安徽省蚌埠市两校2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题（含解析）

蚌埠市两校2023-2024学年第一学期高二年级第三次月考
数学试题
时间：120分钟 满分：150
一、单选题
1．经过点的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，棱长为3的正方体中， E， F分别在，上， 且 则（ ）
A． B． C． D．与是异面直线
10．若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆
C．若为椭圆，且焦点在轴上，则
D．若为双曲线，且焦点在轴上，则
11．已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10 B．面积的最大值为
C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为
12．圆和圆的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
三、填空题
13．双曲线的一条渐近线方程为，则正实数 .
14．已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 .
15．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，则此直线的斜率= .
16．如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知直线和直线的交点为
(1)求过点且与直线平行的直线方程；
(2)若点到直线距离为，求的值.
18．在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，．

(1)设为的中点，证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知直线与圆交于两点，点在圆上运动．
(1)当时，求；
(2)已知点，求的中点的轨迹方程．
20．已知椭圆：的一个顶点为，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求的面积.
21．如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点在上.
(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值；
(3)若，求点，之间的距离.
22．已知动点到两定点，的距离和为6，记动点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，在轴是否存在点（若记直线、的斜率分别为，）使得为定值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】根据两点的坐标计算斜率即可求解.
【详解】经过点的直线的斜率为.
故选：B.
2．C
【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解.
【详解】因为抛物线可化为，
所以其准线方程为.
故选：C.
3．C
【分析】设出直线方程，利用待定系数法求解即得.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
于是，解得，
所以所求方程为.
故选：C
4．B
【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
所以，则，故两圆相交.
故选：B.
5．D
【分析】先将双曲线化为标准方程，进而可求出双曲线的焦点和顶点坐标，，进而可得椭圆的焦点和顶点，即可得解.
【详解】双曲线化为标准方程得，
焦点坐标为，顶点为，
则所求椭圆的焦点在轴上，
设所求椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，所以，
所以所求椭圆的方程为.
故选：D.
6．D
【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.
【详解】由知，
设平面的一个法向量为，所以，
取，解得，选项D符合，
另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.
故选：D
7．D
【分析】根据向量基本定理表示向量结合向量的数量积公式计算夹角余弦值.
【详解】设正四面体棱长为1，
设，，，则，，
∴，，.
∵，分别为，的中点，，是等边三角形，
∴，，，
．
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D.
8．C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
9．AC
【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量判断位置关系.
【详解】如图，以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
对A，，即，A正确；
对B，，B错误；
对C，，则C正确，D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】AB选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案.
【详解】A选项，当，即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误；
C选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确；
D选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，
则，解得，故选项D错误.
故选：AC.
11．AB
【分析】由椭圆的性质直接分析即可.
【详解】对A，因为椭圆C：，
的周长为，故A正确；
对B，因为，面积最大时高最大，为，
所以面积的最大值为，故B正确；
对C，椭圆C的焦距为，故C错误；
对D，椭圆C的离心率为，故D错误；
故选：AB
12．ABD
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D．
【详解】圆的圆心，半径，
的圆心， 半径，
显然，即圆与圆相交，
对于A，将方程与相减，
得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确；
对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，
而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；
对于C，点到直线的距离为，
因此，C错误；
对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，
因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
13．4
【分析】易知双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，代入即可得.
【详解】双曲线方程为，则其焦点在轴上，，
故其渐近线方程为，
一条渐近线方程为，则，即.
故答案为：4.
14．
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
因为两圆外切，所以，解得.
故答案为：2.
15．.
【分析】根据题意，设方程为，联立方程组得到，求得，结合抛物线的定义，得到方程，进而求得直线的斜率.
【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，可设方程为，
联立方程组，整理得，
可得，则，
由抛物线的定义可得，
解得，所以直线的斜率为.
故答案为：.
16．
【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.
【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
设，则，
，又，所以，
即，则．
当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，
所以，，
，
当时，，当时，，
所以线段的长度的取值范围是．
故答案为：
17．(1)
(2).
【分析】（1）首先求点的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程；
（2）代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）联立方程组，解得，所以点，
又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为，
则所求的直线方程为：，即；
（2）点到的距离为
解方程可得.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证明方法可证得结论；
（2）利用面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，中点，；
平面轴，平面的一个法向量，
，即，BH不含于面ADEF平面.
（2）由（1）知：，，
设平面的法向量，
，令，解得：，；
平面轴，平面的一个法向量，
，即平面与平面所成角的余弦值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）设，利用相关点法求点的轨迹方程.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得.
（2）设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由焦点及顶点坐标求出，再求出，即可得到椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，再求出的面积.
【详解】（1）由题意，得，，又，
所以，，
所以椭圆的方程为；
（2）椭圆的左焦点为，又直线过点且倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
联立直线和椭圆方程，得，消去y，得，
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到，从而得证；
（2）利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解；
（3）利用向量垂直的坐标表示求得的坐标，从而得解.
【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，
所以，从而.
（2）因为，，
则，，，
则.
因此与所成角的余弦值为.
（3）设，则，，
由，得，
所以当时，点的坐标为，又，
所以.
22．(1)
(2)存在定点，使得直线为定值.
【分析】（1）由椭圆定义可得动点的轨迹为以点为焦点的椭圆，求出椭圆方程；
（2）联立与，设，得到两根之和，两根之积，设，则，从而得到时，，，时，，，得到答案.
【详解】（1）由题意得，
故动点的轨迹为以点，为焦点的椭圆，
其中，则，
故曲线的方程为；
（2）联立与得，
设，
则，
则，
，
设，则
，
当时，，，
当时，，，
所以存在定点，使得直线为定值.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.