.求直线l的方程.
8．（本小题满分14分）过点（２，３）的直线l被两平行直线：２ｘ－５ｙ＋９＝０与：２ｘ－５ｙ－７＝０所截,线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线l的方程
9．（本小题满分14分）已知三条直线： ： ：两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
10．（本小题满分14分）已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由.
11．（本小题满分12分）顺次连结四点得四边形ABCD。证明四边形ABCD为梯形求它的面积。
14. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。
三、解答题（要写出必要的文字说明和步骤，6小题，一共80分）
4．已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
5.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，高是cm，
（1）求三棱台的体积；
（2）求三棱台的侧面积.
解：（1）∵ 是正三棱台，∴ 与均为正三角形.又正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，
∴ 的面积
的面积，又正三棱台的高=
∴ 所求三棱台的体积
（2）正三角形的高
正三角形的高
设正三角形与正三角形的中心分别为、,则，，过作交于，那么.
在中，，从而正三棱台的斜高.故等腰梯形的面积为，于是，所求三棱台的侧面积.
5．长方体ABCD—A/B/C/D/中，
（1）求证：A/C///平面ABCD；
（2）若该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，用过三点A/、B、C/的平面截去长方体的一个角，求剩余部分几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，画出剩余部分几何体的三视图.
解：（1）连接，在长方体ABCD—A/B/C/D/中，
∵ A/A⊥平面ABCD，C/C⊥平面ABCD，又A/A= C/C
∴ 四边形A/ACC/是矩形，
∴ A/ C/∥AC，而，
∴ A/C///平面ABCD
（2）∵ 该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，
∴ 该长方体的体积为
又过三点A/、B、C/的平面截得的长方体的一个角是一个三棱锥，其体积为 ∴ 剩余部分几何体的体积
(3) 略
7．如图，在三棱柱—中，点D是BC的中点，欲过点作一截面与平面　平行，问应当怎样画线，并说明理由。
解：（Ⅰ）取的中点E，连结，
则平面∥平面……………………4分
∵D为BC的中点，E为的中点，∴
又∵BC∥，∴四边形为平行四边形，
∴∥BE，……………………………………7分
连结DE，则DE ，
∴DE ,
∴四边形是平行四边形，
∴AD∥……………………………………………………………10分
又∵ 平面，，∴平面∥平面。………12分　　　
8．如图，在棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中。
（Ⅰ）求证：B1D⊥平面A1C1B；
（Ⅱ）求三棱锥A1—BC1D的体积。
解：（Ⅰ）证明：如图，连B1D1,
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又∵BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1底面A1B1C1D1，
∴A1C1⊥BB1，…………………………………2分
又∵B1D1∩BB1＝B1,
∴A1C1⊥平面BB1D1D， ∴B1D⊥A1C1，…………………5分
同理可证：B1D⊥BC1，
又∵∴B1D⊥平面A1C1B。………………………………7分
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABD，正方体棱长为1，
∴…………………9分
同理可求：,………………10分
∴ ………12分
1．（本小题满分12分）
如图，已知三角形的顶点为，，，求：
（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
（Ⅰ）解：AB中点M的坐标是，
中线CM所在直线的方程是，即
（Ⅱ）解法一： ，
直线AB的方程是，
点C到直线AB的距离是
所以△ABC的面积是．
解法二：设AC与轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，
，
2．设直线.
（3） 若在两坐标轴上的截距相等，求的方程
（4） 若不经过第二象限，求实数a的取值范围
解（1）当直线经过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线方程为3x+y=0.…………3分
若a≠2，即不过原点，由在两坐标轴上的截距相等，有，解得a=0
的方程为x+y+2=0.
综上可知，的方程为3x+y=0或x+y+2=0.……………6分
（2）将的方程化为，欲使不经过第二象限，当且仅当
　　　 　
…… 8分 　 或 ∴……10分
　　　
综上可知，的取值范围是………12分
6．（本小题满分14分）过点作直线，使其夹在直线与之间的线段被平分，求直线的方程.
解：设直线与直线、分别交于、，则 ……①，又因为是线段的中点，得. ∵在上，∴，即 ……②，解①②联立所得方程组，有，.根据两点式方程，可得直线的方程为： ，即为所求.
7．（本小题满分12分）已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线平行于AB,且分别交AC,BC于E, F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的.求直线l的方程.
解：由已知，直线AB的斜率K=，∵EF∥AB∴　直线EF的斜率为　K=
∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点。
又点E的坐标（0，）　直线EF的方程是，即
8．（本小题满分14分）过点（２，３）的直线l被两平行直线：２ｘ－５ｙ＋９＝０与：２ｘ－５ｙ－７＝０所截,线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线l的方程
解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得
经整理得，，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以
解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３）
所以直线Ｌ的方程为，即
9．（本小题满分14分）已知三条直线： ： ：两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
解：如图：通过计算斜率可得L1L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆
解方程组 得所以点A的坐标（-2，-1）
解方程组 得所以点B的坐标（1，-1）
线段AB的中点坐标是，又
所以圆的方程是
10．（本小题满分14分）已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由.
解：圆C化成标准方程为：
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a,b）
由于　　　①
直线的方程为
即：　　　　　②
由①②得：
当
当
故这样的直线l 是存在的，方程为x-y+4=0或x-y+1=0.
11．（本小题满分12分）顺次连结四点得四边形ABCD。证明四边形ABCD为梯形求它的面积。
解：∵
∴从而AB∥CD………………………………………………4分
又∵……………………6分
∴从而直线BC与DA不平行，
因此，四边形ABCD是梯形。…………………………………………6分
AB所在直线的方程为
直线CD的方程为………6分
∴直线AB与CD之间的距离
，又
∴四边形ABCD的面积是
S四边形ABCD=。…………12分
14. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。
解:设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2 ①
将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1=0 ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
D
B
A
D
C
D/
C/
B/
A/
A1
C1
B1
A
E
A1
C1
B1
A
B
C
O1
O
D1
D
E
O
B
A
D
C
D/
C/
B/
A/
B
D1
C
O1
PAGE
1(共11张PPT)
§4.5 正、余弦的诱导公式
（二）
我们的目标
熟练掌握诱导公式，学会灵活运用
x
y
0
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：(共7张PPT)
向量的减法
复习练习：已知 ，求作 使得 。
A
C
B
思考：能否求一向量，使其等于 ？
练习一：求作
A
B
O
A
C
B
练习二：求作
例3: 如图，已知向量 ，求作向量
A
B
O
C
D
例4：如图，平行四边形ABCD中，
用 表示向量
A
B
C
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普通高中课程标准实验教科书—数学必修三[苏教版]
§2.1 第1课时 抽样方法
（3）——分层抽样
教学目标
（1）理解分层抽样的概念与特征，巩固简单随机抽样、系统抽样两种抽样方法；
（2）掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别与联系．
教学重点、难点
正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学过程
一、问题情境：
1．复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围．
2．实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？
二、学生活动
能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？
指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性。
由于样本的容量与总体的个体数的比为100：2500=1：25，
所以在各年级抽取的个体数依次是，，，即40，32，28．
三、建构数学
1．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．
说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；
②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．
2．三种抽样方法对照表：
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在第一部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统 总体由差异明显的几部分组成
3．分层抽样的步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分。
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比。
（3）确定各层应抽取的样本容量。
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本。
注：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．实际抽样多采用不放回抽样，我们介绍的三种抽样都是不放回抽样，而放回抽样则在理论研究中用得较多．
四、数学运用
1．例题：
例1．（ 1）工厂生产的某种产品用传输带将产品送入包装车间，检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验，问这是一种什么抽样法？
（2）已知甲、乙、丙三个车间一天内生产的产品分别是150件、130件、120件，为了掌握各车间产品质量情况，从中取出一个容量为40的样本，该用什么抽样方法？简述抽样过程？
解：（1）这是将总体分成均衡的若干部分，再从每一部分按照预先订出的规则抽取一个个体，得到所需要的样本，故它是系统抽样．
（2）因总体来自三个不同车间，故适宜用分层抽样法，
因抽取产品数与产品总数之比为40：400=1：10，
所以，各车间抽取产品数量分别为15件、13件、12件，
具体抽样过程在各车间产品中用随机抽样的方法依次抽取（过程略）．
例2．一电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2435 4567 3926 1072
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
解：抽取人数与总的比是60：12000=1：200，
则各层抽取的人数依次是，，，，
取近似值得各层人数分别是12，23，20，5．
然后在各层用简单随机抽样方法抽取．
答：用分层抽样的方法抽取，抽取“很喜爱”、“喜爱”、“一般”、“不喜爱”的人数分别为12，23，20，5．
说明：各层的抽取数之和应等于样本容量，对于不能取整数的情况，取其近似值．
例3．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
（1） 从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
（2） 某电影院有32排座位，每排有40个座位 ，座位号为。有一次报告会坐满了听众，报告会结束后，为听取意见，需留下32名听众进行座谈；
（3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
分析：（1）总体容量较小，用抽签法或随机数表法都很方便。
（2）总体容量较大，用抽签法或随机数表法都比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样。
（3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法。
解：（略）
2．练习：课本第42页第2、3题、第47页第1、2、3题．
五、回顾小结：
1．分层抽样的概念与特征；
2．三种抽样方法相互之间的区别与联系。
六、课外作业：
课本第49页第1、2、3、8题
必修三 第2章 统计——第3课时：分层抽样§1.1利用函数性质判定方程解的存在
教学目标：
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法 零点存在性的判定．
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设置 师生双边互动
创设情境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
组织探究 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：　代数法；　几何法．
二次函数的零点：二次函数　　　　　．１）△＞０，方程有两不等 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
环节 教学内容设置 师生双边互动
组织探究 实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象： 在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）． 在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
环节 教学内容设置 师生互动设计
例题研究 例1．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数，并画出它的大致图象． 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
尝试练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）． 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
探究与发现 1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．2．设函数．（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
环节 教学内容设置 师生互动设计
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）；（4）．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）．已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）
课外活动 研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达． 考虑列表，建议画出图象帮助分析．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
§1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 ( BinarySearch.exe )．材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组织探究 二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，，验证·，给定精度；2．求区间，的中点；3．计算： 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
组织探究 若=，则就是函数的零点； 若·<，则令=（此时零点）； 若·<，则令=（此时零点）；4．判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4． 生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
例题解析：例1．求函数的一个正数零点（精确到）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略）．注意： 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．解：（略）．思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点． 师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
探究与发现 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．用二分法求函数的变号零点二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝试练习 教材P106练习1、2题；教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求方程的解的个数及其大致所在区间；求方程的实数解的个数；探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；提高作业： 已知函数．（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求的值． 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）； 用二分法求的近似值（精确到）．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
课外活动 查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
创设情境
组织探究
尝试练习
探索研究
作业回馈
课外活动
结合二次函数引入课题．
二次函数的零点及零点存在性的．
零点存在性为练习重点．
进一步探索函数零点存在性的判定．
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
创设情境
组织探究
探索发现
尝试练习
作业回馈
课外活动
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
二分法的意义、算法思想及方法步骤．
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．
二分法应用于实际．
1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
第 1 页 共 13 页4 对数
教学目标：
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质决有关问题。培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。
2、通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识。
3、学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。
教学重点难点：
重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用。
难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用。
教学过程：
4.1 对数及其运算（第1课时）
一、引入：
在上一节，我们研究细胞分裂时，曾归纳出，第次分裂后，细胞的个数
给定细胞分裂次数，可求出细胞个数。在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数，计算分裂的次数。
2000年我国国民经济生产总值为亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。
假设经过年，国民经济生产总值是2000年2倍，依题意，有
即
指数取何值时满足这个等式呢？
我们经常遇到这类已知底数和幂的值，求指数的问题。这就是我们接下来要学习的对数问题。
二、讲授新课：
1 对数
（1）、定义：
一般地，如果 的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作
其中叫作对数的底数，叫作真数。
实质上，对数表达式不过是指数函数式的另一种表达形式。
例如，
这两个式子表达的是同一关系。
（2）、说明：
①
② 负数和零没有对数。
③
④
2、常用对数、自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，的常用对数，简记作。
以为底的对数称为自然对数，的自然对数，简记作。
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） （2） （3） （4）
解 （1） （2）
（3） （4）
例2将下列对数式写成指数式：
（1） （2） （3） （4）
解 （1） （2） （3） （4）
例3 求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4） （5）
解 （1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3） （4） （5）
三、课堂练习：
课本P81 练习1 ， 1、2、3
四、课堂小结：
1 对数的定义；2 几种特殊数的对数；3 负数和零没有对数；4 对数恒等式；5 常用对数和自然对数。
五、作业：
习题3-4 A组 P88 1、2、3
补充作业：
已知，求的值。
解 因为，根据对数的定义有，
所以
4.1 对数及其运算（第2课时）
一、复习回顾：
1 对数的定义
2 指数式与对数式的互化
3 重要公式
4 指数的运算法则
二、教授新课：
1 对数的运算性质
如果，则
（1）
（2）
（3）
证明：设，则由对数定义得
因为 ，所以
即
例4 计算：
（1） （2）
解（1）
（2）
例5 用表示下列各式：
（1） （2） （3）
解 （1）
（2）
（3）
例6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为，由题意得
因此
即
所以
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍。
三、课堂练习：
课本P84 练习2 ， 1、2、3
四、课堂小结：
1、对数的运算法则
2、对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用
3、对数与指数形式比较
五、作业：
习题3-4 A组 6、7、8
补充作业：已知均为正数，，求证：。
证法一：设，则。
由对数的定义得，
则左边=，
右边=。
证法二：
所以 又
所以
4.2 换底公式（第3课时）
一、引入：
在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求？
我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算。
设 ，写成指数形式，得
两边取常用对数，得
所以
即
二、讲授新课：
1、换底公式
证明 设，根据对数定义，有
两边取以为底的对数，得
而，所以
由于，则，解出，得
，
因为，所以
很容易由换底公式得到
例7 计算：
（1） （2）
解 （1）
（2）
例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
； ； ； ；
解
例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
解 设最初的质量是1，经过年，剩留量是，则
经过1年，剩留量是，
经过2年，剩留量是，
……
经过年，剩留量是。
方法一 根据函数关系式列表3-9
表3-9
0 1 2 3 4 5 ……
1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 ……
观察表中数据，时对应有
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
方法二 依题意得，用科学计算器计算得
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
三、课堂练习：
课本P86 l 练习2，3
四、课堂小结：
1、对数换底公式；
2、换底公式可用于对数式的化简、求值或证明。
五、作业：
习题3-4 A组 4、5
补充作业：
已知求的值。
解：因为，
所以
又因为，
所以
5 对数函数
教学目标：
1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数行结合、分类讨论等数学思想。
2、能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题。认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识。
3、掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优秀品质，培养学生数学交流能力。
教学重点难点：
重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底数对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用。
难点：底数对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明。
教学过程：
5.1 对数函数的概念（第1课时）
一、引入：
根据对数式
对于在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的。
二、讲授新课：
1 对数函数
我们把函数 叫作对数函数，叫作对数函数的底数。
特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数；称以无理数为底的对数函数为自然对数函数。
例1 计算：
（1）计算对数函数对应于取1，2，4时的函数值；
（2）计算常用对数函数对应于取1，10，100，0.1时的函数值。
解 （1）当时，
当时，
当时，；
（2） 当时，
当时，
当时，
当时，
指数函数和对数函数有什么关系？
2 反函数
指数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是；对数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是。像这样的两个函数叫做互为反函数。
反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：
例2 写出下列对数函数的反函数：
（1） （2）
解（1）对数函数，它的底数是10，它的反函数是指数函数
；
（2）对数函数，它的底数是，它的反函数是。
例3 写出下列指数函数的反函数：
（1） （2）
解：（1）指数函数，它的底数是5，它的反函数是；
（2）指数函数，它的底数是，它的反函数是。
三、课堂小结：
1、对数函数的概念；
2、对数函数的反函数。
四、作业：
习题3-5 A组 1、2、3
5.2 的图像和性质（第2课时）
5.3 对数函数的图像和性质（第3课时）
一、复习回顾：
1、对数函数的定义；
2、对数函数的反函数。
二、讲授新课：
下面我们研究对数函数的图像和性质。
可以用两种不同方法画出函数的图像。
方法一 描点法
方法二 画出函数的图像，再变换为的图像
对数函数，在其底数及这两种情况下的图像和性质可以总结如表3-11
图 像
性 质 (1)定义域： (1)定义域：
(2)值域： (2)值域：
(3)过点,即时 (3)过点,即时
(4)当时时 (4)当时时
(5)是上的增函数 (5)是上的减函数
例4 求下列函数的定义域
（1）； （2）
解：（1）因为，即，所以函数的定义域为
；
（2）因为，即，所以函数的定义域为
。
例5 比较下列各题中两个数的大小：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）因为，函数是增函数，，所以
（2）因为，函数是减函数，，所以
（3）因为函数是增函数，，所以
同理，所以
（4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是小于1。而已知条件中并未明确指出底数于1哪个大，因此需要对底数进行讨论。
当时，函数在上是增函数，此时
当时，函数在上是减函数，此时
例6 观察在同一坐标系内函数与函数的图像，分析它们之间的关系。
解：从图3-16(1)上可以看出，点与点关于直线对称。函数与函数互为反函数，对应于函数图像上的任意一点，点关于的对称点总在函数的图像上，所以，函数的图像与函数的图像关于关于直线对称。(如图3.16(2))
图3-16(1)
图3.16(2)
例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代。已知放射性物质的衰减服从指数规律：
，
其中表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了年后剩余的质量。
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，的半衰期大约是5730年，由此可确定系数。人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的。
1950年在巴比伦发现一根可由Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其分子的衰减速度为4.09个，而新砍伐烧成的木炭中的衰减速度为6.68个。请估算出Hammurbi王朝所在年代。
解：因为的半衰期是5739年。所以建立方程
解得，由此可知的衰减规律服从指数型函数
设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为年。因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以
于是
两边取自然对数，得
解得
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年。
三、课堂练习：
课本P97 练习2、3
四、课堂小结：
对数函数的图像和性质
五、作业：
习题 3-5 A组 4、5
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
教学目标：
1、借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
2、恰当运用函数的三种表示方法，并借助信息技术解决一些实际问题。
3、让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣。
教学重点难点：
重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决简单问题。
1、 引入：
对数函数，指数函数，幂函数在区间上都是增函数，但这三类函数的增长是有差异的。本节我们将讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长情况。
当时，指数函数，是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。
当时，幂函数显然也是增函数，并且当时，越大其函数值的增长就越快。
2、 讲授新课
学生自己阅读完成
3、 课堂小结：
三类函数的增长快慢，及函数的简单应用。
4、 作业：
习题3-6 A组 1
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（9）—2.3圆的方程 YCY
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．方程表示圆的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
2．方程表示的图形是半径为（）的圆，则该圆
圆心在 （ ）
A．第一象限　　　B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限
3．若方程所表示的曲线关于直线对称，
必有 （ ）
A． B． C． D．两两不相等
4．点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是 （ ）
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
5．圆的周长是 （ ）
A． B． C． D．
6．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为 （ ）
A．x+y+3=0 B．2x－y－5=0
C．3x－y－9=0 D．4x－3y+7=0
7．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则 （ ）
A．E≠0，D=F=0 B．D≠0，E≠0，F=0
C．D≠0，E=F=0 D．F≠0，D=E=0
8．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为 （ ）
A．(x－3)2+(y+1)2=4 B．(x－1)2+(y－1)2=4
C．(x+3)2+(y－1)2=4 D．(x+1)2+(y+1)2=4
9．方程所表示的图形是 （ ）
A．一条直线及一个圆 B．两个点
C．一条射线及一个圆 D．两条射线及一个圆
10．要使与轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．圆过原点的充要条件是 ．
12．求圆上的点到直线的距离的最小值 ．
（13、14题已知）已知方程表示一个圆.
13． 的取值范围 ．
14．该圆半径的取值范围 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：
上，求此圆的标准方程．
16．（12分）已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求
△ABC外接圆的方程．
17．（12分）求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的
方程．
18．（12分）已知圆x2＋y2＋x－6y＋3=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，求以PQ
为直径的圆的方程．
19．（14分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，
求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
20．（14分）已知圆及点．
（1）在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若为圆上任一点，求的最大值和最小值；
（3）若实数满足,求的最大值和最小值．
参考答案（九）
一、BDCDA CABDA
二、11．；12．；13．；14．≤；
三、15．解：因为A（2，－3），B（－2，－5），
所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），
又 ，所以线段AB的垂直
平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径，
所以，此圆的标准方程是．
16．解：解法一：设所求圆的方程是． ①
因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是
可解得
所以△ABC的外接圆的方程是．
解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、
BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．
∵，，
线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为，
∴AB的垂直平分线方程为， ①
BC的垂直平分线方程． ②
解由①②联立的方程组可得∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），
半径．
故△ABC外接圆的方程是．
17．解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)，据题意得：
　， ∴ ，
∴ a =1， ∴　圆心为(1，－2)，半径为， ∴所求的圆的方程为.
18．解：已知圆x2+y2+x－6y+3=0与直线x+2y－3=0的两个交点为P、Q，求以PQ为直径的圆的
方程.
解法1：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点P、Q的坐标满足方程组
x2+y2+x-6y+3=0，x+2y－3=0，
x1=1，x2=-3，
解方程组，得
y1=1，y2=3，
即点P（1，1），Q（－3，3）∴线段PQ的中点坐标为（－1，2）
|PQ|==2，故以PQ为直径的圆的方程是：
（x+1）2+（y－2）2=5
解法2：设所求圆的方程为x2+y2+x－6y+3+λ（x+2y－3）=0，
整理，得：x2+y2+（1+λ）x+（2λ－6）y+3－3λ=0，
此圆的圆心坐标是：（－，3-λ）， 由圆心在直线x+2y－3=0上，得
－+2（3－λ）－3=0 解得λ=1
故所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y=0.
19．解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P ．
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，
平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．
由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以
， ．所以有， ①
由（1）题知，M是圆上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足：②
将①代入②整理，得．
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．
20．解：（1）∵　点P（a，a+1）在圆上，　　
∴　， ∴　,　P（4,5），
∴　, 　KPQ＝，
（2）∵　圆心坐标C为（2,7），
∴ ，
∴ ，。
（3）设点（－2,3）的直线l的方程为：，
易知直线l与圆方程相切时，K有最值， ∴ ，
∴ ∴的最大值为，最小值为.
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- 7 -(共11张PPT)
§4.5 正、余弦的诱导公式
（一）
我们的目标
巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
理解与掌握五组三角函数诱导公式
y
x
o
的终边
M
P
A
T
三角函数线
x
y
0
x
y
0
P
P
M
M
（一）sin =MP
x
y
0
P
P
M
M
（二）cos =OM
T
x
y
0
A
（三）tan =AT
x
y
0
S
B
（四）cot =BS课 题： 3.3 指数函数的图象和性质
教学目的：
了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质（定义域、值域、单调性）
二：新课讲授
例1用计算机作出图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=. ⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
例2 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y＝ y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
例3 已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
小结 本节课学习了以下内容：函数图像的变换
课后作业：(共21张PPT)
§6 平面向量的数量积的坐标表示
一.复习回顾：
问题：回忆一下，如何用向量的长度、夹角
反映数量积？又如何用数量积、长度来反
映夹角？向量的运算律有哪些？
答案：
运算律有：
2、两平面向量垂直的充要条件是什么？
3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 何用坐标表示出来？
1、平面向量数量积的重要性质
参考答案：①1；②1；③0；④0.
二、新课讲授
问题1：
已知
怎样用
的坐标表示
呢？请同学们看下
列问题.
设x轴上单位向量为
，Y轴上单位向量为
请计算下列式子：
①
②
③
④
=
=
=
=
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
问题2：推导出 的坐标公式.
问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量
平行和垂直的坐标表示式.
（1）两向量垂直的充要条件的坐标表示
注意：与向量共线的坐标表示区别清楚。
（2）向量的长度（模）
（3）两向量的夹角
想一想
的夹角有多大？
(3)若 则 与 夹角的余弦值
为 （ ）
B
例3：求与向量 的夹角为45o的
单位向量.
分析：
可设x（m, n)，只需求m, n. 易知
……①
再利用 （数量积的
坐标法）即可！
解：设所求向量为 ,由定义知：
……①
另一方面
……②
∴由①，②知
解得：
或
∴
或
说明：可设 进行求解.
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证
△ABC是直角三角形.
想一想：还有其他证明方法吗？
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
证明：
△ABC是直角三角形
当
K还有其他情况吗？若有，算出来。
A
B
C
x
y
A
B
C
x
y
解
法
二
三.小结：
这节课我们主要学面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。
（1）两向量垂直的充要条件的坐标表示
（2）向量的长度（模）
（3）两向量的夹角(共64张PPT)
课题：三角恒等变形（一）
三角恒等变形（一）
我们的目标
掌握两角和与差的余弦公式，初步理解二倍角的余弦公式；
掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题
1、两点间的距离公式
x
y
0
两角和与差的余弦公式推导
2、两角和的余弦公式
x
y
0
3、两角差的余弦公式
解：
解：
解：
提示：
提示：
解：
变题
变题
三角恒等变形（二）
广州市第47中学 数学组
三角恒等变形
（二）
我们的目标
掌握两角和与差的正弦公式
结合余弦公式初步涉及“变角”和“拆角”以及“合一变形”的方法
两角和与差的正弦公式
1、两角和的余弦公式
2、两角差的余弦公式
解：
易错题
解：
练习
练习
提示：
三角恒等变形（三）
广州市第47中学 数学组
三角恒等变形
（三）
我们的目标
掌握正、余弦的和、差角及二倍角公式
掌握角的组合（变角）及正切变形公式
1、两角和、差角的余弦公式
2、两角和、差角的正弦公式
3、二倍角的正、余弦公式
两角和与差的正切公式
1、两角和的正切公式
2、两角差的正切公式
3、二倍角的正切公式
解：
解：
解：
三角恒等变形
（四）
广州市第47中学 数学组
学习目标
目标1
目标2
基础知识
基础应用
变形应用
小结
目标1
目标2
目标1
目标1
和角与差角正切公式的应用
学习目标
目标1
目标2
目标1
目标2
目标2
和角与差角正切变形公式的应用
和角与差角正切公式的应用
学习目标
基础知识
目标1
目标2
目标1
和角与差角正切公式的应用
目标2
和角与差角正切变形公式的应用
基础应用
例题1
例题3
例题2
例题1
例题3
例题2
基础应用
例题1
例题1、不查表求值
例题1
例题3
例题2
例题2
基础应用
基础应用
例题1
例题3
例题2
例题2
例题1
例题3
例题2
例题2
基础应用
例题3、计算
例题1
例题3
例题2
例题3
基础应用
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
例题1
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
变形应用
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题2
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题3
例题6
变形应用
讨论：
∴原等式成立
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题4
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题5
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
例题6
变形应用
小结
变形公式
基础应用
变形应用
1、非特殊角的求值
2、角的组合
3、公式逆用
1、典型例题
2、注意事项
达标测试
作业第一课时： 利用函数性质判定方程解的存在
教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.
教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.
教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.
教学过程：
一、复习准备：
思考：一元二次方程+bx+c=o(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c的图象之间有什么关系？
.二、讲授新课：
1、探讨函数零点与方程的根的关系：
① 探讨：方程x-2x-3=o 的根是什么？函数y= x-2x-3的图象与x轴的交点
方程x-2x+1=0的根是什么？函数y= x-2x+1的图象与x轴的交点？
方程x-2x+3=0的根是什么？函数y= x-2x+3的图象与x轴有几个交点？
② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： → 推广到y=f(x)呢？
一元二次方程+bx+c=o(a0)的根就是相应二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点横坐标.
③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？
结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
⑤ 练习：求下列函数的零点 ； → 小结：二次函数零点情况
2、教学零点存在性定理及应用：
① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号
②观察下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞)．
③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
④ 应用：求函数f(x)=Lnx+2x-6的零点的个数. （试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）
⑤小结：函数零点的求法
代数法：求方程的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
⑥ 练习：求函数的零点所在区间.
3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理
三、巩固练习：1. P97, 1,题 2,题 （教师计算机演示，学生回答）
2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.
3. 求下列函数的零点：；；；
.
4. 已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
5. 作业：P102, 2题；P125 1题
第二课时： 用二分法求方程的近似解
教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点：用二分法求方程的近似解.
教学重点：恰当的使用信息工具.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？ 零点存在性定理？
零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
2. 探究：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题
二、讲授新课：
1. 教学二分法的思想及步骤：
① 出示例：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？ → 师生用二分法探索
③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)
④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
A．确定区间，验证，给定精度ε；B. 求区间的中点；
C. 计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
D. 判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
2. 教学例题：
● 对于方程lg x = 3 x，要求出这个方程的解是较为困难的．但是，我们能否求出这个方程的近似解呢？
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．
画出函数f(x) = x2 2x 1的图象，如图2-5-3所示．从图象上可以发现，方程x2 2x 1 = 0的一个根x1在区间（2，3）内，另一个根x2在区间（1，0）内．
根据图象，我们发现f(2) = 1 < 0，f(3) = 2 > 0，这表明此函数图象在区间（2，3）上穿过x轴一次，即方程f(x) = 0在区间（2，3）上有惟一解．
计算得f() = > 0，发现x1 (2，2.5)（如图），这样可以进一步缩小x1所在的区间．
你能把此方程的一个根x1限制在更小的区间内吗？
利用计算器，求方程x2 2x 1 = 0的一个近似解（精确到0.1）．
解 设f(x) = x2 2x 1，先画出函数图象的简图，如图2-5-3．
因为
f(2) = 1 < 0，f(3) = 2 > 0，
所以在区间（2，3）内，方程x2 2x 1 = 0有一解，记为x1．
取2与3的平均数2.5，因为
f(2.5) = 0.25 > 0，
所以
2 < x1 < 2.5．
再取2与2.5的平均数2.25，因为
f(2.25) = 0.437 5 < 0，
所以
2.25 < x1 < 2.5．
如此继续下去，得
f(2) < 0，f(3) > 0 x1 (2, 3)，
f(2) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2, 2.5)，
f(2.25) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2.25, 2.5)，
f(2.375) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2.375, 2.5)，
f(2.375) < 0，f(2.437 5) > 0 x1 (2.375, 2.437 5)，
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
x1 2.4．
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解．
在上面的计算过程中，需反复计算x2 2x 1，以判断结果的正负，用下面的方法可以提高计算效率：
（1）给变量x赋值，如x = 2，按键顺序是
（2）计算x2 2x 1，按键顺序是
（3）重复计算，如计算x = 3时x2 2x 1的值，按（1）的步骤给x赋值3，按 ，出现算式x2 2x 1，再按下 即可．
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法（bisection method）．它是求一元方程近似解的常用方法．
运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间．
利用计算器，求方程lg x = 3 x的近似解（精确到0.1）．
解 分别画出y = lg x和y = 3 x的图象，如图2-5-4（1）所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x = 3 x的解．由函数y = lg x与y = 3 x的图象可以发现，方程lg x = 3 x有惟一解，记为x1，并且这个解在区间（2，3）内．
设f(x) = lgx + x 3，用计算器计算，得
f(2) < 0，f(3) > 0 x1 (2, 3)，
f(2.5) < 0，f(3) > 0 x1 (2.5, 3)，
f(2.5) < 0，f(2.75) > 0 x1 (2.5, 2.75)，
f(2.5) < 0，f(2.625) > 0 x1 (2.5, 2.625)，
f(2.562 5) < 0，f(2.625) > 0 x1 (2.562 5, 2.625)。
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为
x1 2.6．
将原方程写成x = 3 lg x，取x1 = 2，用计算器计算，则
3 lg x1 2.698 97 → x2，
再将x2 = 2.698 97代入3 lg x2得x3，如此循环计算9次后，你发现了什么？
用计算器反复计算3 lg x的方法是（CASIO fx-82MS）：
（1）取初始值2：按键顺序为
（2）输入表达式：
（3）重复按 ．
对于方程0.84x = 0.5，我们画出函数y = 0.84x与y = 0.5的图象，可以发现方程0.84x = 0.5的解在区间（3，5）内，然后利用上述二分法可以求得方程0.84x = 0.5的近似解为x 4．这里给出了第2.5节开头的问题的答案．
1．试判别方程x2 + 3x 1 = 0在区间（0，1）内是否有解．
2．用自己的语言叙述二分法求方程近似解的基本步骤．
① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2+3x=7的近似解. （师生共练）
② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）
3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注重二分法思想
三、巩固练习：1. P100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.
3. 用二分法求的近似值； 4. 求方程的实数解个数：；
5. 作业：P102 3，4题， 阅读P105框图
2．5．2 用二分法求方程的近似解
图2-5-3
y
x
2
1
3
O
2
2
4

1
x2
x1
3
2
x1
2 + 3
2
f(2) < 0
f( ) > 0
2 + 3
2
思 考
2
3
+
2
3
+
2
3
+
2.5
+
2.5
2.25
2
3
2.5
2.375
+
2
3
2.5
2.375
2.25
2.437 5
例1
图中负号“”表示此点所对应的函数值为负，正号“+”表示此点所对应的函数值为正。
CALCULATOR
SHIFT
STO
X
2
ALPHA
X
x2
2
ALPHA
X
1
=
▲
=
按键 能重新显示上次的算式．
▲
例2
图2-5-4
1
2
3
4
1
2
3
y
O
x
y = 3 x
y = lg x
（1）
（2）
2
3
2
3
+
2.5
+
2.5
2.75
2
3
2.5
2.625
+
2
3
2.562 5
2.625
+
2.5
思 考
CALCULATOR
2
=
3
Ans
=
log
=
按键 能调出答案存储器中的内容．
Ans
练 习(共2张PPT)
1. 化简:
(1)
(2) 2cos(x－y)cosy－cos(x－2y)
2. 求值:
(1) sin200+sin400－cos100
(2) cos400－cos200+sin100
3. 求函数 的最小值.
4. 求函数 的最大值.(共12张PPT)
3.1 循环语句
1.For 语句
By Duan
反复执行的结构是循环结构。
循环结构是算法中的基本结构，For语句是表达循环结构
最常见的语句之一，它适用于预先知道循环次数的循环结构。
1 。循环结构
2。For 语句的基本结构：
For 循环变量 = 初始值 To 终值
循环体
Next 其它语句
3。For 语句执行过程的理解
计算机在执行For语句时先对循环变量赋初始值，然后与
循环变量的终值比较，若小于或等于终值，则执行循环体，然后
循环变量的值增加1，在与终值比较，若还小于或等于终止，再
执行循环体，循环变量的值在增加1，以次类推，知道循环变量
的值大于终值，停止执行循环体。
i=1
循环体
i=i+1
i>
是
否
比较：
流程图：
满足条件
否
循环体
是
注意！ 使用For语句时注意设好循环变量的初始值和终值，
避免出现多一次或少一次的循环的情况。
例1 ：写出下列用For描述算法的表达式。
（1）T=1
For i= 1 to 3
T=T × i
Next
输出T
T 的表达式为:
S=0
For i=1 to 3
p= 2×i －1
S=S+1/p
Next
输出S
S 的表达式为 :
用For语句描述 1+2+3+4+5
S=0
For i = 1 to 5
S=S + i
Next
输出S
下面以一个有趣的故事掌握这一语句：
相传古代印度国王王河要褒赏他的聪明能干的宰相于浩然
（国际象棋发明者），问他需要什么。他回答说：“国王只
要在国际象棋第一个格子里放1粒麦子，在第二个格子里放2粒，
在第三个格子里放4粒，以后按此比例一次每一格增加一倍，一
直放到第64格，我就感恩不尽，其他什么也不需要了。“ 国王
答应了。 结果全印度的粮食全部用完也不够用。国王纳闷，怎么
也想不通。 请你用For 语句 设计一个算法，帮国王计算一下，
并画出流程图。
S=0
For i=0 to 63
p=2^i
s=s + p
Next
输出S
　　王河到底要给于浩然多少麦粒呢？　请同
学们自己算。
典型例题解析
1，For i= -10 to 19 为某一循环语句的一个步骤，则这个
循环体共循环（　）　次。
Ａ　２９　　Ｂ　３０　Ｃ　２８　Ｄ　１９
解析　Ｂ　循环次数为（终值－初始值）＋１＝３０　
２　设计算法　１＋２＋３．．．．．．＋１００００
解析　　
　程序描述为：
　　　Ｓ＝０
　　　ｉ＝１
　　　For i= 1 to 10000
S = S + i
Next
输出S
变式引申：用循环语句描述1+1/2+1/3…+1/10000
用循环语句描述1+1/2^2+1/3^2…+1/10000^2
规律方法总结：
　１.计算机程序运行必须使用计算机能够理解的程序设计
语言，程序设计语言都包含基本的算法语句，只有对各种
语句准确，深刻地理解，才能正确使用。
　２．编程时，先写算法，画出流程图，在编程。
Pascal ： For 循环！
For 循环的两种形式：　　
（１）递增格式　for 循环变量:=(表达式1) to (表达式２)
　　　　　　　　　do 　循环体
（２）递减格式　for 循环变量:=(表达式１) downto (表达式２)
　　　　　　　　　do　循环体 　　　　
For 语句的嵌套；
　　　　for a:=1 to 9 do
for b:= a to 9 do 　　
s:=a　×　b
　　　　猜猜计算机运行了那个程序？　
运用For 语句可以设计一些很有意思的东西。
　　　for i:= 1 to 4 do
begin
write(‘ ‘:6);
for j:=1 to 2*i-1 do write(‘*’);
writeln;
end;
运行的结果：
　　　　　＊
　　　　＊＊＊　
　　　＊＊＊＊＊
　　＊＊＊＊＊＊＊　　
For 语句是计算机程序设计中一种比较常用也比较简单的
语句，他可以使很多看似复杂的问题简单化。　所以，掌握
For 语句的运用会对以后的解决问题有很大帮助！北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（7）—2.2直线方程
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．经过点和的直线的斜率等于1，则的值是 （ ）
A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
2．若方程表示一条直线，则实数满足 （ ）
A． B．
C． D．，，
3．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为
M（1，－1），则直线l的斜率为 （ ）
A． B． C．－ D． －
4．△ABC中，点A(4，－1),AB的中点为M(3，2),重心为P(4，2)，则边BC的长为（ ）
A．5 B．4 C．10 D．8
5．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点 （ ）
A．(0，0) B．(0，1) C．(3，1) D．(2，1)
6．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．下列说法的正确的是 （ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
8．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位
置，那么直线l的斜率是 （ ）
A． B．－3 C． D．3
9．直线在轴上的截距是 （ ）
A． B．－ C． D．
10．若都在直线上，则用表示为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．直线l过原点，且平分□ABCD的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l的方程
是 ．
12．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____．
13．若方程表示两条直线，则的取值是 ．
14．当时，两条直线、的交点在 象限．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）
已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，
证明：这条直线的方程可以写成．
16．（12分）过点作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
17．（12分）把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明：的近似值是：．
18．（12分）已知：A（－8，－6），B（－3，－1）和C（5，7），求证：A，B，C三点共线．
19．（14分）的三个顶点是O（0，0），A（1，0），B（0，1）. 如果直线l： 将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且.求和b应满足的关系．
20．（14分）已知中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为 和，求各边所在直线方程．
参考答案（七）
一、BCDAC CDABD．
二、11．；12．或；13．；14．二；
三、15．解：（1）采用“代点法”，将O（0，0）代入中得C=0，A、B不同为零.
（2）直线与坐标轴都相交，说明横纵截距均存在.设，得；
设，得均成立，因此系数A、B应均不为零.
（3）直线只与x轴相交，就是指与y轴不相交——平行、重合均可。因此直线方程将化成的形式，故且为所求.
（4）x轴的方程为，直线方程中即可.注意B可以不为1，即也可以等价转化为.
（5）运用“代点法”. 在直线上，
满足方程， 即，
故可化为，
即，得证.
16．分析：直线l应满足的两个条件是
（1）直线l过点（－5, －4）；（2）直线l与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.
如果设a，b分别表示l在x轴，y轴上的截距，则有.
这样就有如下两种不同的解题思路：
第一，利用条件（1）设出直线l的方程（点斜式），利用条件（2）确定；
第二，利用条件（2）设出直线l的方程（截距式），结合条件（1）确定a，b的值.
解法一：设直线l的方程为分别令，
得l在x轴，y轴上的截距为：，
由条件（2）得
得无实数解；或，解得
故所求的直线方程为：或
解法二：设l的方程为，因为l经过点，则有：
① 又②
联立①、②，得方程组 解得或
因此，所求直线方程为：或.
17．证明：设线段AB上点，函数的图象上相应点为
由，知 解得，
依题意，的近似值是.
18．证明一：由A，B两点确定的直线方程为： 即：①
把C（5，7）代入方程①的左边：左边右边
∴C点坐标满足方程①∴C在直线AB上∴A，B，C三点共线
证明二：∵
∵∴A，B，C三点共线.
19． 解：设和AB交于P，和x轴交于Q点，则
由，有
依题意：
20．分析：B点应满足的两个条件是：①B在直线上；②BA的中点D在直线上。由①可设，进而由②确定值.
解：设则AB的中点∵D在中线CD：上∴，
解得， 故B(5, 1).
同样，因点C在直线上，可以设C为，求出.
根据两点式，得中AB：， BC：，AC：.
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- 7 -(共19张PPT)
平面向量的坐标表示及运算(2)
课前复习:
2 加、减法法则.
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)
3 实数与向量积的运算法则：
λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
4 向量坐标：
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
1 向量坐标定义.
则 =(x2 - x1 , y2 – y1 )
a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
5向量平行的坐标表示：
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同，
则n =（ ）
A. B.± C.2 D.±2
C
C
2、 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则
顶点D的坐标为( )
A(8,9) B(5,1) C(1,5) D(8,6)
课堂练习:
2. 若A ，B ，则
1、下列向量中不是单位向量的有（ ）
① a=
② b=
③ c=
④ d=(1-x,x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
练习:
2、已知单位正方形ABCD，
求 的模 。
5
5、若 为单位向量，则符合
题意的角 的取值集合为 ；
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量
同向量的单位向量是（ ）
B
2、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b
且u∥v,求x,
课后作业:
1.
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)
c=(4,1),回答下列问题:
(1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k
(4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且
|d-c|=1,求d.
附加题:
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)
c=(4,1),回答下列问题:
(1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k
(4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且
|d-c|=1,求d.
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j.
向量坐标定义
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
=
(0,0)怎样学好高中数学
和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,这就使一些初中数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。
一、首先要改变观念。
　　初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使你的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。
　　又如，高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。
　　高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。
二、提高听课的效率是关键。
　　学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，提高听课效率应注意以下几个方面：
1、课前预习能提高听课的针对性。
　　预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。
2、听课过程中的科学。
　　首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。
　　其次就是听课要全神贯注。
　　全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。
　　耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。
　　眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。
　　心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。
　　口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。
　　手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点及自己的感受或有创新思维的见解。
　　若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。
3、特别注意老师讲课的开头和结尾。
　　老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。
4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。
　　此外还要特别注意老师讲课中的提示。
　　老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。
　　最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
三、做好复习和总结工作。
1、做好及时的复习。
　　课完课的当天，必须做好当天的复习。
　　复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
　　学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。
　　单元小结内容应包括以下部分。
　　（1）本单元（章）的知识网络；
　　（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；
　　（3）自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
四、关于做练习题量的问题
　　有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上。我认为这是不妥当的，我认为，“不要以做题多少论英雄”，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，你就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量（老师布置的作业量）的练习就不能形成技能，也是不行的。
　　另外，就是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。
　　最后想说的是：“兴趣”和信心是学好数学的最好的老师。这里说的“兴趣”没有将来去研究数学，做数学家的意思，而主要指的是不烦感，不要当做负担。“伟大的动力产生于伟大的理想”。只要明白学习数学的重要，你就会有无穷的力量，并逐步对数学感到兴趣。有了一定的兴趣，随之信心就会增强，也就不会因为某次考试的成绩不理想而泄气，在不断总结经验和教训的过程中，你的信心就会不断地增强，你也就会越来越认识到“兴趣”和信心是你学习中的最好的老师。
良好的学习习惯
一、合理的学习计划。
从实际出发，合理支配时间，尤其是每天、每周的休息时间，写在纸上，贴在床头或显眼之处。
二、课前认真预习。
按教学进度，提前一天或数天预习新课，遇到疑难问题，先思考并做记号，带着问题去听课。
三、课内专心学习。
课前准备好上课的一切准备工作，包括书、笔记本、练习本、笔等摆放在面前，并将多余的东西收拾干净。
上课注意力集中，认真听课，积极思考，配合老师，边听边记边看边思，积极参与读、写、讲、练、答等活动，力求当堂掌握所学内容，认真做好笔记，多质疑、敢提问、勤研讨、敢发表自己的见解。
四、课后及时复习。
每天读要留出时间来复习巩固当天所学，以加深对重点、难点知识的理解，强化记忆。遇到复习后不懂得问题，主动向老师或同学请教，查漏补缺，不遗留问题。
五、独立完成作业。
任何一次或一科作业，都做到先复习，后“闭卷”认真完成。不懂勤思考，不轻易翻书或请教老师，视作业为课后第一大事。
作业批改后，要及时订正，找出错因及解决办法。
六、注意系统小节。
章节、单元学完后，要据课本、笔记、作业及手头的资料进行系统复习，梳理所学，并整理、巩固。
七、课外主动学习。
发挥特长和爱好，广泛阅读，收听广播，看电视新闻，广泛获取信息；积极参加课外文娱活动。多于成年人交流，以提高文化素养。(共16张PPT)
3.1 数乘向量
一、复习向量的加减法
二、向量的数乘运算和共线定理
向量的加法(三角形法则)
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
a
作法:
在平面中任取一点O,
O
a
A
b
B
b
则对角线
OC= a+b
a+b
C
过O作OA= a
过O作OB= b
以OA,OB为边作
平行四边形
向量的减法
实际背景
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
已知非零向量 a （如图）
a
a
a
a
O
A
B
C
-a
-a
-a
P
Q
M
N
1.向量的数乘运算的定义：
向量的数乘运算满足如下运算律：
2.向量的数乘运算的运算律：
3.向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，
称为向量的线性运算（或线性组合）.
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。
问题1：如果 b=λa，那么，
向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线，那么，
b=λa ？
对向量 b与非零向量 a,若存在一个实数λ，使得 b=λa,则向量b与a共线.
若向量 b与非零向量 a共线，则有且只有一个实数λ，使得 b=λa.
例2 如图，已知AD=4AB，DE=4BC，
试判断AC与AE是否共线。
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线。
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b
提示：设AB = a BC = b
小结回顾
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（8）—2.2直线方程YCY
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．下列说法正确的是 （ ）
A．若直线的斜率相等，则直线一定平行；
B．若直线平行，则直线斜率一定相等；
C．若直线中，一个斜率不存在，另一斜率存在，则直线一定相交；
D．若直线斜率都不存在，则直线一定平行。
2．直线在轴上的截距都是，在轴上的截距都是，则满足 （ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合
3．经过点的直线到A、B两点的距离相等，则直线的方程为 （ ）
A． B．
C．或 D．都不对
4．已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，
则点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
5．点M与N关于下列哪种图形对称 （ ）
A．直线 B．直线
C．点（） D．直线
6．设A、B两点是轴上的点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为
，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
7．若三条直线l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0; l3：5x－ky－15＝0围成一个三角形，则k的取
值范围是 （ ）
A．kR且k5且k1 B．kR且k5且k－10
C．kR且k1且k0 D．kR且k5
8．点到直线的距离为 （ ）
A． B． C． D．
9．若点到直线的距离不大于3，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P在直线3x－4y＋4＝0上，当＋ 取
最小值时，这个最小值为 （ ）
A．5 B． C．15 D．5＋10
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．当= 时，直线，直线平行．
12．已知△ABC中A，B，C，则△ABC的垂心是 ．
13．过点，且与原点距离等于的直线方程为 ．
14．直线关于点的对称直线的方程是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知点、，点是轴上的点，求当最小时的点
的坐标．
16．（12分）已知直线l1：，l2：，在两直线上方有一点P（如图），已知
P到l1，l2的距离分别为与，再过P分别作l1、l2的垂线，垂足为A、B，
求：
（1）P点的坐标；
（2）|AB|的值．
17．（12分）已知：直线l：，求：点P（4，5）关于直线的对称点．
18．（12分）正方形中心在C（－1，0），一条边方程为：，求其余三边直线
方程．
19．（14分）已知两直线,求分别满足下列条件的
、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
20．（14分）在直角坐标中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列，且O、P、Q三点
的坐标分别是O(0,0)、P(1,t)、 Q(1－2t,2+t)，其中t∈(0,+∞)．
（1）求顶点R的坐标；
（2）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)．
参考答案（八）
一、CDCBA ABDBA
二、11．1；12．；13．或；14．；
三、15．略解：点A关于x轴的对称点为A′（－3，－8），
A′B：2x－y－2=0,A′B与x轴交点为 P（1，0）即为所求.
16．略解（利用待定系数发设出P点的坐标即可）：⑴点P（0，4）；⑵|AB|=
17．解：设P关于的对称点为，直线的斜率为3
∴直线的方程为：
即：，设与交于Q点
Q点坐标是的解，∴Q（1，6）
∵Q是线段的中点
∴∴所求对称点为（－2，7）
18．解：设为，的对边为，的两邻边为，
设的方程为：， ∵C点到的距离等于C点到的距离；
∴的方程为：，
∵的斜率是
又∵， ∴的斜率为3
设的方程为：，即：
∵C到的距离等于C到l的距离. ∴或，
∴的方程为：，的方程为：.
19．解：（1）
即 ①
又点在上， ②
由①②解得：
（2）∥且的斜率为. ∴的斜率也存在，即，.
故和的方程可分别表示为：
∵原点到和的距离相等. ∴，解得：或.
因此或.
20．解：（1）R
（2）矩形OPQR的面积
①当1－2t≥0时，设线段RQ与Y轴交于点M，直线RQ的方程为，
得M的坐标为，△OMR的面积为
②当1－2t<0时，线段QP与Y轴相交，设交点为N，
直线QP的方程为，N的坐标是
综上所述
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- 4 -(共7张PPT)
向量复习课
1、向量
2、向量的加法与减法
3、实数与向量的积
4、平面向量的坐标运算
5、平面向量的数量积及运算律
6、平面向量数量积的坐标表示
向量
向量的长度（模）
单位向量
零向量
相等向量
相反向量
平行向量（共线向量）及其充要条件
垂直向量及其充要条件
向量的投影
1、向量的概念及定理
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的
加法
向量的
减法
数乘
向量 .
向量
的
数量积
向量的运算
2、向量的加法与减法
知识点 ：向量的加法以及法则。
1、共线的向量相加。a + 0 = a ; a + b = ;(分同向或反向)
2、不共线的两个向量相加。AB + BC = AC
3、向量加法的运算律。
　　a + b = b + a ; ( a + b ) + c = a + ( b + c )
4、相反向量；向量的差；向量不能比较大小。
A
B
C
例题：已知︱a︱= 6 , ︱b︱= 8, 则︱a + b︱的取值范围。
返回
3、实数与向量的积
知识点 ：
１、实数与向量的积； λa的几何意义；
２、实数与向量的积的运算律。
３、向量共线的充要条件。 b = λa
４、平面向量基本定理。（基底不共线）
说　明：向量的加、减、实数与向量的积结果仍是向量。
　　　　向量的线性运算时，可以像多项式加法和数乘多
　　项式那样进行运算。
例题：如图，在平行四边形ABCD中，Ｍ、Ｎ分别为ＤＣ、ＢＣ
的中点，用c,d表示ＡＢ和ＡＤ
c
d
A
B
C
D
返回
4、平面向量的坐标运算
知识点 ：
１、平面向量的坐标表示；
２、平面向量的坐标运算；
３、向量平行的充要条件。 X1y2=x2y1
４、有向线段的坐标。ＡＢ
例题：1、设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b的坐标
　　　2、如果向量ＡＢ＝i-2j，ＢＣ＝i+mj，其中i,j分
别是x轴y轴正方向上的单位向量，试确定实数的值使
Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线。
返回
6、平面向量的数量积及运算律
知识点：向量的夹角、平面向量的数量积、向量数量积的性质、
向量数量积的运算律。( a⊥b等价于ab=0 )
　　　　平面向量数量积的坐标表示，向量的长度（模），向量
垂直的充要条件，两向量夹角公式．
例题：1、如图，ＡＢ＝4i+2j,AC=3i+4j,证明是直角三角形，并求它的面积．
A
B
C
7、平面向量数量积的坐标表示
返回两角和与差的三角函数单元测试卷（实验班）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于（ ）
A.0 B. C. D.－
2.在△ABC中，如果sinA=2sinCcosB.那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
3.的值是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
4.tan20°+4sin20°的值是（ ）
A.1 B. C. D.
5.tanθ和tan(－θ)是方程x2+px+q=0的两根，则p、q之间的关系是（ ）
A.p+q+1=0 B.p－q－1=0
C.p+q－1=0 D.p－q+1=0
6.等于（ ）
A.cos5°－sin5° B. cos5°
C.cos5°－sin5° D.sin5°－cos5°
7.已知?,P=,Q=,那么M、N、P、Q之间的大小顺序是（ ）
A.M＜N＜P＜Q B.P＜Q＜M＜N
C.N＜M＜Q＜P D.Q＜P＜N＜M
8.已知sinα+sinβ= (cosβ－cosα),α,β∈(0,),那么sin3α+sin3β的值是（ ）
A.1 B. C. D.0
9.已知tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且α、β∈?(－),?则α+β的值是（ ）
A. B.－π C.或－π D.－或π
10.若α与β是两锐角，且sin(α+β)=2sinα,则α与β的大小关系是（ ）
A.α=β B.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.已知tanx= (π＜x＜2π).
则cos(2x－)cos(－x)－sin(2x－)sin(－x)=_____________.
12.sec50°+tan10°的值等于_____________.
13.已知5cos(α－)+7cos=0,则tantan=_____________.
14.已知tan(α+β)=,tan(β－)=,则sin(α+)·sin(－α)的值为_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分8分）
求值：.
16.（本小题满分10分）
如右图，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形.问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
17.（本小题满分10分）
已知cos(+x)=,且,求的值.
18.（本小题满分12分）是否存在锐角α和β，使得（1）α+2β=π;(2)tantanβ=2－同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.
附加题.（本小题满分10分）已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列（2B=A+C），且,求cos的值.?
两角和与差的三角函数单元测试答案（实验班）
一．选择题 B C C C D A B D B B
二．填空题11．－ 　12． 　　 13．－6 　　14．
三．解答题
15．【解】 原式=
=.
16．【解】 连结OP，设∠AOP=x,则PS=sinx，RS=cosx－sinx·cot60°
所以S=（cosx－sinx·cot60°)·sinx
=sin2x－sin2x
=sin2x－·
=sin(2x+φ)－ (其中tanφ=)
因为x∈(0°,60°),所以当2x+φ=90°时，Smax=.
17．【解】 原式=
=sin2x·tan(+x).
∵,
∴＜2π,
∴sin(+x)
=－,
tan(+x)=,
sin2x=－cos(2x+)=－1－2cos2(+x)
=1－2()2=,
∴=sin2x·tan(+x)=×(－)=－.
18．【解】 由（1）得： +β=,
∴tan(+β)=
将（2）代入上式得tan+tanβ=3－.
因此，tan与tanβ是一元二次方程x2－(3－)x+2－=0的两根，
解之得x1?=1,x2=2－.
若tan=1,由于0＜＜.所以这样的α不存在；
故只能是tan=2－,tanβ=1.
由于α、β均为锐角，所以α=,β=
故存在锐角α=,β=使（1）、（2）同时成立.
附加题．【解法一】 依题意得B=,设A=+α,C=－α,
则=α.同时有：
即
4=0
即cosα=
【解法二】 依题意得B=,A+C=π,A－C=π－2C，,不妨设cos(－C)=x.
由已知得
∵cos(π－C)+cosC
=cosπcosC+sinπsinC+cosC
=cosC+sinC=cos(－C).
cos(π－C)cosC
=cosπcos2C+sinπsinCcosC
=－ (1+cos2C)+ sin2C
=－+cos(π－2C)
=－+［2cos2(－C)－1］
=－+cos2(－C)
∴=－2,即4x2+2x－3=0
∴x=或x=－ (舍去）.
故cos.(共12张PPT)
我们的目标
1、掌握利用正切线画正切函数图象的方法
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用
§4.10 正切函数的图象和性质
（一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数
的最小正周期；
一方面：
另一方面：
故T不存在
1、画出正切函数在一个周期 内的图象
动画
x
y
0
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩展，得到正切曲线；
0
y
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
例题1
比较 与 的大小.
解：
又： 内单调递增，
练习
不查表比较大小：
例题2
讨论函数 的性质；
练习
讨论函数 的性质；一、问题情境
必修1中我们学习了二分法求方程的近似解，大家还能想起二分法的求解步骤吗？
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
阅读教材第4页．
二．问题情境
1．情境：介绍猜数游戏（见教材第5页）．
2．问题：解决这一问题有哪些策略，哪一种较好？
三．学生活动
学生容易说出“二分法策略”，教师要引导学生进行算法化（按步骤）的表达．
说明：以上过程实际上是按一种机械的程序进行的一系列操作．
四．建构数学
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．
1．广义的算法——某一工作的方法和步骤，例如：歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序．
2．本章主要讨论的算法（计算机能够实现的算法）——对一类问题的机械的、统一的求解方法．例如：解方程（组）的算法，函数求值的算法，作图问题的算法等．
3．本节采用自然语言来描述算法．
五．数学运用
1．算法描述举例
例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式直接计算．
第一步：取=5；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
说明：①一个问题的算法可能不唯一．
②若将本例改为“给出求的一个算法”，则上述算法2和算法3表达较为方便．
例2．给出求解方程组的一个算法．
分析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．
解：用消元法解这个方程组，步骤是：
第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数；
第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到
；
第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到，．
所以原方程组的解为．
说明：（1）．从例1、例2可以看出，算法具有两个主要特点：
①有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束．
“有限性”往往指在合理的范围之内，如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算法，这虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法．“合理限度”一般由人们的常识和需要以及计算机的性能而定．
②确定性：算法的每一个步骤和次序应当是确定的．
例如，一个健身操中一个动作“手举过头顶”，这个步骤就是不确定的、含糊的．是双手都举过头，还是左手或右手？举过头顶多少厘米不同的人可以有不同的理解．算法中的每一个步骤不应产生歧义，而应当是明确无误的．
（2）．一般来说，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的．
2．练习：课本第6页练习第1、2、3题．
练习1答案：第一步 移项得；
第二步 两边同除以2得．
练习2答案：第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
练习3答案：第一步 计算斜率；
第二步 用点斜式写出直线方程．
补充：
1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法．
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
六．回顾小结
1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．
2．算法的重要特征：
（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；
（2）确切性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；
（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．
（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的
算法是毫无意义的．
七、课外作业：
二、案例讲解：
案例：写出用区间二分法求解方程在区间内的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法．
（１）算法设计思想：
如图，如果估计出方程在某区间内有一个根，就能用二分法搜索求得符合误差限制的近似解．
（２）算法步骤可以表示为：
　　取的中点，间区间一分为二；
　　若，则就是方程的根，否则判断根在的左侧还是后侧；
若，则，以代替；
若，则，以代替；
　　若，计算终止，此时，否则转．
一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：
韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。
在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。同学们，你知道吗？
背景说明:
1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”
2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；
3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，
除百零五便得知。
　　它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。
用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：
2×70+3×21+2×15=233，
233－105×2=23，
即所求物品最少是23件。
二.算法设计思想:
“孙子问题”相当于求关于的不定方程组的的正整数解；
设所求的数为，根据题意应该同时满足下列三个条件：
①被3除后余2，即；
②被5除后余3，即；
③被7除后余2，即；
用自然语言可以将算法写为：
如果且且则执行,否则执行;
输出(共9张PPT)
§4.7 二 倍 角
（一）
我们的目标
1、掌握二倍角的正、余弦，正切公式
2、会用二倍角公式求值，化简及简单的证明
1、二倍角的正、余弦公式
2、二倍角的正切公式
2、化简：
3、求证：
证明：
1、余弦二倍角公式的变形公式：
2、证明题的证明方向：(共9张PPT)
§4.8 正、余弦函数图象和性质
（二）
我们的目标
1、理解正、余弦函数周期的求法
2、掌握五点作图法
3、掌握复合三角函数单调区间的求法
1、说出它们的定义域、
值域、奇偶性、
单调性、周期性
2、说出它们的对称中
心、对称轴
1、求出下列函数的周期
2、不求值，指出下列各式大于0还是小于0？北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（10）—2.3圆的方程 YCY
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．直线x－y+3=0被圆（x+2）2+（y－2）2=2截得的弦长等于 （ ）
A． B． C．2 D．
2．圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相外切 C．相离 D．相内切
3．过点P（2，1）作圆C：x2+y2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（ ）
A．a＞－3 B．a＜－3
C．－3＜a＜－ D．－3＜a＜－或a＞2
4．设直线与轴的交点为P，点P把圆的直径分为两段，
则其长度之比为 （ ）
A． B．
C． D．
5．圆关于直线对称的圆的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
6．如果实数满足等式，那么的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
7．直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）
的面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知圆的方程为，且在圆外，圆的方程为
=，则与圆一定 （ ）
A．相离 B．相切 C．同心圆 D．相交
9．两圆，的公切线有且仅有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是 （ ）
A． B．且
C． D．非A、B、C的结论
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．已知实数x，y满足关系：，则的最小值 ．
12．已知两圆.求经过两圆交点的公共弦所在的直
线方程_______ ____．
13．过点M（0，4）、被圆截得的线段长为的直线方程为 _ _．
14．圆：和：的位置关系是_______ _____．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)
15．（12分）求过点P（6，－4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程．
16．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
17．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮
船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北
40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
18．（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的
圆恰过坐标原点，求实数m的值．
19．（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ
（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．
20．（14分）求圆心在直线上，且过两圆，
交点的圆的方程．
参考答案（十）
一、DCDAA BCCBB．
二、11．；12．；13．x=0或15x＋8y－32=0；14．内切；
三、15．解：设弦所在的直线方程为，即①
则圆心（0，0）到此直线的距离为．
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，
所以．
由此解得或．
代入①得切线方程或
，即或．
16．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
17．解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
① 轮船航线所在直线l的方程为
，即②
如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果
O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心O（0，0）到直线l的距离
，
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．
18．解：由
又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
19．解：将代入方程，
得．
设P，Q，则满足条件：
．
∵ OP⊥OQ, ∴而，，
∴．
∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径．
20．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
将两圆的方程联立得方程组
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，
即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．
又， 故所求圆的方程为．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，
它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，
故所求圆的方程为．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方
程组 ，解之得，
故所求圆的方程为．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为
，
即 ．
可知圆心坐标为．
因圆心在直线上，所以，解得．
将代入所设方程并化简，求圆的方程．
PAGE
- 7 -某校高一年级的1002名新生中容量为100的身高样本，数据如下（单位：cm） 分组
168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 [150.5,153.5)
165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 [153.5,156.5)
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162 [156.5,159.5)
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172 [159.5,162.5)
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 [162.5,165.5)
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 [165.5,168.5)
177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 [168.5,171.5)
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 [171.5,174.5)
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 [174.5,177.5)
161 165 174 156 167 166 162 161 164 166 [177.5,180.5)
北京地区7月25日至8月10日的日最高气温表
41.9 37.5 35.7 35.4 37.2 38.1 34.7 33.7 33.3
32.5 34.6 33.0 30.8 31.0 28.6 31.5 28.8(共27张PPT)
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
2.
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
(1)求两个正整数的最大公约数
例. 求30和75的最大公约数
所以，25和35的最大公
约数为5
(2)除了用这种方法外还有没有其它方法？
如何简洁的求8256和6105的最大公约数
30
3
10
75
25
5
2
5
开始
i=m
输入：m,n
m MOD i<>0或 n MOD i<>0
i=i-1
输出：i
结束
N
Y
m>n
t=m,m=n,n=t
N
Y
穷举法（也叫枚举法）
步骤：
从两个数中较小数开始
由大到小列举，直到找到公
约数立即中断列举，得到的
公约数便是最大公约数 。
A.穷举法
Input “m,n=“;m,n
If m>n then
Swap m,n
end if
i=m
While m mod i<>o or n mod i<>0
i=i-1
wend
Print i
end
B.辗转相除法（欧几里得算法）
下面我们介绍用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 :用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步: 对6105和2146重复第一步的做法
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
同理6105和2146的最大公约数也是
2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “m,n=“;m,n
If mSwap m,n
end if
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出m
结束
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
例1 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4
2、更相减损术
（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；
第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；
第五步：输出最大公约数b.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “a,b=“;a,b
WHILE a<>b
r=a-b
IF b>r THEN
a=b
b=r
ELSE
a=r
END IF
WEND
PRINT b
END
开始
输入a,b
a≠b
是
否
输出b
结束
b=r
a=b
r=a-b
ra=r
否
是
INPUT “a,b=“;a,b
i=0
r1=a mod 2
r2=b mod 2
While r1=0 and r2=0
a=a/2
b=b/2
r1=a mod 2
r2=b mod 2
i=i+1
Wend
WHILE a<>b
r=a-b
IF b>r THEN
a=b
b=r
ELSE
a=r
END IF
WEND
PRINT b*2^i
END
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
b=b/2
i=i+1
WEND
DO
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
练习:
求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
设计一个称序,求已知n个正整数的最大公约数
input “n=”；n
print “i=”；1
input “ai=”；a
i=1
while i<=n-1
i=i+1
print “i=”;i
input “ai=”;b
Do
r=a mod b
a=b
b=r
loop until r=0
wend
print “The max is”;a
end
辗转相除法
INPUT “a1”;a
Input “n=“,n
m=1
While m<=n-1
print “m=“;m+1
Input “am=“;b
m=m+1
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
b=b/2
i=i+1
WEND
DO
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
a=a*2^i
Wend
Print “The max is”;a
END
更相减损术
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
小结(共15张PPT)
第五章 向量
5.6 平面向量的数量积及运算律（2）
一.复习：
1、平面向量的数量积的定义
记作
=
已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量
即有
叫做 与 的数量积（或内积），
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
规定：零向量与任意向量的数量积为0，
即
2、平面向量数量积的几何意义
3、平面向量数量积的重要性质
4、平面向量数量积的运算律
已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1）
（交换律）
（2）
（数乘结合律）
（3）
（分配律）
5、平面向量数量积的常用公式
注意：数量积运算不满足结合律
5.6 平面向量的数量积及运算律
（1）交换律：
证明：
设 夹角为 ，
则
所以
5.6 平面向量的数量积及运算律
（2）
证明：
若
若
5.6 平面向量的数量积及运算律
（3）
分析：

1
2
A1
B1
A
O
B
C
5.6 平面向量的数量积及运算律
（3）

1
2
A
B
O
A1
B1
C
证明：在平面内取一点 ，作 , ，
（即 ）在 方向上的投影等于
在 方向上的投影的和，
即
即
5.6 平面向量的数量积及运算律
求证：（1）
（2）
证明：（1）
（2）
二.新课：
三、练习：
（ ）
A 锐角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
B 直角三角形
D
（ ）
C
例4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。
解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
cosθ=
四、小结：
本节课我们主要学面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：
1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）
2、由数量积求向量的模
4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直
3、由数量积确定两向量的夹角
5、判断三角形的形状§3 集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
第一课时：
教学过程：
1、 引入课题
我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？
实例1：A=﹛高一（9）班女生﹜ B=﹛高一（9）班团员﹜
C=﹛高一（9）班女团员﹜，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。
实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员
假设A=﹛高一（9）班的篮球队员﹜B=﹛高一（9）班的足球队员﹜
C=﹛高一（9）班的运动员﹜，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成的。
我们发现集合之间是存在一定运算的。
2、 新课教学
1．交集（如实例1）
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
则上例中C=A∩B。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∩B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
2． 并集（如实例2）
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∪B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
总结基本结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
总结：
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
三.例题讲解：
例1．某学校所有男生组成的集合A，一年级的所有学生组成的集合B，一年级的所有男生组成的集合C，一年级的所有女生组成的集合D，求A∩B，C∪D。
解 A∩B=
=B.
例2．设
求A∩B，A∪B.
解
完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。
例3． 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
解 M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}
∴ M∩N=M={y|y≥1}
四．课堂练习：
P12 练习 1，2，3，4题P14习题1题
五．小结：
A∩B={x|∈A，且x∈B}
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
六．作业
1．基础作业：P14习题A组2，3，4题
2．选做：
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
解 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}
当B=时，△=m2-8<0 ∴
当B={1}或{2}时，，m无解
当B={1，2}时， ∴ m=3
综上所述，m=3或
3．思考B组1题
第二课时
一．复习回顾：
上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。
二．新课讲解
1．全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
2．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A在U中的补集，或余集。
记作：CUA
即：
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
三．例题讲解
例3 试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。
解 Ⅰ部分：
Ⅱ部分：
Ⅲ部分：
Ⅳ部分：
例 4 设全集为R，
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）;
（7）
并指出其中相等的集合。
解 （1）在数轴上，画出集合A和B.
（2）
（3） 在数轴上表示出
（4）
（5） .
（6）=;
（7）
注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。
总结：
补集的性质：
C＝Ｕ，　CＵ＝，A∩CA＝，A∪CA＝Ｕ，C( CA)＝A
德摩根律：
(CuA) (CuB)= Cu (AB), 　　(CuA) (CuB)= Cu(AB)，
四．课堂练习。
P14 练习1，2，3，4，5题
五．归纳小结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
6． 作业布置
1、 基础作业：P15习题A组，第5，6，7题。
2、 选做：
　若全集Ｕ＝，子集Ｐ＝，且CuＰ＝，求实数ａ．
解 由子集定义和补集定义可知，解得ａ＝２．
3．思考：
习题B组 2题
A∪B
A
B
A
=
B A
A
B
B
A
A(B)
A B
——————————————第 1 页 （共 7页）——————————————§1 集合的含义及其表示
教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题
教学重点：集合概念与表示方法
教学难点：运用描述法和列举法表示集合
课 型：新授课
教学过程型：
引入课题
同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级学生按班级在学校行政楼前集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P16）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
1、 新课教学
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，等标记。示例
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 aA
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
3、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合
3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N 有理数集 Q
正整数集 N+ （或N*） 实数集 R
整数集 Z 注：实数的分类
5、集合的表示方法：①列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法
例：{1，2，3} 特点：元素个数少易列举
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
特点：元素多或不宜列举
例：大于3小于10的实数 A= {x∈R│3﹤x﹤10}
方程的解集用描述法为 B=
函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表示为 C={（x,y)│y=2x}
在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合 D={（x,y)│x﹤0,且y﹥0}
方程组的解集
例题 用适当的方法表示下列集合
①由大于3小于10的整数组成的集合
②方程的解的集合
③小于10的所有有理数组成的集合
④所有偶数组成的集合
6、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数Q
③空 集 不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ
2、 课堂练习
1、用符合“∈”或“”填空：课本P5练习
2、补充思考
①下列集合是否相同
1）A {1，5} B {(1,5)} C {5,1} D {(5,1)}
2）A Φ B { 0 } C { Φ } D {{ Φ }}
3）
小结
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
3、常见数集的专用符号.
4、集合的表示方法
5、空集
3、 作业布置
基本作业：P6 A组 4，5
补充作业：求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；
思考作业：P6B组
板书设计（略）
另注：请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及R之间的区别
第 1 页 （共 3页）(共13张PPT)
§2 角的概念的推广
复习
已知f(x+3)=f(x),且f(x)为奇函数，若f(1)=3,则f(7)=_____,f(8)=______;
已知f(x+3)=-f(x),且f(x)=2x(-1f(5.5)=______,f(-12.5)=______;
已知f(3x+6)=f(3x),且f(x)为奇函数，f(x)=2x(0f(4.5)=______,f(5.5)=______;
初中
（静止地）
角：一点出发的两条射线所围成的图形
高中
（运动地）
角：一条射线绕一个短点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
一、角的概念
规定：逆时针转动——正角
顺时针转动——负角
没有转动 ——零角
终边与始边重合的角是零角吗？
思考：
x
y
o
x
y
o
与角θ 终边相同的角可表示为
象限角的概念
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o课题： 1正整数指数函数
教学目标：
了解正整数指数函数模型的实际背景。了解正整数指数函数的概念。理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。
教学难点：正整数指数函数图象的特征。
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取）
为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x，人口数为y，则其中我们给起个名字为正整数指数函数引出本节课题。
二、新课讲授
问题1 某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。
1 列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；
2 用图象表示1个细胞分裂次数n与得到细胞个数y之间的关系；
3 写出y与n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）
问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q近似的满足其中是臭氧的初始量，t是时间（年）。这里设=1
（1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。
解 （1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q分别是：
（2）图象是一些孤立的点
（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少
小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于， ()我们可以用更一般的式子来表示，用a取代2（a＞0），用x取代n（）则上式可以表示为（a＞0，a≠1，）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。
特别指出的是有如下特点：
a) x是自变量，定义域是正整数集，x 在指数上。
b) 规定底数大于0且不等于1。
c) 图象是一些孤立的点，并且当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减函数。
在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。
例 某地现有森林面积是1000，每年增长5%，经过x（）年，森林面积为y，写出x，y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积是多少？（例题）
学生练习
小结 再次强调正整数指数函数的特点（图象，表达式，a的范围）
作业(共9张PPT)
§4.8 正、余弦函数图象和性质
（一）
我们的目标
1、理解正、预先函数图象的来由
2、掌握正、余弦函数性质（定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性）
画出下列函数图象，求出下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？试求单调区间.www.
方程的根与函数的零点
一、教材结构与内容简析
函数与方程是中学数学的重要内容．
本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判
断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．
　　因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
二、教学目标
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）认知目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性
及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
三、教学重点、难点
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：
教学重点：体会函数的零点与方程的根
之间的联系，掌握零点存在
的判定条件．
教学难点：探究发现函数零点的存在性.
四、教法分析
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.
采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
五、教学过程
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
问题1 求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；（4）． 由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？问题2　观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并说出方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系．一元二次方程方程的根二次函数函数的图象（简图）图象与轴交点的坐标 有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．．
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)方程的根函数的图象（简图）图象与轴的交点 把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．
（二）启发引导，形成概念 设计意图
1．函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．辨析练习：判断下列说法的正误．函数的零点是：⑴ （-1，0），（3，0）；（ ）⑵ x=-1； （ ）⑶ x=3； （ ） ⑷ -1和3．（ ）2．等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点. 引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
（三）初步运用，示例练习 设计意图
例1 求函数的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）； （2）． 巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（四）讨论探究，揭示定理 设计意图
问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？探究: 观察二次函数的图象，如下图，我们发现函数在区间上有零点．计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点． 通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
（四）讨论辨析，形成概念 设计意图
1．勘根定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根．2．概念辨析：3．说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，也就是说上述定理不可逆．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象． 引导学生理解函数零点存在定理(勘根定理),分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质
（四）讨论辨析，形成概念 设计意图
反馈练习：函数必有一个零点的区间是（ ）．A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2) 分析：判断是否满足f(a)f(b)<0．结论：若函数在其定义域内的某个区间上是单调的，则在这个区间上至多有一个零点．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象． 通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫．
（五）观察感知，例题学习 设计意图
例2 求函数的零点个数．解：用计算器作出x、f(x)的对应值表．x12345f(x)由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．问题5：你能判断函数的单调性，并给出相应的证明吗？判断方法：证明：课后完成． 引导学生思考如何应用勘根定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
（六）知识应用，尝试练习 设计意图
1．判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；2．判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间． 对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（六）知识应用，尝试练习 设计意图
1．判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；2．判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间． 对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力 设计意图
问题6：1．你能说说二次函数的零点与一元 二次方程的根的联系吗？2．如果函数图象在区间[a,b]上是连 续不断的，那么在什么条件下， 函数在(a,b)内有零点内容小结：1．函数零点的定义2．等价关系3．函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
（七）反思小结，培养能力 设计意图
问题6：1．你能说说二次函数的零点与一元 二次方程的根的联系吗？2．如果函数图象在区间[a,b]上是连 续不断的，那么在什么条件下， 函数在(a,b)内有零点内容小结：1．函数零点的定义2．等价关系3．函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（1）—1.1空间几何体
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 （ ）
A．平面 B．曲面 C．直线 D．锥面
2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成 （ ）
A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体
3．有关平面的说法错误的是 （ ）
A．平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名，如平面α…
B．平面是处处平直的面
C．平面是有边界的面
D．平面是无限延展的
4．下面的图形可以构成正方体的是 （ ）
A B C D 5．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形
6．A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有 （ ）
A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个
7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列命题中正确的是 （ ）
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
9．长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到
C′的最短矩离是 （ ）
A．5 B．7 C． D．
10．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则 （ ）
A． B．
C． D．它们之间不都存在包含关系
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′，依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.
①该长方体的高为 ；
②平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为 ；
③A到面BC C′B′的距离为 .
12．已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体.
13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：
①如果A在多面体的底面，那么哪一面会在上
面 ；
②如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个
面会在上面 ；
③如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一
个面会在上面 .
14．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，
AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)
15．（12分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
16．（12分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．
17．（12分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高．
18．（12分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥的母长．
19．（14分）已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积．
20．（14分）有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.
问：
①依据题意制作这个几何体；
②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；
③若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少．
参考答案（一）
一、DBCCA DDBAB
二、11．①3CM②4CM③5CM； 12．圆锥、圆台、圆锥； 13．①F②C③A； 14．5．
三、15．解：J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C.
16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.
小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途：
①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；
②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；
③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.
17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形及两个直角三角形OBE和中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（）内切圆半径（）的差，特别是正三、正四、正六棱台.
略解：
18．解：设圆锥的母线长为，圆台上、下底半径为.
答：圆锥的母线长为cm.
19．解：设底面正三角形的边长为a，在RT△SOM中SO=h，SM=n，所以OM=，又MO=a，即a=，，截面面积为．
20．解：①略．
②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形.
③由②可知，DE=DF=a,EF=a,所以，S△DEF=a2。DP=2a，EP=FP=a，
所以S△DPE= S△DPF= a2，S△EPF= a2．
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- 5 -高一必修1第三章单元测试（满分120）
一、选择题(满分10×5=50).
1．若且，为任意实数，则下列各式中正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2 已知，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3 对于且，下列说法正确的是（ ）
①若则;②若则；
③若则；④若则
A ①②③④ B ①③ C ②④ D ②
4．设(为正整数),那么的值为（ ）
A． B. C. D.
5．若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．与函数y＝x有相同图像的一个函数是（ ）
A y＝ B.y＝ C .y＝a(a＞0且a≠1) D. y＝logaax(a＞0且a≠1)
8. 已知,集合,,则=（ ）
A. B. C. D.
9．设是方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10．设，函数有最小值，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(满分6×4=24).
11.__________．
12.函数的定义域__________．
13.设,则等于__________.
14.三个数,,的大小关系是（从小到大）__________．
15.函数的递增区间是__________.
16.若函数在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为___________.
三、解答题(满分26分).
17.计算(1)．（2）
18.已知函数（a＞0且a≠1）
（1）求的定义域;
（2）求使的的取值范围.
19.已知，求函数的最大值和最小值.
20.(20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）
已知函数，对定义域内的任意都有成立
（1）求实数的值;
（2）若当的取值范围恰为，求实数的值.
高一第三章单元检测答题纸
班级________________ 姓名_______________
一.选择题(满分10×5=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案
二.填空题(满分6×4=24)
11．______________ 12. ______________ 13．_______________
14. ______________ 15．______________ 16．_______________
三、解答题(满分26分)
17.(8分)
18.(9分)
19.(9分)
20.(20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）
已知函数，对定义域内的任意都有成立
（1）求实数的值;
（2）若当的取值范围恰为，求实数的值.
- 1 -(共18张PPT)
§１　从位移、速度、力到向量
一、向量的概念
二、向量的表示方法
三、向量的相关概念
例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向正东追去。
A
B
问：猫能否追到老鼠？为什么？
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
引例1
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？
1200km
1200km
1200km
1200km
现实生活中还有哪些
量既有大小又有方向？哪
些量只有大小没有方向？
引例2
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
请举出物理中的标量和矢量的实例，并进行比较。
标量：距离、身高、质量、时间、路程、密度等；
矢量：位移、力、速度、加速度、动量、力矩等。
一、向量的概念
向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量
本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量
物理中的标量和矢量在数学中分别叫做数量和向量.
二、向量的表示方法
用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
特别注意：把有向线段（即向量）任意平移，向量不变，即看作同一向量，因为向量的大小和方向没有改变。
有向线段的三要素：起点、方向、长度
2.字母表示法：
用 、 、 等小写字母表示；或用表示有
向线段的起点和终点字母表示，如 .
1.几何表示法：
思考：把所有单位向量的起点集中于一点O，问它们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以O为圆心，半径为1的圆。
三、向量的相关概念
思考：与 相等吗？
（4）如图，方向相同或相反的非零向量叫平行向量（也叫共线向量）。
思考：如图 吗？
AB//
BC
规定零向量与任何向量平行
四、例题
（1）错 （2）错 （3）错 （4）对 （5）错
相等的有7个
长度相等的有15个
例4：思考下列问题,并回答
下列命题正确的是
（1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
（3）平行向量不一定是共线向量
（4）零向量与任一向量平行
1.向量的概念:
2.向量的表示:
3.零向量:
4.单位向量:
5.平行向量:
6.相等向量:
7.共线向量:
既有大小又有方向的量
1.几何表示 2.字母表示
长度为零的向量
长度为1个单位的向量
1.方向相同或相反的非零向量
2.零向量与任一向量平行
长度相等且方向相同的向量
平行向量就是共线向量
小结：
1.向量的概念:
2.向量的表示:
3.零向量:
4.单位向量:
5.平行向量:
6.共线向量:
7. 相等向量:
仅对向量的大小明确规定，而
没有对向量的方向明确规定
仅对向量的方向明确规定，而
没有对向量的大小明确规定
对向量的大小和方向都明确规定
作业： 习题2-1 1.2
（1）下列各量中是向量的是（ ）
A．动能 B．重量
C．质量 D．长度
练习：
（2）等腰梯形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、
分别在两腰 、 上， 过点 且 ，则下列等式正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向_________的共线向量
B
D
相等
相反
(4).下列说法正确的是 ( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量.
B) 零向量是 .
C)长度相等的向量叫做相等向量.
D) 共线向量是在一条直线上的向量.
B
(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件:
①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反;
④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
其中是向量a与b平行的充分不必要条件是_____.
①③④
(6).某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后
改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最
后又改变方向,向东走了200m到达D点.
(1)作出向量
(2)求
的模(共8张PPT)
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作 ， ，则
叫做向量a 和b 的夹角．
O
A
B
a
b
O
A
B
b
a
若 ，a 与b 同向
O
A
B
b
a
若 ，a 与b 反向
O
A
B
a
b
若 ，a 与b 垂直，
记作
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
注：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
5.6 平面向量的数量积及运算律
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地
（4）
（5）a · b ≤| a | · | b |
5.6 平面向量的数量积及运算律
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．
7．对任意向量 a 有
√
×
×
×
×
×
√
2.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=150°，求a·b，(a+b)2，|a+b|
3．已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，求|a+b|，|a-b|．
4、已知 ，
求实数 的值
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，求a ·b.
解： a ·b =|a | |b |cosθ2007～2008学年度第一学期周至二中
高一级期末考试
数学试题 参考答案
一．选择题 CBDDA ACBBDB AC
二、填空题：13. （2，3） ⒕ 15 ②③ 16 60°
三、解答题
17、(10 分 )（x+1）2＋（y+2）2＝10
18.解: 当l与线段AB有公共点时，其倾斜角最小为直线PB的倾斜角α，
最大为直线PA的倾斜角为β，
∵直线AP的斜率为KAP=　　∴α=1500
∵直线BP的斜率为KBP=　　　　　　　∴β=450
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为：450≤θ≤1500
19、解：过D、C分别作于,于,则四边形为矩形.
在等腰梯形中, ∥, ,
当在上运动时, ,,
当在上运动时, ,
…………　10分
函数图像如下: …………　12分
20、（Ⅰ）设
由,得 …………　2分
又
即 …………　4分
…………　6分
…………　7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）,得 …………　10分
当时, 有最小值;
当时, 有最大值 …………　12分
21.．证明：（Ⅰ）连结，
∵ 在平面上的射影在上，
∴ ⊥平面，又平面
∴…………………………………………………2分
又，
∴ 平面，又，
∴…………………………………………………4分
（Ⅱ）∵ 为矩形 ，∴
由（Ⅰ）知
∴ 平面，又平面
∴平面平面…………………………………9分
（Ⅲ）∵ 平面 ， ∴ ．
∵ ， ∴ ，
∴ …………………14分…(共13张PPT)
1.1.2程序框图与
算法的基本逻辑结构
上节课例题:任意给定一个大于1的整数n,试设计一个算法判定n是否为质数.
算法分析：
1.判断n是否等于2,如果n=2,则 n为质数,若n>2,则执行第2步.
2.依次从2到n-1检验是不是n的因数(即是否整除n).若存在这样
的数,则n不是质数,若不存在这样的数,则n为质数.
以上是用自然语言描述一个算法.为了使得算法的描述更为直观和
步骤化,下面介绍另一种描述算法的方法:流程图.
流程图的通俗解释: 由一些图框和有向箭头构成,表示算
法按一定的顺序执行.
上例算法的流程图（见下页）
复习:
流程图的图形符号:
(1)有箭头指向的线.
(2)不同形状的框图.
结束
开始
i=2
输入n
i>n-1或r=0
n是质数
n不是质数
i的值增加1 (i=i+1)
r=0
是
否
否
求n除以i的余数r
图形符号 名称 功能
终端框
(起止框)
输入、
输出框
处理框
(执行框)
判断框
表示一个算法的
起始和结束
表示一个算法输
入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”,不成立时标明“否”或“N”.
算法中从上一步骤指向下一步骤
流程线
用来根据给定的条件是否满足决定执行两条路径中的某一路径
判断框
赋值、运算
执行框
表示输入输出操作
输入,输出框
表示一个算法的起始与结束
起止框
含义
名 称
图形符号
2.对程序框 表示的功能描述正确的一项是:…( ).
A.表示算法的起始和结束.
B.表示算法输入和输出的信息.
C.赋值、计算.
D. 按照算法顺序连接程序图框.
1.流程图的功能是:…………………..( ).
表示算法的起始和结束.
表示算法的输入和输出信息.
赋值、运算.
按照算法顺序连接程序图框.
练习：
D
B
结束
开始
i=2
输入n
i>n-1或r=0
n是质数
n不是质数
i的值增加1 (i=i+1)
r=0
是
否
否
求n除以i的余数r
顺序结构
条件结构
循环结构
算法三种基本逻辑结构
算法三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)
流程图表示，实例,程序演示：
顺序、条件、循环三种基本的逻辑结构：
顺序结构：最简单的算法结构，框与框之间从上到下进行。
任何算法都离不开顺序结构。
步骤n
步骤n+1
【例1】已知一个三角形的三边边长分别为a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个算法,求出它的面积,画出算法的程序框图.
开始
输出S
结束
开始框
处理框
输出框
结束框
输入ａ，ｂ，ｃ
输入框
【练习1】求两个实数 a,b 的平均值 x.
第一步: 输入两个实数 a,b ；
第二步：计算 c=a+b；
第三步: 计算 x=c/2；
第四步: 输出 x.
输出 ｘ
开 始
输入 a,b
x=c/2
结 束
解：用数学语言
【练习2】“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何.” 请你设计一个这类问题的通用算法.并画出算法的程序框图.
设有X 只鸡,Y 只兔.则
解: 鸡兔同笼,设鸡兔总头数为H ,总脚数为F,求鸡兔各有多少只.算法分析如下：
解方程组,得
第一步:输入总头数H,
总脚数F；
第二步:计算鸡的个数
x=(4H-F)/2；
第三步:计算兔的个数
y=(F-2H)/2；
第四步:输出 x , y
开始
输出X,Y
结束
X=(4H-F)/2
Y=(F-2H)/2
输入H和F
解：用数学语言
程序框图(共15张PPT)
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
(1)求两个正整数的最大公约数
例1. ①求30和75的最大公约数
所以，30和75的最大公
约数为15
(2)除了用这种方法外还有没有其它方法？
②求8251和6105的最大公约数
30
3
10
75
25
5
2
5
步骤：
从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。
A.穷举法
B.辗转相除法（欧几里得算法）
下面我们介绍用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 :用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数
结论： 8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。
第二步: 对6105和2146重复第一步的做法
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
解:225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数变为除数,较小的数变为被除数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “m,n=“;m,n
If mSwap m,n
end if
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出 m
结 束
练习:
求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
设计一个称序,求已知n个正整数的最大公约数
input “n=”；n
print “i=”；1
input “ai=”；a
i=1
while i<=n-1
i=i+1
print “i=”;i
input “ai=”;b
Do
r=a mod b
a=b
b=r
loop until r=0
wend
print “The max is”;a
end北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（12）—第二章章节测试
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．方程x2 + 6xy + 9y2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ）
A．2条重合的直线 B．2条互相平行的直线
C．2条相交的直线 D．2条互相垂直的直线
2．直线l1与l2关于直线x +y = 0对称，l1的方程为y = ax + b，那么l2的方程为 （ ）
A． B． C． D．
3．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为 （ ）
A．(x－3)2+(y＋1)2=4 B．(x＋3)2+(y－1)2=4
C．4(x＋1)2+(y＋1)2=4 D．(x－1)2+(y－1)2=
4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是 （ ）
A． B． C．1 D．－1
5．直线、分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平
行，则、之间的距离的取值范围为 （ ）
A． B．（0，5） C． D．
6．直线与圆相切，所满足的条件是 （ ）
A． B．
C． D．
7．圆与直线的交点的个数是 （ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．随a值变化而变化
8．已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B． 或
C．
D． 或
9．已知M={(x,y)|2x＋3y=4320,x,y∈N},N={(x,y)|4x－3y=1,x,y∈N},则 （ ）
A．M是有限集，N是有限集 B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是有限集 D．M是无限集，N是无限集
10．方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形面积为 （ ）
A．2 B． C．1 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．已知直线1和相交于点，则过点、
的直线方程为 ．
12．若点N（a,b）满足方程关系式a2＋b2－4a－14b＋45=0，则的最大值
为 ．
13．设P(x,y)为圆x2＋(y－1)2=1上任一点，要使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的取值范
围是 ．
14．在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足
，则点D的坐标为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）求倾斜角是45°,并且与原点的距离是5的直线的方程.
16．（12分）△ABC中，A(0，1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程
为2x＋y－3＝0,求AB，BC，AC边所在的直线方程．
17．（12分）一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，
被x轴反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上．
（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；
（2）求在x轴上，反射点M的范围．
18．（12分）已知点P（2，0），及C：x2＋y2－6x＋4y＋4=0.
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程.
19．（14分）关于x的方程+a=x有两个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．
20．（14分）如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的两个根（OA（1）求直线斜率的大小；
（2）若时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由.
参考答案（十二）
一、BBDCA CCDBA
二、11．2x+3y－1=0；12．；13．；14．（0，0，5 ）；
三、15．解：因直线斜率为tan45°=1，可设直线方程y=x+b，化为一般式x－y+b=0，
由直线与原点距离是5，得 ，
所以直线方程为x-y+5=0,或y－5=0.
16．解：直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为，
直线AB与AC边中线的方程交点为
设AC边中点D(x1，3－2x1)，C(4－2y1，y1)，∵D为AC的中点，由中点坐标公式得
边所在的直线方程为；
AC边所在的直线方程为y＝1．
17．解： ⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝1
（Ⅰ）C关于x轴的对称点C′(2，－2)，过A，C′的方程：x＋y＝0为光线l的方程．
（Ⅱ）A关于x轴的对称点A′(－3，－3)，设过A′的直线为y＋3＝k(x＋3)，当该直线与⊙C相切时，
有或
∴过A′，⊙C的两条切线为 令y＝0，得
∴反射点M在x轴上的活动范围是
18．解： （1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2) 又⊙C的圆心为(3,－2)
r=3由
所以直线方程为 当k不存在时，l的方程为x=2.
（2）由弦心距，
知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2=4.
19．分析：原方程即为=x－a.于是，方程的解的情况可以借助于函数y=x－a（y≥0）
与函数的考察来进行.
解：原方程的解可以视为函数y=x－a（y≥0）
与函数的图象的交点的横坐标.
而函数的图象是由半圆y2=1－x2（y≥0）
和等轴双曲线x2－y2=1（y≥0）在x轴的上半部分的
图象构成.如图所示，当0＜a＜1或a=－，a=－1时，
平行直线系y=x－a（y≥0）与的图象有两个不同的交点.
所以，当0＜a＜1或a=－，a=－1时，原方程有两个不相等的实数根。
20．解： (1)由
（2）
即P为AB的中点， ∴PQ==4 .
（3）由已知得l方程为4x+3y=24 (*)
①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB 且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a,0）则P(a,a)
有(a,a)代入(*)得a=.
②当∠MPQ=90°，由PQ∥OB 且|MP|=|PQ|设Q（a,0）则M（0, a）, P（a,a）进而得a=
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ| 且|OM|=|OQ|= |PQ|
设Q（a,0）则M（0,a）点P坐标为(a,2a)代入(*)得a=.
综上所述，y轴上有三个点M1(0,0),M2(0, )和M3(0,)满足使△PMQ为等腰直角三角形.
PAGE
- 6 -陕西省西安中学高2010级实验班数学必修（2）
模块评价测试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．如图，设直线的斜率分别为，则有（　　）
A.
B.
C.
D.
2．若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为( ) A.2或0 B. C.-2或2 D.-2或0
3.圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 ( )
A.　6 B.　4 C.　5 D.　3
5．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ ）
A. 共面 B. 平行 C.异面 D. 平行或异面
7.已知
① ②
③ ④
其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
8．到空间四点距离相等的平面的个数为 （ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．7或无穷多
9.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A.12π　　　B. 18π　　　 C.36π　　　　　D. 6π
10．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 （ ）
A.D、E、F B.F、D、E C.E、F、D D. E、D、F
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）．
11. 不论为什么实数，直线都通过一定点 ________
12.已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
13．自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，光线L所在直线的方程为_____________
14.如图①所示一个正三棱柱形容器，高为2a，
内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，
这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的
水面高度为_ __．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15．四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面
都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，
侧棱底面ABCD，，是PC的中点.
(1)证明平面EDB；
(2)求证:平面BDE⊥平面PBC.
17．三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点。
（１）求三棱锥S-ＡBC的体积．
（２）求四棱锥S-BCED的体积．
18．已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
19．已知圆，直线过定点A(1，0)．
（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，求证:为定值．
附加题：（每题１０分，共２０分）
1.有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．
①说明组合体是什么样的几何体？②证明你的结论．
2．过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点 ( http: / / www. / wxc / )
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;(2)当|PA||PB|取最小值时，求直线的方程 ( http: / / www. / wxc / )
陕西省西安中学高2010级实验班数学必修（2）
模块评价测试答题纸
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）
11． 12.　　　　．
13. __________ 14． . 15． ．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，
侧棱底面ABCD，，是PC的中点.
(1)证明平面EDB；
(2)求证:平面BDE⊥平面PBC.
17．三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点。
（１）求三棱锥S-ＡBC的体积．
（２）求四棱锥S-BCED的体积．
18．已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
19．已知圆，直线过定点A(1，0)．
（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，求证:为定值．
附加题：（每题１０分，共２０分）
1.有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．
①说明组合体是什么样的几何体？②证明你的结论．
2．过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点 ( http: / / www. / wxc / )
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;(2)当|PA||PB|取最小值时，求直线的方程 ( http: / / www. / wxc / )
陕西省西安中学高2010级实验班数学必修（2）
模块评价测试答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C D A D D D
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）
11．(9，－４） 12.
13. 3x+4y+3=0或4x+3y+3=0 14． 15.６００
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，
侧棱底面ABCD，，是PC的中点.
(1)证明平面EDB；(2)求证:平面BDE⊥平面PBC.
证明:（1）连接AC,设AC与BD交点为O,连接OE,在三角形ECA中,OE是三角形ECA的中位线.所以PA∥OE,面PA不在平面EDB内,所以有PA∥平面EDB.
证明: (2)因为底面ABCD,所以CB⊥PD,又BC⊥DC,所以BC⊥平面PDC,所以DE⊥BC.在三角形PDC中,PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC,因此有DE⊥平面PCB,因为DE平面DEB,所以平面BDE⊥平面PBC.
17．三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点。
（１）求三棱锥S-ＡBC的体积．
（２）求四棱锥S-BCED的体积．
解： （１）
（２）
18．已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
解：（1）
即 ①
又点在上， ②
由①②解得：
（2）∥且的斜率为. ∴的斜率也存在，即，.
故和的方程可分别表示为：
∵原点到和的距离相等. ∴，解得：或.
因此或.
19．已知圆，直线过定点A(1，0)．
（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，求证:为定值．
（Ⅰ）解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，
即： …解之得 ．
所求直线方程是，．
（Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由 得． 又直线CM与垂直，
由 得．
∴
为定值
解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由 得．
再由 得．
∴ 得．
以下同解法一．
解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则，
可得，是定值．
附加题：（每题１０分，共２０分）
1.有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．
①说明组合体是什么样的几何体？②证明你的结论．
解：（1）是斜三棱柱。
（2）正三棱锥为S—AED，正四棱锥为S—ABCD，重合的面为⊿ASD, 设AD，BC中点分别
为M、N，由AD⊥平面MNS知平面MES重合；因为SE=AB=MN,EM=SN,∴MNSE为平行四边行。
∴ESMN，又ABMN，∴ESAB，∴ABSE为平行四边形，同理，CDES为平行四边形。
∴面SBC∥面EAD，AB∥CD∥SE，且AB不垂直平面SBC，∴组合体为斜三棱柱。
2．过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点 ( http: / / www. / wxc / )
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;(2)当|PA||PB|取最小值时，求直线的方程 ( http: / / www. / wxc / )
解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0),由已知 ( http: / / www. / wxc / )
于是=,∴SΔ AOB=4,
当且仅当,即a=4,b=2时取等号,
此时直线的方程为,即x+2y─4=0 ( http: / / www. / wxc / )
(2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k) ( http: / / www. / wxc / )
则|PA||PB|==4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,
又k<0,∴k=─1, 此时直线的方程为x+y─3=0 ( http: / / www. / wxc / )
解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2),
∴|PA||PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA||PB|取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0 ( http: / / www. / wxc / )
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
Ａ
PAGE
1
1(共13张PPT)
教学过程
一、巩固旧知
二、新课讲授
三、例题分析
四、演练反馈
五、总结提炼
一、巩固旧知
问题：回忆一下，如何用向量的长度、夹角反
映数量积？又如何用数量积、长度来反
映夹角？向量的运算律有哪些？
答案：
运算律有：
参考答案：①1；②1；③0；④0.
二、新课讲授
问题1：
已知
怎样用
的坐标表示
呢？请同学们看下
列问题.
设x轴上单位向量为
，Y轴上单位向量为
请计算下列式子：
①
②
③
④
=
=
=
=
问题2：推导出 的坐标公式.
答案：
这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：
若设
则
这就是A、B两点间的距离公式.
问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量
平行和垂直的坐标表示式.
（1）
答案：
（2）
（3）
三、例题分析
例1：
想一想
的夹角有多大？
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证
△ABC是直角三角形.
想一想：还有其他证明方法吗？
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
证明：
△ABC是直角三角形
例3：求与向量 的夹角为45o的
单位向量.
分析：
可设x（m, n)，只需求m, n. 易知
……①
再利用 （数量积的
坐标法）即可！
解：设所求向量为 ,由定义知：
……①
另一方面
……②
∴由①，②知
解得：
或
∴
或
说明：可设 进行求解.
四、演练反馈
B
1、若 则 与 夹角的余弦值
为 （ ）
2、已知：
求证：
⊥
答案：
∴
⊥
五、总结提炼
请回忆本节课内容
作业：
课本第123页第2题、第4题和第5题。(共14张PPT)
7.6.3 正弦型函数的图象和性质
7.6.3 正弦型函数的图象和性质
7.6.3 正弦型函数的图象和性质
7.6.3 正弦型函数的图象和性质
7.6.3 正弦型函数的图象和性质
① 定义域 R。
② 值域 [-1，1]；最大值1，最小值－1。
③ 最小正周期 T＝ 2π。
④ 奇偶性：奇函数。正弦曲线关于原点对称。
⑤ 单调性：在[2kπ－0.5π，2kπ＋0.5π]上是增函数，
在[2kπ＋0.5π，2kπ＋1.5π]上是减函数。
复习 函数 y= sinx 的图象和性质
1、y=sinx的图象
（x∈[0，2π] ）
2、y=sinx的性质
（点击可放大）
y= A sinx 的图象
例1、作y=2sinx（黑线）和 y=0.5sinx（蓝线） 的简图。
x 0 0.5π π 1.5π 2π
y=2sinx 0 1 0 -1 0
y=0.5sinx 0 0.5 0 -0.5 0
y=sinx 0 1 0 -1 0
y= A sinx 的性质
y=sinx（红线）
y=2sinx（黑线）
y=0.5 sinx（蓝线）
从简图可知：
y=sinx的最大值1，最小值－1；最小正周期2π；
y=2sinx的最大值2，最小值为－2；最小正周期2π；
y=0.5 sinx的最大值0.5，最小值-0.5；最小正周期2π。
（点击可放大）
结论：
函数y=Asinx的（A>0）的值域是[-A，A]，
最大值A，最小值－A；最小正周期2π。
练习一
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx （2）y=0.75sinx
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=-2sinx的值域是（ ）
（A）[-1，1] （B）[-2，2] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，最
小正周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，最小正周期T=2π。
C
y=sin(wx)的图象
例2、作y=sin(0.5x)（蓝线）和 y=sin(2x)（黑线，学生完成）的简图。
0.5 x 0 0.5π π 1.5π 2π
y=sin(0.5x) 0 1 0 -1 0
x 0 π 2π 3π 4π
y=sin(wx)的性质
y=sinx（红线）
y=sin(0.5x)（蓝线）
y=sin(2x)（黑线）
从简图可知：
y=sinx的最大值1，最小值－1；最小正周期2π；
y=sin(0.5 x)的最大值1，最小值－1；最小正周期4π；
y=sin(2x)的最大值1，最小值－1；最小正周期π。
（点击可放大）
结论：
函数y=sin(wx)（w>0）的值域[-1，1]，
最大值1，最小值－1；最小正周期2π/w。
练习二
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(4x) （2）y=sin(0.25x)
2、函数y=sin(6x)与函数y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=sin(-2x)的最小正周期是（ ）
（A）2π （B）π （C）－2 π （D）－ π
解：（1）y=sin(4x)的最大值是1，最小值是－1，
最小正周期T=0.5π（2）y=sin(0.25x)的最大值
是1，最小值是－1，最小正周期T=8π。
B
y=sin(x+φ)的图象
x+0.5π 0 0.5π π 1.5π 2π
y=sin(x+0.5π) 0 1 0 -1 0
x -0.5π 0 0.5π π 1.5π
例3、作y=sin(x＋0.5π)（蓝线）和y=sin(x－0.5π)（黑线，学生完成）的图象。
y=sin(x+φ)的性质
y=sinx（红线）
y=sin(x+0.5π)（蓝线）
y=sin(x-0.5π)（黑线）
（点击可放大）
由简图可知：
y=sin(x＋0.5π)图象由y=sinx图象向左平移0.5π个单位得到；
y=sin(x－0.5π)图象由y=sinx图象向右平移0.5π个单位得到。
结论：
y=sin(x+φ)的图象，当φ>0时，由y=sinx
向左平移|φ|个单位得到；当φ<0时，由
y=sinx向右平移|φ|个单位得到。
练习三
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π） （2）y=sin(x－π）
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平移
3个单位，可以得到函数（ ）的图象。
（A）y=sin(x＋2) （B）y=sin(x－2)
（C）y=sin(x＋4) （D）y=sin(x－4)
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
最小正周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，最小正周期是2π。
B
本节小结
1、函数y=Asinx的（A>0）的值域是[-A，A]，
最大值A，最小值－A；最小正周期2π。
2、函数y=sin(wx)（w>0）的值域[-1，1]，
最大值1，最小值－1；最小正周期2π/w。
3、y=sin(x+φ)的图象，当φ>0时，由y=sinx
向左平移|φ|个单位得到；当φ<0时，由
y=sinx向右平移|φ|个单位得到。
课后思考与作业
想一想
1、怎样作出下列函数的图象？
（1）y=2sin(x＋π) （2）y=－sin(2x+π)
（3）y=2sin(2x－π) （4）y=0.5sin(x+0.5π)
2、正弦型函数y=Asin(wx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？2006学年高三数学训练题
(七) 立体几何初步
A 组
1.已知
① ②
③ ④
其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )
A.4个 B.2个 C.3个 D.1个
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A.12π　　　B. 18π　　　 C.36π　　　　　D. 6π
4.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
5.三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A.菱形　 　B.矩形　 　C.梯形　　 D.正方形
6.已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是
A.1　　 B. C.　　 D.
7.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 A. B. C. D.
8.如图①所示一个正三棱柱形容器，高为2a，
内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，
这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的
水面高度为_ __．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，
侧棱底面ABCD，，是PC的中点.
(1)证明平面EDB；
(2)求证:平面BDE⊥平面PBC.
10.在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.
B 组
11.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
A.1200 B.1500 C.1800 D.2400
12．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是( )
A．6 B．10 C．12 D．不确定
13.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2006段、黄“电子狗”爬完2005段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是( )
A.0 B.1 C. D.
14如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的
多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,
CC1=3.则这个多面体的体积为 .
15.如图，为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：（1）平面；（2）平面；（3）平面．
16.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；
(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2＞V1．
(七) 立体几何初步参考答案或提示：
A 组
1.A第④要注意直线可能在平面内.
2.A.
3.D.先计算出三条棱的长度分别为.所以体对角线长为.所以外接球的直径为,算出表面积为6π.
4.B.
5.B.
6.C.体积为
7.D.提示:设底面直径为d,则侧面积为πd2=S,所以d=.
8..提示:设底面积为S,水的高度为h.由Sh=解出h即可.
9.(1)证明:连接AC,设AC与BD交点为O,连接OE,在三角形ECA中,OE是三角形ECA的中位线.所以PA∥OE,面PA不在平面EDB内,所以有PA∥平面EDB.
(2)证明:因为底面ABCD,所以CB⊥PD,又BC⊥DC,所以BC⊥平面PDC,所以DE⊥BC.在三角形PDC中,PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC,因此有DE⊥平面PCB,因为DE平面DEB,所以平面BDE⊥平面PBC.
10.(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
(2) 因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
B 组
11.C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL=2πR2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为.
12.A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可.
13.D.提示:每个 “电子狗”爬完6段就回到出发点.
14.60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.
15.证明:(1)∵平面，∴，∵，∴，
又 ∴平面.
(2)∵平面且平面，∴，又∵，且，∴平面.
(3)∵平面，∴，又∵，且，∴平面．
16.(1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x，高为x，∴Vl＝(4—2x)2x＝4(x3一4x2＋4x) (0＜x＜2)　　＝4(3x2一8x＋4)＝,当时，＞0，当时，＜0　　∴当时，Vl取最大值．(2)解：重新设计方案如下：
　　如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2＝3×2×1＝6，显然V2＞Vl.故第二种方案符合要求．
图①　　　　　 图②
A
B
C
D
E
P
PAGE
62006年广东仲元中学数学必修2终结性评价笔试试题
命题人：胡继文 审题人：谭曙光
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生好和座位号填写在答题卷指定的位置上．
2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．
3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上．
4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．本次考试不允许使用函数计算器．
6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
第一部分 选择题 (共50分)
一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ）
A 、 相交 B、 异面 C、 平行 D、异面或相交
2、如图：直线L1 的倾斜角1=30０，直线 L1L2 ，则L2的斜率为（　　）
Ａ、　　Ｂ、　　　　Ｃ、　　　Ｄ、
３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（　　　）
Ａ、１条　　 Ｂ、２条　　 Ｃ、３条　　 Ｄ、１或２条
４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（，ｍ）三点共线，则ｍ的值为（　　）　
Ａ、　　 Ｂ、　　 Ｃ、－２　 　Ｄ、２
5、直线与圆交于Ｅ、F两点，则EOF（O为原点）的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ ）
A、 0 B、 1 C、 2 D、 3
7、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A 、 1∶7 B 、2∶7 C、 7∶19 D、 5∶ 16
8、直线与圆交于E、F两点，则EOF（O是原点）的面积为（ ）
Ａ、　　　 Ｂ、　　 　Ｃ、　　 Ｄ、
9、圆：和圆：交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）
Ａ、x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、 3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0
10、圆：上的点到直线的距离最大值（ ）
A、 2 B、 C、 D、
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11、与直线平行，并且距离等于3的直线方程是
12、已知：A（1，2，1），B（-1，3，4，），C（1，1，1，），，则长为
13、如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面
都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为 度
14、已知点M（a，b）在直线上，则的最小值为
三、解答题：本大题共6小题，每题的分值已写在题号后的括号内，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15、（本小题满分12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。
求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE
16、（本小题满分12分）已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线平行于AB,且分别交AC,BC于E, F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的.求直线l的方程.
17、（本小题满分14分）如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且=，
求证：MN∥平面SBC
18、（本小题满分14分）过点（２，３）的直线l被两平行直线：２ｘ－５ｙ＋９＝０与：２ｘ－５ｙ－７＝０所截,线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线l的方程
19、（本小题满分14分）已知三条直线： ： ：两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
20、（本小题满分14分）已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由.
2006年广东仲元中学数学必修2终结性评价笔试试题
参考答案
一、选择题 1、D 2、C 3、C 4、Ａ 5、C 6、Ａ　７、Ｃ　８、Ｃ　9、Ｃ １0、Ｂ
二、填空题 11、或
12、
13、６００
14、３
1、 解答题
15、证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O
∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。
16、解：由已知，直线AB的斜率K=，∵EF∥AB∴　直线EF的斜率为　K=
∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点。
又点E的坐标（0，）　直线EF的方程是，即
17、证明：连结AN并延长交BC于点G，并连结SG∵平行四边形ABCD
∴=，∵ = ∴=∴MN∥SG
而MN平面SBC，SG平面SBC，∴MN∥平面SBC
18、解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得
经整理得，，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以
解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３）
所以直线Ｌ的方程为，即
19、如图：通过计算斜率可得L1L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆
解方程组 得所以点A的坐标（-2，-1）
解方程组 得所以点B的坐标（1，-1）
线段AB的中点坐标是，又
所以圆的方程是
20、解：圆C化成标准方程为：
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a,b）
由于　　　①
直线的方程为
即：　　　　　②
由①②得：
当
当
故这样的直线l 是存在的，方程为x-y+4=0或x-y+1=0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第 5 页 共 6 页(共7张PPT)(共9张PPT)
基础练习
1. 2sin2750－1=____
求 值:
2sin( －x)sinx－sin2x=____
2. 2sin25550－ －1=____
0
倍 角 公 式
sin2α=
cos2α=
tan2α=
2sinαcosα
S2α
C2α
T2α
=
=
半 角 公 式
例题讲解
1. 已知cosα= ,求sin , cos ,
tan 的值.
2. 已知sin2α=－ ,π＜2α＜ ,
求tanα.
3. 求值:
(1)
(2)
课堂练习
课堂小结
作 业
教材P.145习题
T1,2,3,4,5.(共21张PPT)
制作：许建军
知识结构
要点复习
例题解析
巩固练面向量复 面 向 量 复 习
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
平 面 向 量
表示
运算
实数与向量的积
向量加法与减法
向量的数量积
平行四边形法则
向量平行的充要条件
平面向量的基本定理
三 角 形 法 则
向量的三种表示
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
向量定义：
既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：
长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：
长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：
也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.
（4）相等向量：
长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：
长度相等且方向相反的向量.
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
几何表示
: 有向线段
向量的表示
字母表示
坐标表示
: (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2)
则 AB =
(x2 － x1 , y2 － y1)
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ),
则
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
平 面 向 量 小 复 习
知识结构
例题解析
课外作业
知识要点
巩固练习
练习1 （课本P149 复习参考题五 A组 10）
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m.
答案： m = ± 12
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
1.向量的加法运算
A
B
C
AB+BC=
三角形法则
O
A
B
C
OA+OB=
平行四边形法则
坐标运算:
则a + b =
重要结论：AB+BC+CA=
0
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
( x1 + x2 , y1 + y2 )
AC
OC
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
2.向量的减法运算
1）减法法则：
O
A
B
OA－OB =
2）坐标运算:
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a － b=
3.加法减法运算率
a+b=b+a
（a+b)+c=a+(b+c)
1）交换律：
2）结合律：
BA
(x1 － x2 , y1 － y2)
平 面 向 量 复 习
知识结构
巩固练习
课外作业
知识要点
例题解析
例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM
（2） AB + DA + BD －BC－CA
分析
利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解：
原式=
AB +（BO + OM + MB）
= AB + 0
= AB
（1）
（2）
原式=
AB + BD + DA －（BC + CA）
= 0－BA = AB
例1
平 面 向 量 复 习
知识结构
课外作业
知识要点
巩固练习
例题解析
练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、
AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.
A
F
E
D
C
B
a
c
b
答案：
AD=2 b
BE=2 c
BF= c－a
FC=2 a
思考： a、b、c 有何关系？
b =a + c
0
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知识结构
例题解析
课外作业
知识要点
巩固练习
练习3 （课本P149 复习参考题五 A组 7）
已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5）求
（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标；
（3） AB－AC的坐标.
答案： （1） AB=（－3，4）， AC =（－4， －4 ）
（2）AB+AC=（ －7，0 ）
（3） AB－AC= （1，8）
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
实数λ与向量 a 的积
定义：
坐标运算：
其实质就是向量的伸长或缩短！
λa是一个
向量.
它的长度 |λa| =
|λ| |a|；
它的方向
(1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向
与a方向相反.
若a = (x , y), 则λa =
λ (x , y)
= (λ x , λ y)
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
非零向量平行（共线）的充要条件
a∥b
a=λb （λ∈R且b≠0）
向量表示：
坐标表示：
设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
a∥b
x1y2－x2y1=0
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
课外作业
知识要点
平面向量的基本定理
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数λ1、λ2 使
a =λ1 e1 +λ2 e2
不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有向量 的一组基底
λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2
λ1= λ2
μ 1=μ2
动画演示(几何画板)
向量相等的充要条件
平 面 向 量 复 习
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巩固练习
课外作业
知识要点
例题解析
例2 已知 a=(1, 2), b=(－3, 2), 当k为何值时, ka+b与a－3b平行 平行时它们是同向还是反向
分析
先求出向量ka+b 和a－3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)=
思考: 此题还有没有其它解法
(k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)=
(10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=
－
∵ ka+b=
=－
(a－3b)
∴它们反向
例2
平 面 向 量 小 复 习
知识结构
例题解析
课外作业
知识要点
巩固练习
练习4 （课本P150 复习参考题五 A组 16）
n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且方向相同
答案： n= 2
思考: 何时 n=±2
平 面 向 量 复 习
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课外作业
知识要点
例题解析
例3
设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
求证：A、B、D 三点共线。
分析
要证A、B、D三点共线，可证
AB=λBD关键是找到λ
解：
∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
AB∥ BD
例3
平 面 向 量 小 复 习
知识结构
例题解析
课外作业
知识要点
巩固练习
练习5（课本P150 复习参考题五 A组 18）
已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－10）
求λ和μ，使 c =λa +μb.
答案： λ=－1， μ= 0
平 面 向 量 复 习
知识结构
例题解析
巩固练习
知识要点
课外作业
课本P149—P150 复习参考题五 A组
第5题; 第9题;
第13题; 第17题(共12张PPT)
(2)
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1
2、决定组距与组数（将数据分组）
3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)
复习:画频率分布直方图的步骤
4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏)
5、画出频率分布直方图。
组距：指每个小组的两个端点的距离，组距
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少常分5-12组。
频率分布直方图如下：
月均用水量/t
频率
组距
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图
利用样本频分布对总体分布进行相应估计
（3）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线。
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
（1）上例的样本容量为100，如果增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增至10000呢？
总体密度曲线
频率
组距
月均用水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值百分比。
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具.
总体密度曲线
茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
(1)甲运动员得分：
13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39
(1)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39
茎叶图
甲
乙
0
1
2
3
4
5
2 5
5 4
1 6 1 6 7 9
4 9
0
8
4 6 3
6 8
3 8 9
1
叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数。
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数
茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况。
从运动员的成绩的分布来看，乙运动员的成绩更好；从叶在茎上的分布情况来看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，说明乙运动员的发挥更稳定。
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。它不但可以保留所有信息，而且可以随时纪录，这对数据的纪录和表示都能带来方便。但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。因为每一个数据都要在茎叶图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长。
练习：P73 3
作业： P84 1(共12张PPT)
正弦、余弦函数的性质
X
（奇偶性、单调性）
正弦、余弦函数的图象和性质
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
y=cosx (x R)
定义域
值 域
周期性
x R
y [ - 1, 1 ]
T = 2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

是奇函数
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y=sinx (x R)
增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

x
sinx
… 0 … … …
-1
0
1
0
-1
减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1
[ +2k , +2k ],k Z
[ +2k , +2k ],k Z
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y=cosx (x R)
x
cosx
- … … 0 … …
-1
0
1
0
-1
增区间为 其值从-1增至1
[ +2k , 2k ],k Z
减区间为 ， 其值从 1减至-1
[2k , 2k + ], k Z
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1) sin( ) – sin( )
(2) cos( ) - cos( )
解：

又 y=sinx 在 上是增函数

sin( ) < sin( )
即：
sin( ) – sin( )>0
cos( )=cos =cos
cos( )=cos =cos
解：


cos 即：
cos – cos <0
又 y=cosx 在 上是减函数
从而
cos( ) - cos( ) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：
y=2sin(-x )
= -2sinx

函数在 上单调递减
[ +2k , +2k ],k Z
函数在 上单调递增
[ +2k , +2k ],k Z
(2) y=3sin(2x- )
单调增区间为
所以：
解：
单调减区间为
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(4)
(3)
y= ( tan )
sinx
解：

单调增区间为
单调减区间为

解：
定义域
为减区间
当
即
当
即
为增区间。
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )|
解：
令x+ =u ,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y=sinu
y=|sinu|
y=- |sinu|
u
O
1
y
-1
减区间为
增区间为
即：

y为增函数
y为减函数
小 结：
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
奇偶性
单调性（单调区间）
奇函数
偶函数
[ +2k , +2k ],k Z
单调递增
[ +2k , +2k ],k Z
单调递减
[ +2k , 2k ],k Z
单调递增
[2k , 2k + ], k Z
单调递减
函数
余弦函数
正弦函数
求函数的单调区间：
1. 直接利用相关性质
2. 复合函数的单调性
3. 利用图象寻找单调区间
作业：
X
课本：P57 练习 7、8
P58-59 习题4.8 4 —8
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx (x R) 图象关于原点对称(共13张PPT)
阅读课本小结与复习并讨论
1.本章内容可分为哪几个部分
2.每一部分有哪些内容
知识网络
向量
向量有关概念
向量的运算
基本应用
向量的定义
单位向量及零向量
相等向量
平行向量和共线向量
向量的加法
向量的减法
实数和向量的积
向量的数量积
平行与垂直的充要条件
线段定比分点公式
平移公式
解斜三角形
向量的加法
1）加法法则
2)运算律
a
b
+
b
a
a
b
+
b
a
+
b
a
=
b
+
a
（交换律）
）
+
b
a
（
+
c
=
a
+
+
(
b
c
)
（结合律）
3）坐标运算
a
=
（ )
X1,
Y1
b
=
( , )
X2
Y2
=
+
b
a
( , )
+
X1
Y1
X2
Y2
+
向量的减法
1）减法法则
a
b
-
a
b
2）坐标运算
a
=
（ )
X1,
Y1
b
=
( , )
X2
Y2
-
a
b
=
( - , - )
X1
Y1
X2
Y2
实数和向量的积
1）定义
2）运算律
3）坐标运算
表示：
a
λ
a
=(x,y)
=
a
λ
(λx, λy)
λ(μ )=(λ μ)
a
a
+
μa
(λ+ μ)
a
=
a
λ
a
+
b
a
λ(
)= λ + μ
a
向量的数量积
1)定义
a
b
.
=
a
b
cosθ
2)运算律
a
b
.
=
b
.
a
）
a
λ
（
b
=
b
（λ
a
）
= λ（
a
b
.
）
=
c
（
+
b
a
）
b
a
.
c
+
.
c
3）坐标运算
a
=
（ )
X1,
Y1
b
=
( , )
X2
Y2
a
b
.
=
+
X1
Y2
X2
Y1
平行与垂直的充要条件
a
‖
b
a
= λ
b
X1
Y1
X2
Y2
-
=0
=0
a
a
b
.
+
X1
Y2
X2
Y1
=0
⊥
b
1）平行充要条件
2）垂直的充要条件
线段定比分点公式
设P(x,y), P1(x1,y1), P2(x2,y2) 且P分有向线段P1 P2所成比为λ ，则有
中点坐标公式:
X=
1+λ
X1+λx 2
y=
1+λ
Y1+λY 2
X=
2
X1+x2
y=
2
Y1+Y 2
平移公式
如果点P(x,y)按向量a(h,k)平移至P’(x’,y’)，则有
X’=x+h
Y’=y+k
正.余弦定理
正弦定理
余弦定理
a
sinA
=
b
sinB
c
sinC
=
=2R
a
2
b
2
=
+
c
2
-2bccosA
a
2
b
2
c
2
=
+
-2cacosB
a
2
b
2
c
2
=
+
-2abcosC
再见!怎样学好高中数学
和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,这就使一些初中数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。
一、首先要改变观念。
　　初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使你的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。
　　又如，高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。
　　高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。
二、提高听课的效率是关键。
　　学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，提高听课效率应注意以下几个方面：
1、课前预习能提高听课的针对性。
　　预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。
2、听课过程中的科学。
　　首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。
　　其次就是听课要全神贯注。
　　全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。
　　耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。
　　眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。
　　心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。
　　口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。
　　手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点及自己的感受或有创新思维的见解。
　　若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。
3、特别注意老师讲课的开头和结尾。
　　老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。
4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。
　　此外还要特别注意老师讲课中的提示。
　　老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。
　　最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
三、做好复习和总结工作。
1、做好及时的复习。
　　课完课的当天，必须做好当天的复习。
　　复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
　　学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。
　　单元小结内容应包括以下部分。
　　（1）本单元（章）的知识网络；
　　（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；
　　（3）自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
四、关于做练习题量的问题
　　有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上。我认为这是不妥当的，我认为，“不要以做题多少论英雄”，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，你就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量（老师布置的作业量）的练习就不能形成技能，也是不行的。
　　另外，就是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。
　　最后想说的是：“兴趣”和信心是学好数学的最好的老师。这里说的“兴趣”没有将来去研究数学，做数学家的意思，而主要指的是不烦感，不要当做负担。“伟大的动力产生于伟大的理想”。只要明白学习数学的重要，你就会有无穷的力量，并逐步对数学感到兴趣。有了一定的兴趣，随之信心就会增强，也就不会因为某次考试的成绩不理想而泄气，在不断总结经验和教训的过程中，你的信心就会不断地增强，你也就会越来越认识到“兴趣”和信心是你学习中的最好的老师。
良好的学习习惯
一、合理的学习计划。
从实际出发，合理支配时间，尤其是每天、每周的休息时间，写在纸上，贴在床头或显眼之处。
二、课前认真预习。
按教学进度，提前一天或数天预习新课，遇到疑难问题，先思考并做记号，带着问题去听课。
三、课内专心学习。
课前准备好上课的一切准备工作，包括书、笔记本、练习本、笔等摆放在面前，并将多余的东西收拾干净。
上课注意力集中，认真听课，积极思考，配合老师，边听边记边看边思，积极参与读、写、讲、练、答等活动，力求当堂掌握所学内容，认真做好笔记，多质疑、敢提问、勤研讨、敢发表自己的见解。
四、课后及时复习。
每天读要留出时间来复习巩固当天所学，以加深对重点、难点知识的理解，强化记忆。遇到复习后不懂得问题，主动向老师或同学请教，查漏补缺，不遗留问题。
五、独立完成作业。
任何一次或一科作业，都做到先复习，后“闭卷”认真完成。不懂勤思考，不轻易翻书或请教老师，视作业为课后第一大事。
作业批改后，要及时订正，找出错因及解决办法。
六、注意系统小节。
章节、单元学完后，要据课本、笔记、作业及手头的资料进行系统复习，梳理所学，并整理、巩固。
七、课外主动学习。
发挥特长和爱好，广泛阅读，收听广播，看电视新闻，广泛获取信息；积极参加课外文娱活动。多于成年人交流，以提高文化素养。2006学年高三数学训练题(由课本例、习题选编或改编)
（八） 解析几何
A 组
1.若直线和直线垂直,则的值为 ( )
2.焦距是8，离心率0.8的椭圆的标准方程为 （ ）
D.以上都不是
3.曲线与曲线的 （ ）
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
4.与圆以及都外切的圆的圆心在 （ ）
A.一个椭圆 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上
5.斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，且，则直线为 ( )
D.以上都不对
6.经过点M（2，1）作直线交于双曲线于A，B两点，且M为AB的中点，则直线的方程为_______
7.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_______
8.已知椭圆，一组平行线的斜率是，当这些直线在轴的截距为_______时，这些直线与椭圆相交；当它们相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点都在曲线__________（写出曲线方程）上。
9.已知椭圆，直线.椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
10.已知抛物线的方程，直线过定点，斜率是，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
B组
11.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为______
12.若直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，则a为____________
13.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，求的面积.
14.从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足为左焦点.又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，， 求椭圆的方程.
15.已知直线与抛物线交于两点，且，交于于点，点的坐标为，求的值.
16.已知点A、B的坐标分别是，.直线分别交于点M，且它们的斜率之和为2，求点M的轨迹方程.
17.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径画圆，判断所作圆与抛物线的关系，并加以证明.
解析几何参考答案：CCBDC (6)；(7)；(8);; (9)解：假设存在满足题设的点，不妨设为，
则有点到直线的距离为
当时，取到最小值。也可以转化为与已知直线平行且与已知椭圆相切的直线同已知直线的距离问题。
10.解：由题设可知代入到得到
。 其判别式。
（1）当
（2）当时，若，即且时，有两个交点；若，即时，有一交点；若即时，无交点。综上，当时，直线与抛物线有两个不同的交点，当时，没有公共点，当，有一交点
11.;12.; 13．，设P（x，y），则…… ①
＝＝……②，由①②消y得：
∵P在轴上方，∴x＝5，y＝，的面积S＝24.
14.解：，故有，，（将代入椭圆方程可求）。又因为
。所以椭圆方程为。15.解：，，
，，代入到中得：。，又因为，解得
16.解:设,因为,所以,化简得:.
17.解：相切。证明如下：作，为抛物线的准线。线段的中点到准线的距离为，因为直线过抛物线的焦点，故有，所以
以线段为直径的圆与准线相切。
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1高2010级第二章《函数》单元检测题
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴，；
⑵，；
⑶， ；
⑷，；
⑸，。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．将函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得曲线的函数式为（　　）
　　A．y＝x2＋6x＋7　　　　　　　　　B．y＝x2－6x＋7
　　C．y＝x2＋2x－1　　　　　　　　　D．y＝x2－2x＋1
3．在区间（0，＋∞）上不是增函数的是（　　）
　　A．y＝2x＋1　　B．y＝3x2＋1　　　C．　　　　D．y＝2x2＋x＋1
4．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．下列函数中既是偶函数又是 （ ）
A． B． C． D．
6．设A是直角坐标平面上的所有点组成的集合，如果由A到A的映射f，使象集合的元素（y－1，x＋2）和原象集合的元素（x，y）对应，那么，象点（3，一4）的原象是点（　　）
　 A．（－5，5）　 B．（4，－6） C．（2，－2）　 D．（－6，4）
7．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．两个二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c与g（x）＝bx2＋ax＋c的图象只可能是图中的（　　）
9．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
10．设则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设函数则实数的取值范围是 ．
12．函数的定义域 ．
13．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是 ．
14．已知函数，若为奇函数，则________．
15．函数在区间[1，4]上的最小值是
16．已知函数f（x）＝2x2－mx＋3，且x［－2，＋∞］时是增函数，当x（－∞，－2］时为减函数，则f（1）＝_________　．
高2010级第二章《函数》单元检测答题纸
班级________________ 姓名_______________
一.选择题(满分10×5=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案
二.填空题(满分6×4=24)
11．_________ 12 ．___________ 13．___________
14． 　　　15．____________ 16．___________
三、解答题(满分26分)
17．(8分)对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
18．(9分)已知函数，证明函数在是增函数．
19．(9分)已知函数在有最大值和最小值，求、的值．
20．（20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）函数是定义在R上的奇函数，当，
（Ⅰ）求x<0时的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由.
高一第二章单元检测答案
班级________________ 姓名_______________
一.选择题(满分10×5=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案 C B C C C D D D D B
二.填空题(满分6×4=24)
11． 　　12 ． 　13． .
14 ． 　　　15． -2 　　16． 13.
三、解答题(满分26分)
17．(8分)对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
解：当
当时，在 R上恒成立，必须满足
解得：
18．(9分)已知函数，证明函数在是增函数．
证明：对任意，当时：
，
所以函数在是增函数．
19．(9分)已知函数在有最大值和最小值，求、的值．
解：对称轴，是的递增区间，
∴
20．（20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）函数是定义在R上的奇函数，当，
（Ⅰ）求x<0时的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）当 （Ⅱ）∵当若存在这样的正数a，b，则当∴f(x)在[a，b]内单调递减，
∴是方程的两正根，
- 5 -课 题： 3.2 指数函数的图像和性质
教学目的：
熟练掌握指数函数概念、图象、性质掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
二、新课讲授：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
例2求函数的单调区间，并证明
解：设
则
∵ ∴
当时， 这时
即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
引申：求函数的值域 （）
小结：复合函数单调性的判断
例3设a是实数，
试证明对于任意a,为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
小结 本节课学习了以下内容：
指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性方法
课后作业：(共10张PPT)
写出解2x-3=0的过程
解：1. 移项：2x=3；
2. 同乘1/2：x=3/2。
解决一元一次方程的一个算法
刷牙的算法：1. 清洗牙具；
2. 挤牙膏到牙刷；
3. 用清水漱口；
4. 上下左右刷牙；
5. 用清水漱口，直到去掉牙膏泡沫；
6. 清洗牙具；
算法：解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照
这些步骤执行，都能使问题得到解决。
特征：不唯一性、有穷性
下列过程是不是洗头的一个算法？
1.将头发湿润；
2.使用洗发水；
3.出现泡沫；
4.洗涤均匀；
5.重复上述过程。
在给定素数表的基础下，对任意自然数n进行分解
关键两步：
1、判断是否为素数：
（1）如果是素数，则分解结束；
（2）如果不是素数，则进行第二步。
2. 确定最小素因数。
重复上述步骤，直到找到n的所有素因数。
求n个正整数的最大公因数
1、将n个正整数分别进行素因数分解
2、确定它们的公共素因数和公共素因数的指数
3、将公共素因数相乘
1、设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求出其
中的最小值。
2、设计一个算法，求任意4个数的算术平均数。
1、（1）输入三个数a、b、c；
（2）比较a和b，将二者中的较小数记作x；
（3）比较x和c，将二者中的较小数记作y，
则y为3个数中的较大数。
2、（1）输入四个数a，b，c，d；
（2）计算S=a+b+c+d；
（3）计算v=S/4；
（4）输出v。
P91 2、不妨设8kg的大油瓶为A，
5kg和3kg的油瓶分别为B，C
8）将C中油全部倒入B，则B中油也为4kg。
1）从A往C倒3kg，将C装满，此时A中剩下5kg油；
2）将C瓶中的3kg油倒进B瓶；
3）再从A往C倒3kg油；
4）从C往B倒2kg，即将B瓶装满；
5）将B中油全部倒入A；
6）将C中油全部倒入B；
7）从A往C倒油，将C瓶装满，此时A中油为4kg；
例1：任意给定一个大于1的整数n，设计一个算法，
判定n是否为素数。
解：算法步骤：
（1）判断n是否等于2。若n=2，则n是素数；
若n>2 ，则执行（2）。
（2）依次从2到n-1 检验是否为n的因数，
即能否整除n，若有这样的数，则n不是素数；
若没有这样的数，则n是素数。
例2：写出解方程ax+b=0（a，b为常数）的算法。
解：算法：
（1）判断a是否为零。若a=0，则执行（2）；
若a≠0，执行（4）；
（2）判断b是否为零。若b=0，则方程有无穷多解；
若b ≠0，执行下一步；
（3）输出方程无实数解；
（4）将方程变形为： ；
（5）输出方程的解数： 。(共25张PPT)
课题：两角和与差的正切公式的应用
浙大附中数学组 蒋红伟 姚绮
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学习目标
目标1
目标2
目标1
目标2
目标1
目标1
和角与差角正切公式的应用
学习目标
目标1
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目标1
目标2
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和角与差角正切变形公式的应用
和角与差角正切公式的应用
学习目标
朝花夕拾
目标1
目标2
目标1
和角与差角正切公式的应用
目标2
和角与差角正切变形公式的应用
基础应用
例题1
例题3
例题2
例题1
例题3
例题2
基础应用
例题1
例题1、不查表求值
例题1
例题3
例题2
例题2
基础应用
例题1
例题3
例题2
例题2
基础应用
基础应用
例题1
例题3
例题2
例题2
例题3、计算
例题1
例题3
例题2
例题3
基础应用
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
例题1
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题2
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题3
例题6
变形应用
讨论：
∴原等式成立
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题4
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题5
例题6
变形应用
变形公式
例题1
例题3
例题2
例题4
例题5
例题6
例题6
变形应用
小结
变形公式
基础应用
变形应用
1、非特殊角的求值
2、角的组合
3、公式逆用
1、典型例题
2、注意事项
达标测试
作业(共7张PPT)
平 移
o
x
y
P
P
a
F
F
设P(x,y)，P (x ,y ),
PP =(h,k)
平移公式
例1: (1).把点A(-2,1)按 a =(3,2)平移，求对应点A 的 坐标。
(2).点M(8，-10)按 a 平移后的对应点M 的坐标为 (-7,4)，求 a
例2：函数 y=2x的图象 l 按 a =(0,3)平移到 l ，求 l 的解析式。
例3：已知抛物线y=x2+4x+7.
(1) 求抛物线顶点的坐标。
(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点
重合时的函数解析式。
练习：
1.函数y=lg (3x-2)+1的图象按向量 a 平移后
图象的解析式为y=lg3x，则 a =_____
2、把函数的图象C按向量 a = ，平移后，
得到的函数图象C:y=2sinx ，则
(1)平移公式为_______
(2)图象C的函数解析式为________
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普通高中课程标准实验教科书—数学必修三[苏教版]
§2.1 第1课时 抽样方法
（1）——简单随机抽样
教学目标
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；
（3）感受抽样统计的重要性和必要性．
教学重点、难点
正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学过程
一、问题情境
情境1．假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
情境2．学校的投影仪灯泡的平均使用寿命是3000小时，“3000小时”这样一个数据是如何得出的呢？
二、学生活动
由于饼干的数量较大，不可能一一检测，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本；
考察灯泡的使用寿命带有破坏性，因此，只能从一批灯泡中抽取一部分（例如抽取10个）进行测试，然后用得到的这一部分灯泡的使用寿命的数据去估计这一批灯泡的寿命；（抽样调查），那么，应当怎样获取样本呢？
三、建构数学
1．统计的有关概念：
统计的基本思想：用样本去估计总体；
总体：所要考察对象的全体；
个体：总体中的每一个考察对象；
样本：从总体中抽取的一部分个体叫总体的一个样本；
样本容量：样本中个体的数目；
抽样：从总体中抽取一部分个体作为样本的过程叫抽样．
2．抽样的常见方法：
（一）简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
说明：简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
（二）简单随机抽样实施的方法：
情景：为了了解高一（1）班50名学生的视力状况，从中抽取10名学生进行检查，如何抽取呢？
（1）抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
一般步骤：（1）将总体中的个个体编号；（2）将这个号码写在形状、大小相同的号签上；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽取1个号签，连续抽取次；（5）将总体中与抽到的号签的编号一致的个个体取出。
说明：（1）将个体编号时，可利用已有的编号，例如：学生的学号、座位号等．
（2）当总体个数不多时，适宜采用
（2）随机数表法：按照一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法。
一般步骤：①将个体编号；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．
随机数表的制作：（1）抽签法 （2）抛掷骰子法 （3）计算机生成法
四、数学运用
1．例题：
例1．下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
例2．例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
2．练习：课本第42页第1、2题
五、回顾小结：
1．简单随机抽样的特征：每个个体入样的可能性都相等，均为n/N；
2．抽签法、随机数表法的优缺点及一般步骤。
六、课外作业：
1．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
2．为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A．总体 B．个体是每一个学生
C．总体的一个样本 D．样本容量
3．一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是
4．课本第42页第3、4题．
必修三 第二章 统计——第1课时：简单随机抽样(共11张PPT)
3.2 平面向量基本定理
问题情境
火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。在力的分解的平行四边形过程中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力之和。
那么平面内的任一向量否可以用两个不共线的向量来表示呢？
动画演示
平面向量基本定理
例4 如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=300的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。
F
M
N
E
G
例5 如图，在平行四边形ABCD中，E，F
分别是BC，DC的中点，AB=a,AD=b,用a，b
表示BF和DE。
A
C
F
E
B
D
补例
补例
A
B
C
D
E
F
1、在正六边形ABCDEF中，AC = a ,
AD = b,用 a , b 表示向量AB、BC、
CD、DE、EF、FA。
O
练习
C
B
A
D
E
F
G
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
试用 a , b 表示AG。
变式 设M是△ABC的重心，若MA= a,
MB=b,试用 a , b 表示AB，AC，BC。
C
B
A
D
E
F
M
3 在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c，d表示AB和AD。
A
C
M
N
B
D
c
d(共13张PPT)
§4.1 角的概念的推广
我们的目标：
1、重新理解角的概念
2、掌握角的集合的表示方法
初中
（静止地）
角——一点出发的两条射线所围成的图形
高中
（运动地）
角——一条射线绕一个短点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
规定：逆时针转动——正角
顺时针转动——负角
没有转动 ——零角
终边与始边重合的角是零角吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o(共10张PPT)
§4.7 二 倍 角
（二）
我们的目标
灵活应用二倍角的正、余弦公式
1、二倍角的正、余弦公式
2、二倍角的正、余弦的变形公式课题： 2．1指数概念的扩充
教学目标：
通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学重点：
1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学难点：有理指数幂性质的灵活应用
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质
二、新课讲授
提出问题
（1） 观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
②
③
④
（2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？
，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）
（3）你能推广到一般的情形吗？
师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是（a＞0，m，n，且n＞1）
提出问题
负分数指数幂的意义是怎样规定的？
你能得到负分数指数幂的意义吗？
你认为如何规定0的分数指数幂的意义？
分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0？
既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？
讨论结果有以下结论：
（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）
性质
（1） （a＞0，r，s∈Q）
（2）（a＞0，r，s∈Q）
（3）（a＞0，b＞0，r∈Q）
规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
例题讲解
（1）求下列各式的值
（2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b（式中a＞0）
=32
学生练习
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
同学们可参阅了解有关无理数指数幂知识（老师做必要的说明，极限思想）
作业
1．计算下列各式
2．求值(共30张PPT)
在中央电视台幸运52节目中,有一个猜商品价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出某种商品的价格,就可获得该件商品.现有一商品,价格在0-8000元之间,采取怎样的策略才能在短的时间内说出正确(大体上)的答案呢
第一步:报“4000”；
第二步:若主持人说高了(说明答案在0~4000之间),就报“2000”,否则(答数在4000~8000之间)报“6000”；
第三步:重复第二步的报数方法取中间数,直至得到正确结果.
问题情境
问题情境
×
一个农夫带着一只狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
学生活动
问题情境
“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：鸡兔各几何？”
解决问题
×
“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：雉兔各几何？”
解：
设
笼子里有鸡 只，兔子 只.
列
方程得
解
方程得
答：
笼子中有鸡23只，兔12只.
设
列
解
答：
解决问题
×
解方程
第一步,
由（1）得
第二步,
将（3）代入（2）得
第三步,
解（4）得
第四步,
将（5）代入（3）得
第五步,
得到方程组的解得
提出问题
×
写出一般二元一次方程组的解法步骤.
解:第一步,
第二步,解（3）得
第三步,
第四步,解（4）得
第五步,得到方 程组的解为
算法的概念
×
算法：
算法（algorithm）一词源于算术(algorism),算术方法的原义是一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般,指在有限步内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则,甚至把把进行某一工作的方法和步骤也称为算法。
归纳总结:
算法的定义：
通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
算法最重要的特征：
1.有序性 2.确定性 3.有限性
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
练习1：
下面叙述能称为算法的是 　　　;
①广播操的广播操图解； ②歌曲的歌谱；
③彩电说明书； ④看日出；
⑤做米饭需要先刷锅，然后淘米添水，
最后加热这些步骤 。
练习2：写出刷牙的一个算法。
① ② ③ ⑤
练习2：写出刷牙的一个算法。
刷牙的算法：1. 清洗牙具；
2. 挤牙膏到牙刷；
3. 用清水漱口；
4. 上下左右刷牙；
5. 用清水漱口，直到去掉牙膏泡沫；
6. 清洗牙具；
练习3：写出解方程ax+b=0（a，b为常数）的算法。
解：算法：
（1）判断a是否为零。若a=0，则执行（2）；
若a≠0，执行（4）；
（2）判断b是否为零。若b=0，则方程有无穷多解；
若b ≠0，执行下一步；
（3）输出方程无实数解；
（4）将方程变形为： ；
（5）输出方程的解数： 。
小结：
对一类问题的机械的、统一的求解
方法称为算法．
例1
写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：算法如下：
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
应用举例
例2
写出求 的值的算法。
解法1：算法如下：
S1 先求 ，得到结果2；
S2 将第一步所得结果2再乘以3，得到结果6。
S3 将6再乘以4，得到24；
S4 将24再乘以5，得到120；
S9 将362880再乘以10，得到3628800，即是最后的结果。
应用举例
例3
任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数作出判定。
解：算法如下：
S1 输入n。
S2 判断n是否等于2。若n＝2，则n是质数；若n>2，则执行 S3。
S3 依次从2--（n－1）检验是不是n的因数，即整除n的数。若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
应用举例
应用举例
×
例4 写出用“二分法”求方程
的近似解的算法.
对于区[a,b ]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
x2=2
x1=1
1.5
1.25
1.375
1.4375
解决问题
×
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为［a,m］；
第一步, 令 .给定精确度d.
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步, 取中间点　　　　　．
第五步, 判断［a,b］的长度是否小于d或者
f(m)是否等于０.若是，则m是方程的近似　　　　　　　　　　　　　　　
解;否则，返回第三步．
将新得到的含零点的仍然记为［a,b］ .
　　　否则，含零点的区间为［m, b］.
　　　　　　　　　
例5 设计一个算法，求840与1764的最大公因子．
首先，对两个数分别进行素因子分解：
840＝2 3×3×5×7
1764＝2 2×3 2×7 2
其次，确定两数的公共素因子：2，3，7．
接着，确定公共素因子的指数：对于公共素因子2，2 2是1764的因子，2 3是840的因子，因此2 2是这两个数的公因子，这样我们就确定了公共素因子2的指数为2．同样，我们可以确定出公因子3和7的指数均为1．
应用举例
这样，就确定了最大公因子为：2 2×3×7＝84．
可以把上述过程概括为下列步骤：
S1先将840进行素因子分解：840＝2 3×3×5×7；
S2 然后将1764进行素因子分解：1764＝2 2×3 2×7 2；
S3 确定它们的公共素因子：2，3，7；
S4 确定公共素因子的指数：公共素因子2，3，7的指数分别为2，1，1；
S5 最大公因子为2 2×3 1×7 1＝84．
以上步骤就是我们求两个正整数的最大公因子的一个算法，这种算法的思想具有一般性，可以帮助我们设计求3个或者3个以上正整数的最大公因子的算法．在这个算法的设计中，对自然数进行素因子分解是基础，对自然数进行素因子分解，
课堂练习：
1、如何求一元二次方程 ax2+bx+c=0的解？
2、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。
3、人鬼过河
现在河的岸边有三个人和三个鬼，河上只有一条小船，船上最多能坐两个“人”，在河的任何一边，当鬼的个数比人多时，鬼就会吃掉人。请问如何才能使人和鬼都平安的到达对岸。
1如何求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解？
解：第一步 计算△=b2-4ac
第三步 得出方程的根或无解的信息
练习答案：
第二步 如果△≧0则x1,2=
则方程无解
如果△﹤0
2、分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。
解：算法步骤如下：
第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；
第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
第五步：交换结束。
解:要想使人鬼都安全过河，需要下面11步(共7张PPT)
5.1 正切函数的图像和性质
5.1 正切函数的图像和性质
5.1 正切函数的图像和性质
5.1 正切函数的图像和性质
5.1 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 是否为周期函数？
∴ 是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数 ， 的图像:
几何画板演示
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
4.10 正切函数的图像和性质
正切函数的性质：
①定义域：
②值域：
R
当 小于 （ ）且无限接近于 时，
当 大于 ( )且无限接近于 时，
正切函数是周期函数，周期是 ．
④奇偶性：
奇函数．正切曲线关于原点 对称．
∵任意 ，都有 ，
∴正切函数是奇函数．
⑤单调性:
正切函数在每个开区间 内都是增
函数．
⑥渐近线：
渐近线方程是： ，
4.10 正切函数的图像和性质
例1．求函数 的定义域．
解：
令 ，那么函数 的定义域是:
由 ，可得
所以函数 的定义域是
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函数
∴
（2）∵
又∵ ，函数 ，
是增函数，
∴ 即 ．
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数
且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ）
D．与 值有关
A．
B．
C．
（2）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
C
4.10 正切函数的图像和性质
（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） 性质:
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
小结：本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
典型例题
　　例1 已知 ，试用 表示其他五种三角函数．
　　分析：本题首先应注意对 进行分类，再利用同角三角函数的关系求之．
　　解：由于 ，且 ，所以其他五种三角函数都有意义．
　　（1）当 在第一、二象限时，
　　 ， ， ， ， ．
　　（2）当 在第三、四象限时，
　　 ，
　　 ， ，
　　 ， ．
　　说明：解决此类问题时，应注意尽可能地确定 所在的象限，以便确定三角函数的符号．另外，在用一个角的三角函数值表示其他几个三角函数值时，应尽可能少地使用平方关系．
　　例2 已知 ，求 的值．
　　分析：本题的解题思路入口处较宽，下面给出一种化切为弦的求法．
　　解：将已知等式两边平方得 ．
　　由于 ，所以 ， ，从而 ，故
．
　　解方程组 解得
　　故 ．
　　说明：对于本题还可以有其他多种解法，有兴趣的读者不妨一试，但值得注意的是，对本题如若解题时不很细主，则很容易发生误解，如以下这种解法：
　　由 ．
　　即 ，解得 或 ．
　　你能看出其中的错误吗？
　　例3 化简 ．
　　分析：对本题一般可采取化切为弦的办法进行化简．
　　解：原式
　　　　　　
　　说明：化简三角函数式所得的最后结果，应满足以下要求：①函数的种类要最少；②项数要最少；③函数次数要最低；④能求出数值的要求出数值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．
　　例4 求证 ．
　　分析：对本题，可多角度地探究其证法．
　　证法一：左边
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　 右边．
　　证法二：右边－左边
　　证法三：命 ， ，消 得 ，即 ，
　　左边 右边．
　　证法四：构造关于 的方程 ，即 ，解之得 ，将其一根 代入第一个方程，即有
　　 ．
　　说明：在本题的上述四种不同的证法当中，均体现了一种转化与化归的数学思想方法．
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普通高中课程标准实验教科书—数学必修三[苏教版]
§2.1 第1课时 抽样方法
（2）——系统抽样
教学目标
（1）正确理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤；
（2）通过对解决实际问题的过程的研究学会抽取样本的系统抽样方法，体会系统抽样与简单随机抽样的关系。
教学重点、难点
正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
教学过程
一、问题情境
情境：某校高一年级共有20个班级，每班有50名学生。为了了解高一学生的视力状况，从这1000名学生中抽取一个容量为100的样本进行检查，应该怎样抽取？
二、学生活动
用简单随机抽样获取样本，但由于样本容量较大，操作起来费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，你能否设计其他抽取样本的方法？
三、建构数学
1．系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
说明：由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
（4）系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
（5）简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的。
练习：（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
（）从标有1~15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
（）工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
（）搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
（）电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
2．系统抽样的一般步骤：
（1）采用随机的方式将总体中的个体编号（编号方式可酌情考虑，为方便起见，有时可直接利用个体所带有的号码，如学生的准考证号、街道门牌号等）；
（2）为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔，当（为总体个数，为样本容量）是整数时，，当不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）使剩下的总体中个体的个数能被整除，这时；
（3）在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号；
（4）按照事先确定的规则抽取样本（通常是将加上间隔，得到第2个编号，再将加上，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本）．
四、数学运用
1．例题：
例1．某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本。
解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号；
第二步：从总体中用随机数表法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号（分别为000，001，002，，619），并分成62段；
第三步：在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码；
第四步：将编号为的个体抽出，组成样本。
例2．从编号为的枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取枚导弹的编号可能是（）
2．练习：课本第44页第1、2题
五、回顾小结：系统抽样的概念及步骤。
六、课外作业：
1．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
（）99 （）99．5 （） （）
2．从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
（）1，2，3，4，5 （）5，16，27，38，49　
（）2, 4, 6, 8 （）4，13，22，31，40
3．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
必修三 第2章 统计 ——第2课时：系统抽样(共18张PPT)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一 众数、中位数、平均数的概念
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：米) 1．50 1．60 1．65 1．70 1．75 1．80 1．85 1．90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
　解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．
　　上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
　这组数据的平均数是
　答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率
组距
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.
频率
组距
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
3、平均数是频率分布直方图的“重心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数由公式:
X=
给出.下图显示了居民月均用水量的平均数: x=1.973
频率
组距
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
三 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少.
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为10t，那么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。
3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此 ，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
四 众数、中位数、平均数的简单应用
例 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
周工资 2200 250 220 200 100
人数 1 6 5 10 1 23
合计 2200 1500 1100 2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数
（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。课 题： 3.1 指数函数的概念
教学目的：
理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.培养学生实际应用函数的能力
教学重点：指数函数的图象、性质
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新课讲授
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
例题讲解：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量
经过2年，剩留量
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84
的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2比较下列各题中两个值的大小：
①，； ②，； ③，
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面几组数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
练习：⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n；m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
小结 本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质
课后作业：《辗转相除法》算法案例设计
冷水江一中 杨玉林
一、教学目标
1．知识与技能
（1）理解辗转相除法中蕴含的数学原理，并能根据该原理进行算法分析。
（2）能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
2．过程与方法
在辗转相除法求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
3．情态与价值
（1）通过阅读古代数学中的算法案例，体会古代数学对世界数学发展的贡献。
（2）在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
二、教学重难点
1．重点：理解辗转相除法求最大公约数的方法。
2．难点：把辗转相除法转换成程序框图与程序语言。
三、学法与教学用具
1．学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法的程序框图与算法程序。
2．教学用具：电脑，Qbasic语言、多媒体设备
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出:
例-1. 求出30与75的最大公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知
1．穷举法
能否利用计算机通过穷举法求出两个正数8251和6105的最大公约数？并引导学生画出程序框图和编写程序，能求任意两个正整数的最大公约数。
程序： input “m，n=”；m，n
If m>n then
i=n
else
i=m
end if
while m mod i<>0 or n mod i<>0
i=i-1
wend
print “The max is”; i
end
2.辗转相除法
提出问题:除用计算机外，如何简洁的求8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数。
小结:
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
3. 辗转相除法的程序框图及程序
利用辗转相除法的计算算法，我们可以设计出程序框图以及QBSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图
（2）辗转相除法的程序
程序一：
INPUT “m,n=”;m,n
IF mx=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
程序二：
INPUT “m,n=“;m,n
If mSwap m,n
end if
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
4.课堂练习
（1）求324、243、135这三个数的最大公约数。
（2）思考：设计一个计算机称序,求已知n个正整数的最大公约数
提示：
Input “n=”；n
Print “i=”；1
Input “ai=”；a
i=1
while i<=n-1
i=i+1
print “i=”;i
input “ai=”;b
do
r=a mod b
a=b
b=r
loop until r=0
wend
print “The max is”;a
end
五.课堂作业：
P48 A组 --1
PAGE
3(共13张PPT)
怎样求多项式
f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1
当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设
是一个n 次的多项式
对该多项式按下面的方式进行改写：
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
最后的一项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例2 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
解：
将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为1.
第三步：输入i次项的系数ai.
第四步：v=vx+ai,i=i-1.
第五步：判断i是否小于或等于0，若否，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。
程序框图：
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
输入ai
开始
输入n,an,x
i>=0
输出v
结束
v=vx+ai
i=i-1
Y
N
i=n-1
V=an
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
Input “n=”;n
Input “an=”;a
Input “x=”;x
v=a
i=n-1
While i>=0
print “i=”;i
input “ai=”;a
v=v*x+a
i=i-1
Wend
Print v
end
练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图(共13张PPT)
§4.5 诱导公式
（三）
1、诱导公式：
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：
2、求任意角的三角函数值的步骤：
任意角的三角函数
相应正角的三角函数
角的三角函数
锐角的三角函数
三角函数值
查表
练一练
两分钟内完成
三分钟内完成
五分钟内完成(共22张PPT)
复习回顾
3.正相关与负相关的概念 .
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
1.变量间的相关关系的概念；
2.散点图的概念；
将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。
如果散点图中点的位置散布在从左下角到右上角的区域，称它们成正相关，如果散点图中点的位置散布在从左上角到右下角的区域内，称它们成负相关.
4. 线性相关
如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。
从散点图我们可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.
那么当人的年龄增加时,体内脂肪到底是以什么方式增加的呢
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条
直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程
(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与
体内脂肪含量的相关性,就像平均数可以作为一个变量的
数据代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关
关系的代表.
那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢
年龄
脂肪含量
方案一:先画一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动
直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜
率和截距,就可得到回归方程了.
但是,这样做可靠吗
操作性比较困难
年龄
脂肪含量
方案二:在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的
点的个数基本相同.
这样做能保证各点此与直线在整体
上是最接近的吗
准确性不高
年龄
脂肪含量
方案三:在图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分
别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均
数当成回归方程的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行
我们还可以找到更多的方法，但这些方法都可行吗 科学吗？准确吗？怎样的方法是最好的？
我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P88）
实际上,求回归方程的关键是如何利用数学的方法
来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.
怎样理解呢
假设我们已经得到两个具有线性相关关系变量的一组数据
(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn).
且所求回归方程是 ,其中a,b是待定系数.
x
y
O
这样,用这n个偏差的和来刻画”各点与此直线的整体
偏差”是比较合适的.由于 可正可负,为避免相互抵
消,可以考虑用 来代替,但由于它含有绝对值,运
算不太方便,所以改用
①
这样,问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小,即总体
偏差最小.经过数学上求最小值的运算,求a,b的公式为:
②
二、求线性回归方程
例1：观察两相关变量得如下表：
x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
判断两变量的相关关系，求回归直线方程有意义吗？
解1：
画散点图：
由散点图可知，两者之间不具有线性相关关系，求回归直线方程无意义。
例2：观察两相关变量得如下表：
x -5 -4 -3 -2 -1 1 3 2 4 5
y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
求两变量间的回归方程
解：
列表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5 -4 -3 -2 -1 1 3 2 4 5
-9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
45 28 15 6 1 1 15 6 28 45
计算得:
∴所求回归直线方程为 y= x
^
求线性回归直线方程的步骤：
第一步：列表 ;
第二步：计算 ;
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程。
总结
解2：用Excel求线性回归方程，步骤如下:
（1）进入Excel作出散点图。
（2）点击“图表”中的“添加趋势线”，单击“类型”中的“线性”，单击“确定”，得到回归直线。
（3）双击回归直线，弹出“趋势线格式”，单击“选项”，选定“显示公式”，最后单击“确定”。
例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。
解: (1)散点图
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
温度
热饮杯数
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。
Y=-2.352x+147.767
^
（4）当 x = 2时，y =143.063,因此，这天大约可以卖出143杯热饮。
^
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方法就是画散点图。
（2）会求线性回归方程
（3）利用回归方程，可以进行预测。
小结
课堂作业：P94 A组 3, B组 1
家庭作业：基础训练 P40 练习九
2.3 全线突破(共15张PPT)
角的概念的推广
角的概念的推广
1.假如你的手表慢了5分钟，你是怎样将它
校准，当时间校准后，分针旋转多少度？
2.假如你的手表快了1.25小时，你应该如
何将它校准？当时间校准后，分针旋转了
多少度？
帮一帮
回顾旧知
(初中)角:从一点出发引出的两条
射线构成的几何图形.
生活中实际的例子
跳水运动员后空翻（720 ° ）
转动的车轮
角可以看做:平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
顶点
始边
终边
o
A
B
角的一般定义
观察主动轮和从动轮的旋转方向
主动轮和从动轮的旋转方向相反
如果要对主动轮和从动轮的旋转角进行描述，
旋转方向相反，该如何刻画呢？
要描述一个角大家想想应该从那些角度描述呢？
旋转方向
旋转量
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
角的定义
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
如果射线没有旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。
思 考
思 考
钟表的时针和分针在旋转过程中，分别形成什么角？
210°
-150°
A
始边
终边 B
终边 C
o
+
-
正角
负角
零角
角
正角
负角
零角
正数
负数
零
时钟从12时到15时,时针所走的角度为_______
分针所走的角度为________
算一算
请大家作出下列各角
210 °
-45 °
-120 °
210 °
210 °
210 °
如：210 °的角
x
y
o
始边　
终边
　
终边
终边
终边
1)置角的顶点于原点
终边落在第几象限就是第几象限角
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边　
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
o
y
x
始边
终边
1）角的顶点与原点重合；
2）角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：角的终边（除端点外）在第几象限就说这个角是第几象限角。
轴线角：角的终边落在坐标轴上．
规定：
·
x
y
o
x
y
o
x
y
o
练习: 1.课本第５页第１,３题．
下列角是第几象限角与正负角。
课外探究
在直角坐标系下，给定一个角，就有唯一
的一条终边与之对应，反之，直角坐标系内任
意一条射线OB以他为终边的角是否唯一，如果
不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
课堂小结
1.角推广为正角、负角、零角。
2.象限角和轴线角
作 业PAGE
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立体几何综合练习
1、 选择题：（每小题５分，共６０分）
1．设有直线m、n和平面、，则在下列命题中，正确的是( ).
A.若m//n,m,n,则
B.若m,mn,n,则
C.若m//n,n,m,则
D.若m//n,,,则
2．设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：
①若，，则
②若，，则
③若，，则
其中正确的个数是（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
3．设是外一点，则使点在此三角形所在平面内的射影是的垂心的条件为（ ）
(A).
(B).
(C)点到三角形三边的距离相等.
(D)以上都不对
4．对于直线m、n和平面、，能推出的一个条件是（ ）
A.,m//, B.,,
C.,, D.,,
5．已知三条直线m、n、l，三个平面、、，下面四个命题中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是
A.若，则
B.若，则
C.若a、b相交，则、相交
D.若、相交，则a、b相交
7．已知直线l平面，直线平面，有下面四个命题：
①;②;
③;④
其中正确的两个命题是（ ）
A. ①与② B. ③与④
C. ②与④ D. ①与③
8．在下列命题中，真命题是（ ）
A.若直线m、n都平行于平面，则m//n
B.设，,若直线，则
C.若直线m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线,且，则n在内或n与平行
D.设，若m与平面平行，则n与相交
9．在下列命题中，假命题是（ ）.
A.若平面内的一条直线l垂直于平面内的任一直线，则
B.若平面内的任一直线平行于平面，则
C.若平面平面，任取直线，则必有
D.若平面//平面，任取直线，则必有
10．若有平面与，且，，，则下列命题中的假命题为（ ）
A.过点P且垂直于的直线平行于
B. 过点P且垂直于的平面垂直
C. 过点P且垂直于的直线在内
D. 过点P且垂直于l的直线在内
11．.用一个平面去截立方体得到多边形，其中边数最多的是　　　　边形
A.3 B.4 C.5 D.6
12．已知四个命题：①两条直线确定一个平面；②点在平面内，也在直线上，则直线在平面内；③如果平面与平面有不同的三个公共点，那么这两个平面必重合；④三条直线两两平行，最多可确定三个平面．其中正确的命题有　　　个
A.1 B.2 C.3 D.4
2、 填空题：（每小题４分，共１６分）
13．①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么两个平面平行；
②如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行;
③如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么直线与平面平行；
④如果一条直线平行于一个平面，那么直线与平面内的所有直线都平行；
⑤垂直于同一平面的两个平面平行；
⑥平行于同一平面的两个平面平行；
⑦垂直于同一直线的两条直线平行；
⑧平行于同一直线的两条直线平行.
其中正确的是 .
14．关于直角在平面内的射影有如下的判断：①可能是0 角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是平角.其中正确判断的序号是 .(注：把你认为正确的序号都填上)
15．空间三个平面把空间最多分为 部分．
16．.三棱锥中，互相垂直的棱最多有 对
3、 解答题：（共７４分）
17．（本小题满分１２分）已知：正方形与正方形不共面，、分别在和上，=.
求证：平面.
18．（本小题满分１２分）已知：平面平面=，平面平面=，平面平面=且不重合．
求证：交于一点或两两平行．
19．（本小题满分１２分）如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD//CE且CE=CA=2BD,M是EA的中点.
求证:（1）=
（2）平面BDM⊥平面ECA
20．（本小题满分１２分）已知：空间四点、、、在两相交平面、内的射影分别为、、、和、、、，且、、、共线，四边形是平行四边形.求证：、、、是平行四边形的顶点.
21．（本小题满分１２分）求证：若两相交平面垂直于同一平面，那么，其交线也垂直于这个平面.
22．（本小题满分１４分）四面体ABCD中，AB⊥CD,△ABD是锐角三角形.
求证：AD2+BC2=DB2+AC2
答案：
1.C 2. A 3. A 4. C 5. D 6.D7.D8.C9.C10.D11.D12.A
13. ⑥，⑧ 14. ①②③④⑤ 15. 8 16. 3
17. 证明：（方法一）
连结AM并延长交BC于G
则==
所以……………………6’
又MN平面
EG平面
故平面………………12’
（方法二）过N做直线NH//EB交直线AB于H
连结MH
因为==
所以 HM//AD//BC………………………6’
于是 平面MHN//平面CBE
MN平面MHN
所以 平面…………………12’
18. 证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设、交于．
因为，，故,……………………4’
同理，,
故．
所以交于一点．………………………8’
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．………12’
19. 证明：（1）如图设为的中点，连结、.
因为 △ABC为正三角形，
所以
又因为 ，
所以且
故 四边形是平行四边形，…………4’
由于 ，
所以 平面
所以 平面
所以
故 =…………………………………………8’
（2）由（1）知平面，平面BDM
所以 平面BDM⊥平面ECA…………………………………………12’
20. 证明：由、、、共线知：四边形ABCD是平面图形
因为
所以 平面平面……………………6’
从而
同理 BC//AD
所以 、、、是平行四边形的顶点………………12’
21. 已知：平面、、，，且
求证：
证明：方法一：
设，
在内作，
由平面与平面垂直的性质可得：
因为
所以 …………………………6’
同理
故 ………………………………………12’
方法二：设，
在内作直线，在内作直线
由平面与平面垂直的性质得：，
故 ………………………………………6’
又因为 ,
得
因为 ，
故
所以 ………………………………………………12’
22. 证明:因为 △ABD是锐角三角形
所以 过作边上的高，垂足在边上.
连接
因为，
所以平面…………………………7’
所以=+
=
所以AD2+BC2=DB2+AC2…………………………………14’
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教学建议
知识结构：
重点与难点分析：
　　本节重点是用“五点法”画函数 的简图，以及由函数 的图像得到函数 图像的变换过程．“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到，是数形结合中画图常用的方法．图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化，由特殊到一般的化归思想，要掌握三角函数的图像变换，关键理解A、 、 对图像变换所起的作用．
　　本节难点是当 时，函数 ， 的图像间的关系．学生在这里经常出错，教学中要帮学生尽量克服这一难点．首先要学生理解A、 、 三个参数的名称、在变换过程中的作用，函数 的图像如何通过 逐步变换得到的，A、 、 三个参数对于图像有什么样的影响．变换的顺序不同 、 变换的数据可能就不相同，让学生理解所的变换均是针对x而言的，关键是看x是如何变化的．
教法建议：
　　1．本节的主要内容是“五点法”画函数 的图像，以及由函数 图像到函数 的图像的变换过程．首先让学生理解由函数 的图像分别到函数 ， ， 图像，是如何变换得到的以及参数 、 、 分别对变换图像影响．讲解过程中一定要结合图像，让学生掌握变换的思路．讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程．每个例题讲解图象变换的目的，在于揭示各种正弦函数图象的内在联系，而并不要求用图象变换来作图，而是为 图像的变换奠定基础．
　　2．由函数 图像变换到函数 的图像过程中，变换的顺序不同可能变换的量不相同，例如先变相位，再变周期，与先变周期．再变相位，相位变换的量不同，函数 的图像可由函数 的图像上所有点向左平，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 ；也可先将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，再将所得各点向左平移．这一不同学生很难理解，学生很容易出错，也是经常考查内容．首先给学生说明对于 中的 、 均是针对x而言的，因此在变换的过程关键就看x变换了多少，其它因素暂时不考虑．可以借助多媒体课件讲解，能起到更好的效果．
　　3．画函数 的简图，主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．要强调一下：这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 轴相交的点；找出它们的方法是换元法，设 ，由X取0， ， ， ， 来确定对应 的值．在每道例题中讲图象变化的目的，在于揭示函数 的图象与正弦曲线的关系，而不是要求按图象变化规律来画图，这样可以借助函数 的性质研究函数 的性质．
　　4．由于函数 的图象在物理和工程技术的很多问题中应用都很多，所以，在引入函数 的图象时，就可以从物理中的一些实际问题出发，即结合了实际，又体现了学以致用的思想，特别是对 、 、 物理意义的理解。比如可以举物体作简谐振动时位移s与时间t的关系。
教学设计示例
4.9 函数 的图像
第一课时
（一）教学具准备
　　直尺、投影仪．
（二）教学目标
　　掌握由
（三）教学过程
　　1．设置情境
　　函数 （ 、 、 是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移 与时间 的关系，交流电中电流强度 与时间 的关系等，都可用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数 与 的简图的作法学起．（板书课题）—函数 与 的图像．
　　2．探索研究
　　（可借助多媒体）
　　（1）函数 与 的图像的联系
　　【例1】画出函数 及 （ ）的简图．
　　解：函数 及 的周期均为 ，我们先作 上的简图．
　　列表并描点作图（图1）
0
0 1 0 －1 0
0 2 0 －2 0
0 0 0
　　利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图．
　　 的图像与 的图像之间有何联系？请一位同学说出 的值域和最值．
　　生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的． ， 的值域是 ，最大值是2，最小值是－2．
　　师： 的图像与 的图像有何联系？并请你说出 的值域和最值．
　　生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍，（横坐标不变）而得到的， ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
　　师：由例1中 、 与 的图像的联系，我们来探求函数 （ 且 ）的图像与 的图像之间的联系．
　　函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅． ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
　　（2）函数 与 的图像的联系
　　【例2】作函数 及 的简图．
　　解：函数 的周期 ，因此，我们先来作 时函数的简图．
　　列表：
0
0
0 1 0 －1 0
　　函数 的周期 ，因此，我们先作 时函数的简图．
　　列表：
0
0
0 1 0 －1 0
　　描点作图（图2）
　　师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出 ， 及 ， 的简图．
　　请同学们观察函数 与 的图像间的联系及 与 的图像间的联系．
　　生：在函数 ， 的图像上，横坐标为 （ ）的点的纵坐标同 上横坐标为 的点的纵坐标相等，因此 的图像可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．
　　同样， 的图像可以看做把 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的．
　　师：由例2中， 、 与 的图像的联系，请你探求函数 （ 且 ）的图像与 之间在联系．
　　生：函数 （ 且 ）的图像，可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 ．
　　3．演练反馈（投影）
　　1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图
　　（1） （2）
　　2．函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系．
　　3．说明如何由 ；由
参考答案：
　　1．
　
　　2．周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长 倍（纵坐标不变）即得 的图像．
　　3． 的图像沿 轴方向压缩 得 的图像（纵坐标不变）；把 的图像上纵坐标缩短 倍（横坐标不变），即得 的图像．
　　4．总结提炼
　　（1）用“五点法”作 或 的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0， ， ， ， ，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点．
　　（2） 的图像可以看做是把正弦曲线 图像经过振幅变换而得到．
　　（3）函数 的图像可以看作是把 实施周期变换而得．
　　（4）作图时，要注意坐标轴刻度， 轴是实数轴，角一律用弧度制．
教学设计示例二
（一）教学具准备
　　直尺、投影仪．
（二）教学目标
　　1．掌握由 的变化过程，理解由 到 的变换步骤．
　　2．利用平移、伸缩变换方法，作函数 图像．
（三）教学过程
　　1．设置情境
　　师：上节课，我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像，请同学复述一下变换的具体过程．
　　生：将 的图像通过振幅变换便得到 的图像
　　将 的图像通过周期变换就得到 的图像
　　师：今天这节课，我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像，（板书课题：函数 和 的图像）
　　2．探索研究
　　（1）如何由 的图像通过变换得到 的图像
　　【例1】画出函数 ， ， ， 的简图
　　师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数 ， 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到．
　　同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像．
　　生：从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ，即 的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度，就可以得到 的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像．
　　函数 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）
　　师：我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
　　生：函数 ， （其中 ）的图像可以看做把 的图像上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．
　　（2）如何由 的图像通过变换得到 的图像
　　【例2】画出函数 ， 的简图．
　　解：函数 的周期 ，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．
列表
0
0 3 0 －3 0
　　描点，连线得图2
　　利用函数的周期性，我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）
　　师：函数 ， 的图像，可以看作用下面的方法得到：先将 上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 ， 的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ， 的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数 ， 的图像．
　　
　　师：我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
　　生：函数 ， （其中 ， ）的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）．
　　我们小结一下上述步骤如下：
　　师：其步骤流程图如下：
　　
　　这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．
　　函数 ， （其中 ， ）的简图，可以用类似方法画出．
　　（3） 、 、 的物理意义
　　当函数
　当函数 ， （其中 ， ）表示一个振动量时， 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．
　　往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率．
　　 称为相位； 时的相位 称为初相．
　　3．演练反馈（投影）
　　（1）要得到函数 图像，只需将 的图像（ ）
　　A．向右平移　　B．向左平移　　C．向右平移　　D．向左平移
　　（2）函数 的一个周期内图像如图3．
　　则 的表达式
　　A．
　　B．
　　C．
　　D．
　　（3）把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ，所得的解析式为_________．
参考答案：
　　（1）C．把 右移 ，得
　　（2）D．因为 ，又 与 比较知，是其左移 而得，即
　　（3）变换过程如下：第一步得：
　　　　　　　　　　　第二步得：
　　4．总结提炼
　　（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由 ，此步骤只是平移（ ，左移 个单位； ，右移 个单位），而由 可由二条思路：
　　① 即先平移后压缩．
　　② 即先压缩再平移．
　　不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母 而言的，如， 的图像向右平移 个单位，得到的应是 ，而不是 ；又 的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是 而不是 ．
　　（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．
典型例题
　　例1．（l）利用“五点法”作函数 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相．
　　　　（2）怎样由 的图象得到 的图象？
解：（1）列表：
0 2
0 2 0 －2 0
　　描点：（ ，0），（ ，2），（ ，0），（ ，－2），（ ，0）。
　　用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数 在一个周期内的简图（图1）．把这个简图利用函数的周期性向左、右扩展，就得到函数 的简图．
　　振幅 ，周期 ，初相
　　（2）解法一
　　 ①把函数 的图象上所有点向右平移 个单位，得到函数 的图象；②把函数 图象上所有点的根坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；③把函数 图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就得到函数 的图象见图1．
　　解法二
　　①把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；②把函数 图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 的图象；③把函数 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（根坐标不变），就得到函数 的图象见图1．
　　例2．已知函数 在一个周期内的简图（如图）。求其相应的函数表达式，并说明它是 经过怎样变换得到的。
　　 分析：应求出A、 、 ，观察图像易知振幅 ，周期 ，从而求得 ，对于 ，只需将点 代入解析式即可通过解方程获得。得知函数表达式则图像变换易知。
　　解：因为 ，所以 ，又易知 ，所以 。将点 代入上式得 。即 ，由 得 ，所以 。
　　它的图像可由 的图像作如下变换得到：
　　
　　小结：利用图像特征确定函数解析式 或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：
　　（1）振幅 ．
　　（2）相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出 值．
　　（3）确定 值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定．
　　例3． 函数 ，当它表示一个振动量时，求出它的振幅、周期、频率。相位、初相．
　　解：振幅 ，周期 ，频率 ，相位是 ，初相是 。
　　例4． 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 （厘米）和时间 （秒）的函数关系为
　　（l）作出它的图像；
　　（2）单摆开始摆动（ ）时，离开平衡位置多少厘米？
　　（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
　　（4）单摆来回摆动一次需多少时间？
　　解：（l）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：
… …
… 0 2 …
… 0 6 0 －6 0 …
　　用光滑曲线连接这些点，得函数 的图像（如图）
　　（2）当 时， ，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 。
　　（3） 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 。
　　（4） 的周期 ，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1 。
　　评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便
　　例5．函数 的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移 个单位，所得到的曲线是 的图像，试求函数 的解析式．
　　分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由 变换到 ；二是代换法，即设 ，然后按题设中的变换分两步得： ，它就是 ，即可求得 、 、 的值．
　　解：解法一：问题即是将 的图像先向右平移 个单位，得到 ；再将横坐标压缩到原来的 ，得 ，即 ．这就是所求函数 的解析式．
　　解法二：设 ，将它的横坐标伸长到原来的两倍得到 ；再将其图像向左平移 个单位，得 ．
　　∴ 解之得：
　　∴ ，即 ．
　　小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．
　　例6．已知函数 （ ， ， ）的图像的一个最高点为（2， ），由这个最高点到相邻最低点，图像与 轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式．
　　解 ∵最高点为（2， ），
　　∴ ，由题意知从最高点到相邻最低点时交 轴于（6，0），
　　∴ ，即 ．
　　∴ ．
　　∴ 代入最高点坐标，
　　 ，
　　∴ ，
　　∴ ．
∴函数解析式为
习题精选
一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
　　A．将 的图像沿 轴向右平移 个单位，得到 的图像
　　B．函数 的图像，当 时由 的图像向右平移 个单位得到
　　C． 的图像可由 的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 倍得到
　　D． 的图像可由 的图像上各点横坐标不变，纵坐标缩小为原来的 倍得到
2．函数 的图像可以由函数 的图像经过下列哪种变换得到（ ）
　　A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
　　C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
3．在 上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
　　A． B．
　　C． D．
5．右图是周期为 的三角函数 的图像，那么 可以写成（ ）
　　A． B．
　　C． D．
6．函数 的图像的一条对称轴方程是（ ）
　　A． B． C． D．
7．已知 ， ，则 的图像（ ）
　　A．与 的图像相同
　　B．与 的图像关于 轴对称
　　C．向左平 个单位，得到 的图像
　　D．向右平移 个单位，得到 的图像
8．函数 的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）
　　A．　　　　B． （ ）
　　C． （ ） D． （ ）
9．正弦函数 的定义域为 ，周期为 ，初相为 ，值域为［－1，3］，则其函数式的最简形式为（ ）
　　A． B．
　　C． D．
10．函数 的周期为2（其中 ），则 为（ ）
　　A．　　B．　　C．　　D．
11．函数 的单调增区间为（ ）
　　A． （ ）
　　B． （ ）
　　C． （ ）
　　 D． （ ）
12．函数 （ ）在区间［a，b］上是增函数，且 ， ，则函数 在［a，b］上（ ）
　　A．是增函数 B．是减函数
　　C．可以取得最大值 D．可以取得最小值
二、填空题
　　13．正弦函数 的定义域为 ，周期为 ，初相为 ，值域为［－1，3］，则 ．
　　14．函数 ，当 时，取最小值．
　　15．将函数 的图像上各点向右平移 个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，然后把纵坐标伸长到原来的5倍，最后把整个图像向下平移4个单位，则所得图像的解析式为_____________．
　　16．关于函数 （ ），有下列命题
　　①由 可得 必是 的整数倍；
　　② 的表达式可改写成 ；
　　③ 的图像关于点 对称；
　　④ 的图像关于直线
　④ 的图像关于直线 对称．　　其中正确命题的序号为___________．三、解答题　　17．求函数 的单调区间．　　18．已知函数 （ ， ， ）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，其图像的一条对称轴为 ．求该函数的解析式．　　19．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数．　　（1）求这段时间的最大温差；　　（2）写出这段曲线的函数解析式．　　20．已知函数 ．　　（1）用“五点法”作函数图像；　　（2）说出此图像与正弦曲线 之间的关系；　　（3）求函数的周期、振幅、初相；　　（4）指出函数的单调区间．　　21．受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．某港口水的深度 （米）是时间 （ ，单位：时）的函数，记作 ，下面是该港口在某季节每天水深的数据：（时）03691215182124（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0　　经长期观察， 曲线可以近似地看做函数 的图像．　　（1）根据以上数据，求出函数 的近似表达式．　　（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？参考答案：一、选择题　　1．C 2．B 3．D 5．D 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．C二、填空题　　13． 14． （ ）　　15． 　　16．②、③三、解答题　　17．它的减区间即函数 的增区间，由 ，得 （ ），即减区间为 （ ），同样可求增区间为 （ ）．　　18．由题意 ， ，∴ ， ．　　又 ，∴ ，∴ ．　　∵ 是它的一条对称轴，∴ ，　　∴ （ ）．　　从而 （ ）．　　∵ ，∴ 或 ．　　故该函数的解析式为 ， ．　　19．（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）　　（2）图中从6时到14时的图像是函数 的半个周期的图像，∴ ，解得 ．　　由图示， ， ．　　这时 ．将 ， 代入上式，可得 ．　　综上，所求解析式为 ， ．　　20． ，　　（1）由 、 、 、 、 求出 、 、 、 、 ．（可以看到0、 、 、 、 间隔 、 、 、 、 、 间隔 ，所以不需要解五个方程分别求 ．）0000　　在同一坐标系中，作出 、 、 、 、 五个点，并用光滑曲线连接起来．　　（2）∵ ，　　∴首先将 ， 的图像所有点向右平移 个单位；再把所得的图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）；最后把所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），从而得到 ， 的图像，这就是此函数的图像与正弦曲线之间的关系．　　（3）周期 （也可以依据公式 ， 来求）；振幅 ；依定义 叫相位， 时的 叫做初相，所以初相应该是 ．　　（4）由 ， 　　得 ， ．　　由 ， 　　得 ， ．　　∴原函数单调增区间为 ， ；　　单调减区间为 ， ．　　21．（1）由数据知函数 的周期 ，振幅 ， ， ．　　（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米．　　 ， ， （ ）， （ ）．　　在同一天内，取 或1， 或，　　∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口最多停留16小时．返回页首 ( http: / / resource.tengtu. / statics / jspx / gzpd / xkjx / g1sx / g1sx24 / unit2 / xtjx.htm" \l "1#1 )
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[3]几种基本语句
3.1条件语句
★
★
★
By.Na
Review选择结构
程序进行到一定步骤时，需要进行判断，并根据判断的结果进行后继的语句。
判断条件
真
假
步骤甲
步骤乙
选择结构是一种基本结构，
条件语句是表达选择结构的最常用语句。
★
★
顺序结构
选择结构
循环结构
If 条件 Then
语句1
Else
语句2
End If
语句1
语句2
真
假
条 件
条件语句
若符合条件则执行语句1
若不符合条件则执行语句2
★
★
★
★
顾名思义，带有条件判断的语句，即当程序运行到某一步骤时需要进行变量值是否符合条件的判断，使变量分不同情况进行接下来的工作。
.条件语句实例.
输入x值，计算y值
{
y=
X2+1 x≤2.5
X2-1 x＞2.5
.条件语句实例.
输入x值，计算y值
{
y=
X2+1 x≤2.5
X2-1 x＞2.5
输入x
x＞2.5
Y=X2+1
Y=X2-1
否
是
是
否
x＞2.5
Y=X2+1
Y=X2-1
If 条件 Then
语句1
Else
语句2
End If
If x＞2.5 Then
Y=X2-1
Else
Y=X2+1
End If
程序中的条件语句
是
否
x＞2.5
Y=X2+1
Y=X2-1
是
否
x≤2.5
Y=X2+1
Y=X2-1
If x＞2.5 Then
Y=X2-1
Else
Y=X2+1
End If
If x ≤ 2.5 Then
Y=X2-1
Else
Y=X2+1
End If
运用中，根据题目要求和需要，选择较为便捷简单的判断条件，以方便后继程序及语句的执行。
.课堂练习.
★输入某校15名学生的某科成绩，
若60分以上则为及格（含60分），60以下则为不及格，
输出及格人数及不及格人数，
并运用条件语句写出选择结构的算法流程。
分析：
分数的分为两段，以60分为界限，则某分数是否低于（或大于等于）
60分便成为此算法中的判断条件。
结果须输出两个分数段的人数，故应设两个量来存放两个分数段的人数，即A、B。
理清关系，便可以开始画流程图。
★
是
输入x1、x2…x15
xi≥60
B=B+1
A=A+1
否
A=0
B=0
i=1
开始
i=i+1
i＞15
是
否
输出A,B
结束
If xi≥60 Then
A=A+1
Else
B=B+1
End If
语句1
语句2
真
假
条 件
条件语句的嵌套
通俗地讲，语句的嵌套就是一个语句中又套有一个语句，使程序的功能不那么单一。
本课我们涉及条件语句在条件语句中的嵌套。
语句2
语句1
真
假
条 件 1
条件语句的嵌套
通俗地讲，语句的嵌套就是一个语句中又套有一个语句，使程序的功能不那么单一。
条 件 2
真
假
语句3
If 条件1 Then
语句1
Else
End If
注意:If…Then…Else语句是条件语句中的基本语句，书写时应当完整搭配，每一个If…Then搭配一个Else和End If,故嵌套中至少出现两套完整If…Then…Else语句。
If 条件2 Then
语句2
Else
语句3
End If
输入一串字符，记录其中字母、数字及其它字符的个数。
变量：字母个数a、数字个数b、其它字符个数c
判断条件：
1、是否为数字
2、是否为字母
.条件语句嵌套实例.
★
★
★
a=a+1
b=b+1
假
真
是数字
是字母
真
假
c=c+1
.条件语句嵌套实例.
输入一串字符，记录其中字母、数字及其它字符的个数。
变量：字母个数a、数字个数b、其它字符个数c
判断条件：
1、是否为数字
2、是否为字母
★
★
★
-小结-
★
★
本节课主要了解及学习了条件语句的运用，其中包括选择结构与条件语句的联系、条件语句的应用、条件语句的嵌套，这些语句的运用对于计算机程序的编写有很大的作用，亦能培养逻辑思维能力。
If 条件 Then
语句1
Else
语句2
End If
语句1
语句2
真
假
条 件
a=a+1
b=b+1
假
真
是数字
是字母
真
假
c=c+1
教材P166的附录2中，有一些上机实践作业，如有兴趣可以用BASIC尝试。
--The End--
★
★
★
★
直接计算的语句格式
输入a,b,c;
Y=(a+b+c)/3
X=abc
输出x,y
也可用下面的方法进行
InPut “r=“ ;6731
LET S=4πr2
LET V=4πr3/3
Print s= v=(共12张PPT)
y
x
o
1
-1
想一想
　一根绳子一端系在墙上，一端拿在手里，
拉直后用手抖动绳子，形成的图象你能想象
出来吗？
思考与交流：
你能画出正弦函数y=sinx　x∈［0,2π］
的图象吗？
正弦函数
正弦线MP
正弦函数的图象
y
x
x
O
-1

P
M
A(1,0)
T
注意：正弦线是有向线段！
思考与交流：
你能画出正弦函数y=sinx　x∈［0,2π］
的图象吗？
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
x
o
1
-1
y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
正弦曲线
正弦函数的图象
y
x
o
1
-1
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
五点法——
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
x
sinx
0 2
0
1
0
-1
0
正弦函数的图象
例2 画出函数y= - sinx，x [0, 2 ]的简图：
x
sinx
- sinx
0 2
0
1
0
-1
0
0 -1 0 1 0
y
x
o
1
-1
y= - sinx，x [0, 2 ]
y=sinx，x [0, 2 ]
画出下列函数的简图：
（1）y=1+sinx，x [0, 2 ]
（2）y=sin4x
(3) y=sin(x+ )
动手实践
正弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x [0, 2 ]的简图：
x
sinx
1+sinx
0 2
0
1
0
-1
0
1 2 1 0 1
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y=1+sinx，x [0, 2 ]
步骤：
1.列表
2.描点
3.连线
正弦函数的图象
小
结
正弦曲线曲线
几何画法
五点法
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]课 题： 3.2 指数函数的图像和性质
教学目的：
熟练掌握指数函数概念、图象、性质掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
二、新课讲授：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
例2求函数的单调区间，并证明
解：设
则
∵ ∴
当时， 这时
即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
引申：求函数的值域 （）
小结：复合函数单调性的判断
例3设a是实数，
试证明对于任意a,为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
小结 本节课学习了以下内容：
指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性方法
课后作业：(共12张PPT)
同角三角函数的基本关系式
复习任意角三角函数定义
我们已学习了任意角三角函数定义，如图
所示，任意角　的六个三角函数是如何定义的呢？
在　的终边上任取一点　　　，它与原点的距离
是　　　，则角　的六个三角函数的值是：
推导同角三角函数关系式
观察　　　　及　　　　，
当时　　　　　　　　，有何关系？
通过计算发现　　与　　互为倒数：
∵　　　　　　　　　　　．
及　　　有没有商数关系？
当　　　　且　　　　　　　　　时　　、
因为　　　　　　　　　　，所以有商数关系．
还存在平方关系，请计算　　　　　　　的值．
由三角函数定义我们可以看到：
同角三角函数的基本关系式总结如下：
①平方关系：
②商数关系：
③倒数关系：
同角三角函数关系式的应用
例1　已知　　　　 ，且　是第二象限角，
求 　　，　　，　　的值．
例2　已知 　　　　　　，求　　　　　 的值．
例3　已知　　　为非零实数，用　　　表示　　　，
　　　．
（1）　　　　　；（2）　　　　　　　　．
例4　化简下列各式：
演练反馈
（1）已知：　　　　　，求　的其他各三角函数值．
（2）已知 　　　　　，求　　　，　　　．
（3）化简：
本课小结
因此　　　　　　　　，　　　　　　……．
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，
（2）诸如　　　　　　，　　　　　　，……它们都是
条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教学设计方案（二）
同角三角函数的基本关系式
教学目标：
　　1．应用同角三角函数关系，化简三角式（求值）．
　　2．证明简单的三角恒等式．
教学重点：
　　理解并掌握同角三角函数关系式．
教学难点：
　　（1）三角函数式的化简；（2）证明三角恒等式．
教学用具：
　　投影仪
教学过程：
1．设置情境
　　与代数式的化简求值一样，我们常会遇到大量的结构比较复杂的三角式让你求值，如：“已知 ，求三角式 的值．”就是这样的问题，如果能在求值之前，把三角式进行化简后再求值，那将是非常理想的事．本节课我们就化简、恒等变形等题型与同学们一同展开讨论．
2．探索研究
　　（1）复习同角三角函数关系式
　　上一节课我们已经学习了同角三角函数关系式，请一位同学叙述出同角三角函数的三个关系式．
　　同角三角数关系式有
　　（1）平方关系：
　　（2）商数关系：
　　（3）倒数关系：
下面这组等式也是常用公式，请同学利用定义验证一下．
　　 ， ，
　　 ， ， ，
　　化简三角式的基本思路：切、割化弦，和、差化积，“1”去代换等等．证明三角恒等式常用方法：单向证明，双向起动，证等价式等等．
　　代数公式，如 ， ，等也会常用．
（2）例题分析
　　①利用同角三角函数关系式求证三角恒等式及应用
　　【例1】求证
　　证法1：由 知 所以
　　于是 左边 ＝右边
　　∴原式成立
证法2：∵
　　
证法3：∵
　　
　　
　　
∴
证法4：设角 终边上任一点 ， ，由定义，
左
右
　　∴
　　从上例可看出，证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立．
【例2】求证三角恒等式
证明：左边
右边
　　∴等式得证
　　总结，当一个函数式中含有弦、切两类以上的函数，常将“切”函数化为“弦”函数，称为化弦法．
　　【例3】已知 ，求：（1） ；（2） 的值．
　　解：（1）分析1：为了直接利用 ，注意所求值式的分子、分母均为一项齐式（ 、 的次数相同），把分子、分母同除以 （ ），将分子、分母转化为 为元的代数式．
原式
（2）∵
∴
∴原式
　　　　
　　　　
　　分析2：可利用平方关系 将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系式归为关于 的分式求值．
解：原式
　　　　
　　　　
【例4】化简下列各式：
（1） （ 为第三象限角）；
（2）
解：（1）∵ 为第三象限角
∴原式

注：在运用同角三角函数关系式解题时要特别注意弄清楚角所在象限及其对应的三角函数的符号．
【例5】当 ，求 的值．
分析：本题关键是灵活地多次运用条件等式 从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标．
解：∵ ∴
　　又∵ ∴
　　∵ ∴
　　∴
　　
　　
　　
3．演练反馈（投影）
1．已知： ，求（1） ．
（2） 的值．
2．已知： 求 ．
解：1．（1）
　　
　　
（2）
　　
　　
2．解：∵ ①
　　①两边平方：
　　即 ∴
　　∵ ∴
　　∴
　　由
　　即
　　
　　∴
4．本课小结
　　（1）证明同角三角函数恒等式一般有“由繁到简”“中间会师”“变更论证”等方法，具体要求要由等式两端的特征（结构、名称）来选择最佳方法．
　　（2）整体代换、方程思想亦有常用之时．
　　（3）1的代换，往往会给化简、变换化来奇效，有“柳暗花明”之好处．
课时作业：
1．求证：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
2．化简
3．设 ，求 ．
4．当 ，（ ）时，化简 的结果是（ ）
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．
5．若 ， ，则 的值（ ）
　　A．恒正　　B．恒负　　C．恒为非负　　D．恒为非正
6．已知 ， 求证
参考答案：
1．（1）
　　（2）∵左－右
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　∴左＝右
（3）左 右　∴命题成立
（4）∵
　　∴
2．原式
　　　　
　　　　
3．∵
　　　　　　　
　　∴ ．
4．由 ， ，
　　得 且
原式
　　　
　　∴选C
5．当 ， 时，
　　
　　∴选A
6．解：消 、 事实上：
　　由
（其中 ， 否则 时或 ， 时，条件均不能同时成立）
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二倍角公式
公式:
其中:
或:
其在求最值或值域上大有用途!
新课:二倍角公式
推导:
利用 ,公式还可以变形:
降角升幂
由公式 可得:
半角公式:
降幂升角
P46 求证:
(公式)
求证:
1
2
(常见型)
另外,常见
例题
1 求证:
2 求值:
3 已知
且 ,求
万能公式:
(太好用了!)
课本:第47页 第3题
推导
默写半角公式;万能公式
121
9
3
4
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（3）—1.1空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．过正三棱柱底面一边的截面是 （ ）
A．三角形 B．三角形或梯形
C．不是梯形的四边形 D．梯形
2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）
A． B．12a2 C．18a2 D．24a2
5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A—A′BD的体积 （ ）
A． B． C． D．
6．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）
A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9
8．直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可
铸成这样的小球的个数为 （ ）
A．5 B．15 C．25 D．125
9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为 （ ）
A． B． C． D．
10．中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ）
A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为，直平行六面体的侧面积为_____________．
12．正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为cm，则它的侧面积为_________．
13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍．
14．已知正三棱锥的侧面积为18 cm,高为3cm. 求它的体积 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）
①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．
已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；
②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.
已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．
16．（12分）四边形，绕y轴旋转一周，求所得
旋转体的体积．
17．（12分）如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，
圆锥内水面高为
18．（12分）如图，三棱柱 上一点，求 ．
19．（14分）如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．
20．（14分）已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．
参考答案（三）
一、BDDBC BDDBA
二、11．； 12． cm； 13．8； 14．cm3.
三、15．①解：
②解：
16．解：
17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.
解：
小结：此题若用 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用导出来，我们用 的体积之间有比例关系，可以直接求出.
18．解法一：设 的距离为
把三棱柱 为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.
解法二：
小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换.
19．分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解.
解：如图，过高的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，设，所以
①式两边平方，把②代入得：
显然，由于，所以此题当且仅当时才有解.
小结：在棱台的问题中，如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一.
20．解：（1）设内接圆柱底面半径为r.
②代入①
（2）
PAGE
- 7 -(共18张PPT)
二倍角公式的推导：
思考：
等腰三角形ABC的底角A的余弦值是 ，那么顶角C的正弦值是多少？(如左下图)
C
A
B
练习1:
填空：
练习2：
判断：
错
错
错
错
例1：
例2：
化简：
注：
变形公式
P47 3 4
补充练习:P44 5
例5：求证
半角公式
练习4：
求证：
例6 ：求证：
积化和差
和差化积
积化和差
和差化积
例7 ：求值：
1 倍角公式的推导；
2 利用倍角公式来求值、化简、证明；
3 灵活利用变形公式；
P88 6 P89 17 、 19第一课时： 利用函数性质判定方程解的存在
教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.
教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.
教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.
教学过程：
一、复习准备：
思考：一元二次方程+bx+c=o(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c的图象之间有什么关系？
.二、讲授新课：
1、探讨函数零点与方程的根的关系：
① 探讨：方程x-2x-3=o 的根是什么？函数y= x-2x-3的图象与x轴的交点
方程x-2x+1=0的根是什么？函数y= x-2x+1的图象与x轴的交点？
方程x-2x+3=0的根是什么？函数y= x-2x+3的图象与x轴有几个交点？
② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： → 推广到y=f(x)呢？
一元二次方程+bx+c=o(a0)的根就是相应二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点横坐标.
③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？
结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
⑤ 练习：求下列函数的零点 ； → 小结：二次函数零点情况
2、教学零点存在性定理及应用：
① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号
②观察下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞)．
③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
④ 应用：求函数f(x)=Lnx+2x-6的零点的个数. （试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）
⑤小结：函数零点的求法
代数法：求方程的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
⑥ 练习：求函数的零点所在区间.
3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理
三、巩固练习：1. P97, 1,题 2,题 （教师计算机演示，学生回答）
2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.
3. 求下列函数的零点：；；；
.
4. 已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
5. 作业：P102, 2题；P125 1题
第二课时： 用二分法求方程的近似解
教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点：用二分法求方程的近似解.
教学重点：恰当的使用信息工具.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？ 零点存在性定理？
零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
2. 探究：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题
二、讲授新课：
1. 教学二分法的思想及步骤：
① 出示例：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？ → 师生用二分法探索
③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)
④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
A．确定区间，验证，给定精度ε；B. 求区间的中点；
C. 计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
D. 判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
2. 教学例题：
● 对于方程lg x = 3 x，要求出这个方程的解是较为困难的．但是，我们能否求出这个方程的近似解呢？
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．
画出函数f(x) = x2 2x 1的图象，如图2-5-3所示．从图象上可以发现，方程x2 2x 1 = 0的一个根x1在区间（2，3）内，另一个根x2在区间（1，0）内．
根据图象，我们发现f(2) = 1 < 0，f(3) = 2 > 0，这表明此函数图象在区间（2，3）上穿过x轴一次，即方程f(x) = 0在区间（2，3）上有惟一解．
计算得f() = > 0，发现x1 (2，2.5)（如图），这样可以进一步缩小x1所在的区间．
你能把此方程的一个根x1限制在更小的区间内吗？
利用计算器，求方程x2 2x 1 = 0的一个近似解（精确到0.1）．
解 设f(x) = x2 2x 1，先画出函数图象的简图，如图2-5-3．
因为
f(2) = 1 < 0，f(3) = 2 > 0，
所以在区间（2，3）内，方程x2 2x 1 = 0有一解，记为x1．
取2与3的平均数2.5，因为
f(2.5) = 0.25 > 0，
所以
2 < x1 < 2.5．
再取2与2.5的平均数2.25，因为
f(2.25) = 0.437 5 < 0，
所以
2.25 < x1 < 2.5．
如此继续下去，得
f(2) < 0，f(3) > 0 x1 (2, 3)，
f(2) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2, 2.5)，
f(2.25) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2.25, 2.5)，
f(2.375) < 0，f(2.5) > 0 x1 (2.375, 2.5)，
f(2.375) < 0，f(2.437 5) > 0 x1 (2.375, 2.437 5)，
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
x1 2.4．
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解．
在上面的计算过程中，需反复计算x2 2x 1，以判断结果的正负，用下面的方法可以提高计算效率：
（1）给变量x赋值，如x = 2，按键顺序是
（2）计算x2 2x 1，按键顺序是
（3）重复计算，如计算x = 3时x2 2x 1的值，按（1）的步骤给x赋值3，按 ，出现算式x2 2x 1，再按下 即可．
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法（bisection method）．它是求一元方程近似解的常用方法．
运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间．
利用计算器，求方程lg x = 3 x的近似解（精确到0.1）．
解 分别画出y = lg x和y = 3 x的图象，如图2-5-4（1）所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x = 3 x的解．由函数y = lg x与y = 3 x的图象可以发现，方程lg x = 3 x有惟一解，记为x1，并且这个解在区间（2，3）内．
设f(x) = lgx + x 3，用计算器计算，得
f(2) < 0，f(3) > 0 x1 (2, 3)，
f(2.5) < 0，f(3) > 0 x1 (2.5, 3)，
f(2.5) < 0，f(2.75) > 0 x1 (2.5, 2.75)，
f(2.5) < 0，f(2.625) > 0 x1 (2.5, 2.625)，
f(2.562 5) < 0，f(2.625) > 0 x1 (2.562 5, 2.625)。
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为
x1 2.6．
将原方程写成x = 3 lg x，取x1 = 2，用计算器计算，则
3 lg x1 2.698 97 → x2，
再将x2 = 2.698 97代入3 lg x2得x3，如此循环计算9次后，你发现了什么？
用计算器反复计算3 lg x的方法是（CASIO fx-82MS）：
（1）取初始值2：按键顺序为
（2）输入表达式：
（3）重复按 ．
对于方程0.84x = 0.5，我们画出函数y = 0.84x与y = 0.5的图象，可以发现方程0.84x = 0.5的解在区间（3，5）内，然后利用上述二分法可以求得方程0.84x = 0.5的近似解为x 4．这里给出了第2.5节开头的问题的答案．
1．试判别方程x2 + 3x 1 = 0在区间（0，1）内是否有解．
2．用自己的语言叙述二分法求方程近似解的基本步骤．
① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2+3x=7的近似解. （师生共练）
② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）
3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注重二分法思想
三、巩固练习：1. P100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.
3. 用二分法求的近似值； 4. 求方程的实数解个数：；
5. 作业：P102 3，4题， 阅读P105框图
2．5．2 用二分法求方程的近似解
图2-5-3
y
x
2
1
3
O
2
2
4

1
x2
x1
3
2
x1
2 + 3
2
f(2) < 0
f( ) > 0
2 + 3
2
思 考
2
3
+
2
3
+
2
3
+
2.5
+
2.5
2.25
2
3
2.5
2.375
+
2
3
2.5
2.375
2.25
2.437 5
例1
图中负号“”表示此点所对应的函数值为负，正号“+”表示此点所对应的函数值为正。
CALCULATOR
SHIFT
STO
X
2
ALPHA
X
x2
2
ALPHA
X
1
=
▲
=
按键 能重新显示上次的算式．
▲
例2
图2-5-4
1
2
3
4
1
2
3
y
O
x
y = 3 x
y = lg x
（1）
（2）
2
3
2
3
+
2.5
+
2.5
2.75
2
3
2.5
2.625
+
2
3
2.562 5
2.625
+
2.5
思 考
CALCULATOR
2
=
3
Ans
=
log
=
按键 能调出答案存储器中的内容．
Ans
练 习课 题： 3.3 指数函数的图象和性质
教学目的：
了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质（定义域、值域、单调性）
二：新课讲授
例1用计算机作出图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=. ⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
例2 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y＝ y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
例3 已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
小结 本节课学习了以下内容：函数图像的变换
课后作业：(共17张PPT)
算法的概念
第一步 把冰箱打开。
问1、要把大象装入冰箱分几步？
引入
第二步 把大象放进冰箱。
第三步 把冰箱门关上。
如何求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解？
解：第一步 计算△=b2-4ac
第三步 得出方程的根或无解的信息
问2、
第二步 如果△≧0则x1,2=
则方程无解
如果△﹤0
算法的定义：
通常指解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
算法最重要的特征：
归纳总结:
1.有序性
2.确定性
3.有限性
1．算法描述举例
例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解：
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，
得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，
得到 10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，
得到15．
解：第一步，②-①×2得3y=-3；③
第二步，解③得y=-1；
例2：
写出解二元一次方程组
2x+y=7 ----①
4x+5y=11 ---②
的算法
第三步，将y=-1代入①，解得x=4
即方程的解为
x=4
y=-1
已知解2x-3=0的过程
解：1. 移项：2x=3；
2. 同乘1/2：x=3/2。
求解决一元一次方程ax+b=0的一个算法
刷牙的算法：
1. 清洗牙具；
2. 挤牙膏到牙刷；
3. 用清水漱口；
4. 上下左右刷牙；
5. 用清水漱口，直到去掉牙膏泡沫；
6. 清洗牙具；
例1:
已知球的半径R＝2.5，写出求球的表面积Y和体积V的一个算法。（∏=3.14）
算法分析：
第一步：输入球的半径
第二步：利用公式“球的表面积=4×圆周
率×（半径的平方）”计算球的表面积；
第三步：输出球的表面积。
例2:
写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：算法如下：
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
1、设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求
出其中的最小值。
1、（1）输入三个数a、b、c；
（2）比较a和b，将二者中的较小数记作x；
（3）比较x和c，将二者中的较小数记作y，
则y为3个数中的较大数。
（4）输出y ；
2、设计一个算法，求任意4个数的算术平
均数。
解：（1）输入四个数a，b，c，d；
（2）计算S=a+b+c+d；
（3）计算v=S/4；
（4）输出v。
问：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错
把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水
错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，
请你设计算法解决这一问题。
解：算法步骤如下：
第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；
第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
第五步：交换结束。
问:假设家中生火泡茶有以下几个步骤：
b.将水倒入锅中
a.生火
c.找茶叶
d.洗茶壶茶碗
e.用开水冲茶
A.abcde B.bacde C.cadbe D.dcabe
请选出一个最优算法（ ）
例5 用二分法求解方程
求关于x的方程x2－2＝0的根，精确到0.005
算法描述
第一步 令f(x)=x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设
x1=1，x2=2
第二步 令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若是，则
m为所求，否则，则继续判断f(x1)·f(m)大于
0还是小于0。
第三步 若f(x1)·f(m) >0则令x1=m，否则x2=m。
第四步 判断|x1-x2|<0.005是否成立？若是则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似值；否则返回第二步。
小结：
注意算法的要求；
理解算法的几个重要特征。
作业
写出解一元二次方程的一个算法。
2.写出求1至1000的正整数中3的倍数的一个算法。高一数学试卷
3.过点（2，0），（1，1）的直线的倾斜角为
A 45 B 60 C 120 D 135
4.在正方体中，M，N分别是棱的中点，
则MN与正方体的棱成异面直线的共有. D C
A 10对 B 8对 C 6对 D 4对 A N B
6.已知为直线，为平面，有下列四个命题：
①∥∥则∥；② 则∥ ③ ∥∥则∥ ④ ∥，
则∥.其中正确命题的个数是
A 0 B 1 C 2 D 3
7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
A 120 B 150 C 180 D 240
10.已知点P在圆上运动，则的最小值是
A B C D
11.已知直线∥，则实数m= .
13.如图是一个长方体截去 主视图 左视图
一个角后的多面体的三视图，长方体的长、宽、
高分别是3、2、1.5；则这个多面体的体积是
.
俯视图
15（已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）.
（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程.
P
17（14分）已知， E
PA=AB，E为PB的中点.
（1）求证： A C
（2）证明：AE⊥平面PBC. B
20（13分）已知圆.
（1）若直线与圆C相切，求实数的值；
（2）是否存在直线与圆C交于A、B两点，且（O为坐标原点）；如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由.
4．一个球的表面积增为原来的100倍，那么体积变为原来的 （ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．倍
5．已知直线与直线互相垂直，则实数a的值是（ ）
A．2 B．2或0 C．－1或3 D．1或0
7．若点（1，3）关于直线l的对称点为（－5，1），则直线l的方程是 （　　）
A． B．
C． D．
8．右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）
9．若直线通过第一、二、三象限，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线a、b和平面α、β下列命题中正确的是 （　　）
A．若a∥α，bα，则a∥b B．若a∥α，b∥ α，则a∥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
11．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是 （ ）
A．2 B． C．3 D．
15．如图，PC⊥平面ABC，PC=12，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AC=6，BC=8，则点P到直线AB的
距离是 。
18．（本小题满分12分）
顺次连结四点得四边形ABCD。
证明四边形ABCD为梯形求它的面积。
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱—中，点D是BC的中点，欲过点作一截面与平面　平行，问应当怎样画线，并说明理由。
21．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中。
（Ⅰ）求证：B1D⊥平面A1C1B；
（Ⅱ）求三棱锥A1—BC1D的体积。
参考答案
1—5 ABDCB 6—10 ABDCD 11—12 AC
13．－1 14． 15． 16．30
18（本小题满分12分）
解：∵
∴从而AB∥CD………………………………………………4分
又∵……………………6分
∴从而直线BC与DA不平行，
因此，四边形ABCD是梯形。…………………………………………6分
AB所在直线的方程为
直线CD的方程为………6分
∴直线AB与CD之间的距离
，又
∴四边形ABCD的面积是
S四边形ABCD=。…………12分
（其它方法参照评分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取的中点E，连结，
则平面∥平面……………………4分
∵D为BC的中点，E为的中点，∴
又∵BC∥，∴四边形为平行四边形，
∴∥BE，……………………………………7分
连结DE，则DE ，
∴DE ,
∴四边形是平行四边形，
∴AD∥……………………………………………………………10分
又∵ 平面，，∴平面∥平面。………12分　　　
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：如图，连B1D1,
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又∵BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1底面A1B1C1D1，
∴A1C1⊥BB1，…………………………………2分
又∵B1D1∩BB1＝B1,
∴A1C1⊥平面BB1D1D， ∴B1D⊥A1C1，…………………5分
同理可证：B1D⊥BC1，
又∵∴B1D⊥平面A1C1B。………………………………7分
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABD，正方体棱长为1，
∴…………………9分
同理可求：,………………10分
∴ ………12分
1. 已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 。
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
2. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的
? A.充分非必要条件? B.必要非充分条件
? C.充要条件? D.既非充分也非必要条件
3．点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2 (a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
4．圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形
C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
6．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．64π
7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S18．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D。已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ ）
A．πR B．πR C．πR D．2πR
10．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
11．如图8-25，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，且满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）
A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1
12．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ ）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.已知定点A(0，1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________________.
14.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.
15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是______________.
16.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:_______________
17.(12分) 如图8－12，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。
18. (12分)如图7-15，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E—AC1—C的大小；
（3）求点C1到平面AEC的距离。
解:
19. (12分) 如图7-4，已知△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A′与点B之间的距离A′B=。
（1）求证：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′－CD－B的大小；
（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。
解:
20. (12分)自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。
解:
21．(12分)已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。
解:
22. (14分)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。
解:
1、 选择题
1. 【分析】本题考查三角形分类、直线和圆的位置关系及其有关的运算.
解法一：由于直线与圆相切则有：圆心到直线的距离等于半径即=1｜a｜2+
｜b｜2=｜c｜2，∴为Rt△，选B..
解法二：圆心坐标为(0，0)，半径为1，因为直线和圆相切，利用点到直线距离公式得：d==1，即a2+b2=c2，所以，以｜a｜、｜b｜、｜c｜为边的三角形是直角三角形.∴选B.
2.【分析】本题考查的是两直线平行且不重合的充要条件.若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，(i)为平行直线则：=≠，(ii)为相交，则≠(iii)为垂直，A1B2+A2B1=0.a=3时， =≠-.∴a=3是已知二直线不重合而平行的充要条件.∴选C.
3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.B 11.B 12.C
2、 填空题:
13.【分析】本题考查两点间的距离公式、求最值和点到直线的距离等，以及基本的运算技能，本题大致有两种做法：
解法一：代数法，根据两点间的距离公式建立一个函数关系，即｜AB｜2=(x-0)2+(y-1)2，又y=x，则｜AB｜2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1，转化为二次函
数求最值，可见当x=-时，｜AB｜2最小为，∴｜AB｜?≥，∴B(-，)；
解法二：几何法，直线上的点B与A点的连线中当AB与x+
y=0垂直时，AB最短，∴AB:y=x+1，∴B点为的交点为(-，).
14.【分析】本题考查圆的性质与直线的位置关系、函数以及基本的运算技能.本题有两种做法①做与直线3x+4y+8=0平行的直线且与圆相切，将来会得到两条，有两个切点，这两切点到3x+4y+8=0的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.②以圆心做标准，到直线的距离减去或加上半径就是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离d=
=3，∴动点Q到直线距离的最小值d-r=3-1=2.
15.【分析】本题主要考查两圆的位置关系和基本的运算技能，已知⊙O1(x-a)2+(y-b)2=，⊙O2(x-c)2+(y-d)2=，其中r1＞0，r2＞0，①当｜O1O2｜=｜r1-r2｜时，⊙O1与⊙O2相内切，②当｜O1O2｜=｜r1+r2｜时，⊙O1与⊙O2相外切，③当0≤｜O1O2｜＜｜r1-r2｜时两圆内含，④当｜r1-r2｜＜｜O1O2｜＜｜r1+r2｜时，两圆相交，⑤当｜O1O2｜＞r1+r2时两圆相离.
本题中A∩B只有一个元素，∴两圆相内切或外切，∴｜O1O2｜=｜r1±r2｜.当两圆外切时，=2+r，r=3，两圆内切时， =r-2，r=7，所以r的值是3或7.
16. 答：①③④②或②③④①
三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(12分) 如图8－12，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。
解 如图8－12，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，
∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得 =2r,∴r=a。
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，
∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a,
∴S球=4πR2=3πa2。
注 本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略
18.如图7-15，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E—AC1—C的大小；
（3）求点C1到平面AEC的距离。
解 （1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。
连AE， ∵D、E分别为的中点，
∴ 。又∵面EFG⊥BB1，
∴ED⊥BB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，计算得DE=a。
（2）∵AC=CC1，D为AC1的中点，∴CD⊥AC1，又由（1）可知，ED⊥AC1，∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC1，∴平面AEC1⊥平面AC1，∴二面角E—AC1—C为90°。
（3）用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。
19. 如图7-4，已知△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A′与点B之间的距离A′B=。
（1）求证：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′－CD－B的大小；
（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。
解 （1）∵CD⊥AB，
∴CD⊥A′D，CD⊥DB，
∴CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥BA′。
又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，
∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，
∴BA′⊥平面A′CD。
（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，
∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角。
又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，
∴∠A′DB=60°，
即 二面角A′—CD—B为60°。
（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角。
∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE。
∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，
又A′D=1，∠DEA′=90°，
∴A′E=
又∵在Rt△ACB中，AC==
∴A′C=AC=
∴Rt△CEA′中，cos∠CA′E===,
即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为。
20.自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。
解法一 已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d==1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3)，或y-3= -(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，设交线L所在的直线的方程是
y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（-，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= -k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d==1。以下同解法一。
21．已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。
.解 （1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0。
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得
5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得m=.
22.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2 ①
将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1=0 ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
C1
M
PAGE(共9张PPT)
思考：如图，设P1P= 2 PP2,且P1、P、P2的从标
分别为(－3, 1) 、 (x, y)、 ( 1 , 4). 求P(x,y).
0
x
y
P1
P2
P
l
(x1 ,y1)
(x2 ,y2)
λ
概念：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ,使
P1P= λPP2, λ叫做点P分有向线段P1P2所成的
比.P点为P1P2的定比分点。
当点P在线段P1P2上时（P为内分点）
当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时, （P为
外分点）
(1).当点P在线段P1P2的延长线上时,λ< -1 ;
(2).当点P在线段P2P1的延长线上时,-1<λ<0 ;
λ >0
λ< 0
定比分点坐标公式
线段中点坐标公式
例1:已知两点P1(3,2)、 P2(-8,3)、P ( ,y)分P1P2
所成的比λ及y的值.
练习：已知M1(－1,2), M2(3,4)
(1). 若M分M1M2的比 λ=2，求M的坐标；
(2). 若M分M2M1的比 λ= --3，求M的坐标；
例2:如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2), C(x3,y3),求△ABC的重心G的坐标.
例3:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为(－2 , 1)、(－1 , 3)、(3 , 4)，　 用有向线段的中点坐标公式 求顶点D的坐
标.
思考：已知平面上三个点的坐标分别为A(－2,1)、
B(－1,3)、C(3,4)，求点D的坐标，使得这四
个点构成平行四边形的四个顶点.北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（4）—1.2点、线、面之间的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．以下命题正确的是 （　　）
A．两个平面可以只有一个交点
B．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D．两个平面有三个公共点，它们一定重合
2．下面四个说法中，正确的个数为 （　　）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A．1　　 B．2　　
C．3　 D．4
3．ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是 （　　）
A．A、M、O三点共线　　　　 B．M、O、A1、A四点共面
C．A、O、C、M四点共面　　 D．B、B1、O、M四点共面
4．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 （　　）
A．α∥β B．α与β相交　 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
5．两等角的一组对应边平行，则 （　　）
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边也不可能垂直 D．以上都不对
6．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，
E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（　　）
A．1　　 B．　
C．　 D．
7．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，
则EF与α的关系是 （　　）
A．平行　 B．相交　 C．垂直　 D．不能确定　
8．经过平面外两点与这个平面平行的平面 （　　）
A．只有一个　　 B．至少有一个　　 C．可能没有　　 D．有无数个　
9．已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对
角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于 （ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 （　　）
A．三个平面共线；
B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；
C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；
D．三个平面两两相交。
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B，
ACM，BDN，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，
BD＝24 cm，则CD＝_________．
12．如图所示，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是
△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝___________．
13．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直
线PAC、PBD分别交α于A、B，交β于C、D，且PA=6，
AC=9，AB=8，则CD的长为___________．
14．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，D1到B1C的
距离为_________， A到A1C的距离为_______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角.
求证：平面PCB⊥平面ABC．
16．（12分）如图所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．
17．（12分）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD＝1：2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO//平面D1EF．
18．（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD，E、F分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证直线EF、GH、AC交于一点．
19．（14分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
20．（14分）如图2－72，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求四边形EFDB的面积．
参考答案（四）
一、CADDD BACAC
二、11．26 cm；12．2；13．20或4；14．a ，a；
三、15．证明：如答图所示，取BC的中点D，连结PD、AD，
∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点
∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边
∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°
∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC
∴又PD平面PCB
∴平面PCB⊥平面ABC.
16．证明：如答图所示，设已知平面α、β、γ，
α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，如果l1、 l2、
l3中有任意两条交于一点P，设l1∩ l2＝P，即P∈l1，
P∈l2，那么P∈α，P∈γ，则点P在平面α、γ的
交线l3上，即l1、 l2、 l3交于一点如（a）图；如果l1、
l2、 l3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共
面，所以l1∥ l2∥ l3如（b）图.
17．如答图所示，设EF∩BD＝H，在△DD1H中，
，
∴GO//D1H，又GO平面D1EF，D1H平面D1EF，
∴GO//平面D1EF，
在△BAO中，BE＝EF，BH＝HO，∴EH//AO
AO平面D1EF，EH平面D1EF，∴AO//平面D1EF，
AO∩GO＝O，∴平面AGO//平面D1EF.
18．如答图所示，∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH//BD，且EH＝BD，
∵，∴FG//BD，且FG＝BD，
∴EH//FG，且EH≠FG，
故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，
设交点为P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC，
又平面BAC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，
即EF、GH、AC交于一点.
19．证明：如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，
由N为PD的中点知ENDC，
又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又M是AB的中点，∴ENAN，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD.
20． ⑴证明：如答图所示，连结B1D1，在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1 ，∴EF//B1D1，且EF＝B1D1，又A1AB1B，A1AD1D，∴B1BD1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D//BD，EF//BD，∴E、F、D、B四点共面
⑵由AB＝a，知BD＝B1D1＝a，EF＝a，
DF＝BE＝＝，
过F作FH⊥DB于H，则DH＝
∴FH＝
四边形的面积为＝
P
B
D
C
A
B
A
D
C
C1
B1
D1
A1
G
O
E
F
H
P
l1
l2
l3
γ
α
β
l3
l2
l1
α
γ
β
(a)
(b)
B
F
C
G
H
A
E
D
P
N
C
B
M
A
D
E
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
F
E
H
G
PAGE
- 6 -(共15张PPT)
一、作出下列函数的图象，并比较它们之间的关系：
y=sinx y=sin(x+ )
y=sin(x- )
一、平移变换
练习1
3.y=lg(2x+6)的图象可看成是由y=lg(2x)的图象
向 平行移动 个单位而得到.
左
3
一、作出下列函数的图象，并比较它们之间的关系：
y=sinx
y=3sinx
y= sinx
二、伸缩变换(1)
练习2
一、作出下列函数的图象，并比较它们之间的关系：
y=sinx
y=sin2x
y= sin x
三、伸缩变换(2)
练习3
例：作出下列函数的图象
y= 3sin(2x+ )
1
2
1
2
品款y=Ashn《ox+)的象量
请输
品款y=Ashn《ox+)的象量
请输
品款y=Ashn《ox+)的象量
请输
习道原:。
测(共11张PPT)
§4.6 两角和与差的三角函数
（一）
我们的目标
掌握两角和与差的余弦公式，初步理解二倍角的余弦公式；
掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题
两角和与差的余弦公式
1、两点间的距离公式
x
y
0
两角和与差的余弦公式
2、两角和的余弦公式
x
y
0
3、两角差的余弦公式
解：
解：
解：
解：
提示：
提示：
解：§3 集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
第一课时：
教学过程：
1、 引入课题
我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？
实例1：A=﹛高一（9）班女生﹜ B=﹛高一（9）班团员﹜
C=﹛高一（9）班女团员﹜，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。
实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员
假设A=﹛高一（9）班的篮球队员﹜B=﹛高一（9）班的足球队员﹜
C=﹛高一（9）班的运动员﹜，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成的。
我们发现集合之间是存在一定运算的。
2、 新课教学
1．交集（如实例1）
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
则上例中C=A∩B。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∩B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
2． 并集（如实例2）
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∪B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
总结基本结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
总结：
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
三.例题讲解：
例1．某学校所有男生组成的集合A，一年级的所有学生组成的集合B，一年级的所有男生组成的集合C，一年级的所有女生组成的集合D，求A∩B，C∪D。
解 A∩B=
=B.
例2．设
求A∩B，A∪B.
解
完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。
例3． 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
解 M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}
∴ M∩N=M={y|y≥1}
四．课堂练习：
P12 练习 1，2，3，4题P14习题1题
五．小结：
A∩B={x|∈A，且x∈B}
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
六．作业
1．基础作业：P14习题A组2，3，4题
2．选做：
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
解 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}
当B=时，△=m2-8<0 ∴
当B={1}或{2}时，，m无解
当B={1，2}时， ∴ m=3
综上所述，m=3或
3．思考B组1题
第二课时
一．复习回顾：
上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。
二．新课讲解
1．全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
2．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A在U中的补集，或余集。
记作：CUA
即：
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
三．例题讲解
例3 试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。
解 Ⅰ部分：
Ⅱ部分：
Ⅲ部分：
Ⅳ部分：
例 4 设全集为R，
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）;
（7）
并指出其中相等的集合。
解 （1）在数轴上，画出集合A和B.
（2）
（3） 在数轴上表示出
（4）
（5） .
（6）=;
（7）
注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。
总结：
补集的性质：
C＝Ｕ，　CＵ＝，A∩CA＝，A∪CA＝Ｕ，C( CA)＝A
德摩根律：
(CuA) (CuB)= Cu (AB), 　　(CuA) (CuB)= Cu(AB)，
四．课堂练习。
P14 练习1，2，3，4，5题
五．归纳小结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
6． 作业布置
1、 基础作业：P15习题A组，第5，6，7题。
2、 选做：
　若全集Ｕ＝，子集Ｐ＝，且CuＰ＝，求实数ａ．
解 由子集定义和补集定义可知，解得ａ＝２．
3．思考：
习题B组 2题
A∪B
A
B
A
=
B A
A
B
B
A
A(B)
A B
——————————————第 1 页 （共 7页）——————————————(共18张PPT)
弧 度 制
角度制
角度制
角度制与弧度制的互化
1、由于周角等于360
2、又因为圆周长为L=2 R,
所以周角的弧度数= 2 R R= 2 ，
所以有：
360 = 2 弧度， 180 = ；
1 = （ / 180）弧度 0.017453；
1弧度=（180/ ） 57 17 44.8"。
填表
2
3 /2
抢答
15
/3
45
60
5 /12
90
270
3 /4
我们曾经学过的弧长、及扇形面积的计算公式中，
圆心角的大小用角度表示时，若半径为R，圆心角为n 时，
弧长l=(n R) 180° 面积S= (n R)2 360
当圆心角为 弧度时，弧长= R，面积S=(1/2) R 2
( 1) L= R；
(2) S=(1/2) R2；
（3）S=（1/2）LR
扇形的弧长、及面积计算公式：
例4、将铁片剪成一个半径为9厘米，
弧长为15厘米的扇形零件。
求这个扇形的面积。
）
答案：67.5（平方厘米）
(1) L= R；
(2)S=(1/2) R2；
（3）S=（1/2）LR
小 结
应用题：
1、已知扇形的周长等于它所在圆的周长2/3，
求这个扇形中心角的大小。
2、自行车运动员在半径为80米的圆形跑道上
训练，每分中骑一圈半，求运动员骑车的
速度。（米/秒）。
2、自行车运动员在半径为80米的圆形跑道上
训练，每分中骑一圈半，求运动员骑车的
速度。（米/秒）。www.
方程的根与函数的零点
一、教材结构与内容简析
函数与方程是中学数学的重要内容．
本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判
断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．
　　因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
二、教学目标
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）认知目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性
及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
三、教学重点、难点
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：
教学重点：体会函数的零点与方程的根
之间的联系，掌握零点存在
的判定条件．
教学难点：探究发现函数零点的存在性.
四、教法分析
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.
采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
五、教学过程
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
问题1 求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；（4）． 由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？问题2　观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并说出方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系．一元二次方程方程的根二次函数函数的图象（简图）图象与轴交点的坐标 有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．．
（一）设问激疑，创设情景 设计意图
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)方程的根函数的图象（简图）图象与轴的交点 把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．
（二）启发引导，形成概念 设计意图
1．函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．辨析练习：判断下列说法的正误．函数的零点是：⑴ （-1，0），（3，0）；（ ）⑵ x=-1； （ ）⑶ x=3； （ ） ⑷ -1和3．（ ）2．等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点. 引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
（三）初步运用，示例练习 设计意图
例1 求函数的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）； （2）． 巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（四）讨论探究，揭示定理 设计意图
问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？探究: 观察二次函数的图象，如下图，我们发现函数在区间上有零点．计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点． 通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
（四）讨论辨析，形成概念 设计意图
1．勘根定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根．2．概念辨析：3．说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，也就是说上述定理不可逆．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象． 引导学生理解函数零点存在定理(勘根定理),分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质
（四）讨论辨析，形成概念 设计意图
反馈练习：函数必有一个零点的区间是（ ）．A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2) 分析：判断是否满足f(a)f(b)<0．结论：若函数在其定义域内的某个区间上是单调的，则在这个区间上至多有一个零点．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象． 通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫．
（五）观察感知，例题学习 设计意图
例2 求函数的零点个数．解：用计算器作出x、f(x)的对应值表．x12345f(x)由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．问题5：你能判断函数的单调性，并给出相应的证明吗？判断方法：证明：课后完成． 引导学生思考如何应用勘根定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
（六）知识应用，尝试练习 设计意图
1．判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；2．判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间． 对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（六）知识应用，尝试练习 设计意图
1．判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；2．判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间． 对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力 设计意图
问题6：1．你能说说二次函数的零点与一元 二次方程的根的联系吗？2．如果函数图象在区间[a,b]上是连 续不断的，那么在什么条件下， 函数在(a,b)内有零点内容小结：1．函数零点的定义2．等价关系3．函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
（七）反思小结，培养能力 设计意图
问题6：1．你能说说二次函数的零点与一元 二次方程的根的联系吗？2．如果函数图象在区间[a,b]上是连 续不断的，那么在什么条件下， 函数在(a,b)内有零点内容小结：1．函数零点的定义2．等价关系3．函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
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复面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使
如图单位向量 i, j 作基底
x
y
0
1
2
i
j
a = x i +y j
a =(x,y)
这叫向量的坐标表示
*相等的向量坐标 也相等。
思考：
i =( , ) , j=( ，), 0=( , )
1 0 0 1 0 0
x
y
0
1
2
i
j
2. a =( , )
b =( , )
0
0 －3
x
y
0
1
2
i
j
思考：如何求 a 的坐标？
x
y
A(x,y)
A
思考：
2.当 a 确定时，其坐标唯一吗？当坐标确定时，向量唯一吗？
x
y
0
1
2
i
j
a
b
c
d
例1：如图，用基底 i、j分别表示 a , b , c , d ,并求出
它们的坐标。
A
A2
A1
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(x2-x1,y2-y1)
(x1-x2,y1-y2)
(1)已知 a =(x1,y1), b =(x2,y2)，则
a + b =
a – b =
λa =
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB=
BA=
*一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标；
例2:已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a – b ,3a +4b的坐标.
例3:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，求顶? 点D的坐标.
则 （x1, y1）＝λ(x2,y2)
即
＝> x1y2－x2y1=0
思考：若 a =(x1,y1) 与 b= (x2,y2) 平行(其中b≠ 0)，则它们的坐标有何关系？
分析: a // b 的充要条件是存在一实数λ ，使得
a // b (b≠ 0)的充要条件是x1y2－x2y1=0
？
例4：已知 a ＝（4，2），b＝（6，y),且 a // b ,求 y.
例5：已知A(－1, －1) ,B(1,3) ,C(2,5) ,求证A、B、C三点共线。本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教学设计方案（一）
同角三角函数的基本关系式
教学目标：
　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．
　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．
教学重点：
　　理解并掌握同角三角函数关系式．
教学难点：
　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
教学用具：
　　直尺、投影仪．
教学步骤：
1．设置情境
　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
2．探索研究
（1）复习任意角三角函数定义
　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？
　　在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是：
　　 ； ；
　　 ； ；
（2）推导同角三角函数关系式
　　观察 及 ，当 时，有何关系？
　　当 且 时 、 及 有没有商数关系？
　　通过计算发现 与 互为倒数：∵ ．
　　由于 ，
　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值．
　　由三角函数定义我们可以看到： ．
　　∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：
　　①平方关系：
　　②商数关系：
　　③倒数关系：
　　即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．
（3）同角三角函数关系式的应用
　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．
【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．
解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．
　　如果 是第二象限角，那么
　　
　　
　　如果 是第三象限角，那么 ，
说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
　　【例2】已知 ，求 的值．
　　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．
　　如果 是第二象限角，那么
　　
　　
　　如果 是第三象限角，那么 ．
　　说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
　　【例3】已知 为非零实数，用 表示 ， ．
　　解：因为 ，所以
　　又因为 ，所以
　　于是 ∴
　　由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：
　　
　　
　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．
　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4
　　【例4】化简下列各式：
　　（1） ；（2） ．
　　解：（1） （2）
　　　　　　
　　　　　　　
3．演练反馈（投影）
（1）已知： ，求 的其他各三角函数值．
（2）已知 ，求 ， ．
（3）化简：
解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．
　　如果 是第二象限的角，则：
　　
　　
　　
　　又
　　如果 是第三象限的角，那么
　　
　　
（2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角
由【例3】的求法可知当 是第二象限时
　　
　　
　　当 是第四象限时
　　
　　
（3）解：原式
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
4．本课小结
　　（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……．
　　（2）诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
课时作业：
1．已知 ， ，则 等于（ ）
　　A． B． C． D．
2．若 ，则 的值是（ ）
　　A．－2 B．2 C．±2 D．
3．化简
4．化简 ，其中 为第二象限角．
5．已知 ，求 的值．
6．已知 是三角形的内角， ，求 值．
参考答案：1．D； 2．B； 3．1； 4． ； 5．3； 6．
注：4．略解：原式
　　　　　　　　　
　　∵ 在第二象限
　　∴
　　∴ ．
6．略解：
　　由 ，平方得， ，
　　∴　
　　∵ 是三角形内角
　　∴只有
　　∴ ，
由
　　　　　　　　　　　
　　及 ，联立，得： ， ，
　　∴
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§4.2 弧度制
我们的目标：
1、理解弧度制
2、掌握公式
3、掌握角度制与弧度制的换算
角的度量
初中
高中
角度制
弧度制
r
r
弧度制
r
r
正负
1、角度制与弧度制：一一对应：
2、求弧长：
3、求扇形的面积：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
度
弧度
0
y
x
◎
◎(共8张PPT)
§4.4 同角三角函数的基本关系式
（二）
我们的目标
掌握同角三角函数八个基本关系式
能熟练运用基本关系式证明三角恒等式
1、角的扩充
2、诱导公式
3、弧度制
4、任意角的三角函数
y
x
o
+
-
+
-
+
+
-
-
y
x
o
+
+
-
-
y
x
o
5、同角三角函数的八个基本关系式
2、求证
1、化简(共11张PPT)
高一数学竞赛辅讲座
湘阴县知源中学　刘六华
算法初步
列举法
1。我国古代数学家在算经中出了一道题：“鸡翁一，值钱3，鸡母一，值钱5，鸡雏三，值钱1，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”
百钱买百鸡问题程序1.BAS
百钱买百鸡问题程序2.BAS
递推法
2。五只猴子采得一堆桃子，猴子彼此约定第二天早起后再分食。不过，就在半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃子均分成五堆后，发现还多一个，它吃掉这桃子，并拿走了其中的一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一个，它也吃掉这个桃子，并拿走了其中的一堆。第三只、第四只、第五只猴子都依次如此分食桃子。问桃子数最少应该有多少个呢？
五猴分桃程序1.BAS
五猴分桃程序2.BAS
3。用随机函数模拟掷硬币这一随机事件。
i=1
While i<=10
A=rnd
If a>0.5 then
Print “back”
Else
Print “front”
End if
i=i+1
Wend
End
用随机函数模拟掷硬币这一随机事件.BAS
i=1
K=0
Input “n=“;n
While i<=n
A=rnd
If a>0.5 then
K=k+1
End if
i=i+1
Wend
Print “k=“;k,”k/n=“;k/n
End
用随机函数模拟掷硬币2.BAS
模拟法
在概率统计方面的应用
4。在图中随机撒一把大豆，计算落在圆中的豆子数与正方形中的豆子数之比，由此估计圆周率的值。
算法分析：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设圆的半径为r ，向该正方形随机投掷n粒大豆，落在圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形内均匀分布，因而所投入的点落在圆内的概率为πr2/(4r2)=π/4。所以当n足够大时，k与n之比就逼近这一概率，即k/n= π/4 ，从而π=4k/n ，由此可用随机投点法估计π值。在具体实现时，只要在第一象限实现即可。估算圆周率.BAS
5。利用随机模拟法计算图中阴影部分的面积。
计算阴影部分面积.BAS
6。有一个数字灯谜如下：
　　　　　 ABCD
　　　　－　CDC
　　　　　　ABC
A、B、C、D均为一位非负整数，求A、B、C、D的值分别是多少。
在初等数论方面的应用
数字灯谜程序.BAS
7。从键盘输入一个四位数，按如下规则加密后输出，加密规则：每位数字都加上7，然后用和除以10的余数取代该位数字，再把第一位与第四位交换，第二位与第三位交换。
数字加密程序.BAS高2010级数学必修（一）《集合》检测题
一 选择题 （每小题5分，共50分）
1、集合{1，2，3}的子集总共有（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 6个 D. 5个
2、已知P={平行四边形}，Q ={梯形}；P∩Q与P∪Q则分别为（ ）。
A．{梯形}；{平行四边形} B．{平行四边形}；{梯形}
C．φ；{平行四边形或梯形} D．φ；{平行四边形且梯形}
3、如果全集U＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝（ ）。A. φ B. {d } C. {a，c} D. {b，e}
4、设集合M＝{(x，y)|y＝x2+x}，N＝{(x，y)|y=x＋16}，则M∩N＝（ ）。
A. (4，16) 和 (-4，12) B. {4，20，-4，12}
C. {(4，12) ，(-4，20)} D. {(4，20)，(-4，12)}
5、非零实数a、b、c构成数的集合D内的元素个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1A ( http: / / www. / wxc / ) －3≤m≤4 B ( http: / / www. / wxc / ) －37、定义集合A*B={x | x= a + b ,a∈A ,b∈B}，若A={1,3},B={3,5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．16 B ．7 C ．8 D．4
8、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. (M∩P)∩S B. (M∩P)∪S
C. (M∩P)∩ D. (M∩P)∪
9、设φ，M={x |x是A的子集}，P={x |x是B的子集}，则（ ）
A. M∩P=φ B. M∩P={φ} C. MP=AB D. MPAB
10、设集合M={x |x=4n+1，n∈Z}, P={y |y=4n—3，n∈Z}，则有（ ）。
(A) M=P　 　(B)　 MP　 (C) PM　 (D)不能确定
二 填空题 （每小题4分，共16分）
11、若U=，A={x∈| x﹥2}用列举法表示 。
12、设集合A={2,4},则满足A∪B={2,4,6}的集合B的个数是 。
13、含三个实数的集合{,,1},也可以表示为{,,0 }，= 。
14、如图，I设是全集，非空集合P，Q满足PQI若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集φ，则这个集合运算表达式可以是 。
三 解答题 （本题共34分）
15、（本题共7分）设全集 ，若={x|3ax+6=0}，求由实数 组成的集合．
16、（本题共9分）设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又AB={9},求实数m的值.
17、（本题共9分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
18、（本题共9分）有54名同学，其中会打篮球36人，会打排球的人数比会打篮球的人多4人，另外这两种球都不会打的人数是都会打的人数的还少1 问既会打篮球，又会打排球的人有多少个？
高2010级数学必修（一）《集合》检测答题纸
一 、选择题 （每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二 、填空题 （每小题4分，共16分）
11、______________ 12、_______________
13、_______________ 14、_______________
三 、解答题 （本题共34分）
15、（本题共7分）
16、（本题共9分）
17、（本题共9分）
18、（本题共9分）
高2010级数学必修（一）《集合》检测题
参考答案
一． B C A D C D C C B A
二．11.{1,2} 12. 4 13. -1 14.只要结果为空集且合题意都对
三．15.解：由题意可得：S={3，5} （1ˊ）
∵={x|3ax+6=0} ∴AS （1ˊ）
∴A=φ或A={3} 或A={5} （各1ˊ）
∴a=0或a= 或a= （1ˊ）
∴a组成的集合为{0， ， } （ 1ˊ）
16．解：∵AB={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}， （ 2ˊ）
∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与AB={9}矛盾； （ 2ˊ）
若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； （ 2ˊ）
若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足AB={9} （ 2ˊ）
.∴m=-3． （ 1ˊ）
17．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} （ 2ˊ）
当B=φ时，△=m2-8<0 ∴ （ 2ˊ）
当B={1}或{2}时，，m无解 （ 2ˊ）
当B={1，2}时， ∴ m=3 （ 2ˊ）
综上所述，m=3或 （ 1ˊ）
18．解：设54名同学组成的集合为U，会打篮球的同学的集合为A，会打排球的同学的集合为B，这两种球都会打的同学的集合为X，设X的元素的个数为为x ,画出韦恩图所示得
得x= 28
所以，既会打篮球又会打排球的的同学有28人
12005年广东仲元中学数学必修2终结性评价笔试试题
命题人：胡继文 审题人：谭曙光
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卷指定的位置上．
2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．
3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上．
4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．本次考试不允许使用函数计算器．
6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
参考公式：台体的体积公式，其中，分别为上、下底面面积，为台体高.
第一部分 选择题 (共50分)
一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过两点、的直线的斜率是（ ）
(A) —2 (B) (C) 3 (D)
2．空间点和之间的距离是（ ）
(A) 3 (B) (C) (D)
3．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ ）
(A) 共面 (B) 平行 (C) 异面 (D) 平行或异面
4．直线在X、Y 轴上的截距分别是（ ）
(A) 4，5 (B) 4，—5 (C) —4，5 (D) —4，—5
5．如图，设直线的斜率分别为，则有（　 　）
(A)
(B)
(C)
(D)
6．棱长为2的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为（ ）
(A) (B) (C) (D)
7．过三点、、的圆的圆心为（ ）
(A) （3，4） (B) （4，3） (C) （3，—4） (D) （4，—3）
8．以下说法正确的是（ ）
(A) 平行于同一直线的两个平面互相平行；
(B) 垂直于同一直线的两个平面互相平行；
(C) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；
(D) 过两条异面直线中的一条直线必有一个平面与另一条直线垂直；
9．圆与圆的位置关系是（ ）
(A) 相离 (B) 内含 (C) 相切 (D) 相交
10．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 （ ）
(A) D、E、F (B) F、D、E (C) E、F、D (D) E、D、F
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11．两条平行线与之间的距离是 .
12．斜率不存在的直线必垂直于 轴.
13．过点A(1,2),且平行于直线的直线的方程是 .
14．体积相等的正方体、等边圆柱(底面直径与高相等的圆柱)和球中，表面积最小的是 .
三、解答题：本大题共6小题，每题的分值已写在题号后的括号内，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．（本小题满分12分）求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程.
16．(本小题满分12分) 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，高是cm，
（1）求三棱台的体积；
（2）求三棱台的侧面积.
17．（本小题满分14分）过点作直线，使其夹在直线与之间的线段被平分，求直线的方程.
18．（本小题满分14分） 长方体ABCD—A/B/C/D/中，
（1）求证：A/C///平面ABCD；
（2）若该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，用过三点A/、B、C/的平面截去长方体的一个角，求剩余部分几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，画出剩余部分几何体的三视图.
19．（本小题满分14分） 据气象台台风预报：在A城正东方300km的B处有一台风中心，正以40km/h的速度向西北方向移动，受影响的范围是半径为250km的圆形区域.问台风是否会影响A城？若影响，持续时间大约有多长？(参考数据：)
20．（本小题满分14分) 如图，在中，，Ｐ为所在平面外一点，
（１）求证： ；
（２）若Ａ在ＰＢ、ＰＣ上的射影分别为Ｅ、Ｆ，求证：.
2005年广东仲元中学数学必修4终结性评价笔试试题
参 考 答 案
一 、选择题：
1.解：由斜率公式得，. 选(B)
2.解：由空间两点间距离公式得，. 选(A)
3.解：由两条直线平行、两条直线异面的定义可知. 选(D)
4.解：在直线方程中分别令、可得，. 选(B)
5.解：由斜率的定义及倾斜角的范围与正切函数的单调性可得. 选(A)
6.解：该正方体的对角线长，其外接球半球，故所求表面积为. 选(C)
7.解：设过三点、、的圆的方程为，则
，，解得，. 从而圆心为选(D)
8.解：由直线与平面间平行、垂直的性质可知， 选(B)
9.解：圆的半径，圆的半径，两圆圆心距为，因为，故两圆相交. 选(D)
10.解：由图形可知，A的对面的字母不能是D，故排除(A)；C的对面的字母不能是E、D，故排除(B)、(C)；选(D)
二、填空题：
11. 解：在直线上选点，由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为.故所求距离为.
12. 解：斜率不存在的直线的倾斜角是，故其必垂直于轴.
13. 解：∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，又直线过点A(1,2)，由点斜式得，的方程是. 即.
14. 解：设正方体、等高圆柱和球的体积为，则正方体、等边圆柱和球的表面积分别是，，，易知，.故表面积最小的是正方体.
三、解答题：
15. 解：解……①， ……②联立方程组得两条直线的交点坐标为，又直线的斜率为，∴所求直线的斜率为，从而所求直线的方程为.即.
16. 解：（1）∵ 是正三棱台，
∴ 与均为正三角形.
又正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，
∴ 的面积
的面积，又正三棱台的高=
∴ 所求三棱台的体积
（2）正三角形的高
正三角形的高
设正三角形与正三角形的中心分别为、,则，，过作交于，那么.
在中，，从而正三棱台的斜高.故等腰梯形的面积为，于是，所求三棱台的侧面积.
17. 解：设直线与直线、分别交于、，则 ……①，又因为是线段的中点，得. ∵在上，∴，即 ……②，解①②联立所得方程组，有，.根据两点式方程，可得直线的方程为： ，即为所求.
18. 解：（1）连接，在长方体ABCD—A/B/C/D/中，
∵ A/A⊥平面ABCD，C/C⊥平面ABCD，又A/A= C/C
∴ 四边形A/ACC/是矩形，
∴ A/ C/∥AC，而，
∴ A/C///平面ABCD
（2）∵ 该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，
∴ 该长方体的体积为
又过三点A/、B、C/的平面截得的长方体的一个角是一个三棱锥，其体积为
∴ 剩余部分几何体的体积
19． 解：以A城为圆心、250km为半径作圆，当台风中心移动经过的直线与圆相切或相交时，A城将受影响. 以A为原点，正东方向所在直线为轴建立直角坐标系，则圆的方程为 ……①，直线的方程为 ……②. ②代入①得，，由于，因此，A城将受台风影响.
圆心A到直线的距离为，又圆半径为250，得弦长为，即为264.58，由于台风速度为40km/h，故持续时间大约6.6小时.
20．证明：（１）∵ ，，
∴ ，又，，
而
∴ ，又
∴ .
（２）∵ Ａ在ＰＢ上的射影为Ｅ，
∴ .
由（１），故.
又，
∴
∵ Ａ在ＰＣ上的射影为F，，而，
∴
B
B
C
P
A
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
A
D
C
D/
C/
B/
A/
A1
C1
B1
A
B
C
O1
O
D1
D
E(共17张PPT)
正弦、余弦的诱导公式
能否再把 ～ 　间的角的三角函数求值，化为
我们熟悉的 ～　　间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可
以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到
最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 　 ，对于任意一个　到　　的角　，
以下四种情形中有且仅有一种成立．
诱导公式二、三的推导过程
请同学们思考回答点　关于　轴、　轴、原点对称的
已知任意角　的终边与单位圆相交于点　　　　，
三个点的坐标间的关系．
点　　　关于　轴对称点　　　　，关于　轴对称
点　　　　，关于原点对称点　　　　　．
演示课件
公式二：
　轴对称，所以　　　　　．
角　　的终边与单位圆相交于点　，这两个角的终边关于
如图，利用单位圆作出任意角　与单位圆相交于点　　　，
我们再来研究角　与　　的三角函数值之间的关系，
演示课件
公式三：
例题讲解
（3）　　　　　　；（4）　　　　　．
（1）　　　　；　　（2）　　　　　　；
例1　求下列三角函数值：
例2　化简：　　　　　　　　　　　　　．
推导诱导公式四、五
　　　，　　　与　的三角函值之间的关系？
请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导
阅读课本公式四、五推导过程
公式四：
公式五：
诱导公式小结
前面加上一个把　看成锐角时原函数值的符号，
　　　的三角函数值，等于　的同名函数值，
概括如下：　　　　　　　，　　，　　　，　　　
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．
简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
例题讲解
（1）　　　　　　；（2）　　　　　．
例3　求下列各三角函数：
解题一般步骤
任意负角的三角函数
用公式三
或公式一
任意正角的三角函数
用公式一
0°到360°的角的三角函数
用公式二
或四或五
锐角三角函数
查表
求值
练习反馈
（3）已知　　　　　　　　，求　　　　　　的值．
（2）已知　　　　　　　　，求　　　　　　的值．
（1）已知　　　　　　　，求　　　　　的值．
本课小结
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到 ～ 之间（能查表）．
（2）变角是有一定技巧的，如 可写成 ，
也可以写成 不同表达方法，决定着使用不同
的诱导公式．
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，
求未知角“ ”，可把 改写成 ．(共18张PPT)
输入语句
输出语句
赋值语句
条件语句
循环语句
常用的程序设计语言：BASIC,C/C++, Delphi ,VB、ASP、Java等等。
基本算法语句
算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构和循环结构。
各种程序语言都包含了下列基本的算法语句：
一、输入语句
作用：
用来实现算法的输入信息的功能。
输入语句格式：INPUT “提示内容”；变量
例：输入语句
INPUT “x=”;x
或INPUT x
或INPUT “x=,y=”;x,y
说明:(1)
“INPUT”汉语意思有“输入”之意。
（2）从键盘输入的数据只能是常量。
（3）输入多个变量时用逗号分开。
（4）“提示内容”时提示用户输入什么样的信息，是原样输出的，也可以省略。
（5）“提示内容”不省略的话，与“变量”之间用“；”分隔；其中，输入数据的数目应与语句中的变量个数相同。
输出语句格式：PRINT “提示内容”；表达式
例：输出语句
PRINT “s=”;s
或PRINT y
或PRINT “y=”;(a+b+c)/3
二、输出语句
用来实现算法的输出结果的功能
作用：
说明:(1)
“PRINT”汉语意思有“打印”“输出”之意。
（2）表达式可以是常量、变量、函数或者计算式。
（3）输出多个变量时用逗号分开。
（4）该语句有计算功能，能直接输出计算公式。
三、赋值语句
作用：
用来实现把右边表达式所表示的值赋给左边的变量。
格式：
变量=表达式
A=10
A=A+15
PRINT A
END
例：给一个变量重复赋值
A=1
B=2
C=A-B
B=A+C-B
PRINT A,B,C
END
运行结果为　　　　　
２５
１，－２，－１
取余数
MOD
取商
\
<>
<=
>=
幂运算
^
除法运算
/
乘法运算
功能
运算符
*
Inx
|x|
功能
LOG(x)
SQR(x)
ABS(x)
注意事项
函数名
BASIC语言中的常用运算符号
算法：
第二步：计算 的值；
开 始
输入x
输出x,y
结 束
框图：
例1.用描点法作函数 的图象时，需要求出
自变量和函数的一组对应值，编写程序，分别计算当x=-5,
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5时的函数值。
第一步：输入x的值；
第三步：输出x,y的值。
程序：
INPUT “x=”;x
y=x^3+3 x^2-24 x+30
PRINT x
PRINT y
END
*
*
例1.用描点法作函数 的图象时，需要求出
自变量和函数的一组对应值，编写程序，分别计算当x=-5,
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5时的函数值。
程序：
INPUT “x=”;x
y=x^3+3 x^2-24 x+30
PRINT x
PRINT y
END
*
*
INPUT “提示内容”；变量
输入语句：
输出语句：
PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句：
变量=表达式
例2.编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
算法：
第一步：分别输入三科的成绩a,b,c；
第二步：计算average=(a+b+c)/3;
第三步：输出三科平均分。
框图：
开 始
输入a,b,c
输出average
结 束
average=(a+b+c)/3
程序：
INPUT “Maths=”;a
INPUT “Chinese=”;b
INPUT “English=”;c
average=(a+b+c)/3
PRINT “The average=”;average
END
INPUT “Maths, Chinese, English=”;a,b,c
程序2：
PRINT “The average=”;(a+b+c)/3
END
例3.分析下列程序，判断运行的结果。
a=2
b=3
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
END
(1)
(2)
INPUT A
INPUT B
PRINT A,B
x=A
A=B
B=x
PRINT A,B
END
INPUT语句 PRINT语句 赋值语句
格式 INPUT “提示内容”；变量 PRINT “提示内容”；表达式 变量=表达式
说明 1.“提示内容”和它后面的
“；”可以省略；
2.一个语句可以给多个变
量赋值，中间用“，”隔
开；
3.无计算功能，不能输入
表达式；
4.输入多个数据时用“，”
分隔，且个数要与变量
的个数相同。 1.“提示内容”和它后面的
“；”可以省略；
2.一个语句可以输出多个表
达式，不同的表达式之间
用“，”隔开；
3.表达式可以是变量，也可
以是计算公式；
4.有计算功能，能直接输出
计算公式的值。 1.“=”左侧必须是变
量，右侧可以是数
字、变量或者是计
算公式；
2.一个语句只能有一
个“=”，并且只能给
一 个变量赋值；
3.有计算功能，可以
把表达式的值赋给
一个变量。
练习：
一.判断下列程序语句的含义。
(1).INPUT “小朋友，你今年几岁啊？”；x
(2).INPUT “a=，b=，c=”； a,b,c
(3).PRINT “1+1=” ;2
(4).PRINT “斐波那契数列为:”;1，1，2，3，5， 8，13， “ ”
(5).A=B
(6).B=A
…
1.程序：INPUT “华氏温度 F=”;F
C=(F-32) 5/9
PRINT “相应的摄氏温度C=”;C
END
*
2.程序： INPUT “x=”；x
INPUT “y=”；y
a=x+y
b=x-y
c=x y
d=x/y
PRINT “和，差，积，商分别为：”；a,b,c,d
END
*
二.说出以下程序的功能
4.程序：INPUT “水果糖的质量(千克)：”；a
INPUT “奶糖的质量（千克）：”；b
INPUT “巧克力糖的质量（千克）：”；c
sum=10.4 a+15.6 b+25.2 c
PRINT “应收取的金额为：”;sum
END
3.程序：p=(2+3+4)/2
S=SQR(p (p-2) (p-3) (p-4))
PRINT “S=”;S
END
*
*
*(共12张PPT)
３．２循环语句
1 Do While…Loop
2 Do…Loop Until
3 While…Wend
复习回顾
Do…Loop While一般格式
语句
Do
<循环体>
Loop While <表达式>
循环体
计算表达式
是
否
Do While …Loop 语句（当型循环）
语句格式
　Do While＜表达式＞
　
＜循环体＞
Loop
计算表达式
循环体
否
是
先对表达式进行判断
若符合则执行下面的循环体
eg1
编写一个程序，求某次数学考试的全班平均成绩，假设该班的人数为40
sum=0
aver=0
i=1
Do
Input cj
sum=sum+cj
i=i+1
Loop While i<41
aver=sum/40
Print aver
End
sum=0
aver=0
i=1
Do While i<41
Input cj
sum=sum+cj
i=i+1
Loop
aver=sum/40
Print aver
End
先循环
后判断
先判断
后循环
Do…Loop Until 语句（直到型循环）
一般形式
Do
<循环体>
Loop Until <表达式>
循环体
满足条件
是
否
先执行一次循环再检验条件是否成立
eg2
编程计算2+4+6+8+……+100的值
i=2
s=0
Do
s=s+i
i=i+2
Loop Until i>100
Print s
s=s+i
i=i+2
i>100
否
是
While…Wend 语句
一般形式
While <表达式>
<循环体>
Wend
满足条件
循环体
否
是
先判断
再循环
练习1
编程求1到10的平方和
s=0
i=1
t=i*i
Do While i<=10
s=s+t
i=i+1
t=i*i
Loop
i<=10
s=s+t
i=i+1
t=i*i
否
是
方法２ 运用Do…Loop Until语句
s=0
i=1
t=i*i
Do
s=s+t
i=i+1
t=i*i
Loop Until i>10
i>10
s=s+t
i=i+1
t=i*i
是
否
练习2
设计一个计算1×3×5×……×99的程序
i=1
S=1
While i<=99
s=s*i
i=i+2
Wend
Print s
i<=99
S=s*i
i=i+2
是
否
End
By
Yang Xuan(共19张PPT)
§4.9 函数 的图象
（二）
我们的目标
1、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅变换的规律
2、能够熟练地进行函数图象之间的变换
一、平移变换
二、对称变换
三、伸缩变换
三、伸缩变换
练习1
练习2
练习3
例题1
方法1
方法2
例题1
解法一：
1） 振幅变换
2） 平移变换
方法1
方法2
例题1
解法二：
2） 振幅变换
1） 平移变换
方法1
方法2
例题2
动画
例题3
动画
例题4
动画
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
步骤5
沿x轴 平行移动
横坐标 伸长或缩短
纵坐标 伸长或缩短
沿x轴 扩展(共20张PPT)
学校:高桥西校
设计者: 朱柳香 徐丽娜
适用年级:初中二年级
课时:2课时
教学模式:互联网资源应用于课堂的教学设计模板
1. 目 标
2. 课前需要掌握的知识
3. 资源
4. 课前准备
5.教学过程
1.目标
（1）知识目标：
a:了解并掌握勾股定理
b.通过情景式设计帮助学生初步掌握分割图形的证
明方法
c.能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中
的两条边长求出第三条边长
（2）能力目标：能应用公式解决生活实际问题。
（3）德育渗透：结合<周髀算经>和大禹治水的故事，
对学生进行爱国主义教育。
返回
2. 课前需要掌握的知识
（1）直角三角形的基本概念。
（2）图形的变换:平移,旋转,翻折。
（3）多项式的乘法公式。
(4) 了解一般三角形的三边关系：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边．
返回
3. 资源
1）有计算机提供给每一组学生(4-6名)
学习使用,计算机性能良好。
2）接入到网址：
http://www.libnet./digilib/gj/html/754321/1.htm
http://www2.plktytc.edu.hk/~lhs/histPyth.htm
http:///datebase/details/scientist/00st/Pythagoras.htm
返回
（1）在上课之前，必须仔细阅读并会使用
http://beike./a/a237/text/a237d002.html
http://beike./a/a237/text/a237d003.html
上的信息。
（2）检查教室里的所有学生电脑，保证课上学生能正常上网操作，把活动的网址书签和练习纸复制给学生。
4. 课前准备
返回
简介
证明
返回
应用
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
返回
勾股定理:
什么是“勾、股”呢？
在中国古代，人们把弯曲成直角的
手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
返回
勾
股
有一个十分重要而著名的定理，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其它自然学科中也常常用到，这就是勾股定理.
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理.
返回
勾股定理
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
返回
勾股定理
在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
毕达哥拉斯和他的学派
http:///datebase/details/scientist/00st/Pythagoras.htm
英文网站
http://www.utm.edu/research/iep/p/pythagor.htm
1972年发射的星际飞船“先锋10号”带着证明勾股定理的“出入相补图”飞向太空。
返回
方法一
方法二
方法三
方法四
返回
此证明方法出自美国第20任总统James.Abram.Garfield（伽菲尔德）在1876年利用梯形的面积公式得到的。该证明发表在《新英格兰教育杂志》上。
返回
勾股定理的应用
例1 已知：如图等边△ABC的边长是6cm。
(1)查表求高AD的长；
(2)求S△ABC
例2 求如图所示（单位mm）的矩形零件上两孔中心 A和B的距离（精确到0.1mm）。
返回(共12张PPT)
§2 从位移的合成到向量的加法
§2 从位移的合成到向量的加法
由于大陆和台湾没有直航，因此2005年春节探亲，乘
飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之
和是什么？
台北
香港
上海
O
B
A
N
8km
6km
从景点O到景点A的位移为 ，从景点A到景点B的位移为 ，那么经过两次位移后游艇的合位移是
向量 三者之间有什么关系？
§2 从位移的合成到向量的加法
§2 从位移的合成到向量的加法
向量的加法：
定义：求两个向量和的运算．向量a与b的和记作a+b.
a+b
b
A
a
a
a
a
a
A
A
A
b
b
b
b
b
a
B
b
C
a+b
a+b
a+b
a
B
b
C
a
a
a
a
A
A
A
A
A
b
b
b
b
a+b
a+b
a+b
a+b
a
b
同方向共线
a
b
异方向共线
a
b
a
a
a
A
A
A
a
B
b
b
C
a+b
a+b
a+b
a+b
下一页
a
b
加法的动画演示
b
a
A
B
C
试一试：已知向量a、 b,用三角形法则求作向量a+b。
作法：在平面内任取一点A，作AB=a, BC=b, 则 AC=a+b.
§2 从位移的合成到向量的加法
（3）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|;
§2 从位移的合成到向量的加法
向量和的特点：
（1）两个向量的和仍是一个向量．
（2）0+a=a.
从而， ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;
（4）向量加法的多边形法则：
当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，
且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，
且 |a+b|=|b|-|a|．
验证：
若向量a与b是不共线向量，将向量a与b的起点平移到同一
点O，作平行四边形OABC．
§2 从位移的合成到向量的加法
向量的运算律：
交换律：a+b=b+a
a+b
b
a
b
a
O
A
B
C
对角线 是两向量和．
平行四边形法则
三角形法则
a
B
b
C
a+b
A
a+b
a+b
a+b
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
a
b
c
A
B
C
D
a+b
b+c
a+b+c
§2 从位移的合成到向量的加法
例1 轮船从Ａ港沿东偏北30°方向行使了40海里到达B处，再由B处沿正北方向行使40海里到达C处。求此时轮船与A港的相对位置。
例2 两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1=40N，方向向东，F2=30N，方向向北，求它们的合力。
§2 从位移的合成到向量的加法
例3.一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，同
时，河水的流速为 ，求船实际航行速度的大小与方向
（用与流速间的夹角表示）．
A
B
D
C
解：
如图，设 表示船速， 表示水的流速，
以AB，AD为邻边作 ABCD，
则 是船的
实际航行速度.
在 中，
答：船实际航行速度为 ，方向与流速间的夹角为 ．
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量
A
B
C
D
E
F
O
§2 从位移的合成到向量的加法
练习
（1）一架飞机向西飞行 然后改变方向向南飞行 ,
则飞机两次位移的和为 ．
向西南方向飞行
（2） 一定成立吗？
（不一定）
（3）在四边形中 ， ．
§2 从位移的合成到向量的加法
练习
（1）在平行四边形中ABCD， 则用a、b表示
向量 的是（ ）
A．a＋a B．b+b C．0 D．a＋b
（2）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ ）
① ②
③ ④
A．0 B．1 C．2 D．3
D
A函数的应用举例
教学目标
（1）了解解实际应用题的一般步骤；
（2）初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；
（3）向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。
三．教学重、难点：
1．根据已知条件建立函数关系式；
2．用数学语言抽象概括实际问题。
教学过程
一、问题情境
1．情境：
写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系。
解： ．
2．问题：
分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义．
二、数学运用
1．例题：
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量（台）的函数关系式.
解 总成本与总产量的关系为
C=200+0.3,.
单位成本与总产量的关系为
.
销售收入与总产量的关系为
.
利润与总产量的关系为
．
例2． 在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入 与成本之差.
(1) 求利润函数及边际利润函数;
(2) 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值
解 由题意知,,切.
(1) ==,
=
(2) ==,当或时, 的最大值为74120(元).
因为=2480是减函数,所以当时, 的最大值为2440(元).
因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.
例3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）。
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。
解：（1）由已知得
（2）当时，，得；
当时，， 得， ∴
∴， ∴， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3．5小时。
例4．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。
（1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象。
解：（1）阴影部分的面积为
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360。
（2）根据图有
图象（略）
小结：解决实际问题的一般步骤：
实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题
其中建立数学模型是关键，同时还要结合实际问题研究函数的定义域。
三．练习：
（1）今有一组实验数据如下：
1．99 3．0 4．0 5．1 6．12
1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 （ C ）
（） （） （） （）
（2）大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）。
求：（1）与的函数关系； （2）以及处的气温。
解：（1）由题意，时，，所以当时，，从而当时，。综上，所求函数关系为；
（2）由（1）知，处的气温为，
处的气温为．
四、课外作业：
课本第84页第1、2、3、4、题、第88页第3、4题．
1
1
2
3
4
5
20
30
40
50
60
10
70
80
90
1
2
3
4
5
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步期中测试
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）
A．三棱锥　 B．四棱锥　　 C．五棱锥 D．六棱锥
2．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为 （ ）
A．Q　　　 B．2Q　　 C． 3Q　 D． 4Q
3．已知高与底面的直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，则球的体积
为 （ ）
A． B． C． D．
4．到空间四点距离相等的平面的个数为 （ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．7或无穷多
5．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 （ ）
A．10（－2）米 B．（6－）米
C．（9－4）米 D．5 米
6．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则 （ ）
A．1＜MN ＜5 B．2＜MN ＜10 C．1≤MN ≤5 D．2＜MN ＜5
7．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角 （ ）
A．相等　　　 B．互补　　　 C．相等或互补　　 D． 不确定
8．已知平面 ⊥平面 ，m 是 内一条直线，n 是 内一条直线，且m ⊥n ．那么，甲：m ⊥ ；乙：n ⊥ ；丙：m ⊥ 或n ⊥ ；丁：m ⊥ 且n ⊥ ．这四个结论中，不正确的三个是 （ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁
C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁
9．如图，A—BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边
形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
10．棱台的两底面积分别为S上、S下、平行于底面的戴面把棱台的高自上而下分为两段之比
为m∶n则截面面S0为 （ ）
A． B．
C．()2 D．()2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．半径为a的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．
12． 、 是两个不同的平面，m 、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：
（1）m ⊥n （2） ⊥ （3）n ⊥ （4）m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
写出你认为正确的一个命题___________．
13．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分
别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱
分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _____．
14．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____________．
（1） （2） （3） （4）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中被截去一部分，其中EF∥A1D1．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？若FH∥EG，但FH16．（12分）有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．
①说明组合体是什么样的几何体？
②证明你的结论．
17．（12分）正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm，9cm，11cm，求它的侧面积．
18．（12分）三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S-BCED的体积．
19．（14分）如图，在正方体
（1）证明：；
（2）求所成的角；
（3）证明：．
20．（14分）如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：
（1）DE ＝DA ；
（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA ．
高一新数学期中测试题参考答案
一、DBDDA ADBCD．
二、11；12．①③④②；13．7∶5；14．②③；
三、15． 五棱柱，三棱柱，三棱台。
16．解：（1）是斜三棱柱。
（2）正三棱锥为S—AED，正四棱锥为S—ABCD，重
合的面为⊿ASD，如图示， 设AD，BC中点分别
为M、N，由AD⊥平面MNS知平面MES重合；
因为SE=AB=MN,EM=SN,∴MNSE为平行四边行。
∴ESMN，又ABMN，∴ESAB，∴ABSE
为平行四边形，同理，CDES为平行四边形。
∴面SBC∥面EAD，AB∥CD∥SE，且AB不垂
直平面SBC，∴组合体为斜三棱柱。
17．解：如图，在中过A作于E，
则AE=OO1=7cm
18．解：
19． （1）
（2）
（3）
20．证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF ．
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC ．
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC ．
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，则四边形FCBD 是矩形，
DF ⊥EC ． 又BA ＝BC ＝DF ，
∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA ．
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，∵ M 是EA 的中点，
∴ MN EC ．由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形
MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN ．
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点， ∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM ．
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，∴ 平面DEA ⊥平面ECA ．
④
② ⑥
③ ①
⑤
④ ⑥ ①
⑤
③
②
①
⑤ ⑥
④
③ ②
① ②
③ ⑤ ⑥
④
M
N
C
B
A
D
S
E
PAGE
- 8 -高2010级第二章《函数》单元检测题
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴，；
⑵，；
⑶， ；
⑷，；
⑸，。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．将函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得曲线的函数式为（　　）
　　A．y＝x2＋6x＋7　　　　　　　　　B．y＝x2－6x＋7
　　C．y＝x2＋2x－1　　　　　　　　　D．y＝x2－2x＋1
3．在区间（0，＋∞）上不是增函数的是（　　）
　　A．y＝2x＋1　　B．y＝3x2＋1　　　C．　　　　D．y＝2x2＋x＋1
4．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．下列函数中既是偶函数又是 （ ）
A． B． C． D．
6．设A是直角坐标平面上的所有点组成的集合，如果由A到A的映射f，使象集合的元素（y－1，x＋2）和原象集合的元素（x，y）对应，那么，象点（3，一4）的原象是点（　　）
　 A．（－5，5）　 B．（4，－6） C．（2，－2）　 D．（－6，4）
7．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．两个二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c与g（x）＝bx2＋ax＋c的图象只可能是图中的（　　）
9．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
10．设则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设函数则实数的取值范围是 ．
12．函数的定义域 ．
13．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是 ．
14．已知函数，若为奇函数，则________．
15．函数在区间[1，4]上的最小值是
16．已知函数f（x）＝2x2－mx＋3，且x［－2，＋∞］时是增函数，当x（－∞，－2］时为减函数，则f（1）＝_________　．
高2010级第二章《函数》单元检测答题纸
班级________________ 姓名_______________
一.选择题(满分10×5=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案
二.填空题(满分6×4=24)
11．_________ 12 ．___________ 13．___________
14． 　　　15．____________ 16．___________
三、解答题(满分26分)
17．(8分)对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
18．(9分)已知函数，证明函数在是增函数．
19．(9分)已知函数在有最大值和最小值，求、的值．
20．（20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）函数是定义在R上的奇函数，当，
（Ⅰ）求x<0时的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由.
高一第二章单元检测答案
班级________________ 姓名_______________
一.选择题(满分10×5=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案 C B C C C D D D D B
二.填空题(满分6×4=24)
11． 　　12 ． 　13． .
14 ． 　　　15． -2 　　16． 13.
三、解答题(满分26分)
17．(8分)对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
解：当
当时，在 R上恒成立，必须满足
解得：
18．(9分)已知函数，证明函数在是增函数．
证明：对任意，当时：
，
所以函数在是增函数．
19．(9分)已知函数在有最大值和最小值，求、的值．
解：对称轴，是的递增区间，
∴
20．（20分．1，2，3，4班必做，其它班选做）函数是定义在R上的奇函数，当，
（Ⅰ）求x<0时的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）当 （Ⅱ）∵当若存在这样的正数a，b，则当∴f(x)在[a，b]内单调递减，
∴是方程的两正根，
- 5 -(共10张PPT)
§4.3 任意角的三角函数
（二）
任意角的三角函数
函数 解析式 定义域 值域
1、已知角 的终边位于直线 上，试 求角 的六个三角函数值；
2、求下列各角的六个三角函数值：
（1）0 （2） （3） （4）
根据2-（3）、（4）的结论，你能推断出什么结论，发现什么规律吗？
终边相同的角的同名三角函数值相等。
你记住了吗？
度
弧度
1、角 的终边上一个点P的坐标为 ，
求 的值；
1、函数 的值域是（ ）
2、设角 属于第二象限角，且 ，
则角 属于第　象限角？
3、求下列函数的定义域：
4、解答下列问题：
（1）若 在第四象限，判断 的符号；
（2）若 ，试指出 所在的象限，
并用图形表示出的取值范围.
5、已知：角 为锐角，
试证：(共13张PPT)
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数量积
a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
运算律：
1．
2．
3．
平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共
线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数
， 使 ．
平面向量数量积的坐标表示
用 计算 ，并观察 与 、 的坐标的关系：
① =(1,1), =(2,0)
② =(1, ), =( ,1)
、
思考：
已知 =(x1,y1)， =(x2,y2) ， 怎样用 、
的坐标表示呢？
① _____ ② ______
③ ______ ④ _____
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1
1
0
0
能否推导出 的坐标公式
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
平面向量数量积的坐标表示
证明：
（1）设a =（x，y），则 或|a |= .
性质
若设 、 则
即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
【例1】设 ，求 及 、 的夹角.
、
C(a,b)
P０（x0,y0)
P(x,y)
l
O
X
Y
【例2 】 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,求与圆Ｃ相切于点Ｐ０（x0,y0)的切线方程．
参阅网上的相关资源,如
http://zlb./xiangliang.doc
http://
平面向量数量积的坐标表示
练习：
（3）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
（1）已知a=(2,3) ，b=(-1,4) ，c=(5,6) ，
　求 和 ．
（2）已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求证
是直角三角形.
例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，
求直线l1和l2的夹角．
解：
在l1上任取两点Ａ（０，３）Ｂ（４，０）
设 m ＝ ＡＢ ＝（４，－３）
在l2上任取两点C（０，28）D（４，０）
设n＝CD＝（４，－28）
设m与n的夹角为　，
则
所以，直线l1和l2的夹角为４５０
例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角．
平面向量数量积的坐标表示
【引申】
方向向量：与直线l共线的向量称为直线l的方向向量。
例如例3中的 为直线l1的方向向量。
【思考】
①一条直线的方向向量有多少个，你能再写出几个直线l1的方向向量吗？
②给定斜率为k的直线，你能写出它的方向向量吗？
4．总结提炼
　　（1）用坐标表示的数量积公式对问题带来了极大的方便，例如常用来计算两向量的夹角.
　　（2）平面向量在解析几何中有广泛的应用，例如垂直问题，可用两向量垂直来解决，并注意在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。
　　（3）注意单位向量和方向向量两个概念。
5、课后作业 P115 A 3,4,6 B2
平面向量数量积的坐标表示《直线与圆》变式题
1.已知点，则直线的倾斜角是（ ）A B C. D
2，若三点共线，则的值等于 .
3．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A. B. C. D.
4．过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
5．直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.
6．过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .
7．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 .
8．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）A.0 B.-8 C.2 D.10
9．与直线平行，且距离等于的直线方程是 .
10．三条直线不能构成三角形，求实数的取值集合.
11．若直线与直线平行但不重合，则等于（ ）
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
12．已知，，求线段的垂直平分线的方程.
13．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
14．求点关于直线的对称点的坐标.
15．光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.
16．已知点，在直线上求一点P，使最小.(共5张PPT)
基础练习
2. sin1630sin2230+ sin2530sin3130
=____
1. 设 若sinα= ,则
=____
1. 已知
求 sinθ的值.
例题讲解
2. 已知
求 sin4x的值.
3. 已知:
sinα+cosα= ,
0＜α＜π,求 cos2α的值 .三角恒等变形单元测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知x∈(0，)，sinx=，则cos2x等于（ ）
A. B. C. D.－
2. cos－sin的值是（ ）
A.0 B. C. D.1
3.已知α，β均为锐角，且sinα=,cosβ=,则α+β的值为（ ）
A. B.π C. D.2kπ+ (k∈Z)
4.sin15°cos30°sin75°的值等于（ ）
A. B. C. D.
5.若f(cosx)=cos2x,则f(sin)等于（ ）
A. B.－ C.－ D.
6.等于（ ）
A.cos5°－sin5° B. cos5° C.cos5°－sin5° D.sin5°－cos5°
7.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),那么sin2α,cos2α的值分别为（ ）
A.， B.－ C.－ D.－
8.sin(x+60°)+2sin(x－60°)－cos(120°－x)的值为（ ）
A. B. C.1 D.0
9.已知?,P=,Q=,那么M、N、P、Q之间的大小顺序是（ ）
A.M＜N＜P＜Q B.P＜Q＜M＜N C.N＜M＜Q＜P D.Q＜P＜N＜M
10.已知tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且α、β∈?(－),?则α+β的值是（ ）
A. B.－π C.或－π D.－或π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.已知：,且x∈(，)，则=____________.
12.若,则cot(+A)=_____________.
13.sin(－3x)cos(－3x)－cos(+3x)sin(+3x)=_____________.
14.已知=__________.
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分10分）
已知cos(α－)=＜α＜，求cosα.
16.（本小题满分10分）
如右图，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形.问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
17.（本小题满分10分）已知cosα=－,cos(α+β)=,且α∈(π,π),α+β∈(π,2π),求β.
18.（本小题满分10分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,α∈(0,)，求sinα、tanα.
附加题（实验班必须做）（两小题，共20分）
1．（10分）已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
2．（10分） 已知函数（其中），求：
　　　函数的最小正周期;
函数的单调区间;
函数图象的对称轴和对称中心．
三角恒等变形单元测试答题纸
班级：　　　　　　姓名：
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． _____________.　　　　12．_____________.
13._____________.　　　　　14._________.
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分10分）
已知cos(α－)=＜α＜，求cosα.
16.（本小题满分10分）
如右图，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形.问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
17.（本小题满分12分）已知cosα=－,cos(α+β)=,且α∈(π,π),α+β∈(π,2π),求β.
18.（本小题满分10分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,α∈(0,)，求sinα、tanα.
附加题（实验班必须做）
1．（10分）已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
2．（10分） 已知函数（其中），求：
　　　函数的最小正周期;
函数的单调区间;
函数图象的对称轴和对称中心．
三角恒等变形单元测试题答案
一．选择题B C C B C D C A B B
二． 11 ．　12． 4+ 　13 ． 14． 5
三．解答题
15．【解】 由于0＜α－＜,cos(α－)=
所以sin(α－)=
所以cosα=cos［(α－)+］=
16．【解】 连结OP，设∠AOP=x,则PS=sinx，RS=cosx－sinx·cot60°
所以S=（cosx－sinx·cot60°)·sinx
=sin2x－sin2x
=sin2x－·
=sin(2x+φ)－ (其中tanφ=)
因为x∈(0°,60°),所以当2x+φ=90°时，Smax=.
17．【解】 ∵π＜α＜π,π＜α+β＜2π,∴0＜β＜π.
又∵cosα=－,cos(α+β)=,∴sinα=－,sin(α+β)=,
故cosβ=cos［(α+β)－α］
=.
而0＜β＜π,∴β=π.
18．【解】 ∵sin22α+sin2αcosα－cos2α=1
∴4sin2αcos2α+2sinαcos2α－2cos2α=0
即：cos2α(2sin2α+sinα－1)=0cos2α(sinα+1)(2sinα－1)=0
又α∈(0,),
∴cos2α>0,sinα+1>0.
故sinα=,α=,tanα=.
附加题：
1．解：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）
2．解：(1) (2)增区间：，减区间：，其中Z
(3)对称轴方程： 对称中心：，其中Z
7(共13张PPT)
三角函数线的应用
一、三角式的证明
2、已知：角 为锐角，
试证：
1、已知：角 为锐角，
试证：（1）
2、解三角不等式，求角的范围.
8、求下列函数的定义域：
解答下列问题：
（1）若 在第四象限，判断 的符号；
（2）若 ，试指出 所在的象限，
并用图形表示出的取值范围.
两分钟内完成
三分钟内完成
五分钟内完成(共9张PPT)
[2]循环结构——Do Loop 循环
Xu Benshu
·在一些循环结构中，预先不知道循环的次数，比如使用二分法求方程的近似解，要根据其它形式的终止条件停止循环，在这种情况下，一般用Do Loop语句来描述。
Do Loop语句的一般形式为：
Do
循环体
Loop While 条件为真
回顾：For语句，预先知道循环次数的循环结构。
For 循环变量=初始值 To 终值
循环体
引题：
睿睿买了一辆价值15万的汽车，汽车以每年20%的折旧速度折旧，请用基本语句输出睿睿的汽车经过多少年后价值降至8万以下？并输出具体价格。
S=15
i=0
Do
s=(1-0.2)s
i=i+1
Loop While s≤8
Output i,s
循环体
终止条件
否
是
Do Loop 语句基本流程图
“直到”型循环
不断进入循环体，直到满足终止条件，退出循环，进行下面的语句。
睿睿买了一辆价值15万的汽车，汽车以每年20%的折旧速度折旧，请用基本语句输出睿睿的汽车经过多少年后价值降至8万以下？并输出具体价格。
s=15
i=0
Do
s=(1-0.2)s
i=i+1
Loop While s≤8
Output i,s
S≤8
否
是
s=(1-0.2)s
i=i+1
s=15,i=0
例1：输入三角形三条边的值，若能构成三角形，则输出其面积值后结束；否则重新输入三条边的值，直到能构成三角形为止。
a=0,b=0,c=0
p=0,s=0
Do
Input a,b,c
Loop While a+b>c and a+c>b and b+c>a
p=(a+b+c)/2
s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
Output s
例2：求两个自然数m,n的最大公约数。
问题分析：用辗转相除法：如果m>n，用m/n求得余数k，若余数k为零，则n为最大公约数；若k不为零，则m变为n，n变为k，循环执行，直至k为零，此时n为最大公约数。
Begin
Input m,n
If mt=m
m=n
n=t
End If
Do
k=m/n的余数
m=n
n=k
Loop While m整除n
Output n
End
Xu’s first class. [Eddy]pro.课程目标
【教学目标】
1.初步建立算法的概念；
2.让学生通过丰富的实例体会算法的思想
3.让学生通过对具体问题的探究，初步了解算法的含义.
【教学重点】通过实例体会算法思想，初步了解算法的含义.
【教学难点】算法的含义及应用.
新课引入
在中央电视台幸运节目中,有一个猜商品价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出某种商品的价格,就可获得该件商品.现有
一商品,价格在元之间,采取怎
样的策略才能在较短的时间内说出正
确(大体上)的答案呢
第一步:报“”；
第二步:若主持人说高了(说明答案在之间),就报“”,否则(答数在之间)报“”；
第三步:重复第二步的报数方法取中间数,直至得到正确结果.
它是解决某一问题的程序或步骤.
所谓 “算法”就是解题方法的精确描述.从更广义的角度来看,并不是只有“计算”的问题才有算法,日常生活中处处都有.如乐谱是乐队演奏的算法,菜谱是做菜肴的算法,珠算口诀是使用算盘的算法.
按照这样的理解,我们可以设计出很多具体数学问题的算法.下面看几个例子:
【1】人鬼过河
现在河的岸边有三个人和三个鬼，河上只有一条小船，船上最多能坐两个“人”，在河的任何一边，当鬼的个数比人多时，鬼就会吃掉人。请问如何才能使人和鬼都平安的到达对岸。
解:要想使人鬼都安全过河，需要下面11步。
练习:一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
第一步:农夫带羊过河;
第二步:农夫独自回来
第三步:农夫带狼过河;
第四步:农夫带羊回来;
第五步:农夫带蔬菜过河;
第六步:农夫独自回来
第七步:农夫带羊过河.
【2】给出求的一个算法.
解法1.按照逐一相加的程序进行.
第一步:计算得;
第二步:将第一步中的运算结果与相加得;
第三步:将第二步中的运算结果与相加得;
第四步:将第三步中的运算结果与相加得;
第五步:将第四步中的运算结果与相加得.
解法2.可以运用下面公式直接计算.
第一步:取;
第二步:计算
第三步:输出计算结果.
点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步骤较少. 找出好的算法是我们的追求目标.
讲授新课
1.算法的定义
在数学中，现代意义上的 “算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2.算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组),并且能重复使用;
(2)算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,而且在有限步之内完成后能得出结果.
3.算法的基本特征
明确性:算法对每一个步骤都有确切的、非二义性的规定,即每一步对于利用算法解决问题的人或计算机来说都是可读的、可执行的,而不需要计算者临时动脑筋.
有效性:算法的每一个步骤都能够通过基本运算有效地进行,并得到确定的结果；对于相同的输入,无论谁执行算法,都能够得到相同的最终结果．
有限性:算法应由有限步组成,至少对某些输入,算法应在有限多步内结束,并给出计算结果．
数据输入:算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤.
信息输出:一个算法至少要有一个有效的信息输出,这就是问题求解的结果.
不唯一性:求解某一个题的解法不一定是唯一的, 对于一个问题可以有不同的算法.
4.算法的描述
描述算法可以有不同的方式,常用的有自然语言、程序框图、程序设计语言、伪代码等.
(1)自然语言
自然语言就是人们日常使用的语言,可以是汉语、英语或数学语言等.用自然语言描述算法的优点是通俗易懂,当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解.缺点是如果算法中包含判断和转向,并且操作步骤较多时,就不那么直观清晰了.
(2)程序框图:1.1.2程序框图中讲解
(3)程序设计语言:1.2基本算法语句中讲解
例题讲解
例1.任意给定一个大于的整数,试设计一个程序或步骤对是否为质数做出判定.
第一步:判断是否等于.若,则是质数；若,则执行第二步.
第二步:依次从检验是不是的因数，即整除的数,若有这样的数，则不是质
数;若没有这样的数，则是质数.
评析:这是判断一个大于1的整数是否为质数的最基本算法.
例2.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.
算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005
第一步:令,因为,所以设.
第二步:令,判断是否为.若是，则为所求；若否，则继续判断 大于还是小于.
第三步:若,则令; 否则,令.
第四步:判断是否成立？若是，则或(或任意值)为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.
于是开区间中的实数都是满足假设条件的原方程的近似根.　
评析:实际上,上述步骤就是在求的近似值.
课堂练习
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数；
第二步:计算圆的面积:;
第三步:输出圆的面积.
2.任意给定一个大于的正整数,设计一个算法求出的所有因数.
第一步:依次以为除数去除,检查余数是否为,若是,则是的因数;若不是,则不是的因数.
第二步:在的因数中加入和.
第三步:输出的所有因数.
3.你要乘火车去外地办一件急事,请你写出从自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法.
第一步:去车站；
第二步:买车票;
第三步:凭票上车对号入座.
课堂小结
1.知识结构
2.算法的特点:思路简单清晰,叙述复杂,步骤繁琐,计算量大,完全依靠人力难以完成.而这些恰恰就是计算机的特长,它能不厌其烦地完成枯燥的、重复的繁琐的工作. 正因为这些,现代算法的作用之一就是使计算机代替人完成某些工作,这也是我们学习算法的重要原因之一.
3.设计算法的注意事项:
(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方法;
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况;
(3)借助有关的变量或参数对算法加以表达;
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤;
(5)然后用简练的语言将各个步骤表示出来
课堂作业
课本P.2 2
预习1.1.2程序框图
算法的特点
算法的步骤
算法的概念
一般地,对于一类问题的机械式地、统一地、按部就班地求解过程称为算法(algorithm)
算法课题： 1正整数指数函数
教学目标：
了解正整数指数函数模型的实际背景。了解正整数指数函数的概念。理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。
教学难点：正整数指数函数图象的特征。
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取）
为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x，人口数为y，则其中我们给起个名字为正整数指数函数引出本节课题。
二、新课讲授
问题1 某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。
1 列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；
2 用图象表示1个细胞分裂次数n与得到细胞个数y之间的关系；
3 写出y与n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）
问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q近似的满足其中是臭氧的初始量，t是时间（年）。这里设=1
（1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。
解 （1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q分别是：
（2）图象是一些孤立的点
（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少
小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于， ()我们可以用更一般的式子来表示，用a取代2（a＞0），用x取代n（）则上式可以表示为（a＞0，a≠1，）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。
特别指出的是有如下特点：
a) x是自变量，定义域是正整数集，x 在指数上。
b) 规定底数大于0且不等于1。
c) 图象是一些孤立的点，并且当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减函数。
在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。
例 某地现有森林面积是1000，每年增长5%，经过x（）年，森林面积为y，写出x，y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积是多少？（例题）
学生练习
小结 再次强调正整数指数函数的特点（图象，表达式，a的范围）
作业(共19张PPT)
循环结构的定义：
在一些算法中，从某处开始，按照一定条件，反复执行
某一处理步骤的情况，这就是循环结构。
反复执行的处理步骤称为循环体。
两种循环结构有什么差别？
A
P
成立
不成立
While（当型）循环
成立
A
P
不成立
Until（直到型）循环
成立
A
P
不成立
A
P
成立
不成立
While（当型）循环
Until（直到型）循环
两种循环结构有什么差别？
先执行循环体，然后再检查条件是否成立，如果不成立就重复执行循环体，直到条件成立退出循环。
先判断指定的条件是否为真，若条件为真，执行循环条件，条件为假时退出循环。
先执行 后判断
先判断 后执行
循环结构
A
P
成立
不成立
While（当型）循环
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。
成立
A
P
不成立
Until（直到型）循环
两种循环语句：
WHILE 条件
循环体
WEND
（1）WHILE语句的一般格式：
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如
果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然
后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，
这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，
计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执
行WEND之后的语句.
也叫“前测试型”循环
循环体
满足条件？
是
否
While（当型）循环
例-1、根据下图中的程序框图，编写计算机程序来计算1+2+…+100的值
i<=100
i=1
开始
输出sum
结束
否
是
sum=0
i=i+1
sum=sum+i
i=1
sum=0
WHILE i<=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
程序：
Until（直到型）循环
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
（2）UNTIL语句的一般格式：
也叫“后测试型”循环
循环体
满足条件？
是
否
思考1：参照直到型循环结构，说说计算机是按怎样
的顺序执行UNTIL语句的？
思考2：用UNTIL语句编写计算机程序，来计算
1+2+…+100的值.
思考2：用UNTIL语句编写计算机程序，来计算
1+2+…+100的值.
i=1
sum=0
DO
sum=sum+i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT sum
END
i=1
开始
结束
sum=0
输出sum
i=i+1
sum=sum+1
i>100
否
是
程序框图：
程序：
开始
Flag=1
n>2
d=2
输入n
d<=n-1且
flag=1
N不是质数
n是质数
d整除n
Flag=0
Flag=1
结束
d=d+1
是
是
是
否
否
是
否
否
（1）
（2）
否
思考3：图1.1-2，用按照算法执行的顺序，把程序框图中的内容转化为相应的程序语句。
分析:当n=7和n=8时的情况
INPUT “n=”;n
flag=1
IF n>2 THEN
d=2
WHILE d<=n-1 AND flag=1
IF n MOD d=0 THEN
flag=0
ELSE
d=d+1
END IF
WEND
END IF
IF flag=1 THEN
PRINT n;"是质数."
ELSE
PRINT n;"不是质数."
END IF
END
例-1.编写程序，计算函数f(x)=x3+3x2-24x+30,连续输入11个值,求对应的函数值。
n=1
WHILE n<=11
Input x
y=x^3 +3*x^2-24*x+30
PRINT "y=";y
n=n+1
WEND
END
例题分析
n=1
DO
Input x
y=x^3 +3*x^2-24*x+30
PRINT "y=";y
n=n+1
LOOP until n>11
END
例2.根据你画出的用二
分法求方程x2-2=0的
近似根的程序框图，
写出相应的程序语句。
开始
x1=1,x2=2
c=0.005
输出x
f(x1)f(x)<0
否
是
x1=x
x2=x
|x1-x2|是
否
结束
f(x)=0
否
是
Input “a,b,d=“;a,b,d
DO
m=(a+b)/2
g=a^2-2
f=m^2-2
IF g*f<0 THEN
b=m
ELSE
a=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)PRINT "方程的近似根为："；m
END
练习 P23
1.编写一个程序，输入正整数n，计算它的
阶乘n!(n!=n*(n-1)*…*3*2*1)
t=1
i=1
INPUT "请输入n的值："；n
DO
t=t*i
i=i+1
LOOP UNTIL i>n
PRINT "这个数的阶乘为："；t
END
2.编程求:
1!+2!+3!+4!+……+10!
S=0
i=1
While i<=10
j=1
t=1
while j<=i
t=t*j
j=j+1
wend
s=s+t
i=i+1
Wend
Print s
End
3.某次歌手大赛有12位评委,在计算选手的平均分时需要去掉一个最高分和一个最低分,然后求平均分.写出解决该问题的程序(满分为10分).
S=0
i=1
Max=0
Min=10
Do
Input x
s=s+x
If max<=x then
Max=x
end if
If min>=x then
Min =x
end if
i=i+1
Loop until i>12
t=s-max-min
V=t/10
Print v
end
4.若三位数 满足
则称它为”水仙花数”;试编程求出所有的”水仙花数”.
小 结
WHILE 条件
循环体
WEND
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
两种循环语句：
循环体
满足条件？
是
否
（1） While（当型）循环
（2）Until（直到型）循环
循环体
满足条件？
是
否(共8张PPT)
§4.9 函数 的图象
（一）
我们的目标
1、掌握函数图象的平移、对称和伸缩变换的规律
2、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅变换的规律
一、平移变换
二、对称变换
例题1
三、伸缩变换
例题2
三、伸缩变换
例题1
返回
例题2
返回(共8张PPT)
§4.3 任意角的三角函数 （三）PAGE
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一选择题：
1．三个平面能把空间分成（ ）个部分
A．4,5,6,8 B．5,6,7,8
C．4,6,7,8 D．4,5,7,8
2．下列四个命题中的真命题是 （ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点的直线都可以用方程表示
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判定
4．已知，，点在线段上，且，则到直线的距离为 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，，在轴上取一点使最大，则点的坐标是
（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各图是正方体或四面体，、、、分别是所在棱的中点，四个点不共面的一个图形是 （ ）
A B C D
7．A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是 （ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．两圆和的位置关系是 （ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.内含
9．如图：三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为（ ）的组合体
A．圆柱和圆锥 B．立方体和圆锥
C．正四棱柱和圆锥 D．正方形和圆
10．圆锥的全面积是5π，侧面展开图的圆心角是90，则圆锥的体积是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知平行于直线，且和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
12．6．设、、为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（ ）.
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则.
⑤
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二填空题：
13. 长方体ABCD- A B CD中，过A的三条棱长之和为10，长方体的表面积为36，则其体对角线为
14. 已知直线过直线和的交点且与垂直，则直线的方程是 .
15. 设圆,是圆外一点,过引圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为_________________________________
16. 若圆有且仅有两个点到直线的距离为1,则圆的半径的取值范围是_______________
三解答题：
17. 如图：边长为1的正方形ABCD中，BD线段和BD弧（以A为圆心，以AB为半径的弧）分正方形内部为三部分，以AB直线为轴旋转一周，
（1）求三部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 所形成的几何体的体积之比
（2）求Ⅱ旋转所成几何体的表面积
18. 已知直线过点，并与直线和分别交于点、，若线段被点平分，求直线的方程
19. 自点射出的光线射到轴上被轴反射,反射光线所在的直线与圆相切,求直线的方程.
20. (1)求经过两圆和的交点及点的圆的方程.
(2)求经过两圆和的交点,并且圆心在直线
上的圆的方程.
21. 如图：棱长为1的正方体ABCD-A B CD中，E、F分别是BB、CD的中点，
（1） 证明：
（2） 如果规定异面直线所成的角为它们平移为相交直线所成的角，求AE和DF所成的角
（3） 证明：平面AED平面AFD
（4） 设A A=2，求三棱锥F- AED的体积
22. 已知圆,圆的圆心在轴上且与圆外切,圆与轴交于两点,点为.
(1)若点的坐标为,求的正切值;
(2)当点在轴上运动时,求的最大值;
(3)在轴上是否存在定点,当圆在轴上运动时, 是定值 如果存在,求出点 的坐标;如果不存在,说明理由.
PAGE
5(共13张PPT)
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数量积
a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
运算律：
1．
2．
3．
平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共
线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数
， 使 ．
平面向量数量积的坐标表示
用 计算 ，并观察 与 、 的坐标的关系：
① =(1,1), =(2,0)
② =(1, ), =( ,1)
、
思考：
已知 =(x1,y1)， =(x2,y2) ， 怎样用 、
的坐标表示呢？
① _____ ② ______
③ ______ ④ _____
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1
1
0
0
能否推导出 的坐标公式
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
平面向量数量积的坐标表示
证明：
5.7 平面向量数量积的坐标表示
（1）设a =（x，y），则 或|a |= .
性质
若设 、 则
即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
【例1】设 ，求 及 、 的夹角.
、
C(a,b)
P０（x0,y0)
P(x,y)
l
O
X
Y
【例2 】 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,求与圆Ｃ相切于点Ｐ０（x0,y0)的切线方程．
http://zlb./xiangliang.doc
例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，
求直线l1和l2的夹角．
解：
在l1上任取两点Ａ（０，３）Ｂ（４，０）
设 m ＝ ＡＢ ＝（４，－３）
在l2上任取两点C（０，28）D（４，０）
设n＝CD＝（４，－28）
设m与n的夹角为　，
则
所以，直线l1和l2的夹角为４５０
例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角．
平面向量数量积的坐标表示
【引申】
方向向量：与直线l共线的向量称为直线l的方向向量。
例如例3中的 为直线l1的方向向量。
【思考】
①一条直线的方向向量有多少个，你能再写出几个直线l1的方向向量吗？
②给定斜率为k的直线，你能写出它的方向向量吗？
4．总结提炼
　　（1）用坐标表示的数量积公式对问题带来了极大的方便，例如常用来计算两向量的夹角.
　　（2）平面向量在解析几何中有广泛的应用，例如垂直问题，可用两向量垂直来解决，并注意在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。
　　（3）注意单位向量和方向向量两个概念。
5.7 平面向量数量积的坐标表示
5.7 平面向量数量积的坐标表示
例2．已知 ， ， ，求证 是直角三角形.
证明：∵
∴
是直角三角形.
5.7 平面向量数量积的坐标表示
例3．求 与向量的夹角为 的单位向量．
解：设所求向量为
∵ a 与b 成 ∴
∴ ……①
另一方面
又 ……②
联立解之： ，
或 ，
5.7 平面向量数量积的坐标表示
练习：
（3）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
（1）已知a=(2,3) ，b=(-1,4) ，c=(5,6) ，
　求 和 ．
（2）已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求证
是直角三角形.§2 集合间的基本关系
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2. 过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想 ．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.学法与教学用具
1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.
2.教学用具：投影仪.
四.教学过程
(一)创设情景，揭示课题
问题l：实数有相等.大小关系，如5<7，2≤2等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探. （宣布课题）
(二)研探新知
1. 子集
问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？
(1) ；
(2) ={西安中学高一(1)班女生}，={西安中学高一(1)班学生}；
(3) ,
组织学生充分讨论.交流，使学生发现：
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。
综合归纳给出定义：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.
记作：
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
举例：如， 则
思考：包含关系与属于关系定义有什么区别 试结合实例作出解释. {1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}}
温馨提示：
（1）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
（2）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
（3）若，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。
非子集关系的反例：(1) A={1,3,5} B={2,4,6}
(2) C={x|x≥9} D={x|x≤3} 可用数轴直观表示
(3) E={ x|x≥9} F={ x|x≤12}
当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，分别记作： (或)
2. 集合的相等
引入时举例：
由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.
问题3：与实数中的结论“”相类比，在集合中，你能得出什么结论
教师引导学生通过类比，思考得出结论: .
3. 真子集
问题4：A={小于7的正整数} B={1，2，3，4，5，6，} C={}1，3，5}
显然，，又发现B=A ，C≠A ，如何确切表明C与A的特殊关系？
文 字 语 言对于两个集合A与B，如果，就说集合A是集合B的真子集（proper subset） 符 号 语 言若,但存在元素x,则A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）
教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。
图1 图2
问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
做练习4，并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。
思考：
(1) 对于集合A，B，C,如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系 如果真包含呢？
(2) 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别
(3) 空集是任何集合的子集吗 空集是任何集合的真子集吗
(4) 0，{0}与三者之间有什么关系
(三)巩固深化，发展思维
1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2（与书上有变动） 分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集.
，{1}, {1,2}, {1,2,3}
集 合 子 集 子集个数 真子集个数
1 0
{1} ,{1} 2 1
{1,2} ,{1},{2},{1,2} 4 3
{1,2,3} ,{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3} 8 7
推广归纳：有限集 的子集个数，真子集个数，非空
子集个数，非空真子集个数。
2. 练习第5题
(四)归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些.
1.
也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。
2. 性质结论：
（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
(2) 空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
空集是任何非空集合的真子集。
(3) 欲证，只须证且都成立即可。
（4 对于集合A、B、C，若AB，BC,则AC. 若AB,BC,则AC.
(五)布置作业
基础题：
第9页习题1-2 A组2，4，5题. B组第1题.
思考题：
1. (06年上海理)已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．
2. 已知集合,≥，且满足，求实数的取值范围。
A（B）
B(共18张PPT)
向量的加法
(1)三角形法则
一、复习引入
(2)平行四边形法则
二、讲授新课
1、相反向量
2、向量的减法
求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
向量减法是向量加法的逆运算.
D
A
B
B1
O
A
B
O
（向量减法的三角形法则）
B
b
例4.已知：向量a、b、c如图所示，求作向量a-b+c.
a
b
A
a-b
c
O
a
c
C
D
a-b+c
a
b
A
B
C
D
试一试：如图：平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,用a,b表示向量AC,DB。
解：由作向量和的平行四边形法则，得AC=a+b;由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.
例5 已知|a|=6，|b|=8，且|a+b|=|a-b|，
求|a-b|.
变式 已知|a|=2，|a+b|=|a-b|=3，
求|b|.
巩固练习：
2.已知：向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
a
b
c
d
a
b
c
d
O
A
B
D
C
∴BA =a-b
DC =c-d
3、填空：
三、参考例题
A
C
D
B
E
F
O
A
B
C
向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的；
熟练地掌握用三角形法则作出两向量的差向量；
能结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。
四、小结
五、作业：
习题2-2 A4，B4
若为△ABC内一点O， ，则O是△ABC 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
D(共16张PPT)
弧度制
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
　　若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？
若弧是一个整圆呢？
　　　这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一
个与半径大小无关的定值．
角度制与弧度制的换算
　　用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角
以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度
量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
　　若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是　　，而在角度制里它是　　，　
因此　　　　　　　．
把　　　　化成弧度．
例1
解：∵
∴
　　角度制与弧度制互化时要抓住　　　　
弧度这个关键．
把　　　　化成度．
例2
解：
角度





弧度






写出一些特殊角的弧度数
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；
的大小，而　　是圆的　　　所对的圆心角（或该弧）
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一
个与半径大小无关的定值．
例3
计算：
（1）　　　；（2）　　　．
解：（1）∵ 　　 　∴
（2）∵
∴
（1）　　　；（2）　　　；（3）　　　．
1．把下列各角化成　　　　　　　　　　　　的形式：
练习
1、角度制与弧度制：一一对应：
2、求弧长：
3、求扇形的面积：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
2．求图中公路弯道处弧　　的长
（精确到　　，图中长度单位：　）．
　（2）已知扇形的周长为　　，面积为　　　，求扇形的中心角的弧度数．
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（　　）．
A．
与
与
与
与
B．
C．
D．
小结
（1）　　　　　弧度；
将 乘以 ；
（ 2）“角化弧”时，将　乘以　　；“弧化角”时，
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
（其中 为圆心角 所
（3）弧长公式：
扇形面积公式：(共22张PPT)
2.3.1 变量间的相关关系
在学校，老师经常对学生这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系。这种说法有没有依据呢？
思考
凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就是主要考虑这两者之间的相关关系。
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题。例如：
1〉商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系，但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关。
在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。
2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。
应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律”。但是，不管你经验多么丰富如果只凭经验办事，还是很容易出错的。因此，在分析两个变量之间的关系时，我们还需要有一些有说服力的方法。
自变量取值一定时,因变量的取
值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
变量间相关关系的概念:
相同点:两者均是指两个变量间的关系.
不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种
非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关
系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系.
②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关
系,也可能是伴随关系.
相关关系与函数关系的异同点:
请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢
两个变量间的函数关系.
1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是 .
①正方形的边长与面积的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故发生之间的关系.
②③④
即学即练:
2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（　）
A．角度和它的余弦值
B. 正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和
D. 人的年龄和身高
D
.
年龄
脂肪
23
9.5
27
17.8
39
21.2
41
25.9
45
49
27.5
26.3
50
28.2
53
29.6
54
30.2
56
31.4
57
30.8
年龄
脂肪
58
33.5
60
35.2
61
34.6
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？
探究
散点图：
将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。
如下图：
O
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
5
10
15
20
25
30
35
40
由散点图支持了我们从数据表中得出如下结论：
a. 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用 该函数来描述变量之间的关系。
b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。
c.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。
作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关.
注：可考虑让学生思考书P86的思考.
O
例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：
A B C D E
数学 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
数学成绩
解：
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
解: (1)散点图
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
温度
热饮杯数
从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康。但是除了吸烟之外还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是由很多因素共同作用的结果，我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，吸烟与健康是一种相关关系，所以吸烟不一定引起健康问题。
　　有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？
但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的。
练习：
从已经掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅又使婴儿出生率高的第三个因素（例如独特的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此 “天鹅能够带来孩子”的结论不可靠。
　　某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低。于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？
而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行。相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同。
练习：
在寻找变量之间相关关系的过程中，统计同样发挥着非常重要的作用。因为上面提到的这种关系，并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性。这就需要通过收集大量的数据（有时通过调查，有时通过实验），在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，才能对他们之间的关系作出判断。
小结高2010级数学必修（一）《集合》检测题
一 选择题 （每小题5分，共50分）
1、集合{1，2，3}的子集总共有（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 6个 D. 5个
2、已知P={平行四边形}，Q ={梯形}；P∩Q与P∪Q则分别为（ ）。
A．{梯形}；{平行四边形} B．{平行四边形}；{梯形}
C．φ；{平行四边形或梯形} D．φ；{平行四边形且梯形}
3、如果全集U＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝（ ）。A. φ B. {d } C. {a，c} D. {b，e}
4、设集合M＝{(x，y)|y＝x2+x}，N＝{(x，y)|y=x＋16}，则M∩N＝（ ）。
A. (4，16) 和 (-4，12) B. {4，20，-4，12}
C. {(4，12) ，(-4，20)} D. {(4，20)，(-4，12)}
5、非零实数a、b、c构成数的集合D内的元素个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1A ( http: / / www. / wxc / ) －3≤m≤4 B ( http: / / www. / wxc / ) －37、定义集合A*B={x | x= a + b ,a∈A ,b∈B}，若A={1,3},B={3,5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．16 B ．7 C ．8 D．4
8、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. (M∩P)∩S B. (M∩P)∪S
C. (M∩P)∩ D. (M∩P)∪
9、设φ，M={x |x是A的子集}，P={x |x是B的子集}，则（ ）
A. M∩P=φ B. M∩P={φ} C. MP=AB D. MPAB
10、设集合M={x |x=4n+1，n∈Z}, P={y |y=4n—3，n∈Z}，则有（ ）。
(A) M=P　 　(B)　 MP　 (C) PM　 (D)不能确定
二 填空题 （每小题4分，共16分）
11、若U=，A={x∈| x﹥2}用列举法表示 。
12、设集合A={2,4},则满足A∪B={2,4,6}的集合B的个数是 。
13、含三个实数的集合{,,1},也可以表示为{,,0 }，= 。
14、如图，I设是全集，非空集合P，Q满足PQI若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集φ，则这个集合运算表达式可以是 。
三 解答题 （本题共34分）
15、（本题共7分）设全集 ，若={x|3ax+6=0}，求由实数 组成的集合．
16、（本题共9分）设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又AB={9},求实数m的值.
17、（本题共9分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
18、（本题共9分）有54名同学，其中会打篮球36人，会打排球的人数比会打篮球的人多4人，另外这两种球都不会打的人数是都会打的人数的还少1 问既会打篮球，又会打排球的人有多少个？
高2010级数学必修（一）《集合》检测答题纸
一 、选择题 （每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二 、填空题 （每小题4分，共16分）
11、______________ 12、_______________
13、_______________ 14、_______________
三 、解答题 （本题共34分）
15、（本题共7分）
16、（本题共9分）
17、（本题共9分）
18、（本题共9分）
高2010级数学必修（一）《集合》检测题
参考答案
一． B C A D C D C C B A
二．11.{1,2} 12. 4 13. -1 14.只要结果为空集且合题意都对
三．15.解：由题意可得：S={3，5} （1ˊ）
∵={x|3ax+6=0} ∴AS （1ˊ）
∴A=φ或A={3} 或A={5} （各1ˊ）
∴a=0或a= 或a= （1ˊ）
∴a组成的集合为{0， ， } （ 1ˊ）
16．解：∵AB={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}， （ 2ˊ）
∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与AB={9}矛盾； （ 2ˊ）
若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； （ 2ˊ）
若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足AB={9} （ 2ˊ）
.∴m=-3． （ 1ˊ）
17．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} （ 2ˊ）
当B=φ时，△=m2-8<0 ∴ （ 2ˊ）
当B={1}或{2}时，，m无解 （ 2ˊ）
当B={1，2}时， ∴ m=3 （ 2ˊ）
综上所述，m=3或 （ 1ˊ）
18．解：设54名同学组成的集合为U，会打篮球的同学的集合为A，会打排球的同学的集合为B，这两种球都会打的同学的集合为X，设X的元素的个数为为x ,画出韦恩图所示得
得x= 28
所以，既会打篮球又会打排球的的同学有28人
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新课标高一上学期12月月考
数 学 试 题
（范围：必修2的第一章（立体几何初步））
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔
涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案。
3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
圆台的侧面积：；
台体的体积：.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．异面直线是指 （ ）
A．空间中两条不相交的直线
B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体，其三
视图如图所示，则这个组合体的上下两部分分别是（ ）
A．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
B．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
D．上部是一个四棱锥，下部是一个圆锥
3．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线 （ ）
A．只有一条 B．有无数条 C．所有直线 D．不存在
4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个
5．正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．有一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体应是一
个 （ ）
A．棱台 B．棱锥
C．棱柱 D．都不对
7．已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若
B．若
C．若
D．若
8．已知直线m⊥平面α，直线平面β，下列说法正确的有 （ ）
①若 ②若，则m//n
③若m//n，则 ④若
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一个正方体的所有棱长都为2，其顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．12 B．8 C．4 D．
10．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如下图，
A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子
中，∠ABC的度数是 （ ）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
11．如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C对面的字母分别为 （ ）
A．D ,E ,F
B．F ,D ,E
C．E, F ,D
D．E, D,F
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生
画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，
如右图所示，则 （ ）
A．以上四个图形都是正确的。　
B．只有（２）（４）是正确的；
C．只有（４）是错误的；　
D．只有（１）（２）是正确的。
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在题中横线上.
13．.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
图（2）中的三视图表示的实物为_____________
14．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形
A′B′O′(如下图)，若O′B′=1，那么原△ABO的面积
是 ；
15．如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是____________.
16．如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水，
水面的高为.如果将容器倒置，这时容器里的水所形
成的圆锥（如图②）的高为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
请你找出三个在平面几何中成立的结论，但它们在立体几何中都不成立.
18．（本小题满分12分）
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是BC、CD、CC1的中点.
（1）求证：B1D1//面EFG；
（2）求证：面EFG⊥AA1C1C.
19．（本小题满分12分）
降水量是指水平地面上单位面积的降雨量的深度. 用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量。
（1）求该水桶的侧面面积；
（2）如果在一次降雨过程中，由此桶盛得的雨水正好是桶深的，则此次降雨的降水量是多少？（本小题结果精确到0.1cm）
20．（本小题满分12分）
已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：CM
21．（本小题满分12分）
养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M(底面直径不变)。
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？
22．（本小题满分14分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F、M、N分别是棱B1C1、C1D1、D1A1、A1B1的中点.
（1）求证：几何体BCD—EC1F是棱台；
（2）求几何体ABD—B1EFD1MN的体积；
（3）求证：平面AMN//平面BEFD.
参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.D 12.C
二、填空
13．（1）4 （2）圆锥 14． 15．②③ 16．
三、解答题
17．（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（3）四边相等的四边形是菱形等等 （注：每一个得4分）
18．证明（1）由正方体知B1D1//BD 又E、F分别是BC、CD的中点
∴EF//BD………………2分 ∴EF//B1D1 从而B1D1//面EFG…………5分
（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，从而AC⊥EF 又AA1⊥面ABCD
∴AA1⊥EF…………9分 ∴EF⊥面AA1C1C ∴面EFG⊥面AA1C1C…………12分
19．解：（1）依题意可知该圆台形水桶的上、
下底面的半径分别为19、12，高为35，
则其母线长为（cm） …………2分
故该圆台形水桶的侧面面积为
（cm2） …………4分
（2）设水面圆的半径为r cm ,水深为 h cm，
则 …………6分
解得r=13cm，h=5cm …………8分
于是，雨水的体积为（cm3） …………10分
故此次降雨的降水量是cm …………12分
20．解：（1）图（1）中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底为１，下底为２，高为１；棱柱的高为１。
可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，。
所以此几何体的体积 …………2分
…………6分
(2)由图可知此正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为，可求得底面边长为4。
所以 …………8分
…………12分
21．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积
如果按方案二，仓库的高变成8M，则仓库的体积
…………4分
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二，仓库的高变成8M.
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
…………10分
（3） ，
…………12分
22．（1）证明：由题意知：EC1//BC，且EC1=BC
∴BE与CC1相交，设交点为P，
∵P∈BE，BE平面BEFD，
P∈平面BEFD，…………2分
同理P∈CC1D1D，
而平面BEFD∩平面CC1D1D=DF，
∴P∈DF，从而BE、CC1DF交于一点P，又
平面EFC1//平面BDC，
所以几何体BCD—EC1F是棱台.…………4分
（2）解：三棱锥A—A1MN的体积
三棱台BCD—EC1F的体积：
因此几何体ABD—B1EFD1MN的体积
…………7分
（III）证明：连结B1D1、ME，
∵E、F、M、N分别是B1C1、C1D1、D 1A1、A 1B1的中点，
∴EF//B1D1，MN//B1D1， ∴EF//MN，
而EF平面BEFD，且MN平面BEFD，
∴MN//平面BEFD …………10分
又ME//A1B1，A1B1//AB， ∴ME//AB
即四边形ABEM是平行四边形，
∴AM//BE，
从而AM//平面BEFD …………13分
而AM平面AMN，MN平面AMN，且AM∩MN=M，
∴平面AMN//平面BEFD. …………14分
俯视图
图（2）
侧视图
正视图
=
=
=
2,4,6
2,4,6
2,4,6
C
B
A
A
D
C
E
B
C
图（1）
图（1）
图（2）
PAGE
6课 题： 2.2 指数运算的性质
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：利用指数运算性质进行化简，求值。
教学难点：指数运算性质的灵活运用
课时安排：2课时
教学过程：
一、复习巩固：
总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。
先回顾正整数指数幂的运算性质
当
其中m,n∈
实际上，当a＞0，b＞0时，对任意的m，n都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条：
二、新课讲授
学生看书67页例1
例2 化简（式中字母均为正实数）：
（1） （2）
解 （1） =
（2）
学生练习68页练习 1
例3 已知
解
学生练习68练习 2
1．思考. 已知=3，求下列各式的值: （注意：补充立方和的乘法公式）
（１）　；　（２）　；　（３）　．
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）
小结
作业
第二课时 授课类型： 巩固课
教学过程：
一、巩固练习：
回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上：
二、讲解范例：
例1计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例2计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例3化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
思考 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
解：
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂的计算。
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
2．已知：，求证：.
，
4．已知：，，求的值..
6．设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.(共15张PPT)
回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
(1)求两个正整数的最大公约数
例1. ①求30和75的最大公约数
所以，30和75的最大公
约数为15
(2)除了用这种方法外还有没有其它方法？
②求8251和6105的最大公约数
30
3
10
75
25
5
2
5
下面我们介绍用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 :用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数
结论： 8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。
第二步: 对6105和2146重复第一步的做法
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
解:225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数变为除数,较小的数变为被除数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “m,n=“;m,n
If mSwap m,n
end if
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出 m
结 束
练习:
求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
input “n=”；n
print “i=”；1
input “ai=”；a
i=1
while i<=n-1
i=i+1
print “i=”;i
input “ai=”;b
Do
r=a mod b
a=b
b=r
loop until r=0
wend
print “The max is”;a
end
设计一个称序,求已知n个正整数的最大公约数 (共18张PPT)
4 平面向量的坐标
复 习
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是平面向量的基底？
如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ1 , λ2 使得a =λ1 e1+λ2 e2.
平面向量基本定理:
不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
向量的基底:
1.向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，称为向量的正交分解，即a =λ1 e1+λ2 e2，其中基底e1，e2互相垂直，称它们为正交基.
新 课
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示
探索2:
o
x
y
P
a
a
可通过向量的平移，将向量的起点平移到坐标的原点O处.
解决方案:
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得a=x i+y j.
2.向量的坐标
把(x , y)叫做向量a的(直角)坐标, 记作:a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式,即 a=x i+y j =(x , y),其中 x、 y 叫做 a 在x 、y轴上的坐标.
(1)0=(0，0),i =(1，0)，j =(0，1)
对平面向量的坐标,应注意到:
(2)对平面内任一向量a,若向量a的起点在坐标的
原点,则终点坐标就是向量的坐标；若向量a的起
点不在坐标的原点，则其终点坐标就不再是向量
的坐标此时可通过平移向量a，使OP=a，则OP
的终点P就是向量a的坐标.
(3)若两向量相等,则两向量的坐标相同,
反之,若两向量的坐标相同,则两向量相等.
(4) 向量的表示方法有三种:几何表示法;字母表示
法;向量表示法.
例1 在平面内以点O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系。质点在平面内做直线运动。分别求下列位移向量的坐标。
(1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位；
(2)向量b表示沿西偏北600方向移动了3个长度单位；
(3)向量c表示沿东偏南300方向移动了4个长度单位。
练习：已知向量a=(x+y，x-y)，b=(6，2),若a=b，
求x，y的值。
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？
探索3：
（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .
如何计算？
3.向量线性运算的坐标表示
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
说明：
知 识 反 馈
1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标.
已知 ＝（x , y) , 点B的坐标为
（－2，1）求 的坐标.
2、已知向量 ＝（6，1），
＝（1 ,－3）， ＝（－1,－2）， 求向量 .
思考：
课时小结:
3 向量线性运算的坐标表示
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)
λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
2 向量的坐标.
则 =(x2 - x1 , y2 – y1 )
a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
1 向量的正交分解
4 向量平行的坐标表示.(共13张PPT)
§4.4 同角三角函数的基本关系式
（三）
同角三角函数的八个基本关系式的应用
1、化简
符号的确定
2、证明三角恒等式
证明方法、公式的选择
3、求值
公式的选择、符号的确定
1
|m|陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检测试题（实验班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．点P (sin2008°，tan2008°)在 ( )
A ． 第一象限 B． 第二象限 C ． 第三象限 D． 第四象限
2．已知电流i=2sinωt,电压v=3sin(ωt+),电功率P=iv,则电功率P的 最小值是 （ ）
A.3 B.6 C.-3 D.-6
3.在[-，]上，函数y=sinx的单调性和值域为 （　　）
A.增函数值域为[-1，] B.减函数值域为[-，]
C.减函数值域为[-，1] D.增函数值域为[-，]
4．若不等式对于任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，+∞） B． C． D．（－∞，－2）
5．设函数，若对任意都有成立，则的最小值为（ ）
．4 ．2 ．1 ．
6．设且，则锐角x为（　　）
A、　 B、　 　 C、　 　D、
7．对于向量和实数，下列命题中真命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
8．与向量=(6,8)共线的单位向量是 （ ）
A.(-,-) B.(0,1) C.(3,4) D.(,)
9．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A． B． C． D．
10.若、、是锐角三角形的三内角，向量，，则与夹角为( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11． 定义运算　　　　
12．函数的图象为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
13．正⊿ABC的边长为2，则 = 　　 　　　
14．已知，，与的夹角为，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是________．
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知=2，求
（1）的值； （2） 的值．
16．已知 ||＝1，||＝，
（I）若//，求； （II）若，的夹角为135°，求 |＋| ．
17．设函数（其中的图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果上的最小值为，求a的值。
18.已知向量，, 定义.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若，当时，求的取值范围.
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量向量
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积。
2．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检测答题纸（实验班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11． 12．　　 　　　
13． 　　 　 14．　　 　　　
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知=2，求
（1）的值； （2） 的值．
16．已知 ||＝1，||＝，
（I）若//，求； （II）若，的夹角为135°，求 |＋| ．
17．设函数（其中的图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果上的最小值为，求a的值。
18.已知向量，, 定义.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若，当时，求的取值范围.
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量向量
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积。
2．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
陕西省西安中学高2010级必修（4）模块评价检答案（实验班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D B B B A A A
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。
11． 　 12．__①②③_______
13．　　－２　 14．．
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
所以=；
（2）由(1)知, tanα=－,
所以==.
16．解（I）∵//，
①若，共向，则＝|| ||＝
②若，异向，则＝－|| ||＝－
（II）∵，的夹角为135°， ∴＝|| || cos135°＝－1
∴|＋|2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1
∴
17．解：（Ⅰ）
依题意
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又当
故
从而 上取最小值
因此 解得
18.解：（Ⅰ）＝
＝+
＝+
　　所以，的最小正周期　
(Ⅱ)
　　
由三角函数图象知:
的取值范围是
附加题：（每题10分，共20分，计入总分）
1．解（1）
（2）由余弦定理知：
2．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
2,4,6
2,4,6
1(共12张PPT)
复习回顾
1 你学过哪几种随机抽样方法？
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
抽签法
随机数法
2 三种抽样方法的比较
类别 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机
抽样
系统
抽样
分层
抽样
从总体中
逐个抽取
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体中的个体数较少
总体中的个体数较多
总体由差异明显的几部分组成
应用举例
例1 填空:
为了了解某地区参加数学竞赛的1005名学生的数学成绩,打算从中抽取一个容量为50的样本,现用系统抽样的方法,需要用 方法先从总体中剔除 个个体,然后按编号顺序每间隔_____个号码抽取一个.
简单随机抽样
5
20
请归纳系统抽样方法的步骤：
1 编号;
2 确定组距k;
3 在第一组用简单随机抽样方法确定第一个编号x;
4 编号为 x 、 x+k、 x+2k、…… 、x +(n-1)k作为样本.
应用举例
例2 某校小礼堂举行心理讲座,有500人参加听课,坐满小礼堂，现从中选取25名同学了解有关情况,选取怎样的抽样方式更为合适.
分析：宜采用系统抽样的方法，请写出具体的操作步骤。
2 把第一组的1～20号写成标签,用抽签的方法从中 抽出第一个号码.设这个号码为x
3 号码为 x 、 x+10、 x+20、…… 、x +490作为样本
1 把500人的座位号按从小到大的顺序平均分成25组, 组距为20
应用举例
例3 某科研单位有科研人员160人,其中具有高级以上职称的24人,中级职称48人,其余均为初级以下职称,现要抽取一个容量为20的样本,试确定抽样方法,并写出抽样过程.
宜采用分层抽样的抽取方法
（1）按总体与样本容量确定抽取的比例。
（2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。
（4）对于不能取整的数，求其近似值。
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
每个个体在整个抽样过程中被抽取的机会是否相等？
思考
分析：
注意:
1 、分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情
况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样。
2 、分层抽样中分多少层，要视具体情况而定。总的原
则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地
大，否则将失去分层的意义。
练 习
1. 某公司在甲乙丙丁各地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点中抽取7个调查其销售收入售后服务等情况，记这项调查为②，则完成这两项调查采用的方法依次是（ ）
A.分层抽样，系统抽样 B.分层抽样，简单随机抽样
C.系统抽样，分层抽样 D.简单随机抽样，分层抽样
B
练 习
2. 南京市的某3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现在要用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，写出据体的抽样方法与操作步骤。
小 结
1 抽样时如何能保证抽取的样本代表性？
2 简单随机抽样是最基本的抽样方法，其它的抽样方法要用到简单随机抽样(共9张PPT)
高一数学（新教材）第一册
正弦函数、余弦 函数的图像
清华附中
张 苏
单摆小球的运动
弹簧振子的运动
它们有什么共同的特点吗？
动画
动画
钱塘潮汐现象
鸟类翅膀振动曲线
2 正弦曲线
0
y
x
p
M
（1）正弦线
动画
动画
（1）列表
练习：用五点法作出下列函数的简图.
4 余弦函数的图像
余弦函数的图像
动画
叫做余弦曲线.
（1）列表
练习：用五点法作下列函数的简图
例1 利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合：陕西省西安中学数学必修（2）模块补考试题
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．过两点、的直线的斜率是（ ）
A．—2 B. C. 3 D.
2．直线在X、Y 轴上的截距分别是（ ）
A. 4，5 B. 4，—5 C. —4，5 D. —4，—5
3．圆的圆心为（ ）
Ａ.（2，3） Ｂ.（-2，3）　 Ｃ.（2，-3） Ｄ.（-2，-3）
4．已知直线与直线互相垂直，则实数a的值是（ ）
A．2 B．2或0 C．－1或3 D．1或0
5．已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若a‖，，则a‖b B.若a‖，b‖，则a‖b
C.若a‖b，，则a‖ D.若a‖b，a‖，则或b‖
6．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ ）
A 共面 B平行 C异面 D平行或异面
7．棱长为2的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为（ ）
A B C D
8．以下说法正确的是（ ）
A 平行于同一直线的两个平面互相平行；
B 垂直于同一直线的两个平面互相平行；
C 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；
D 过两条异面直线中的一条直线必有一个平面与另一条直线垂直；
9．一个球的表面积增为原来的100倍，那么体积变为原来的 （ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．倍
10．右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11．两条平行线与之间的距离是 .
12．斜率不存在的直线必垂直于 轴.
13．过点A(1,2),且平行于直线的直线的方程是 .
14．体积相等的正方体、等边圆柱(底面直径与高相等的圆柱)和球中，表面积最小的是 .
三、解答题：共2题，每题15分，共30分。
15．已知三条直线： ： ：两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
16． 如图，在中，，Ｐ为所在平面外一点，
（１）求证： ；
（２）若Ａ在ＰＢ、ＰＣ上的射影分别为Ｅ、Ｆ，求证：.
陕西省西安中学数学必修（2）模块补考答题纸
　考号： 班级：　　　　　　姓名：
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11． . 12． .
13． . 14． .
三、解答题：本大题共2题，每题15分，共30分。
15．已知三条直线： ： ：两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
16． 如图，在中，，Ｐ为所在平面外一点，
（１）求证： ；
（２）若Ａ在ＰＢ、ＰＣ上的射影分别为Ｅ、Ｆ，
求证：.
陕西省西安中学数学必修（2）模块补考答案
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D D C B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11． 1 . 12． X轴 13． 14．正方体
三、解答题：本大题共2题，每题15分，共30分。
15．解：如图：通过计算斜率可得L1L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆
解方程组 得所以点A的坐标（-2，-1）
解方程组 得所以点B的坐标（1，-1）
线段AB的中点坐标是，又
所以圆的方程是
16． 证明：（１）∵ ，，
∴ ，又，，
而 ∴ ，又
∴ .
（２）∵ Ａ在ＰＢ上的射影为Ｅ， ∴ . 由（１），故. 又， ∴ ∵ Ａ在ＰＣ上的射影为F，，而，∴
B
C
P
A
B
C
P
A
A
B
C
P
1(共29张PPT)
2.2.1用样本的频率分布
估计总体分布
目标导学
1、通过实例体会分布的意义和作用。学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。
2、会解决一些简单的实际问题。
主体自学
看书： P67~68
统计的基本思想方法：
用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况.
统计的核心问题：
如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断. 这里包括两类问题：
一类是如何从总体中抽取样本
另一类是如何根据对样本的整理、计算、分析,　对总体的情况作出推断.
用样本的有关情况去估计总体的相应情况,
这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分
布估计总体分布，一类是用样本的某种数字特
征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应
数字特征。
整体介绍：
　将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数。
　频率：每组数据的个数除以全体数据个数的商叫做该组的频率。
根据随机抽取样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫做样本的频率分布。
说明：样本频率分布与总体频率分布　　有什么关系？
通过样本的频数分布、频率分布可以
估计总体的频率分布.
如何用样本的频率分布
估计总体分布？
我国是世界上严重缺水的国家之一，
城市缺水问题较为突出。
2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市
例１：某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费。
①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那 么标准a定为多少比较合理呢？
②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做
哪些工作？
思考：由上表，大家可以得到什么信息？
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用 水量(单位：t) ，如下表：
1.求极差：
步骤：
频率分布直方图
2.决定组距与组数：
组数=
4.3 - 0.2 = 4.1
4.1
0.5
= 8.2
组距
极差
=
3.将数据分组
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表
100位居民月平均用水量的频率分布表
频率/组距
月平均用水量/t
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
5.画频率分布直方图
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断。分别以1和0.1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象。
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差
二、决定组距与组数 ：组距=极差/组数
三、分组,通常对组内数值所在区间，
　　取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间
四、登记频数,计算频率,列出频率分布表
画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的步骤进行:
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
练 习
1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5）的百分比是多少
解:组距为3
分组 频数 频率 频率/ 组距
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
0.020
0.053
0.060
0.073
0.067
0.033
0.027
频率分布直方图如下：
频率
组距
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
12.5
15.5
0.060
0.070
例2、为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的100株的底部周长，得到如下数据表（长度单位：cm）:
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)编制频率分布表；（2)绘制频率分布直方图；
（3）估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木 约占多　　　　　　　　　　　　　　　少，周长不小于120cm的树木约占多少。
解：
（1）从表中可以看出：
这组数据的最大值为135，最小值为80，
故极差为55，
可将其分为11组，组距为5。
从第1组[80，85）开始，
将各组的频数、频率和　频率/组距 填入表中
80
85
90
95
135
110
115
120
125
130
100
105
例2、对某电子元件进行寿命跟踪调查，情况如下：
1）、列出频率分布表
2）、估计电子元件寿命在100h~400h以内的频率
3）、估计电子元件寿命在400h以上频率
课堂练习：
1、为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本， 检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件．
(1) 列出样本的频率分布表；
(2)根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率约是多少．
解：
（1）样本的频率分布表为：
0.13
4
次品
0.43
13
三级品
0.27
8
二级品
0.17
5
一级品
频率
频数
产品
(2)此种产品为二级品或三级品的概率约为0.27＋0.43＝0.7．
2.有一个容量为50的样本，数据的分组及其频数如下所示,　请将其制成频率直方图．
频率分布表如下：
分组
频率
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
3
8
9
11
10
[50，55）
[55，60]
5
4



























合计
50
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
1.00
频数
3.已知样本10, 8, 6, 10, 8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,
11,12,9,10,11,11, 那么频率为0.2范围的是 ( )
A. 5.5~7.5 B. 7.5~9.5 C. 9.5~11.5 D. 11.5~13.5
分组 频数 频率 频数累计
5.5~7.5 2 0.1 2
7.5~9.5 6 0.3 8
9.5~11.5 8 0.4 16
11.5~13.5 4 0.2 20
合计 20 1.0
D
4.一个容量为100的样本,数据的分组和各组的相关信息如下表,试完成表中每一行的两个空格.
分组 频数 频率 频率累计
[12,15) 6
[15,18) 0.08
[18,21) 0.30
[21,24) 21
[24,27) 0.69
[27,30) 16
[30,33) 0.10
[33,36] 1.00
合计 100 1.00
课堂小结
编制频率分布直方图的步骤:
①找最大值与最小值。
②决定组距与组数
③决定分点
④登记频数，计算频率，列表，画直方图
说明:(1)确定分点时,使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微再小一点.
例：已知一个样本，填写下面的频率分布表
　7.0 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.0 7.3 7.5 7.4
　7.3 7.1 7.0 6.9 6.7 7.1 7.2 7.0 6.9 7.1
　分　　组 　频数累计 　频数 　频率
　６.55～6.75
　6.75～6.95
　6.95～7.15
　7.15～7.35
　7.35～7.55
　合　　计
小结：
思考 ：
如果当地政府希望使 85% 以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表和频率分布直方图，你能对制定月用水量标准提出建议吗？
频率分布直方图
应用
步骤
1.求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·转载必究·
新课标高一上学期期末考试
数 学 试 题
（范围：必修1与必修2（侧重必修2,但不包括圆的方程））
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写
在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A、B为数轴上的两点，A点坐标是－2，AB=5，那么B点坐标是 （ ）
A．3 B．－7 C．3或－7 D．－3或7
2．直线互相垂直，则a的值是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．下列四个命题中真命题是 （ ）
A．经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；
B．经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；
C．不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示.
5．点在第一象限内，则直线不经过的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．函数，若，则x的值是 （ ）
A． B．± C．1 D．或1
7．若a、b、c的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线a、b和平面，下列命题中错误的是 （ ）
A．若 B．若
C．若 D．若
9．如果某林区森林蓄积量每年平均比上年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则
函数的图象大致为 （ ）
10．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是（ ）
A． B． C．1：1 D．
11．已知函数上为偶函数，当时，的解集是
（ ）
A．（－1，0） B．（－1，1）
C．（0，1） D．（，1）∪（1，+）
12．设是AB的中点，当A、B分别在平面内运动时，那么所有动点C （ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条平行直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．已知幂函数的图象经过点，则 .
14．光线从点M（3，－2）射到y轴上一点P（0，1）后，被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为 .
15．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为 .
16．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设全集U=R，集合
（1）求；
（2）求（）.
18．（本小题满分12分）
已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，M、N分别为BB1、A1C1的中点.
（1）求证：AB⊥CB1；
（2）求证：MN//平面ABC1.
20．（本题满分12分）
根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天）的关系如图Ⅰ所示，日销量Q（件）与时间t（天）之间的关系如下表所示.
（1）根据图Ⅰ，写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系（图Ⅱ）中，根据表中提供的数据描出实数对（t,Q）的对应点，并确定日销量Q的时间与t的一个函数关系式；
（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）
21．（本小题满分12分）
如图，在正三棱锥S—ABC中，E、F分别是侧棱SA、SB的中点，且平面CEF⊥平面SAB.
（1）若G为EF的中点，求证：CG⊥平面SAB；
（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.
22．（本小题满分14分）
定度在[－1，1]上的奇函数，当
（1）求在[－1，1]上解析式；
（2）判断在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（3）当时，关于x的方程有解，试求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每步题5分，共60分.
1．A 2．A 3．D 4．B 5．.C 6．A 7．C 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分.
13．3 14． 15． 16．2+4
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：要使有意义，须，
即，
解得 ………………2分
由， ………………4分
即.
（1）
………………8分
（2） ………………10分
………………12分
18．（本小题满分12）
解：（1）由直线方程的点斜式，得
整理，得所求直线方程为
………………4分
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为
………………6分
由点到直线的距离公式，得
………………8分
即
解得c=1或c=－29， ………………10分
故所求直线方程 ………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB1C 1C ………………3分
∵CB1平面BB1C1C，
∴AB⊥CB1. ………………5分
（2）证法一
取AA1的中点E，连NE、ME，………………6分
∵在△AA1C 1中，N、E是中点，
∴NE//AC
又∵M、E分别是BB1、AA1的中点，
∴ME//BA，………………8分
又∵AB∩AC1=A，
∴平面MNE//平面ABC1，………………10分
而MN平面MNE，
∴MN//ABC1.………………12分
证法二
取AC1的中点F，连BF、NF………………7分
在△AA1C1中，N、F是中点，
∴NFAA1，
又∵BMAA1，
∴EFBM，………………8分
故四边形BMNF是平行四边形，
∴MN//BF，………………10分
而EF面ABC1，MN平面ABC1，
∴MN//面ABC1.………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）根据图象，每件销售价格P与时间t的函数关系为：
………………3分
（2）描出实数是（t,Q）对应点如右图所示.………………5分
从图象发现：点（5，35），（15，25），（20，20）
（30，10）可能在同一直线上.
设它们所在直线l的解析式为Q=kt+b（k、b为常数），
将点（5，35），（30，10）代入方程得
解得
检验点（15，25），（20，20）出适合该式，
因此日销售量Q与时间t的一个关系式为…………8分
（3）设日销集金额中y（元），则
………………10分
若时，
………………12分
∴当t=5时，
若20∴y<－50×20+2000=1000,
因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元.
21．（本小题满分12分）
（1）证明：∵在正三棱椎S—ABC中，E、F分别为SA、SB的中点，
∴SE=SF，∠ESC=∠FSC，SC=SC，
∴△SEC≌∠SFC，
∵CE=CF， ………………2分
∵G为EF的中点，
∴CG⊥EF， ………………4分
又∵平面CEF⊥平面SAB，且平面CEF∩平面SAB=EF，
∴CG⊥平面SAB. ………………6分
（2）连结SG并延长交AB于D，
∵CG⊥平面SAB，SD平面SAB，
∴CG⊥SD，
又∵G为SD的中点，
∴CD=SC；………………8分
设正△ABC的边长为a，
则SA=SB=SC=CD=
∴，
， ………………10分
∴ ………………12分
22．（本小题满分14分）
解；（1）上是奇函数
………………1分
设
………………3分
………………4分
（2）设则
………………5分
………………7分
，
又
所以在（0，1）上的减函数. ………………9分
（3）当
方程化为
………………11分
，
而
………………13分
因此要使方程有解，
须 ………………14分
2,4,6
2,4,6
2,4,6
- 6 -(共5张PPT)
1、填表
正弦函数
函数 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 周期
y=sinx
y= -sinx
y=2sinx
y=sinx+3
y=3-2sinx
y=|sinx|
2、（1）y=
的定义域为___________________;
的定义域为________;
（2）
3、求下列函数的值域：
(2)y=3sin2x+4sinx+1 (3) y=3sin2x+4sinx+1
4、
在第三、第四象限，
5、直线y=
与y=sinx的图像的交点个数为_________.
补充作业2005年4月12日
1、求下列角的正弦值：
2、已知函数y= a sinx+b的最大值为1，最小
值为－3 ，求a,b的值
3．已知方程sin2x+sinx+a=0有解，求a的取值
范围.(共14张PPT)
第一步 把冰箱打开。
第二步 把水果放进冰箱。
第三步 把冰箱门关上。
问3、指出在家中烧开水的过程分几步？
问1、要把水果装入冰箱分几步？
第三步 输出方程的根或无解的信息
问2、如何求一元二次方程
解：第一步 计算
第二步 如果
则方程无解
解：第一步，②-①×2得3y=-3；③
第二步，解③得y=-1；
第三步，将y=-1代入①，解得x=4
机械的·统一的方法
2:假设家中生火泡茶有以下几个步骤：
a.生火 b.将水倒入锅中 c.找茶叶
d.洗茶壶茶碗 e.用开水冲茶
请选出一个最优算法（ ）
A.abcde B.bacde
C.cadbe D.dcabe
归纳总结:
算法的定义：
通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
算法最重要的特征：
1.有序性 2.确定性 3.有限性
例1:
已知球的半径R＝2.5，写出求球的表面积Y和体积V的一个算法。（ ）
算法分析：
第一步：输入球的半径
第二步：利用公式“球的表面积=4X圆周率×（半径的平方）”计算球的表面积；
第三步：输出球的表面积。
例2:
写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：算法如下：
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
例3:
写出求 的值的算法。
解法1：算法如下：
S1 先求 ，得到结果2；
S2 将第一步所得结果2再乘以3，得到结果6。
S3 将6再乘以4，得到24；
S4 将24再乘以5，得到120；
S9 将362880再乘以10，得到3628800，即是最后的结果。
例4
任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数作出判定。
解：算法如下：
S1 输入n。
S2 判断n是否等于2。若n＝2，则n是质数；若n>2，则执行 S3。
S3 依次从2--（n－1）检验是不是n的因数，即整除n的数。若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
例5 用二分法求解方程
求关于x的方程x2－2＝0的根，精确到0.005
算法描述
第一步 令f(x)=x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2
第二步 令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若是，则m为所求，否则，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步 若f(x1)·f(m) >0则令x1=m，否则x2=m。
第四步 判断|x1-x2|<0.005是否成立？若是则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似值；否则返回第二步。
小结：
注意算法的要求；
理解算法的几个重要特征。
练习
写出解一元二次方程的一个算法。
2.写出求1至1000的正整数中3的倍数的一个算法。
作业
设计一个计算 的值的算法。（用数学语言）第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）
教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课：
1.函数模型思想及函数概念：
①给出第一节生活中的变量关系三个实例略．
②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
　　归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：
③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？
一次函数、二次函数的定义域与值域？
⑤练习：，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值．
求值域.
例1：见课本27页例1
2.区间及写法：
① 概念：设是两个实数，且，则：
叫闭区间； 叫开区间；
； ；都叫半开半闭区间．
② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”
③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x④ 用区间表示：函数y＝的定义域 ，值域是 ． （观察法）
3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
三、巩固练习：
1. 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)
2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？
3. 课堂作业：
第二课时： 1.2.1 函数的概念（二）
教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法．
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域．
教学难点：值域求法．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域.
二、讲授新课：
1.教学函数定义域：
①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=； f(x)=； f(x)=－
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
②练习：求定义域（用区间）→
f(x)＝； f(x)＝＋
③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
2.教学函数相同的判别：
①讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？
②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
A.；； B.；
C．； 、D.；
②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。
3.教学函数值域的求法：
① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝ ；
f(x)＝
先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个
②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：；
2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)． 变：，求f(f(x))
解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求．（特殊值法）
3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 ．
4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域．
解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域
5.课堂作业：
第三课时： 2.2 函数的表示法
教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
教学难点：分段函数的表示及其图象．
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
1.教学函数的三种表示方法：
① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值．
具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表．
②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．
③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
⑤处理课本P29例2
2．教学分段函数：
①出示例3：写出函数解析式，并画出函数的图像．
邮局寄信，不超过20g重时付邮资1.2元，超过20g重而不超过40g重付邮资2.4元。超过40g重而不超过60g重付邮资3.6元。超过60g重而不超过80g重付邮资4.8元。超过80g重而不超过100g重付邮资6.00元。每封x克（0（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ）
②练习：A. 写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg．批发x千克应付的钱数（元）．
B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像．
③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例
④课本P30例4
3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段
三、巩固练习：1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值．
2.作业：P34 1、2题
第四课时：2.3 映射
教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：理解概念．
教学过程：
一、复习准备：
1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.
二、讲授新课：
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方；
，，对应法则：平方；
, , 对应法则：求正弦；
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？
举例一一映射的实例 （一对一）
2.教学例题：
① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P | P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B= ？
（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）
② 讨论：如果是从B到A呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
，对应法则；
，，；
设；
，
3. 小结：映射概念.
三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.
第五课时 函数及其表示 （练习课）
教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．
教学难点：函数记号的理解.
教学过程：
一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1. 说出下列函数的定义域与值域： ； ； .
2. 已知，求， ， .
3. 已知，作出的图象，求的值.
二、教学典型例题：
1.函数记号的理解与运用：
① 出示例1. 已知f(x)= 1 g(x)=求f[g(x)]
（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）
② 练习：已知=xx+3 求： f(x+1), f()
已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
③ 出示例2. 若,求
分析：如何理解？ 如何转化为
解法一：换元法，设，则……
解法二：配元法，，则……
解法三：代入法，将x用代入，则……
讨论：中，自变量x的取值范围？
④ 练习：若， 求.
2. 函数应用问题：
①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）.
Ⅰ.写出与x之间的函数关系式？
Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？
小结：简单函数应用模型 ）
三、巩固练习：1. 已知满足，求.
2.若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域
3.设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.为什么“算法思想”是高中数学课程的主线之一？
（1） 算法思想是贯穿高中课程的一条主线。算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。
（2） 在高中数学课程的设计中，算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其他内容中。
（3）在高中数学课程中，我们通过以下几个步骤，介绍算法的基本思想和基本知识。
用自然语言描述算法；
用框图语言描述算法；
用基本语句（伪代码）描述算法。
有条件的地方可以使用程序语言描述算法，并上机操作。
（4） 算法思想可以很好的培养学生的逻辑推理能力。给出一个算法，实际上是给出了一种实现的方法，就是一种构造型的证明或论证。在实验的过程中，算法课程学生是欢迎的，提高了学生的逻辑思维能力。并且，很容易把这样的思维习惯迁移到日常生活中，这正是数学教育所期待的。
对于算法的教学，应注意以下几点：
（1） 突出算法思想，强调解决问题的通性通法，而不去关注问题的特殊技巧。
（2）通过学生熟悉的实例和数学中的实例进行教学，即案例教学；引导学生动手实践，在做中学习、体会、理解算法的基本思想。
例如，在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格。主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答高了、低了或者正确。下面是主持人和参与者的一段对话：参与者：800元！
主持人：高了！
参与者：400元！
主持人：低了！
参与者：600元！
主持人：低了！
……
如果你是参与者，你接下来会怎么猜？
分析：
如果我们用P表示商品的价格.
由主持人的第一个判断， P在0至800元之间；
由主持人的第二个判断， P在400至800元之间；
由主持人的第三个判断， P在600至800元之间；
根据参与者的猜测，我们知道，首先参与者需要确定商品价格的范围，数学上一般可以用区间来表示，然后报出区间中点，根据主持人的判断，将价格区间缩小一半。
因此，我们知道下一步参与者要猜的数应是700元，根据主持人的判断继续报价。
实际上，我们可以把上述过程概括如下：
（1）报出首次价格；
（2）根据主持人的判断确定价格区间。
①报价小于商品价格，则继续报出较高价格，如果报出商品准确价格，游戏结束；否则，某次价格P1会大于实际价格P，从而确定商品的价格区间为(P‘,P1)，其中P‘是P1之前报出的价格;
②如果报价大于商品价格，并记报价为P1,则商品的价格区间为(0, P1);
③如果报价等于商品价格，则游戏结束。
（3）如果游戏没有结束，并设得到的价格区间为（T1,T2）报出价格区间的中点T3；
（4）根据主持人的判断确定价格区间
①如果P> T3，则商品价格区间为（T3，T2）；
②如果P< T3，则商品的价格区间为(T2, T3);
③如果P＝T3，则游戏结束。
按照上述方法，继续判断，直到游戏结束。像这样的一系列步骤通常称为解决这个问题的一个算法。一、选择题
1、一个西瓜切3刀，最多能切出（ ）块。
A .4 B .6 C .7 D . 8
2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，
腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5．下列四个结论：
⑴　两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵　两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶　两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷　一条直线和一个平面内无数条直线无公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）　　　　
A． B． C． D．
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的序号是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
7．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
8．如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（　　）
A． B． C． D．随点的变化而变化。
9．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
10．棱台上、下底面面积之比为,则棱台的中截面分棱台成
两部分的体积之比是( )
A． B． C． D．
11．如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,,且与平面的距离为，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．若三点共线 则的值为（　　）
Ａ．　　 Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
13．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
14．直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
16．若方程表示一条直线，则实数满足
A． B． C． D．，，
17．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
18．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
19．直线过点，与圆有两个交点时，
斜率的取值范围是( )
A．　 B． C． 　D．
20．若为圆的弦的中点，则直线的方程是
A. B. C. D.
21．直线与圆交于两点，
则（是原点）的面积为（ ）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．
二、填空题
22．空间四边形中，分别是的中点，则与的位置关系是_____；四边形是_____形；当______时，四边形是菱形；当_____时，四边形是矩形；当______时，四边形是正方形
23.已知是两条异面直线，，那么与的位置关系_______。
24．四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为______。翰林汇
25．已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；
②若∥，则平行于内的所有直线；
③若，且⊥，则⊥；
④若，，则⊥；
⑤若，且∥，则∥； 其中正确命题的序号是 ．
26．正方体 中，是上底面中心，若正方体的棱长为，
则三棱锥的体积为_____________。
27．若长方体共顶点的三个面的面积分别是,,，该长方体的对角线长
是____；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为____.
28．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条对角线
的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是_________。
29. 若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________。
30. 与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。
31．求经过点并且在两个坐标轴上的截距的相等的直线？
32．已知直线若与关于轴对称，则的方程为__________;
若与关于轴对称，则的方程为_________;
若与关于对称，则的方程为___________;
33．若经过点的直线与圆相切，则此直线在
轴上的截距是 __________________.
34. 直线被圆所截得的弦长等于 ．
35. 与直线和曲线=0 都相切的半径最小的
圆的标准方程是____________
36．圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆
的方程为 .
37. 由动点向圆引两条切线，切点分别为，
则动点的轨迹方程为 。
38.动圆的圆心的轨迹方是　　　 .
39.求圆上的动点到直线距离的最小值_______.
40. 已知点在直线上，则的最小值为 .
41. 设点在轴上，它到点的距离为到点距离的2倍，求点的坐标________翰林汇
三、解答题
1． 如图1：是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=，求证：平面
2. 如图2：在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）求二面角--的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离。
3. 如图3：正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为ɑ，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG；
（3）求证：平面AA1C⊥面EFG ．
4.做一个圆台形的纸篓（有底无盖），要求母线长为50cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm；现有制作这种纸篓的塑料制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个？
5．求经过直线L1：3x + 4y – 5 = 0与直线L2：2x – 3y + 8 = 0的交点M，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x + y + 5 = 0平行； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；
6．已知两圆，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程； （2）公共弦长。
7．求圆心在上，与轴相切，且被直线截得弦长为 的圆的方程．
8．已知方程.
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程
B
·
俯视图
（2）
正视图
正视图
正视图
正视图
侧视图
侧视图
侧视图
侧视图
俯视图
俯视图
俯视图
（1）
（3）
（4）
/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /
密 封 线 内 不 要 答 题
A
C
D
B1
A1
D1
C1
E
G
F(共9张PPT)
§4.3 任意角的三角函数
我们的目标
掌握任意角的三角函数定义
根据定义理解三角函数的符号和定义域
理解三角函数线
1、特殊角的弧度数
任意角的三角函数
1、定义：
你能说出上述六个三角函数的定义域和值域吗？
函数 解析式 定义域 值域
y
x
o
+
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
y
x
o
y
x
o
全为+
y
x
o
三角函数在各象限的符号
练一练
1、判断下列各三角函数的符号
三 角 函 数 线
1、有向线段
2、三角函数线、单位圆
y
x
o
的终边
M
P
A
T
y
x
o
的终边
M
P
A
T
练一练
书P15
作 业
书P20习题4.3 1、2、3、4、7(共6张PPT)
练习1：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠ B=900，求点B在坐标。
练习2：
练习3：
练习4：用向量方法证明：
(x1x2+y1y2)2≤ (x12+y12) (x22+y22)北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（11）—2.4空间直角坐标系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：
①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）
②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）
③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）
④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）
其中正确的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为 （ ）
A．4 B．2 C．4 D．3
3．已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，―1，―1），则 （ ）
A．> B．<
C．≤ D．≥
4．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，
CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（ ）
A． B．
C． D．
6．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于 （ ）
A． B． C． D．
7．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D
的坐标为 （ ）
A．（，4，－1） B．（2，3，1） C．（－3，1，5） D．（5，13，－3）
8．点到坐标平面的距离是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知点，， 三点共线，那么的值分别是 （ ）
A．，4 B．1，8 C．，－4 D．－1，－8
10．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．如右图，棱长为3a正方体OABC－，
点M在上，且2，以O
为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点
M的坐标为 ．
12．如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC，
，，，建立如图坐标
系，求△ABC的重心G的坐标 _ _．
13．若O（0，0，0），P（x，y，z），且，则
表示的图形是 _ _．
14．已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点
B的坐标为 ；AB的长为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．
16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．
17．（12分）如图，已知矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．试求A，C两点的坐标．
18．（12分）已知，， ，求证其为直角三角形．
19．（14分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长．
20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足？
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
参考答案（十一）
一、CADCB BDCCA
二、11．（2a，3a，3a）； 12．G（） ； 13．以原点O为球心，以1为半径的球面；
14．（3，－1，－4）； ；
三、
15．解：设原点为O，因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面 xOy内，
它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用，写出，
所以 A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；
因为平面与坐标平面xOy平行，且，所以A'，B'，，D'的竖坐标
都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）；
由于E分别是中点，所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是的，同理E的竖坐标也是的竖坐标的，所以E（）；
由F为中点可知，F在坐标平面xOy的射影为BC中点，横坐标和纵坐标分别为和5，同理点F在z轴上的投影是AA'中点，故其竖坐标为，所以F（，5，）．
16．解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D－xyz．
因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面ABCD平行，
从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b，
由H为DP中点，得H（0，0，b）
E在底面面上的投影为AD中点，所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0，所以E（a，0，b），
同理G（0，a，b）；
F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E横坐标相同都是a，
与G的纵坐标也同为a，又F竖坐标为b，故F（a，a，b）．
17．解： 由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得的长度即可。
最后得A（），C（0,）
18．略解：利用两点间距离公式，
由，，，从而，结论得证.
19．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，
所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．
由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．
因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．
根据空间两点距离公式，可得
．
20．解：（1）假设在在y轴上存在点M，满足．
因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由，可得
，
显然，此式对任意恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系．
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由（1）可知，y轴上任一点都有，所以只要就可以使得△MAB是等边三角形．
因为
EMBED Equation.DSMT4
于是，解得
故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或（0，，0）．
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- 1 -(共16张PPT)
一.预备知识
1.已知OP为角 的终边，求单位圆上点P的坐标。
P2（x2,y2）
P1（x1,y1）
2.坐标系中两点的距离公式
Y
X
P
O
X
Y

P（cos ，sin ）
|P1P2 |=√(x1-x2) +(y1-y2)
问题1：不查表，计算cos105°和 cos15°的值
二.两角和与差的余弦公式
因为105°=45°+ 60°，15°=45°- 30°
所以 cos105°=cos（ 45°+ 60°）
=cos45°+ cos60°
cos15° = cos（ 45°- 30°）
= cos45°- cos30 °
从而进一步有结论
cos（ + ）= cos + cos
cos（ - ）= cos - cos
cos（ ± ） = cos ± cos
例题1
cos（ /3 + /6 ）= cos / 3 +cos / 6 是否成立？
解: 因为 cos（ / 3 + / 6 ）= cos /2 = 0
cos /3 +cos /6 = 1/2+√3/2
0 1/2+√3/2
所以cos（ /3+ /6 ） cos /3+cos /6
cos（ ± ） = cos ± cos
公式 1：
P2(cos ,sin ) P3(cos(- ),sin(- ))
P1 (1,0)
P4 (cos( + ),sin( + ))
|P1P4|=|P2P3| |P1P4| =|P2P3|
x
y
O
P1
P2
P3
图1

-
y
x
O
P1
P4
+
cos（ + ）=cos cos -sin sin
|P2P3 | =[cos -cos（- ）] +[sin -sin（- ）]
= cos +cos -2 cos cos + sin
+ sin - 2sin sin
=2-2（ cos cos -sin sin ）
x
O
P1
P2
P3
图1
y
P2(cos ,sin )
P3(cos(- ),sin(- ))
如图1中
x
y
O
P1
P2
P3
图1

-
|P1P4 | = [cos（ + ）-1] +sin （ + ）
在图2中，
= cos （ + ）+ 1 - 2 cos（ + ）
+sin （ + ）
=2 - 2 cos（ + ）
P1(1,0)
P4(cos( + ),sin( + ))
y
x
O
P1
P4
y
x
O
P1
P4
+
∵|P1P4| =|P2P3| ∴ 2 - 2 cos（ + ）=2-2（ cos cos -sin sin ）
cos（ +（- ）)=cos cos （- ）-sin sin（- ）
cos（ – ）=cos cos +sin sin
cos（ + ）=cos cos –sin sin
例2 不查表，计算cos105°和 cos15°
√2 1 √2 √3 2 2 2 2
√2 √6
4
= cos45°cos60°-sin45°sin60°
解:cos105°= cos（45°+60°）
C ± = C C S S
±
√6 + √2
4
cos15°=cos（45°-30°)
= cos45°cos30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2 1 2 2 2 2
C ± =C C S S
±
例3 已知sin =2/3， ∈（ /2， ）,cos = -- 4/5， ∈（ ，3 /2），求cos（ - ）值。
√5 3 2 √7 3 4 3 4
3√5 2√7
12
解：由 sin =2/3， ∈（ /2， ），得 cos = - √1-sin = √1-（2/3） = - √5/3；
cos（ - ）=cos cos +sin sin
又由cos = -3/4， ∈（ ，3 /2），得 sin = -√1-cos =√1-（-3/4） = - √7/4.
三 . 练习
1. 不查表,求cos75°的值.
2. 已知sin = 3/5, ∈（ / 2， ）, 求cos( /3- )的值.
C ± =C C S S
±
练习1解答：
√2 √3 √2 1 2 2 2 2
√6 √2
4
= cos45°cos30°-sin45°sin30°
解: cos75°=cos（45°+30°）
解：由 sin =3/5， ∈（ /2， ），得 cos = - √1-sin = -√1-（3/5） = - 4/5；
cos ( /3- ) =cos /3cos +sin /3 sin
=(1/2)(- 4/5)+(√3 /2)(3/5)
=（3√3 - 4）/10
练习2解答：
四. 小结 cos（ + ）=cos cos – sin sin cos ( – ）=cos cos + sin sin
3。公式中的运算符号
2。公式中角的顺序
注意： 1。公式中三角符号的顺序 CCSS北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（2）—1.1空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）
A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台
2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的
一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）
A B C D
3．下列说法正确的是 （ ）
A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
4．如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．正三角形
5．下列几种说法正确的个数是（ ）
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
A．1 B．2
C．3 D．4
6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
7．哪个实例不是中心投影 （ ）
A．工程图纸 B．小孔成像 C．相片 D．人的视觉
8．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是 （ ）
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
9．下列几种关于投影的说法不正确的是 （ ）
A．平行投影的投影线是互相平行的
B．中心投影的投影线是互相垂直的影
C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上
D．平行的直线在中心投影中不平行
10．说出下列三视图表示的几何体是 （ ）
A．正六棱柱 B．正六棱锥 C．正六棱台 D．正六边形
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．平行投影与中心投影之间的区别是_____________；
12．直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为
菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD
为 _ ____，面积为______cm2．
13．等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．
14．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平
行光线照射，其投影是一个最长的弦长为
5米的椭圆，则这个广告气球直径是 米．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）用斜二测画法作出边长为3cm、高4cm的矩形的直观图．
16．（12分）画出下列空间几何体的三视图．
① ②
17．（12分）说出下列三视图所表示的几何体：
正视图 侧视图 俯视图
18．（12分）将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
19．（14分）画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm．
20．（14分）根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．
正视图 侧视图 俯视图
参考答案（二）
一、CBDCB AACBA
二、11．平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点；12．矩形、8； 13．1； 14．.
三、
15．分析探索：用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作X′轴，Y′轴使∠X′O′Y′=45°，然后依据平行投影的有关性质逐一作图.
解：（1）在已知ABCD中取AB、AD所在边为X轴与Y轴，相交于O点（O 与A重合），画对应
X′轴，Y′轴使∠X′O′Y′=45°
（2）在X′轴上取 A′，B′使A′B′=AB，在Y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作
D′C′平行X′的直线，且等于A′D′长.
（3）连 C′B′所得四边形A′B′C′D′ 就是矩形ABCD的直观图。
点评：斜二测画法坐标中，在轴方向上，线段的长度，轴平面上的线段长度是真实长度的一半.
16．解：（1）的三视图如下：
正视图 侧视图 俯视图
（2）的三视图如下：
正视图 侧视图 俯视图
17．分析: 从给定的信息来看，该几何体是一个正四棱台.
答：该三视图表示的是一个正四棱台.
18．解：如右图直三棱柱ABC- A′B′C′，连结A′B，BC，CA′.
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′.
19．分析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得.
解：作法：
（1）画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°.
（2）画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，
BB′，CC′，DD′，EE′.
（4）成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。
点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图.
20．分析:由几何体的三视图知道，这个几何体是一个上面小而底面大的圆台，我们可以先画出上、下底面圆，再画母线.
画法：（1）画轴 如下图， 画x轴、y轴、z轴 , 三轴相交于点O，使xOy=45°,xOz=90°.
z y′ A′ B′
A′ B′ x′
y
A B x A B
（2）画圆台的两底面 画出底面⊙O 假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图
中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面
⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点.
（3）成图 连接A′A、B′B，去掉辅助线, 将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直
观图.
点评：做这种类型的题目，关键是要能够看懂给定的三视图所表示的空间几何体的形状，然后才能正确地完成.
PAGE
- 6 -(共9张PPT)
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(x2-x1,y2-y1)
(x1-x2,y1-y2)
(1)已知 a =(x1,y1), b =(x2,y2)，则
a + b =
a – b =
λa =
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB=
BA=
例3:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，求顶? 点D的坐标.
练习1:已知平面上三个点的坐标分别为A(－2,1)、
B(－1,3)、C(3,4)，求点D的坐标，使得这四
个点构成平行四边形的四个顶点.
（2，2）
（4，6）
（-6，0）
A
B
C
Y
X
0
则 （x1, y1）＝λ(x2,y2)
即
＝> x1y2－x2y1=0
思考：若 a =(x1,y1) 与 b= (x2,y2) 平行(其中b≠ 0)，则它们的坐标有何关系？
分析: a // b 的充要条件是存在一实数λ ，使得
a // b (b≠ 0)的充要条件是x1y2－x2y1=0
？
例4：已知 a ＝（4，2），b＝（6，y),且 a // b ,求 y.
例5：已知A(－1, －1) ,B(1,3) ,C(2,5) ,求证A、B、C三点共线。两角和与差的三角函数单元测试卷（普通班）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知x∈(－,0)，cosx=，则tan2x等于（ ）
A. B.－ C. D.－
2. cos－sin的值是（ ）
A.0 B.－ C. D.2
3.已知α，β均为锐角，且sinα=,cosβ=,则α+β的值为（ ）
A. B.π C. D.2kπ+ (k∈Z)
4.sin15°cos30°sin75°的值等于（ ）
A. B. C. D.
5.若f(cosx)=cos2x,则f(sin)等于（ ）
A. B.－ C.－ D.
6.sin(x+60°)+2sin(x－60°)－cos(120°－x)的值为（ ）
A. B. C.1 D.0
7.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),那么sin2α,cos2α的值分别为（ ）
A.， B.－
C.－ D.－
8.在△ABC中，若tanAtanB>1,则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
9.化简的结果为（ ）
A.tanα B.－tanα C.cotα D.－cotα
10.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α－β)的值为（ ）
A.－ B. C.－1 D.1
第Ⅱ卷（非选择题,共70分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.的值等于_____________.
12.若,则cot(+A)=_____________.
13.sin(－3x)cos(－3x)－cos(+3x)sin(+3x)=_____________.
14.已知=__________.
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分8分）
已知cos(α－)=＜α＜，求cosα.
16.（本小题满分10分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,α∈(0,)，求sinα、tanα.
17．（本小题满分10分）在△ABC中，已知，求tan+tan+
的值.
18.（本小题满分12分）已知cosα=－,cos(α+β)=,且α∈(π,π),α+β∈(π,2π),求β.
附加题（10分）已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
两角和与差的三角函数单元测试答案（普通班）
一．选择题 D C C B C D C A B A
二． 11 ．2－ 　　12． 4+ 　13 ． 14． 5
三．解答题
15．【解】 由于0＜α－＜,cos(α－)=
所以sin(α－)=
所以cosα=cos［(α－)+］=
16．【解】 ∵sin22α+sin2αcosα－cos2α=1
∴4sin2αcos2α+2sinαcos2α－2cos2α=0
即：cos2α(2sin2α+sinα－1)=0cos2α(sinα+1)(2sinα－1)=0
又α∈(0,),
∴cos2α>0,sinα+1>0.
故sinα=,α=,tanα=.
17．【解】 因为A、B、C成等差数列，A+B+C=π,所以A+C=π.
，
∴tan()=,由两角和的正切公式，得,
.
18．
【解】 ∵π＜α＜π,π＜α+β＜2π,∴0＜β＜π.
又∵cosα=－,cos(α+β)=,∴sinα=－,sin(α+β)=,
故cosβ=cos［(α+β)－α］
=.
而0＜β＜π,∴β=π.
附加题： 解：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）课 题： 2.2 指数运算的性质
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：利用指数运算性质进行化简，求值。
教学难点：指数运算性质的灵活运用
课时安排：2课时
教学过程：
一、复习巩固：
总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。
先回顾正整数指数幂的运算性质
当
其中m,n∈
实际上，当a＞0，b＞0时，对任意的m，n都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条：
二、新课讲授
学生看书67页例1
例2 化简（式中字母均为正实数）：
（1） （2）
解 （1） =
（2）
学生练习68页练习 1
例3 已知
解
学生练习68练习 2
1．思考. 已知=3，求下列各式的值: （注意：补充立方和的乘法公式）
（１）　；　（２）　；　（３）　．
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）
小结
作业
第二课时 授课类型： 巩固课
教学过程：
一、巩固练习：
回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上：
二、讲解范例：
例1计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例2计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例3化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
思考 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
解：
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂的计算。
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
2．已知：，求证：.
，
4．已知：，，求的值..
6．设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.(共16张PPT)
复习回顾
1、什么是简单随机抽样？什么样的总体适宜简单随机抽样？
2、什么是系统抽样？什么样的总体适宜系统抽样？
3、什么是分层抽样？什么样的总体适宜分层抽样？
问题情境
如下样本是随机抽取近年来北京地区7月25日至8月24日的日最高气温
问题：怎样通过上表中的数据，分析比较两时间段内的高温（ ）状况？
分析上面两样本的高温天数的频率用下表表示：
由此可得：近年来北京地区7月25日至8月10日的高温天气的频率明显高于8月8日至8月24日.
频率分布表:
一般地：当总体很大或不便获取时，用样本的频率分布去估计总体频率分布；把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.
数学运用
例1.从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，如下（单位：cm）．作出该样本的频率分布表．
频率分布表
解：（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151，它们相差（极差）29，确定全距为30，决定组距为3；
（2）将区间 分成10组；分别是 ，…，
（3）从第一组 开始分别统计各组的频数，再计算各组的频率，列频率分布表：
频率分布表
一般地编制频率分布表的步骤如下：
（1）求全距，决定组数和组距；全距是指整个取值区间的长度，组距是指分成的区间的长度;
（2）分组，通常对组内的数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表．
频率分布表
例2．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm)
频率分布表
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比。
分析：根据列样本频率分布表的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（2）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=
0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%．
2．练习：
（1）课本第53页 练习第2题．
（2）列出情境中近年来北京地区7月25日至8月10日的气温的样本频率分布表．
（3）有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下:
由此估计，不大于27.5的数据约为总体的 ( )
A.91% B.92% C.95% D.30%
回顾小结 ：
总体分布的频率、频数的概念;
编制频率分布表的一般步骤。
课后作业
课本第53页 练习 第1，3题；
第59页 习题2.2 第1题(共18张PPT)
1.2.2 条件语句
1、输入语句、输出语句和赋值语句对应于算法中的哪种结构？这三种语句的一般格式是什么？
2、什么是条件结构？用程序框图表示这种结构
顺序结构
输入语句
输出语句
赋值语句
INPUT “提示文字”;变量
PRINT “提示内容”;表达式
变量＝表达式
复习
在这种情况下，
使用IF—THEN语句
IF 条件 THEN
语句
END IF
满足条件？
是
否
语句
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
否
是
语句1
语句2
在这种情况下，使用
IF-THEN-ELSE格式
语句
例-1、说出下列程序的功能
（3） INPUT x
IF x>=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END
（1）INPUT x
PRINT ABS(x)
END
新课
（2） INPUT x
IF x<0 THEN
x=-x
END IF
PRINT x
END
练习：编写求一个数是偶数还是奇数的程序，从键盘上输入一个整数，输出该数的奇偶性。
程序：INPUT “x=”；x
y= x MOD 2
IF y=0 THEN
PRINT x ； “is an even number”
ELSE
PRINT x ； “is an odd number”
END IF
END
例2 编写程序，输入一元二次方程
算法描述：
S1：输入a，b，c
S2：计算判别式△
S3：如果△<0有两不同实根， △=0有两个相同实根， △<0否则没实数根。根据情况
输出结果。
开 始
输入a，b，c
Δ=b2－4ac
p= －b/2a
q=SQR(ABS (Δ))/(2a)
x1=p+q
x2=p-q
Δ≥0
x1=x2
原方程有两个不等
的实数根x1,x2
原方程有两个相等
的实数根x1,x2
原方程无实数根
结 束
是
否
是
否
的系数，输出它的实数根。
例题
QBASIC程序：
INPUT “请输入一元二次方程的系数a，b，c＝：”；a，b，c
d = b * b - 4 * a * c
p = -b / (2 * a)
q = SQR(ABS(d)) / (2 * a)
IF d >= 0 THEN
x1 = p + q
x2 = p - q
IF x1 = x2 THEN
PRINT “只有一个实根：”；x1
ELSE
PRINT “有两个实根：”；“x1=”;x1，”x2=”;x2
END IF
ELSE
PRINT “没有实根”
END IF
END
练习：设计一个程序，要求输入三个数a，b，c，输出其中最大的数。
开始
输入a，b，c
big=a
b>big
big=b
c>big
big=c
输出big
结束
否
是
是
否
INPUT “a，b，c=”；a，b，c
big=a
IF b>big THEN
big=b
IF c>big THEN
big=c
END IF
END IF
PRINT “max is--- ”；big
END
程序如下：
例3 编写程序,使得任意输入3个整数按大到小的顺序输出。
算法分析：
算法思想：3个数两两比较，确定大小。按a、b、c输入，要按a、b、c输出，关键要找到最大值，将它赋值给a，中值赋给b，最小值赋给c。
第一步 输入3个整数a、b、c
第二步 将a与b比较，并把小者赋给b，大的赋给a；
第三步 将a与c比较，并把小者赋给c，大的赋给a
第四步 将b与c比较，并把小者赋给c，大的赋给b
第五步 按顺序输出a，b，c
INPUT “a，b，c=”；a，b，c
IF b > a THEN
t = a
a = b
b = t
END IF
IF c > a THEN
t = a
a = c
c = t
END IF
IF c > b THEN
t = b
b = c
c = t
END IF
PRINT a，b，c
END
相应的QBASIC程序：
开始
t=a,a=b,b=t
t=a,a=c,c=t
t=b,b=c,c=t
输入a，b，c
输入a，b，c
b＞a
c＞a
c＞b
结束
是
是
否
否
是
否
对应的流程图
改进程序:使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。
INPUT “A，B，C=”；A，B，C
IF B>A THEN
IF C>A THEN
IF C>B THEN
PRINT A，B，C
END
SWAP A，B
SWAP B，C
SWAP A，C
END IF
END IF
END IF
程序如下：
输出A，B，C
结束
开始
输入A，B，C
B>A
B←→A
C←→B
C←→A
C>A
C>B
否
否
否
是
是
是
程序： INPUT “x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35﹡x
ELSE
y=0.35﹡20+0.65﹡(x-20)
PRINT “y=”；y
END IF
END
探究交流：火车托运行李的收费方法如下：
y是收费，x上行李重量，当0＜x≤20（千克）时，按每千克0.35元收费。当x＞20(千克)时，20千克的部分按0.35元的单价收费，超出20千克的部分，则按0.65元的单价收费。请根据上述收费方法编写程序。
（0（x≥20）
开始
输入a，b，c
a+b＞c，a+c ＞ b，
b+c ＞a是否同时成立？
存在这样的
三角形
不存在这样
的三角形
结束
否
是
（1）
该程序框图所表示的算法是作用是什么？并根据程序框图写出相应的程序。
练习
(2)写出求函数 值的程序.
input “x=“; x
if x>=0 and x<=4 then
y=2*x
else
if x<=8 then
y=8
else
y=2*(12-x)
end if
end if
print y
end
课时小结：
本节课主要学习了条件语句的结构、特点、作用及用法，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化。
条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。中国古代数学中的算法案例
教学目标：
1． 知识与技能目标：
（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；
（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
2． 过程与方法目标：
（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
3． 情感与价值目标：
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：　
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设　　　情境引入新课 引导学生回顾人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。 教师引导，学生回顾。教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。 通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
阅读课本探究新知 求两个正整数最大公约数的算法学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：例１：求７８和３６的最大公约数利用辗转相除法步骤：计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。理论依据： ，得与有相同的公约数更相减损之术指导阅读课本P----P，总结步骤步骤：以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数即，理论依据：由，得与有相同的公约数算法： 输入两个正数； 如果，则执行，否则转到； 将的值赋予； 若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行； 输出最大公约数程序:a=input(“a=”)b=input(“b=”)while a<>b if a>=ba=a-b;else b=b-aendendprint(%io(2),a,b) 学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。教师巡视，加强对学生的个别指导。由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。 数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用举例 例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。（1）225，135 （2）98，280例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。 学生练习，教师巡视检查。学生回答。 巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化算法应用举例 2．割圆术魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。阅读课本P----P，步骤：第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：，，，…，。第四，圆面积满足不等式　估计的近似值，即圆周率的近似值。算法：设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得，则图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即 （）利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。程序：n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for I=1:1:16h=sqrt(1-(x/2) 2);s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt((x/2) 2+(1-h) 2);endprint(%io(2),n,s) 学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。 割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。
归纳小结 1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；2．割圆术的算法 学生小结并相互补充，师生共同整理完善。 学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业 习题1—3 1，2选作 习题1—3 巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。陕西省西安中学高2010级普通班数学必修（2）
模块评价测试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
2．如图，设直线的斜率分别为，则有（　　）
A.
B.
C.
D.
3．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 C.±2 D.±4
4．圆与圆的位置关系
是（ ）
A. 相离 B. 内含 C. 相切 D. 相交
5．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ ）
A. 共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面
7.三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A.菱形　 　B.矩形　 　C.梯形　　 D.正方形
8.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 A. B. C. D.
9．棱长为2的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 （ ）
A.D、E、F B.F、D、E C.E、F、D D. E、D、F
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）
11.若直线与直线平行，则 ．
12.已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
13. 不论为什么实数，直线都通过一定点 _______.
14．空间点和之间的距离是___________.
15．半径为a的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。
求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE
17. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，高是cm，
（1）求三棱台的体积；
（2）求三棱台的侧面积.
18．求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程.
19．已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。
附加题：（每题１０分，共２０分）
1．长方体ABCD—A/B/C/D/中，
（1）求证：A/C///平面ABCD；
（2）若该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，用过三点A/、B、C/的平面截去长方体的一个角，求剩余部分几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，画出剩余部分几何体的三视图.
２．自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。
陕西省西安中学高2010级普通班数学必修（2）
模块评价测试答题纸
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）
11． 12.　　　　．
13. __________ 14． . 15． ．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。
求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC平面BDE
17. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm，高是cm，
（1）求三棱台的体积；
（2）求三棱台的侧面积.
18．求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程.
19．已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。
附加题：（每题１０分，共２０分）
1．长方体ABCD—A/B/C/D/中，
（1）求证：A/C///平面ABCD；
（2）若该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，用过三点A/、B、C/的平面截去长方体的一个角，求剩余部分几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，画出剩余部分几何体的三视图.
２．自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。
陕西省西安中学高2010级普通班数学必修（2）
模块评价测试题答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C D B D C D
二、填空题（请把答案填在题中横线上，共5小题，每小题4分，共20分）
11． 12.
13. (9，－４） 14．3 15．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
16．证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O
∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平BDE。
17. 解：（1）∵ 是正三棱台，
∴ 与均为正三角形.
又正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6cm， ∴ 的面积
的面积，又正三棱台的高= ∴ 所求三棱台的体积
（2）正三角形的高
正三角形的高
设正三角形与正三角形的中心分别为、,则，，过作交于，那么.
在中，，从而正三棱台的斜高.故等腰梯形的面积为，于是，所求三棱台的侧面积.
18． 解：解……①， ……②联立方程组得两条直线的交点坐标为，又直线的斜率为，∴所求直线的斜率为，从而所求直线的方程为.即.
19.解 （1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0。
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得
5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得m=.
附加题：（每题１０分，共２０分）
1．解：（1）连接，在长方体ABCD—A/B/C/D/中，
∵ A/A⊥平面ABCD，C/C⊥平面ABCD，又A/A= C/C∴ 四边形A/ACC/是矩形，∴ A/ C/∥AC，而，
∴ A/C///平面ABCD
（2）∵ 该长方体的长、宽、高分别为5、4、3， ∴ 该长方体的体积为
又过三点A/、B、C/的平面截得的长方体的一个角是一个三棱锥，其体积为 ∴ 剩余部分几何体的体积
(3) 略
2.解法一 已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d==1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3)，或y-3= -(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，设交线L所在的直线的方程是
y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（-，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= -k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d==1。以下同解法一。
O
E
D
D1
O
O1
C
B
A
B1
C1
A1
B
A
D
C
D/
C/
B/
A/
D1
D
E
Ａ
Ｂ
O1
C
B
A
B1
C1
A1
A/
B/
C/
D/
C
D
A
B
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
E
D
D1
O
O1
C
B
A
B1
C1
A1
A/
B/
C/
D/
C
D
A
B
PAGE
1
1(共11张PPT)
向量
阅读课本P96～97，回答下列问题：
1、什么叫有向线段和有向线段的三要素？
2、向量的概念是什么？
3、向量的表示方法是什么？
4、什么叫零向量和单位向量？
5、向量的长度（模）的概念是什么？
6、平行向量和共线向量的概念是什么？
7、什么叫相等向量？
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量
2．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段 的长度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
3．向量的表示：也可用字母 来表示。
4．向量的长度：向量的 大小就是向量 的长度（或称为模）。记作
5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作
6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
如图： 就是一组平行向量 记作：
规定：零向量与任一向量平行
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作
注意：1°零向量与零向量相等
2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
如上图：
9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
10．向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
思考：
1.既然零向量可用 表示,那么单位向量能否用 表示？
2.有几个单位向量？
3.单位向量是否一定相等？单位向量的大小是否一定相等？
练习：判断下列命题
(1)若 ，则 ;
(2)相等的向量起点必相同;
(3)平行向量就是共线向量;
(4)若向量 的模小于 的模,则 ;
(5)质量、能量、功、加速度都是向量;
(6) 与 共线,则A、B、C、D四点共线;
(7)
(8) 与 平行,则 与 的方向相同或相反.
错
错
对
错
错
错
错
错
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出
图中与向量 相等的向量。
D
E
O
A
B
C
F
E
o
练习2:下列情况中，向量的终点各构成什么图形？
1.把所有单位向量移到同一个起点；
2.把平行于某一直线的所有单位向量移到同一个起点；
3.把平行于某一直线的所有向量移到同一个起点；
圆
两个点
一条直线
练习3：若A、B、C、D是同一平面内不共线的四点，
求证 是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。
证明：充分性：
必要性：三角恒等变形单元测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知x∈(－,0)，cosx=，则tan2x等于（ ）
A. B.－ C. D.－
2. cos－sin的值是（ ）
A.0 B.－ C. D.2
3.已知α，β均为锐角，且sinα=,cosβ=,则α+β的值为（ ）
A. B.π C. D.2kπ+ (k∈Z)
4.sin15°cos30°sin75°的值等于（ ）
A. B. C. D.
5.若f(cosx)=cos2x,则f(sin)等于（ ）
A. B.－ C.－ D.
6.sin(x+60°)+2sin(x－60°)－cos(120°－x)的值为（ ）
A. B. C.1 D.0
7.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),那么sin2α,cos2α的值分别为（ ）
A.， B.－ C.－ D.－
8.等于（ ）
A.cos5°－sin5° B. cos5° C.cos5°－sin5° D.sin5°－cos5°
9.已知?,P=,Q=,那么M、N、P、Q之间的大小顺序是（ ）
A.M＜N＜P＜Q B.P＜Q＜M＜N C.N＜M＜Q＜P D.Q＜P＜N＜M
10.已知tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且α、β∈?(－),?则α+β的值是（ ）
A. B.－π C.或－π D.－或π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.的值等于_____________.
12.若,则cot(+A)=_____________.
13.sin(－3x)cos(－3x)－cos(+3x)sin(+3x)=_____________.
14.已知=__________.
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分10分）
已知cos(α－)=＜α＜，求cosα.
16.（本小题满分10分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,α∈(0,)，求sinα、tanα.
17.（本小题满分10分）
如右图，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形.问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
18.（本小题满分10分）已知cosα=－,cos(α+β)=,且α∈(π,π),α+β∈(π,2π),求β.
附加题（实验班必须做）（两小题，共20分）
1．（10分）已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
2．（10分） 已知函数（其中），求：
　　　函数的最小正周期;
函数的单调区间;
函数图象的对称轴和对称中心．
三角恒等变形单元测试答题纸
班级：　　　　　　姓名：
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． _____________.　　　　12．_____________.
13._____________.　　　　　14._________.
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分10分）
已知cos(α－)=＜α＜，求cosα.
16.（本小题满分10分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,α∈(0,)，求sinα、tanα.
17.（本小题满分10分）
如右图，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形.问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
18.（本小题满分12分）已知cosα=－,cos(α+β)=,且α∈(π,π),α+β∈(π,2π),求β.
附加题（实验班必须做）
1．（10分）已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
2．（10分） 已知函数（其中），求：
　　　函数的最小正周期;
函数的单调区间;
函数图象的对称轴和对称中心．
三角恒等变形单元测试题答案
一．选择题 D C C B C D C A B B
二． 11 ．2－ 　　12． 4+ 　13 ． 14． 5
三．解答题
15．【解】 由于0＜α－＜,cos(α－)=
所以sin(α－)=
所以cosα=cos［(α－)+］=
16．【解】 ∵sin22α+sin2αcosα－cos2α=1
∴4sin2αcos2α+2sinαcos2α－2cos2α=0
即：cos2α(2sin2α+sinα－1)=0cos2α(sinα+1)(2sinα－1)=0
又α∈(0,),
∴cos2α>0,sinα+1>0.
故sinα=,α=,tanα=.
17．【解】 连结OP，设∠AOP=x,则PS=sinx，RS=cosx－sinx·cot60°
所以S=（cosx－sinx·cot60°)·sinx
=sin2x－sin2x
=sin2x－·
=sin(2x+φ)－ (其中tanφ=)
因为x∈(0°,60°),所以当2x+φ=90°时，Smax=.
18．【解】 ∵π＜α＜π,π＜α+β＜2π,∴0＜β＜π.
又∵cosα=－,cos(α+β)=,∴sinα=－,sin(α+β)=,
故cosβ=cos［(α+β)－α］
=.
而0＜β＜π,∴β=π.
附加题：
1．解：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）
2．解：(1) (2)增区间：，减区间：，其中Z
(3)对称轴方程： 对称中心：，其中Z
1(共5张PPT)
已知tanA=－2,求：
(1)sinA
(2)cosA
(3)
复习
数学是有用的
2、化简：(1)
(2)
(3)
3、求证：(1)
(2)
练习：4、化简
5、化简：
6、已知
求：(1)sinAcosA
练习：7、已知
,求：cosA－sinA的值。
(2)
(3) tanA(共15张PPT)
§4.6 两角和与差的三角函数
（五）
我们的目标
掌握“合一变形”的技巧及其应用
1、两角和、差角的余弦公式
2、两角和、差角的正弦公式
3、二倍角的正、余弦公式
4、两角和、差的正切公式
5、二倍角的正切公式
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
化 为一个角的三角函数形式
令
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
1、化简：
3、化简：
1、化简：
引例
一组三角函数式的应用
1、化简：周至二中2007～2008学年度第一学期高一级期末考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷 选择题(共48分)
一．选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1.已知全集
A. B. C. D.
2、有下列四个命题：
1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面
4）两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（ ）．
A. 1）和2） B.1）和3） C. 2）和4） D. 2）和3）
3、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的
位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C． 相交成60°角 D．异面成60°角
4. 已知全集U =R，A= ,B = ,C=,则 集合C=( )
A. A∩B B. A∪B C. CU(A∩B) D. CU(A∪B)
5．已知两个球的表面积之比为1∶，则这两个球的半径之比为（ ）．
A. 1∶ B. 1∶ C.1∶ D. 1∶
6.设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则f(-2),f(),f(-3)
的大小关系是（ ）
A.f()>f(-3)>f(-2) B.f()>f(-2)>f(-3)
C.f()7．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：
①若m∥ ，n∥ ，则m∥n ②若m⊥ ，m∥， 则 ⊥
③若m∥ ，n∥ ，则m∥n ④若m⊥ ， ⊥ ，则m∥ 或m
其中假命题是（ ）．
A. ① B. ② C. ③ D. ④
8.函数的零点所在的大致区间是( )
和
9．已知函数（），对于任意的正实数下列等式成立的是
A． B．
C． D．
10．已知正六棱柱的最大对角面的面积为4cm2 ,互相平行的两个侧面的距离为2cm，则这个正六棱柱的体积为（ ）
A 3cm3 B 6cm3 C. 12cm3 D
11、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B． C．
12题图
12.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2007～2008学年度第一学期周至二中
高一级期末考试
数学试题(卷) 命题人：周宗宪
…………装…………订…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题……………
题号 二 17 18 19 20 21 总分
答案
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。)
13. ．
14. 用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有。若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点_____________(填区间)
15.在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,
沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a,
这时二面角B-AD-C的大小为 ．
16．已知a，b是两条直线，是两个平面，有下列4个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则；④若是异面直线，，则.
其中正确的命题的序号是 .
三、解答题（本大题共5小题，满分56分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
17、(10 分 )求经过点A(2, -3),B(-2,-5)且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程。
解：
18、（本小题满分10分）已知：两点A，B（3，2），过点P（2，1）的直线l与线段AB有公共点, 求直线l的倾斜角的取值范围。
解:
19．（本小题满分10分）
如图,在等腰梯形中, ∥,,今有一点从 出发,沿路线运动到,试求的面积与走过的路程的函数关系式,并画出函数的图像。
20、（本小题满分12分）
已知二次函数满足条件,
（Ⅰ）求的解析式；
…………装…………订…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题……………
（Ⅱ）求在 上的最大值和最小值。
21.（本小题满分14分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6，将矩形 沿 对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
D
B
A
C
姓名
学校
班级
学号
C
B
A
D
俯视图
20
10
10
左视图
20
正视图
20
20
姓名
学校
班级
学号
PAGE2004广东仲元中学数学必修2终结性评价笔试试题
命题人：许红艳 审题人：李赞扬
姓名 班别 座位号 成绩
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生好和座位号填写在答题卷指定的位置上．
2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．
3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上．
4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．本次考试不允许使用函数计算器．
6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
1、 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1、直线的倾斜角为（ ）
2、方程表示（ ）
A．通过点（－2，0）的所有直线 B. 通过点（2，0）的所有直线
C．通过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点（2，0）且除去x轴的的所有直线
3、已知A（0，－1），B（－2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a的值为（ ）
A．－3 B. －6
4、若直线过点，则此直线的斜率为（ ）
5．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（ ）
（A） 若a‖，，则a‖b
（B） 若a‖，b‖，则a‖b
（C） 若a‖b，，则a‖
（D） 若a‖b，a‖，则或b‖
7．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
8． 如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（ ）
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
2、 填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)
11、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是_____________
12．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
13.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
14、在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BDC＝90°，
E、F分别是AD、BC的中点，若EF＝CD，则EF与平面
ABD所成的角为___________．
三、解答题（要写出必要的文字说明和步骤，6小题，一共80分）
15．（本题满分12分） 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
16、（本小题满分12分）
如图，已知三角形的顶点为，，，求：
（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
17、设直线.
（1） 若在两坐标轴上的截距相等，求的方程
（2） 若不经过第二象限，求实数a的取值范围
18、直三棱柱中ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M,N分别为A1B1,AB中点，
求证：
1） 平面AMC1∥平面NB1C
2） A1B⊥AM
19．（14分）已知两直线,求分别满足下列条件的
、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
20．（本小题满分14分）
已知圆，直线过定点A(1，0)．
（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，求证:为定值．
2004广东仲元中学数学必修2终结性评价笔试试题答案
一、选择题：BCCDB DBDCB
二、填空题：11、4 ；12、；
13、； 14、
三、解答题：15、解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
16．（Ⅰ）解：AB中点M的坐标是，
中线CM所在直线的方程是，即
（Ⅱ）解法一： ，
直线AB的方程是，
点C到直线AB的距离是
所以△ABC的面积是．
解法二：设AC与轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，
，
17、解（1）当直线经过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线方程为3x+y=0.…………3分
若a≠2，即不过原点，由在两坐标轴上的截距相等，有，解得a=0
的方程为x+y+2=0.
综上可知，的方程为3x+y=0或x+y+2=0.……………6分
（2）将的方程化为，欲使不经过第二象限，当且仅当
　　　 　
…… 8分 　 或 ∴……10分
　　　
综上可知，的取值范围是………12分
18、证明（1）分别为A1B1,AB中点，
，
又，，
连接MN，在四边形中，有，
同理得
，，，
（2） B1C1=A1C1，M为A1B1中点，，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，，， ，又AC1⊥A1B，，，
19．解：（1）
即 ①
又点在上， ②
由①②解得：
（2）∥且的斜率为. ∴的斜率也存在，即，.
故和的方程可分别表示为：
∵原点到和的距离相等. ∴，解得：或.
因此或.
20．（Ⅰ）解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．……………2分
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，
即： ………………………………………………………………4分
解之得 ．
所求直线方程是，． …………………………………………… 6分
（Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由 得． ……………………………8分
又直线CM与垂直，
由 得． …………………10分
∴
为定值．…………………14分
解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由 得． ……………………………8分
再由 得．
∴ 得． ………………10分
以下同解法一．
解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则，
可得，是定值．
A
B
C
F
C
B
A
A
C1
B1
A1
N
M
B
C
C1
B1
A1
N
M课题： 2．1指数概念的扩充
教学目标：
通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学重点：
1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学难点：有理指数幂性质的灵活应用
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质
二、新课讲授
提出问题
（1） 观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
②
③
④
（2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？
，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）
（3）你能推广到一般的情形吗？
师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是（a＞0，m，n，且n＞1）
提出问题
负分数指数幂的意义是怎样规定的？
你能得到负分数指数幂的意义吗？
你认为如何规定0的分数指数幂的意义？
分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0？
既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？
讨论结果有以下结论：
（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）
性质
（1） （a＞0，r，s∈Q）
（2）（a＞0，r，s∈Q）
（3）（a＞0，b＞0，r∈Q）
规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
例题讲解
（1）求下列各式的值
（2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b（式中a＞0）
=32
学生练习
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
同学们可参阅了解有关无理数指数幂知识（老师做必要的说明，极限思想）
作业
1．计算下列各式
2．求值陕西省西安中学数学必修（2）模块评价测试试题
1、 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ A ）
2．方程表示（ C ）
A．通过点（－2，0）的所有直线
B. 通过点（2，0）的所有直线
C．通过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点（2，0）且除去x轴的的所有直线
3．已知A（0，－1），B（－2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a的值为（ C ）
A．－3 B. －6
4．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( B )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
5．过两点、的直线的斜率是（ B ）
A．—2 B. C. 3 D.
6．空间点和之间的距离是（ A ）
A. 3 B. C. D.
7．直线在X、Y 轴上的截距分别是（ B ）
A. 4，5 B. 4，—5 C. —4，5 D. —4，—5
8．如图，设直线的斜率分别为，则有（　C 　）
A.
B.
C.
D.
9．过三点、、的圆的圆心为（ D ）
A. （3，4） B. （4，3） C. （3，—4） D. （4，—3）
9．圆与圆的位置关系是（ D ）
A. 相离 B. 内含 C. 相切 D. 相交
.
10．如图：直线L1 的倾斜角1=30０，直线 L1L2 ，则L2的斜率为（　C　）
Ａ.　　Ｂ.　　　　Ｃ.　　　Ｄ.
11．若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（，ｍ）三点共线，则ｍ的值为（　A　）　
Ａ.　　 Ｂ.　　 Ｃ.－２　 　Ｄ.２
12．直线与圆交于Ｅ、F两点，则EOF（O为原点）的面积为（ C ）
A. B. C. D.
13．直线与圆交于E、F两点，则EOF（O是原点）的面积为（ C）
Ａ.　　　 Ｂ.　　 　Ｃ.　　 Ｄ.
14．圆：和圆：交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ C ）
Ａ.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C. 3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
15．圆：上的点到直线的距离最大值（ B ）
A. 2 B. C. D.
16.已知点P在圆上运动，则的最小值是
A. B. C. D.
17．已知直线与直线互相垂直，则实数a的值是（ B ）
A．2 B．2或0 C．－1或3 D．1或0
18．若点（1，3）关于直线l的对称点为（－5，1），则直线l的方程 （　B　）
A． B．
C． D．
19．若直线通过第一、二、三象限，则 （ C）
A． B．
C． D．
20．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 B 。
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
21．圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.已知
① ②
③ ④
其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
1.A第④要注意直线可能在平面内.
2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( ) 2.A.
A.4个 B.2个 C.3个 D.1个
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A.12π　　　B. 18π　　　 C.36π　　　　　D. 6π
3.D.先计算出三条棱的长度分别为.所以体对角线长为.所以外接球的直径为,算出表面积为6π.
4.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( ) 4.B.
5.三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A.菱形　 　B.矩形　 　C.梯形　　 D.正方形 5.B.
6.已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是 （ ）6.C.体积为
A.1　　 B. C.　　 D.
7.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 A. B. C. D.
D.提示:设底面直径为d,则侧面积为πd2=S,所以d=.
8.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
A.1200 B.1500 C.1800 D.2400
C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL=2πR2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为.
9．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是( )
A．6 B．10 C．12 D．不确定
A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可.
10.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2006段、黄“电子狗”爬完2005段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是( )
A.0 B.1 C. D.
D.提示:每个 “电子狗”爬完6段就回到出发点.
11．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是 B
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
12．已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（ D ）
（A） 若a‖，，则a‖b
（B） 若a‖，b‖，则a‖b
（C） 若a‖b，，则a‖
（D） 若a‖b，a‖，则或b‖
13.如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ D ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）
A． B． C． D．
15．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（ B ）
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
16．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ D ）
(A) 共面 (B) 平行 (C) 异面 (D) 平行或异面
17．棱长为2的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为（ C ）
(A) (B) (C) (D)
18．以下说法正确的是（ B ）
(A) 平行于同一直线的两个平面互相平行；
(B) 垂直于同一直线的两个平面互相平行；
(C) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；
(D) 过两条异面直线中的一条直线必有一个平面与另一条直线垂直；
19．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 （ D ）
(A) D、E、F (B) F、D、E (C) E、F、D (D) E、D、F
20.若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ D ）
A 、 相交 B、 异面 C、 平行 D、异面或相交
21.三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（　C　　）
Ａ、１条　　 Ｂ、２条　　 Ｃ、３条　　 Ｄ、１或２条
22.下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ A ）
A、 0 B、 1 C、 2 D、 3
23.棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( C )
A 、 1∶7 B 、2∶7 C、 7∶19 D、 5∶ 16
24．一个球的表面积增为原来的100倍，那么体积变为原来的 （ C ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．倍
25．若点（1，3）关于直线l的对称点为（－5，1），则直线l的方程是（　B　）
A． B．
C． D．
26．右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ D ）
27．已知直线a、b和平面α、β下列命题中正确的是 （　D　）
A．若a∥α，bα，则a∥b B．若a∥α，b∥ α，则a∥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
28．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是 （ C ）
A．2 B． C．3 D．
29.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ D ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形
C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
30.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ C ）
A． B．56π C．14π D．64π
31.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则（ A ）
A．S132.图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D。已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ D ）
A． B． C． D．
33.设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ A ）
A．πR B．πR C．πR D．2πR
34．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ B ）
35．如图8-25，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，且满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ B ）
A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1
36．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ C ）
37.一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ D ）
A．三棱锥　 B．四棱锥　　 C．五棱锥 D．六棱锥
38．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（B ）
A．Q　　　 B．2Q　　 C． 3Q　 D． 4Q
39．已知高与底面的直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，则球的体积为 （ D ）
A． B． C． D．
40．到空间四点距离相等的平面的个数为 （ D ）
A．4 B．7 C．4或7 D．7或无穷多
41．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 （ A ）
A．10（－2）米 B．（6－）米
C．（9－4）米 D．5 米
42．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则 （ A ）
A．1＜MN ＜5 B．2＜MN ＜10 C．1≤MN ≤5 D．2＜MN ＜5
43．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角 （ D ）
A．相等　　　 B．互补　　　 C．相等或互补　　 D． 不确定
44．已知平面 ⊥平面 ，m 是 内一条直线，n 是 内一条直线，且m ⊥n ．那么，甲：m ⊥ ；乙：n ⊥ ；丙：m ⊥ 或n ⊥ ；丁：m ⊥ 且n ⊥ ．这四个结论中，不正确的三个是 （ B ）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁
C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁
45．如图，A—BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边
形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ C ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
46．棱台的两底面积分别为S上、S下、平行于底面的戴面把棱台的高自上而下分为两段之比
为m∶n则截面面S0为 （ D ）
A． B．
C．()2 D．()2
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．半径为a的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．
12． 、 是两个不同的平面，m 、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：
（1）m ⊥n （2） ⊥ （3）n ⊥ （4）m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
写出你认为正确的一个命题__①③④②_________．
13．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分
别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱
分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _7∶5____．
14．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是__②③_______．
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.已知定点A(0，1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________________.
14.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.
15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是______________.
16.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:_______________
1、 填空题:
13.【分析】本题考查两点间的距离公式、求最值和点到直线的距离等，以及基本的运算技能，本题大致有两种做法：
解法一：代数法，根据两点间的距离公式建立一个函数关系，即｜AB｜2=(x-0)2+(y-1)2，又y=x，则｜AB｜2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1，转化为二次函
数求最值，可见当x=-时，｜AB｜2最小为，∴｜AB｜?≥，∴B(-，)；
解法二：几何法，直线上的点B与A点的连线中当AB与x+
y=0垂直时，AB最短，∴AB:y=x+1，∴B点为的交点为(-，).
14.【分析】本题考查圆的性质与直线的位置关系、函数以及基本的运算技能.本题有两种做法①做与直线3x+4y+8=0平行的直线且与圆相切，将来会得到两条，有两个切点，这两切点到3x+4y+8=0的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.②以圆心做标准，到直线的距离减去或加上半径就是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离d=
=3，∴动点Q到直线距离的最小值d-r=3-1=2.
15.【分析】本题主要考查两圆的位置关系和基本的运算技能，已知⊙O1(x-a)2+(y-b)2=，⊙O2(x-c)2+(y-d)2=，其中r1＞0，r2＞0，①当｜O1O2｜=｜r1-r2｜时，⊙O1与⊙O2相内切，②当｜O1O2｜=｜r1+r2｜时，⊙O1与⊙O2相外切，③当0≤｜O1O2｜＜｜r1-r2｜时两圆内含，④当｜r1-r2｜＜｜O1O2｜＜｜r1+r2｜时，两圆相交，⑤当｜O1O2｜＞r1+r2时两圆相离.
本题中A∩B只有一个元素，∴两圆相内切或外切，∴｜O1O2｜=｜r1±r2｜.当两圆外切时，=2+r，r=3，两圆内切时， =r-2，r=7，所以r的值是3或7.
16. 答：①③④②或②③④①
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11、与直线平行，并且距离等于3的直线方程是
12、已知：A（1，2，1），B（-1，3，4，），C（1，1，1，），，则长为
13、如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面
都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为 度
14、已知点M（a，b）在直线上，则的最小值为
11、或 12、 13、６００ 14、３
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11．两条平行线与之间的距离是 .
12．斜率不存在的直线必垂直于 轴.
13．过点A(1,2),且平行于直线的直线的方程是 .
14．体积相等的正方体、等边圆柱(底面直径与高相等的圆柱)和球中，表面积最小的是 .
二、填空题：
11. 解：在直线上选点，由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为.故所求距离为.
12. 解：斜率不存在的直线的倾斜角是，故其必垂直于轴.
13. 解：∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，又直线过点A(1,2)，由点斜式得，的方程是. 即.
14. 解：设正方体、等高圆柱和球的体积为，则正方体、等边圆柱和球的表面积分别是，，，易知，.故表面积最小的是正方体.
2、 填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)
11、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是_____________
12．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
13.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
14、在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BDC＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，若EF＝CD，则EF与平面ABD所成的角为___________．
二、填空题：11、4 ；12、；
13、； 14、
14如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的
多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,
CC1=3.则这个多面体的体积为 .
14.60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.
8.如图①所示一个正三棱柱形容器，高为2a，
内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，
这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的
水面高度为_ __．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8..提示:设底面积为S,水的高度为h.由Sh=解出h即可.
A
B
C
F
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
④
② ⑥
③ ①
⑤
④ ⑥ ①
⑤
③
②
①
⑤ ⑥
④
③ ②
① ②
③ ⑤ ⑥
④(共8张PPT)
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义.
o
1
1
P
M
A
T
正弦线MP
余弦线OM
正切线AT
想一想
三角问题
几何问题
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
4.7 两倍角的正弦、余弦、正切
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
能否利用正弦线作出正弦函数的图像？
单击图像动画演示
在作函数 的图像中起关键作用的点有哪些？
几何画板课件
简图作法
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
五点作图法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
-
-1
1
-
-1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
-1
由于
所以余弦函数
与函数
是同一个函数；
余弦曲线
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
各单位长度而得到．
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用变换法作余弦函数的图像
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
-
-
-
-1
1
-
-1
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
在作函数 的图像中起关键作用的点有哪些？
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
列表
描点作图
-
-
-
（2）y=－cosx , x∈[0,2π]
解:
（1）
-
-
（2）
1
0
-1
0
1
-1
0
1
0
-1
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图
(２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
（1）
y
x(共12张PPT)
1.1.2程序框图与
算法的基本逻辑结构
结束
开始
i=2
输入n
i>n-1或r=0
n是质数
n不是质数
i的值增加1 (i=i+1)
r=0
是
否
否
求n除以i的余数r
条件结构
算法的基本逻辑结构
(2).条件结构:一个算法的执行过程中会遇到一些条件的
判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.
满足条件
步骤A
步骤B
是
否
满足条件
步骤A
是
否
条件结构：
例4 :任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在．画出这个算法的程序框图．
算法分析：判断分别以这
3个数为三边边长的三角形
是否存在，只需要验证这
3个数当中任意两个数的和
是否大于第3个数，这就需
要用到条件结构
程序框图
开始
输入
是否同时成立
存在这样的三
角形
结束
不存在这样的三
角形
是
否
例-5.设计算法,求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0, ）的根,画出相应的流程图
输入系数a,b,c
输出X1、X2
结束
开始
计算
计算
b2-4ac>0
设计算法,求一元二次方程ax2+bx+c=0（ ）的根,画出相应的流程图
a≠0
输出x1,x2
结束
开始
△<0
输入系数a,b,c
否
是
输出无实数解
计算
输出x1
结束
开始
△<0
输入系数a,b,c
否
是
输出无实数解
计算
X1=x2
是
否
输出x1,x2
练习：
1.就逻辑结构，说出其算法功能．
开始
结束
输入x
x>3
y=x-2
输出y
y=4-x
否
是
开始
max=a
输入b
max>b？
输出max
结束
max=b
是
否
2.此为某一函数的求值程序图，则满足该流程图的函数解析式为（ ）（不能写成分段函数）．
答案:1.求两个数中的最大值.
答案:2. y=|x-3|+1.
练习3:联邦快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下面的方法计算：
其中f（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克），
试画出计算费用f的程序框图。
自然语言是：
第一步：输入物品重量ω； 第二步：如果ω<=50，那么f=0.53 ω,
否则f=50×0.53+(ω-50) ×0.85; 第三步：输出托运费f.(共16张PPT)
两角和与差的正切（一）
复习
上式中以 代 得
注意：
1 必须在定义域范围内使用上述公式。
2 注意公式的结构，尤其是符号。
两角和与差的正切公式
例题1
tan105
解:
∴tanα+tanβ ＝－5
tanα·tanβ ＝－6
∴tan(α＋β) ＝
法一:
法二:
公式的正用
公式的逆用
例题2
法一:
法二:
法三:
公式的变形用
例题3
公式变形：
练 习
小结：
(一)了解两角和与差的正切公式的推导
　
（2）公式的逆用
（3）公式的变形用
（1）公式的正用
(二)掌握公式的应用
作业：
1．课本P102 1、4
2．《创新课时》第3课时
目全品高考(共8张PPT)
知识点回顾：
概念：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ,使
P1P= λPP2, λ叫做点P分有向线段P1P2所成的
比.P点为P1P2的定比分点。
定比分点
坐标公式
线段中点
坐标公式
例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为(－2 , 1)、(－1 , 3)、(3 , 4)，用
有向线段的中点坐标公式 求顶点D的坐标.
思考：已知平面上三个点的坐标分别为A(－2,1)、
B(－1,3)、C(3,4)，求点D的坐标，使得这四
个点构成平行四边形的四个顶点.
例2：已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线
AB上求一点P，使
例4:如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2), C(x3,y3),求△ABC的重心G的坐标.
练习：已知ΔAB0的三个顶点坐标分别为
A（3，0），B（0，4），O（0，0），求∠ A的平分线交0B于C，求C点的坐标。北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（5）—第一章章节测试题
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ）
A． 2个 B． 3个　　 C． 4个　　　 D．无法确定
2．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是 （ ）
A．①②　　 B． ①　　　 C．③④　　 D． ①②③④
3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高
的比为 （ ）
A．1∶1 B．1∶1 C．2∶3 D．3∶4
4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ）
A．正方体 B．正四棱锥 C．长方体 D．直平行六面体
5．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ）
A．a⊥α且a⊥β 　　　 B．α⊥γ且β⊥γ
C．aα，bβ，a∥b D．aα，bα，a∥β，b∥β
6．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，nα，Am，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈ n
7．下列四个说法
①a//α，bα,则a// b ②a∩α＝P，bα，则a与b不平行
③aα，则a//α ④a//α，b //α，则a// b
其中错误的说法的个数是 （ ）
A．1个　　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个
8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．3cm2
9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧
面，则两圆锥体积之比为 （ ）
A．3∶4 B．9∶16 C．27∶64 D．都不对
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．螺母是由 _________和 两个简单几何体构成的．
12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm2，则它的体积为___________．
13．如图，将边长为a的正方形剪去阴影部分后，围成一个正三棱锥，
则正三棱锥的体积是 ．
14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点. ①若AC=BD，
则四边形EFGH是 ；
②若则四边形EFGH是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）将下列几何体按结构分类填空
①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；
⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；量筒；量杯；十字架．
（1）具有棱柱结构特征的有 ；（2）具有棱锥结构特征的有 ；
（3）具有圆柱结构特征的有 ；（4）具有圆锥结构特征的有 ；
（5）具有棱台结构特征的有 ；（6）具有圆台结构特征的有 ；
（7）具有球结构特征的有 ；（8）是简单集合体的有 ；
（9）其它的有 ．
16．（12分）已知：求证：．
17．（12分）正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为1cm和5cm，求体积．
18．（12分）直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为，求直平行六面体的侧面积．
19．（14分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．
20．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，
D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B ；
（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面
C1DF ？并证明你的结论．
参考答案（五）
一、CBCDA ACADD．
二、11．正六棱柱，圆柱；12．48cm3；13．；14．菱形，矩形.
三、15．⑴①⑦⑨；⑵⑧；⑶⑾；⑷⑩；⑸⒁；⑹⑿⒃；⑺③⑥⒂；⑻②④⒀；⑼⑤.
16．本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
证明∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面
17．解：
，
18．解：设底面边长为a，侧棱长为l，两对角线分别为c，d.
则
消去c，d由（1）得，代入（3）得
19．解：设A1B1C1D1是棱台ABCD－A2B2C2D2的中截面，延长各侧棱交于P点.
∵BC=a，B2C2=b∴B1C1=∵BC∥B1C1∴
∴
同理 ∴
同理：
由等比定理，得
20．（1）证明：如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°．
又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 ．
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B ．
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求．
事实上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，
∴ AB1 ⊥平面C1DF ．
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- 6 -§1 集合的含义及其表示
教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题
教学重点：集合概念与表示方法
教学难点：运用描述法和列举法表示集合
课 型：新授课
教学过程型：
引入课题
同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级学生按班级在学校行政楼前集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P16）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
1、 新课教学
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，等标记。示例
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 aA
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
3、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合
3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N 有理数集 Q
正整数集 N+ （或N*） 实数集 R
整数集 Z 注：实数的分类
5、集合的表示方法：①列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法
例：{1，2，3} 特点：元素个数少易列举
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
特点：元素多或不宜列举
例：大于3小于10的实数 A= {x∈R│3﹤x﹤10}
方程的解集用描述法为 B=
函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表示为 C={（x,y)│y=2x}
在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合 D={（x,y)│x﹤0,且y﹥0}
方程组的解集
例题 用适当的方法表示下列集合
①由大于3小于10的整数组成的集合
②方程的解的集合
③小于10的所有有理数组成的集合
④所有偶数组成的集合
6、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数Q
③空 集 不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ
2、 课堂练习
1、用符合“∈”或“”填空：课本P5练习
2、补充思考
①下列集合是否相同
1）A {1，5} B {(1,5)} C {5,1} D {(5,1)}
2）A Φ B { 0 } C { Φ } D {{ Φ }}
3）
小结
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
3、常见数集的专用符号.
4、集合的表示方法
5、空集
3、 作业布置
基本作业：P6 A组 4，5
补充作业：求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；
思考作业：P6B组
板书设计（略）
另注：请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及R之间的区别
第 1 页 （共 3页）函数的应用举例
教学目标
（1）了解解实际应用题的一般步骤；
（2）初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；
（3）向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。
三．教学重、难点：
1．根据已知条件建立函数关系式；
2．用数学语言抽象概括实际问题。
教学过程
一、问题情境
1．情境：
写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系。
解： ．
2．问题：
分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义．
二、数学运用
1．例题：
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量（台）的函数关系式.
解 总成本与总产量的关系为
C=200+0.3,.
单位成本与总产量的关系为
.
销售收入与总产量的关系为
.
利润与总产量的关系为
．
例2． 在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入 与成本之差.
(1) 求利润函数及边际利润函数;
(2) 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值
解 由题意知,,切.
(1) ==,
=
(2) ==,当或时, 的最大值为74120(元).
因为=2480是减函数,所以当时, 的最大值为2440(元).
因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.
例3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）。
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。
解：（1）由已知得
（2）当时，，得；
当时，， 得， ∴
∴， ∴， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3．5小时。
例4．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。
（1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象。
解：（1）阴影部分的面积为
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360。
（2）根据图有
图象（略）
小结：解决实际问题的一般步骤：
实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题
其中建立数学模型是关键，同时还要结合实际问题研究函数的定义域。
三．练习：
（1）今有一组实验数据如下：
1．99 3．0 4．0 5．1 6．12
1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 （ C ）
（） （） （） （）
（2）大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）。
求：（1）与的函数关系； （2）以及处的气温。
解：（1）由题意，时，，所以当时，，从而当时，。综上，所求函数关系为；
（2）由（1）知，处的气温为，
处的气温为．
四、课外作业：
课本第84页第1、2、3、4、题、第88页第3、4题．
1
1
2
3
4
5
20
30
40
50
60
10
70
80
90
1
2
3
4
5
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普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高一数学同步测试（6）—2.1平面直角坐标系中的基本公式
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．关于位移向量说法正确的是 （ ）
A．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量；
B．两个相等的向量的起点可以不同；
C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量；
D．的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值。
2．化简等于 （ ）
A．　 B．零位移　 C．　 D．
3． 若，（其中），向量的最小值 （ ）
A． B．0 C． D．
4．数轴上到，两点距离之和等于1的点的集合为 （ ）
A．{0，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．
5．方程的解为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的垂直平分线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
7．以为顶点的三角形是 （ ）
A．直角三角形　 B．等腰三角形　 C．正三角形　 D． 等腰直角三角形
8．已知三点在同一直线上，则实数的值是 （ ）
A．1 B．4 C．3 D．不确定
9．在直线到距离最短的点是 （ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（－1，－1） D．（）
10．轴上点到两点距离的最小值为 （ ）
A．3 B． C．5 D．17
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若点与点的距离为5，则 ．
12．若，点是的垂直平分线上一点，则___________．
13．若，则___ __．
14．直线上的两点的横坐标分别为，则两点间的距离为____________；直线上的两点的纵坐标分别为，则两点间的距离为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知点，在轴上找一点使得，并求出的值．
16．（12分）已知点与间的距离为，求的值．
17．（12分）已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)．
18．（12分）判断下列A（－1，－1），B（0，1），C（1，3）三点是否共线，并给出证明．
19．（14分）用坐标法证明三角形的中位线长为其对应边长的一半．
20．（14分）已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
参考答案（六）
一、BCDDA BBCAC．
二、11．0或8；12．；13．；14．，；
三、15．解：设，则有
； ；
由 可得；
解得，从而得，且.
16．解： 由 又由
即，得或.
17．解： ①(－x, y)；②(x, －y)；③(－x, －y)；④(y, x)；⑤(－y, －x).
18．解：三点共线. ； ；
；则，所以三点共线.
19．证： 只需将三角形三个顶点的坐标设出，再利用中点坐标公式，求出两腰中点的坐标. 最后用两点间距离公式求得结果既可.
20．解：解：设点M（x,y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，那么点M属于集合
由距离公式，点M适合的条件可表示为：
①
将①式移项后再两边平方，得x2+(y－2)2=(y+2)2,
化简得：
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是 (x≠0) ,它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图所示.
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- 1 -4 对数
教学目标：
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质决有关问题。培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。
2、通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识。
3、学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。
教学重点难点：
重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用。
难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用。
教学过程：
4.1 对数及其运算（第1课时）
一、引入：
在上一节，我们研究细胞分裂时，曾归纳出，第次分裂后，细胞的个数
给定细胞分裂次数，可求出细胞个数。在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数，计算分裂的次数。
2000年我国国民经济生产总值为亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。
假设经过年，国民经济生产总值是2000年2倍，依题意，有
即
指数取何值时满足这个等式呢？
我们经常遇到这类已知底数和幂的值，求指数的问题。这就是我们接下来要学习的对数问题。
二、讲授新课：
1 对数
（1）、定义：
一般地，如果 的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作
其中叫作对数的底数，叫作真数。
实质上，对数表达式不过是指数函数式的另一种表达形式。
例如，
这两个式子表达的是同一关系。
（2）、说明：
①
② 负数和零没有对数。
③
④
2、常用对数、自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，的常用对数，简记作。
以为底的对数称为自然对数，的自然对数，简记作。
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） （2） （3） （4）
解 （1） （2）
（3） （4）
例2将下列对数式写成指数式：
（1） （2） （3） （4）
解 （1） （2） （3） （4）
例3 求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4） （5）
解 （1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3） （4） （5）
三、课堂练习：
课本P81 练习1 ， 1、2、3
四、课堂小结：
1 对数的定义；2 几种特殊数的对数；3 负数和零没有对数；4 对数恒等式；5 常用对数和自然对数。
五、作业：
习题3-4 A组 P88 1、2、3
补充作业：
已知，求的值。
解 因为，根据对数的定义有，
所以
4.1 对数及其运算（第2课时）
一、复习回顾：
1 对数的定义
2 指数式与对数式的互化
3 重要公式
4 指数的运算法则
二、教授新课：
1 对数的运算性质
如果，则
（1）
（2）
（3）
证明：设，则由对数定义得
因为 ，所以
即
例4 计算：
（1） （2）
解（1）
（2）
例5 用表示下列各式：
（1） （2） （3）
解 （1）
（2）
（3）
例6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为，由题意得
因此
即
所以
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍。
三、课堂练习：
课本P84 练习2 ， 1、2、3
四、课堂小结：
1、对数的运算法则
2、对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用
3、对数与指数形式比较
五、作业：
习题3-4 A组 6、7、8
补充作业：已知均为正数，，求证：。
证法一：设，则。
由对数的定义得，
则左边=，
右边=。
证法二：
所以 又
所以
4.2 换底公式（第3课时）
一、引入：
在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求？
我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算。
设 ，写成指数形式，得
两边取常用对数，得
所以
即
二、讲授新课：
1、换底公式
证明 设，根据对数定义，有
两边取以为底的对数，得
而，所以
由于，则，解出，得
，
因为，所以
很容易由换底公式得到
例7 计算：
（1） （2）
解 （1）
（2）
例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
； ； ； ；
解
例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
解 设最初的质量是1，经过年，剩留量是，则
经过1年，剩留量是，
经过2年，剩留量是，
……
经过年，剩留量是。
方法一 根据函数关系式列表3-9
表3-9
0 1 2 3 4 5 ……
1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 ……
观察表中数据，时对应有
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
方法二 依题意得，用科学计算器计算得
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
三、课堂练习：
课本P86 l 练习2，3
四、课堂小结：
1、对数换底公式；
2、换底公式可用于对数式的化简、求值或证明。
五、作业：
习题3-4 A组 4、5
补充作业：
已知求的值。
解：因为，
所以
又因为，
所以
5 对数函数
教学目标：
1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数行结合、分类讨论等数学思想。
2、能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题。认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识。
3、掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优秀品质，培养学生数学交流能力。
教学重点难点：
重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底数对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用。
难点：底数对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明。
教学过程：
5.1 对数函数的概念（第1课时）
一、引入：
根据对数式
对于在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的。
二、讲授新课：
1 对数函数
我们把函数 叫作对数函数，叫作对数函数的底数。
特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数；称以无理数为底的对数函数为自然对数函数。
例1 计算：
（1）计算对数函数对应于取1，2，4时的函数值；
（2）计算常用对数函数对应于取1，10，100，0.1时的函数值。
解 （1）当时，
当时，
当时，；
（2） 当时，
当时，
当时，
当时，
指数函数和对数函数有什么关系？
2 反函数
指数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是；对数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是。像这样的两个函数叫做互为反函数。
反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：
例2 写出下列对数函数的反函数：
（1） （2）
解（1）对数函数，它的底数是10，它的反函数是指数函数
；
（2）对数函数，它的底数是，它的反函数是。
例3 写出下列指数函数的反函数：
（1） （2）
解：（1）指数函数，它的底数是5，它的反函数是；
（2）指数函数，它的底数是，它的反函数是。
三、课堂小结：
1、对数函数的概念；
2、对数函数的反函数。
四、作业：
习题3-5 A组 1、2、3
5.2 的图像和性质（第2课时）
5.3 对数函数的图像和性质（第3课时）
一、复习回顾：
1、对数函数的定义；
2、对数函数的反函数。
二、讲授新课：
下面我们研究对数函数的图像和性质。
可以用两种不同方法画出函数的图像。
方法一 描点法
方法二 画出函数的图像，再变换为的图像
对数函数，在其底数及这两种情况下的图像和性质可以总结如表3-11
图 像
性 质 (1)定义域： (1)定义域：
(2)值域： (2)值域：
(3)过点,即时 (3)过点,即时
(4)当时时 (4)当时时
(5)是上的增函数 (5)是上的减函数
例4 求下列函数的定义域
（1）； （2）
解：（1）因为，即，所以函数的定义域为
；
（2）因为，即，所以函数的定义域为
。
例5 比较下列各题中两个数的大小：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）因为，函数是增函数，，所以
（2）因为，函数是减函数，，所以
（3）因为函数是增函数，，所以
同理，所以
（4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是小于1。而已知条件中并未明确指出底数于1哪个大，因此需要对底数进行讨论。
当时，函数在上是增函数，此时
当时，函数在上是减函数，此时
例6 观察在同一坐标系内函数与函数的图像，分析它们之间的关系。
解：从图3-16(1)上可以看出，点与点关于直线对称。函数与函数互为反函数，对应于函数图像上的任意一点，点关于的对称点总在函数的图像上，所以，函数的图像与函数的图像关于关于直线对称。(如图3.16(2))
图3-16(1)
图3.16(2)
例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代。已知放射性物质的衰减服从指数规律：
，
其中表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了年后剩余的质量。
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，的半衰期大约是5730年，由此可确定系数。人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的。
1950年在巴比伦发现一根可由Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其分子的衰减速度为4.09个，而新砍伐烧成的木炭中的衰减速度为6.68个。请估算出Hammurbi王朝所在年代。
解：因为的半衰期是5739年。所以建立方程
解得，由此可知的衰减规律服从指数型函数
设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为年。因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以
于是
两边取自然对数，得
解得
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年。
三、课堂练习：
课本P97 练习2、3
四、课堂小结：
对数函数的图像和性质
五、作业：
习题 3-5 A组 4、5
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
教学目标：
1、借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
2、恰当运用函数的三种表示方法，并借助信息技术解决一些实际问题。
3、让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣。
教学重点难点：
重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决简单问题。
1、 引入：
对数函数，指数函数，幂函数在区间上都是增函数，但这三类函数的增长是有差异的。本节我们将讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长情况。
当时，指数函数，是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。
当时，幂函数显然也是增函数，并且当时，越大其函数值的增长就越快。
2、 讲授新课
学生自己阅读完成
3、 课堂小结：
三类函数的增长快慢，及函数的简单应用。
4、 作业：
习题3-6 A组 1
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1课 题： 3.1 指数函数的概念
教学目的：
理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.培养学生实际应用函数的能力
教学重点：指数函数的图象、性质
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新课讲授
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
例题讲解：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量
经过2年，剩留量
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84
的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2比较下列各题中两个值的大小：
①，； ②，； ③，
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面几组数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
练习：⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n；m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
小结 本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质
课后作业：(共6张PPT)
复习练习：以下两种解法中，哪种正确？
向量 a 与 b 的夹角是600，| a |=2,| b |=1, 则
|a+b| |a－b|的值为多少？
解法一： |a+b| |a－b|＝|(a+b) (a－b)|=|a2－b2|
=|4－1|=3
问题：已知两个非零向量 a ＝(x1,y1) , b ＝(x2,y2) ,怎样用 a 和 b
的坐标表示 a b 呢？
如图，i ，j 分别是x轴、y轴上的单位向量，则
1
1
0
x
y
0
1
2
i
j
A (x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
2、已知 a =(x1,y1), b= (x2,y2),则
(1)用 i , j 表示 a , b 得
a =________ , b = _______
(2) a · b =_________
x1 i +y1 j
x2 i +y2 j
x1x2+y1y2
练习一：
1.设 a =(5,-7), b =(-6,-4),则 a · b =_______
-2
1、已知 a =(x,y)，则
| a |2 =__________，| a |=_______
2、已知P1(x1,y1), P2(x2,y2),则
P1P2=_________
|P1P2|=____________
3、设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a ⊥ b <=> ________<=>________
平面上两点间距离公式
x2+y2
(x2-x1,y2-y1)
a · b =0
x1x2+y1y2=0
练习二：(共22张PPT)
一、进位制
1、什么是进位制？
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
半斤=八两
我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.
古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.
比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打”数值时是12进制的。
电子计算机用的是二进制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
3、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
十进制由两个部分构成
例如：3721
其它进位制的数又是如何的呢？
第一、它有0～9十个数字；
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。
(用10个数字来记数，称基数为10)
表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方
十进制：“满十进一”
二、 其它进制
1.二进制是用0、1两个数字来描述的．
如11001
区分的写法：11001（2）或者(11001)2
2.八进制呢？
如7342(8)
4.k进制呢？
anan-1…a1a0(k)？
3.十六进制用0～9个数字及ABCDEF表示
k进制呢？
anan-1…a1a0(k)=？
十进制与k进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51．
趣题：八路军击毙日军一高级军官，从其身上搜出一份密电，其代码为“1333”，经我军破译代码”1333”为8进制数,只须将其转化为十进制即可破译,你能破译这个密码吗
例-2.设计一个算法,将k进制数a (共有 n位)转换为十进制数的程序
an-1… a2a1a0(k)
=an-1k(n-1)+ … + a2k2 +a1k1+a0k0
开始
输入a,k,n
s=0
i=1
把a的右边第i位数字赋给b
s=s+b×ki-1
i=i+1
i>n
输出s
结束
否
是
例-2.设计一个算法,将k进制数a (共有 n位)转换为十进制数的程序
Input “a,k,n=“;a,k,n
s=0
i=1
b=a mod 10
Do
s=s+b*k^(i-1)
a=a\10
b=a mod 10
i=i+1
Loop until i>n
Print s
End
(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数)
例2 把89化为二进制数
解：
根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
＝ 2× (2×22＋0)+1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
5＝ 2× 2＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
2、十进制转换为二进制
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2）
2、十进制转换为二进制
例2 把89化为二进制数
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
44
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
练习
将下面的十进制数
化为二进制数？
（1）10
（2）20
例3 把89化为五进制数
3、十进制转换为其它进制
解：
根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）
89
5
17
5
3
5
0
4
2
3
余数
4、非十进制之间的转换
你能将1234(5)转化为八进制吗
194
8
24
8
3
8
0
2
0
3
余数
借助十进制来转化
开始
输入a,k
求a除以的商q
求a除以的余数r
把得到的余数依次从右到左排列
a=q
q=0
输出全部余数ｒ排列得到的ｋ进制数
结束
例-４.设计一个程序,把任意的十进制a转化为k进制数b.
是
否
Ｉｎｐｕｔ　“ａ，ｋ＝”；ａ，ｋ
ｂ＝０
ｉ＝０
Ｄｏ
　　ｑ＝ａ＼ｋ
　　ｒ＝ａ　ｍｏｄ　ｋ
　　ｂ＝ｂ＋ｒ＊１０＾ｉ
　　ｉ＝ｉ＋１
　　ａ＝ｑ
Ｌｏｏｐ　ｕｎｔｉｌ　ｑ＝０
Ｐｒｉｎｔ　ｂ
Ｅｎｄ
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （10）；
（2）235（7）= （10）；
（3）137（10）= （6）；
（4）1231（5）= （7）；
（5）213（4）= （3）；
（6）1010111（2）= （4）。
1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；
2．十进制与二进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。
小结
3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）
用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。(共26张PPT)
1、（1）顺序结构是任何一个算法都不可缺少的基本结构，它由若干个依次执行的处理步骤组成。
（2）条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
复习回顾
程序框 名称 功能
终端框
(起止框)
输入、
输出框
处理框
(执行框)
判断框
表示一个算法的
起始和结束
表示一个算法输
入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”,不成立时标明“否”或“N”.
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.
设计一算法,求和:1+2+3+ … +100.
第一步:确定首数a,尾数b,项数n；
第二步:利用公式“总和=(首数+尾数)×项数/2”求和；
第三步:输出求和结果.
算法1：
开始
结束
输入a,b,n
S=(a+b)*n/2
输出S
新课引入
算法2：
第一步:从1开始将自然数1,2,3,…,100逐个相加;
第二步:输出累加结果.
1.上边的式子有怎样的规律呢？
2.怎么用程序框图表示呢？
S=S + i
设计一算法,求和:1+2+3+ … +100.
S=0
S=S + 1
S=S+ 2
S=S + 3
…
S=S + 100
思考：
在一些算法中,经常会出现从某处开始,反复执行某一处理步骤,这就是循环结构.
循环结构
1. 需要重复执行同一操作的结构称为循环结构。即从某处开始，按照一定条件反复执行某一处理步骤。反复执行的处理步骤称为循环体。
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构。
当型循环结构
满足条件
循环体
Y
N
当型循环结构在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断,当条件满足时执行循环体,不满足则停止.
2.循环结构的算法流程图
直到型循环结构
条件
循环体
Y
N
直到型循环执行了一次循环体之后,对控制循环条件进行判断,当条件不满足时执行循环体,满足则停止.
3.循环结构的设计步骤
(1)确定循环结构的循环变量和初始条件;
(2)确定算法中需要反复执行的部分,即循环体；
(3)确定循环的终止条件.
4.循环结构的三要素
循环变量，循环体、
循环的终止条件.
例1.设计一个计算1+2+3+…+100的程序框图.
开始
i≤100
否
是
输出s
结束
i=1
S=0
i=i+1
S=S+i
解：由于加数较多，采用逐个相加的方法程序太长，是不可取的，因此应采取引入变量应用循环的办法。
例1.设计一个计算1+2+3+…+100的程序框图.
开始
i >100
否
是
输出S
结束
i=1
S=0
S=S+i
i=i+1
开始
？
结束
是
否
程序框图：
结束
开始
？
是
否
当型循环结构
直到型循环结构
当型循环与直到循环的区别：
①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.
②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断.
③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.
（1）循环结构不是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要用条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构。
（2）循环结构在程序框图中也是利用判断框来表示，判断框内写上条件，两个出口分别对应着条件成立和条件不成立时执行的不同指令，其中一个指向循环体，然后再从循环体回到判断框的入口处。
（3）在循环结构中都有一个计数变量或累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
算法如下：
第一步：i＝1；
第二步：s＝0；
第三步：s＝s＋i；
第四步：i＝i＋1；
第五步：如果i不大于100，返回重新执行第三步，第四步，第五步，否则，算法结束，最后得到的sum值就是1＋2＋3＋…＋100的值。
例1、设计一个计算1＋2＋3＋…＋100的值的算法，并画出程序框图。
例2.某工厂2005年的年生产总值为200万,技术革新后预计年生产总值都比上一年增加　　.设计一个程序框图,输出预计生产总值超过300万元的最早年份.
见教材16页
练习：
1.如图（1）为循环体中的
循环，它换成另外一种
循环的框图
Ｐ＞Ｑ？
a
图(1)
是
否
a
Ｐ<=Ｑ？
是
否
2.如图(2)的算法功能是
结束
开始
(图2)
是
否

当型
求积为624的相邻偶数.
直到型
3.指出程序框图的运算结果
4.已知
画出求解 的最大值的过程的程序框图．
？
开始

结束
是
否
①
②
当循环箭头指向①处时,输出
;
指向②处时,输出
.
5
15
否
开始
结束
是
输出
5.下图为求1~1000的所有的偶数的和而设计的一个程序框图,将空白处补上,并指明它是循环结构中的哪一种类型,并画出它的另一种循环结构框图．
开始
i=2
sum=0
i<=1000
输出sum
结束
sum=sum+i
i=i+2
6.画出求T=1×2×3×…×100问题的程序框图.
第一步:设i=1,T =1;
第二步:如果i≤100执行第三步,否则执行第五步;
第三步:计算T×i并将结果代替T;
第四步:将i+1代替i,转去执行第二步;
第五步:输出T.
课堂练习
开始
i >100
否
是
输出T
结束
i=1
T=1
i=i+1
T=T×i
1．本节课主要讲述了算法的循环结构。算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达 。
2．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。
课堂小结
3．在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
4．画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.(共9张PPT)
§4.4 同角三角函数的基本关系式
我们的目标
掌握同角三角函数八个基本关系式
理解并能熟练运用基本关系式求值
任意角的三角函数
定义：
同角三角函数的八个基本关系式(共24张PPT)
2.1.2 系统抽样
抽签法
2.简单随机抽样的方法：
随机数表法
注:随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.
复习回顾
一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
1.简单随机抽样的概念
使用范围： 总体容量较小
提出问题
一个礼堂有30排座位，每排有40个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为20的30名听众进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方法？
由于每排的座位有40个，各排每个号码被抽取的概率都是 ，因
而第1排被抽取前，其他各排中各号码被抽取哪率也是 ，也就是
说被抽取的概率是 ，每排的抽样也是简单随机抽样，这种
抽样的方法是系统抽样。
一个礼堂有30排座位，每排有40个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为20的30名听众进行座谈。
当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样。
系统抽样
系统抽样的步骤为：
（1）采取随机方式将总体中的个体编号。
（2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k。
是整数时， ；
不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止。
（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l。
（4）按照规则抽取样本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk
系统抽样时，将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用简单随机抽样；系统抽样每次抽样时，总体中各个个体被抽取的概率也是相等的;如总体的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行。需要说明的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。
例1.为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本进行分析，问如何抽样？
第一步：编号
将这1000名学生的编号为1，2，…，1000，
第二步:分段
由于50:1000＝1:20，我们将总体均分成50个部分，
其中每一部分包括20个个体，即1~20、21~40、---、
981~1000；每段间隔为20。
第三步:确定起始编号
从第1部分的个体编号1，2，…，20中用简单随机抽样
随机抽取一个号码，比如为18
第四步:列出所取编号
18，38，58，…，978，998
在上面的抽样中，由于在第1部分（个体编号1～20）中的起始号码是随机确定的，每个号码被抽取的概率都等于0.05，所以在抽取第1部分的个体前,其他各部分中每个号码被抽取的概率也都是0.05.就是说,在这个系统抽样中,每个个体被抽到的概率都是0.05.
例2、从2003名同学中，抽取一个容量为20的样本．试叙述系统抽样的步骤
解： (1)采用随机的方式给个体编号：1，2，…，2003．
(2)剔除3个个体．
(3)分段：由于20∶2000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分100个个体．
(4)在第一部分随机抽取一个号码，比如66号．
(5)起始号“＋”间隔确定样本中的各个个体，如166，266，…．
练习:某学校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,
…,99,为了了解学生的学习情况,要按1:5的比例抽取一个
样本,用系统抽样的方法怎样进行抽取,并写出过程.
解:(1) 编号,按现有的号码.
　(2) 确定分段间隔k=295/59=5,把295名学生分成59组,
每组5人,第一组是编号为1~5的5名学生,第二组是编号为
6~10的5名学生,依次下去,第59组是编号为291~295的5名
学生.
(3) 采用简单随机抽样的方法,从第一组5名学生中抽出
一名学生,不妨设编号为l(l∈N,1≤l≤5);
(4) 那么抽取的学生编号为l+5m(m=0,1, …,58),得到59　　　　 　个个体作为样本,如当m=3时的样本编号为
3,8,13, …,288,293.
3．分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样。其中所分成的各部分叫做层。
由于分层抽样的要求不同，各层的抽样的样本容量也不相同，所以，应当按照实际情况，合理地将样本容量分配到各个层，以确保抽样的合理性，研究时可以根据不同的要求来分层抽样。
分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样。这种方法较充分地利用了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方法。
分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层。分层抽样中分多少层，要视具体情况而定。总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义。
例3、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个层，因此该总体可以分为3个层。由于抽取的样本为100，所以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。
解：抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，则各年龄段（层）的职工人数依次是125：280：95＝25：56：19，然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取。
答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人。
分层抽样的抽取步骤：
（1）总体与样本容量确定抽取的比例。
（2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
（4）对于不能取整的数，求其近似值。
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2400 4200 3800 1600
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
例4：
练习
1、一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽出一个容量为28的样本。
提示：56：42=4：3，男28×4/7=16人，女28-16=12人
提示：200×2/10=40，200×3/10=60，200-40-60=100
2、某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，这3个区分别应抽取多少人？
3、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，合适的方法是（ ）
A、简单随机抽样
B、分层抽样
C、先从老年人中剔除一人，再分层抽样
C
4、学校田径队有男运动员80人，女运动员20人，为了了解训练情况，要从中抽取一个容量为10的样本。则男运动员应抽取 人。
8
4．三种抽样方法的比较
1.下列属于分层抽样特点的是( )
A 从总体中逐个抽取
B 将总体分成几层,分层进行抽取
C 将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取
D 将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
练习：
2. 在简单随机抽样中,某一个个体被抽取的可能性是( )
D 与第n次抽样无关,每次都是等可能抽取,但各次抽取的可能性不一样.
C 与第n次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些
B 与第n次抽样无关,每次抽样的可能性都相等
A 与第n次抽样有关,第一次抽中的可能性要大些
3.某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭 95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100的样本,记做(1);某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记做(2).那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是( )
A (1)用随机抽样法,(2)用系统抽样法
B (1)用分层抽样法,(2)用随机抽样法
C (1)用系统抽样法,(2)用分层抽样法
D (1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法
4.在100个零件中,有一级品20个,二级品50个,从中抽取20个作为样本.(1)采用随机抽样法, 将零件编号为00,01,…99.抽签取出20个;(2)采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;(3)采用分层抽样法,从一级品中 随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个,则下列说法正确的是( )
A 不论用哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1/5
B (1),(2)2种方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1/5;(3)并非如此
C (1),(3)2种方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1/5;(2)并非如此
D 用 不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率是名不相同的
5.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采用分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一,高二,高三各年级抽取人数分别为( )
A 15, 5, 25 B 15, 15 ,15
C 10, 5, 30 D 15, 10, 20
6 某市为了解职工家庭生活状况,先把职工按所在国民经济行业分为13类,然后按每个行业抽 的职工家庭进行调查,这种抽样是______(共16张PPT)
我们的目标
1、掌握正切函数图象及其性质，并能简单地应用
2、掌握余切函数图象及其性质
§4.10 正切函数的图象和性质
（二）
1、正切函数在一个周期 内的图象及作法
x
y
0
2、正切曲线
0
y
x
3、正切函数的图象性质：
例题1
解：
y
x
0
T
A
解法1
解法2
例题1
解：
0
y
x
解法1
解法2
练习
求函数 的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
例题2
练习
例题2
x
y

2
1
O
解：
0
y
x
0
y
x
例题3
求下列函数定义域：
解：
例题3
求下列函数定义域：
解：(共8张PPT)
2.1.4数据的收集
做实验
做实验时需要注意的问题：
（1）准备好实验用具
（2）组织好观测的对象
（3）指定专门记录的人员
做实验的优缺点
优点：做实验通常能得到可靠的数据资料。
缺点：需要花费较多的人力，物力，时间且有时会有破坏性。
查资料
优点：
（1）查阅资料可以取得不容易直接调查得到的数据资料。
（2）有时可省去大量的人力物力。
（3）有时可以减少破坏性。
查资料
缺点：
（1）有些数据无法从资料中查找。
（2）有时一些资料带有片面性，与你要调查的情形不十分符合。
设计调查问卷
设计调查问卷时需注意以下几点：
（1）问题要具体、有针对性，使受调查者容易回答。
（2）语言简单、准确、含义清楚，避免出现歧义或意思含混的句子。
（3）题目不能出现引导受调查者答题倾向的话语。
（4）把比较容易的、不涉及个人问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面。
调查问卷的方式
邮寄、电话、专人调查、网络调查等。
此外还要注意如何得到敏感问题的诚实反应。