2023-2024 学年上期高一年级第二次调研考试 6.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由
数学试卷 四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三
角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 1，小正方形的面积为 ，若
1
2 = 25， 2
则 sin +cos 的值为 ( )
试卷说明：①试卷共 150 分，120分钟；②请在答题卡规定区域作答. 2sin cos
5 19 7 16一.单选题（本大题共 8小题，共 40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） A. B. C. D. 2 5 2 5
+ = 5 ( ) ( )
1.将集合{( , )| { }表示成列举法，正确的是 ( ) 7.函数 ( )为偶函数，且对任意 1， 2 ∈ [0, +∞)( 1 ≠ )都有
1 2
2 > 0，则不等式 (2 4) <2 = 1 1 2
A. {2,3} B. {(2,3)} C. {(3,2)} D. (2,3) (2)的解集为 ( )
2.设 = { | = 90°, ∈ } ∪ { | = 180° + 45°, ∈ }， = { | = 45°, ∈ }，则 ( ) A. ( ∞, 1) ∪ (3, +∞) B. ( ∞, 3) C. (1,3) D. (1, +∞)
2 A. B. C. = D. ∩ = 已知函数 + 8. ( ) = (0 ≤ ≤ 1)，函数 ( ) = ( 1) ，(1 ≤ ≤ 2).若对任意的 1 ∈ [0,1]，存2 +1
3.若 > 0， > 0，则“ + ≤ 4”是“ ≤ 4”的( )
在 2 ∈ [1,2]，使得 ( 1) = ( 2)，则实数 的取值范围为 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
5 5 5 5
A. (1, ] B. (1, +∞) C. [2, ] D. [ , ]
3 2 3 2
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二.多选题（本大题共 4小题，共 20分.在每小题有多项符合题目要求）
4.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人
9.下列说法中正确的是 ( )
听 了 音 乐 讲 座 ， 记 = { | 是听了数学讲座的学生}, = { | 是听了历史讲座的学生}, =
A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1
{ | 是听了音乐讲座的学生}. 用 ( ) 来表示有限集合 中元素的个数，若 card( ∩ ) =
B. 若 是第二象限角，则 是第一象限角
2
17, card( ∩ ) = 12, ( ∩ ) = 9， ∩ ∩ = ，则 ( )
C. ∈ ， 2 4 + 5 ≥ 0
A. card( ∪ ) = 143 B. card( ∪ ∪ ) = 166
D. 命题： > 0，ln ≤ 1的否定是： 0 > 0，ln 0 > 0 1
C. card( ∪ ) = 129 D. card( ∩ ∩ ) = 38
10.已知关于 的不等式 2 + + > 0的解集为{ | 3 < < 2}，则 ( )
sin +
5.函数 ( ) = 的部分图象大致为 ( )
+ A. < 0
B. + + > 0
A. B. C. D. C. 不等式 + > 0的解集为{ | > 6}
D. 不等式 2 + + < 0的解集为
1 1
{ | < < }
3 2
{#{QQABLYoEgggIQAAAARgCAQU4CgEQkBEACAoORBAEMAIBwQFABAA=}#}
11.下列说法中正确的有( ) (2)已知 是第三象限角，化简 1+sin 1 sin √ √ ；
1 sin 1+sin
4
A. 已知 < 1，则 = 2 + 1的最小值为4√ 2 + 1
1 3 tan (435 )+sin ( 165 )(3)已知cos (15 + ) = ， 为锐角，求 的值.
5 cos (195 + )sin (105 + )
B. 若正数 ， 满足 + 2 = 3 ，则2 + 的最小值为3
+ 1 2
19.(12分) 已知 ( ) = 是定义在( 1,1)上的奇函数，且 ( ) = ．
2
2+1 2 5
√ +2 √ 2C. = 的最大值为
2 2+5 4 (1)求 ( )的解析式；
1 1
D. 若 ∈ (0, )，则 + ≥ 4
2 sin2 cos2 (2)判断 ( )的单调性，并证明你的结论；
12.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) ( ) = 0， ( + 2) ( ) = 0，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = (3)解不等式 (2 2) + ( ) < 0．
2( 1)2，若函数 = ( ) log ( + 1)在(0, +∞)上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的 20.(12分)为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门
是( ) 口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务
A. ( )的图象关于直线 = 1对称 B. 当 ∈ [4,5]时， ( ) = 2( 5)2 室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价
√ 2
C. 当 ∈ [2,3]时， ( )单调递减 D. 的取值范围是 为每平方米 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 元，屋顶和地面以及其他报价共计(0, ) 400 300 14400
2
元．设屋子的左右两面墙的长度均为 米(3 ≤ ≤ 6)．
三.填空题（本大题共 4小题，共 20分）
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价;
13.函数 = 2 4 + 3的零点为 ．
1800 (1+ )
14.函数 = lg( 2 2 4 + 3)的定义域为 ，则实数 的取值范围是_______. (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 元( > 0)，若无论
15.函数 ( ) = [ ]的函数值表示不超过 的最大整数，例如[ 3.5] = 4，[2.1] = 2.若集合 = { | = 左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
[ ] + [2 ],0 ≤ ≤ 1}，则 中所有元素之和为 ． 21.(12分)已知函数 = ( + 1) 2 + 1( ∈ )
16.已知 > 0，函数 ( ) = cos( )在( , )上单调递减，则 的取值范围是 ． (1)若不等式 < 0的解集为 ，求 的取值范围；
4 2
(2)当 > 2时，解不等式 ≥ ．
四.解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22.(12分)已知函数 ( )对任意 ， ∈ ，总有 ( + ) = ( ) + ( )，且当 > 0时， ( ) < 0，
17.(10分)已知全集 = ，集合 = { |2 1 < < 3 + 1}，集合 = { | 1 < < 4}．
2
(1)当 = 0时，求( ) ∩ ；
(1) = ．
3
(2)若 ，求实数 的取值范围． (1)求证： ( )是 上的奇函数；
18.(12分)化简 (2)求证： ( )是 上的减函数；
(3)若 ( 2cos 36 √ 1 cos236 + 1) (2 4 ) ≥ 2，求实数 的取值范围．
(1) ；
√ 1 2sin 36 cos 36
{#{QQABLYoEgggIQAAAARgCAQU4CgEQkBEACAoORBAEMAIBwQFABAA=}#}2023-2024 学年上期高一年级第二次调研考试 ∴ cos < 0，sin ∈ ( 1,0)，
1+sin 1 sin (1+sin )2 (1 sin )2 (1+sin )2 (1 sin )2 (√ 1+sin
)2
∴ √ = √ √ = √ √ = √
数学答案和解析 1 sin 1+sin (1 sin )(1+sin ) (1+sin )(1 sin ) 1 sin2 1 sin2 cos2
(1 sin )2√ 1+sin 1 sin 1+sin 1+sin 1-8 BAAB ACCD = = = 2tan ． cos2 cos cos cos
9. 10. 11. 12. 3(3)解：∵ cos (15° + ) = ， 为锐角，
5
13. 和 14.( , ] 15. 16. [ , ]
∴ 15° + 为锐角，
4
16.解：由题意，易知函数 ( ) = cos( ) = cos( )， ∴ sin (15° + ) = √ 1 cos2(15° + ) = ，
4 4 5
3 2 5 2
由2 ≤ ≤ + 2 ， ∈ ，得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
4
sin(75 ) cos(15 + ) 5
sin ( +15 ) sin ( +15 ) 4 4 4 4 5tan (435 )+sin ( 165 ) tan (75 ) sin ( +15 ) cos(75 ) sin(15 + ) 5 ．
∴ = = = = 5 =
cos (195 + )sin (105 + ) cos (15 + )cos(15 + ) cos (15 + )cos(15 + ) cos2 (15 + ) 9
2 5 2
36
25
故 ( )单调递减区间为[ + , + ]，
4 4 +
19. 解：(1)由 ( ) = 2 是定义在( 1,1)上的奇函数，
+1
若函数 ( )在( , )上单调递减，
2
则有 (0) = 0，即 (0) = = 0，
2
+
2 4 1 5 1 2 1 2 2则{ ，解得 + 4 ≤ ≤ + 2 ， ∈ ， 又由 ( ) = ，则 ( ) = 1 = ，解可得 = 1， 5 2 2 5
+ 2 4 2 5 +14
4
则 ( )的解析式为 ( ) = 2 ，经检验满足 ( )是定义在( 1,1)上的奇函数，
又 = = ，∴ 0 < ≤ 2， +1
2 2 2
1 5 所以 ( ) = 2 ；
∴当 = 0时， ≤ ≤ ， +1
2 4
(2)当 ∈ ( 1,1)时，函数 ( )单调递增，
1 5
故答案为 ≤ ≤ ．
2 4
证明如下：设 1 < 1 < 2 < 1，
17.解：(1)当 = 0时， = { | 1 < < 1}， = { | 1 < < 4}， (
( ) ( 1 2 1
2 1)( 1 2)
1 2) = 2 2 = 2 2 ， 1+1 +1 ( +1)( +1)∴ = { | 1或 1}，
2 1 2
又由 1 < 1 < 2 < 1，则 1 2 < 0， 1 2 1 < 0，(
2
1 + 1)(
2
2 + 1) > 0； ∴ ( ) ∩ = { |1 ≤ < 4}．
( 1 2 1)( 1 2)
(2) ∵ ， 则 2 < 0，即 ( ) ( ) < 0， ( 1+1)(
2+1) 1 22
∴集合 可以分为 = 或 ≠ 两种情况讨论， 所以 ( 1) < ( 2)，
当 = 时，2 1 3 + 1，即 2； 所以函数 ( )在( 1,1)上单调递增；
2 1 ≥ 1 (3)根据题意， (2 2) + ( ) < 0，且 ( )为奇函数，
当 ≠ 时，得{ 3 + 1 ≤ 4 ,
2 1 < 3 + 1 则有 (2 2) < ( )，
即0 1． ∵当 ∈ ( 1,1)时，函数 ( )单调递增，
综上， ∈ ( ∞, 2] ∪ [0,1]． 1 < 2 2 < 1
1 2
则有{ 1 < < 1 ，解可得 < < ， cos 36 sin36 cos 36 sin36 cos 36 sin36 2 3
18. (1)解：原式= = 2 2 < |sin 36 cos 36 | = = 1;
√ 2 (sin 36 cos 36 ) (sin 36 cos 36 )
1 2
(2)解：∵ 是第三象限角， 则 的取值范围为( , ). 2 3
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20.解：(Ⅰ)设甲工程队的总造价为 元， 1当 > 1时， 的解集为{ | ≤ 或 ≥ 1}；
+1
24 16 16
则 = 3(300 × 2 + 400 × ) + 14400 = 1800( + ) + 14400(3 ≤ ≤ 6)，1800( + ) + 14400 ≥
1当 2 < < 1时， 的解集为{ |1 ≤ ≤ }．
+1
16
1800 × 2 × √ + 14400 = 28800．
22.证明：(1)函数 ( ) 对任意 ， ∈ ，总有 ( + ) = ( ) + ( ) ，令 = = 0 ，则 (0) = (0) +
16
当且仅当 = ，即 = 4时等号成立． (0) ，解得 (0) = 0 ．
令 = ，得到 (0) = ( ) = ( ) + ( ) = 0 ，则
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．
可证， ( ) 是 上的奇函数．
16 1800 (1+ )
(Ⅱ)由题意可得，1800( + ) + 14400 > 对任意的 ∈ [3,6]恒成立．
(2)在 上任取 1 、 2 且 1 > 2 ， ，
2 2
即( +4) (1+ )，从而( +4)> > 恒成立，
+1 由(1) ( ) 是 上的奇函数，
2 2
令 + 1 = ，( +4) ( +3) 9 ， ∈ [4,7] 所以 ( 1) ( 2) = ( ) + ( ) = ( ) ， = = + + 6 1 2 1 2
+1
因为 1 > 2 ，所以 1 2 > 0 ． 9
又 = + + 6在 ∈ [4,7]为单调增函数，
由题可知，当 > 0 时， ( ) < 0 ，
9
故 = 4 + + 6 = 12.25． 4 所以 ( 1 2) < 0 .即 ( 1) ( 2) < 0
所以0 < < 12.25． 所以函数 ( ) 是 上的减函数．
21.解：(1)①当 + 1 = 0，即 = 1时， = 2 < 0解集不是空集，舍去， 2解：(3)因为 (1) = ，
3
②当 + 1 ≠ 0，即 ≠ 1时，方程( + 1) 2 + 1 = 0无实数根，
2 4
令 = = 1 ，则 (2) = (1) + (1) = × 2 =
+ 1 > 0 > 1 3 3
{ ，即{ ,
= 2 4( + 1)( 1) ≤ 0 3 2 4 0 2 4
> 1 令 = 1, = 2 ，则 (3) = (2) + (1) = + ( ) = 2 ．
2 3 3
∴ { 2√ 3 2√ 3，解得 √ 3，
或 3
3 3 因为 ( 2 + 1) (2 4 ) ≥ 2 = (3) ，
2
∴ 的取值范围是 √ 3；
3 所以 ( 2 + 1) ≥ (3) + (2 4 ) = (5 4 )
(2) ∵ ，化简得：[( + 1) + 1]( 1) ≥ 0， 又因为函数 ( ) 是 上的减函数，
①当 + 1 = 0，即 = 1时，解集为{ | ≥ 1}， 所以 2 + 1 ≤ 5 4 ，则 2 + 3 4 ≤ 0 ，解得 4 ≤ ≤ 1 ，
1
②当 + 1 > 0，即 > 1时，( + ) ( 1) ≥ 0， 则实数 的取值范围是 [ 4,1] ．
+1
1 1
∴ < 0 < 1，解集为{ | ≤ 或 ≥ 1}，
+1 +1
1
③当 + 1 < 0，即 2 < < 1时，( + ) ( 1) ≤ 0，
+1
1
∵ 2 < < 1，∴ 1 < + 1 < 0，∴ > 1，
+1
1
∴解集为{ |1 ≤ ≤ }．
+1
综上，当 = 1时， 的解集为{ | ≥ 1}；
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