江苏省扬州市重点中学2023-2024学年高二上学期12月阶段检测数学试题（含答案）

扬州中学高二数学阶段检测试卷 2023.12.22
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意要求的）
1 ．已知等差数列{an } 中，a1 = 1, a4 = 8 ，则公差d = ( )
A ．4 B ．3 C . 4 D . 3
2.已知f (x) = x2 1 ， 则f , (1) = ( )
A ．0 B ．1 C ．2 D . 1
3.对任意等比数列{an } ，下列说法一定正确的是 ( )
A ． a1 ， a3 ， a9 成等比数列 B ．a2 ，a3 ， a6 成等比数列
C ．a2 ， a4 ， a8 成等比数列 D ．a3 ，a6 ， a9 成等比数列
4. 已知等差数列{an } 的前 n 项和为Sn ，若S2 = 2 ，S8 = 16 ，则S14 = ( )
A. 42 B. 56 C. 128 D. 182
5 ．已知双曲线 的渐近线方程为 x ，则 E 的焦距等于 ( )
A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
6 ．已知点A( 2, 0), B(0, 2) ，若点 C 是圆x2 + y2 2x = 0 上的动点，则 △ABC 面积的最小值 为( )
A ．3 B ．2 C ．3 + 2 D ．3 2
7 ．对于如图所示的数阵，它的第 11 行中所有数的和为( )
A . 60 B . 58 C . 61 D ．63
8 ．若过点(m, n) 可作函数y = 2x+ 图象的两条切线，则
必有( )
A ．0 < 2m+ < n B ．0 < n < 2m C ．2m < n < 2m+ D ．n < 2m
二．多项选择题：（本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9 ．已知等比数列{an } 是单调数列，设Sn 是其前n 项和，若a1 = 243 ，a5 = 3，则下列结论 正确的是( )
A ．a3 =±27 B ．an = 36 n C ．Sn = D ．a1a2 . . . an = a1a2 . . . a11 n
10 ．下列函数在定义域上为增函数的有( )
A ．f (x) = ex + x B ．f (x) = xex C ．f (x) = x sinx D ．f (x) = x2 lnx
11 ．已知抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F ，准线为l ，过点 F 的直线与抛物线交于 P (x1, y1 ), Q (x2, y2 ) 两点，点P 在l 上的射影为P1 ，则下列说法正确的是( )
A ．若x1 + x2 = 5 ，则 PQ = 7
B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相交
C ．设M(0,1)，则 PM + PP1 ≥ 2
D ．过点M(0,1) 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有 3 条
12.已知椭圆 1的左右焦点分别为F1, F2 ，过F2 的直线交椭圆于A(x1, y1 ), B (x2, y2 )
两点，设 BF2 = a1 ， AF2 = a2 ， AF1 = a3 ， BF1 = a4 ，已知a1, a2, a3 成等差数列，公差为 d，则( )
A ．a2, a3, a4 成等差数列 B ．若d = 1 ，则b2 =
C ．x2 = 3x1 D ．y2 = 3y1 + 2
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13 ．已知f = cos2 sin2 ，则f .
14 ．已知三个互不相等的一组实数a ，b ，c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又 能成等差数列，满足条件的一组实数a ，b ，c 为 .
15.已知双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1 、F2 ，O 为坐标原点，
过F2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若PF1 6 OP ，则双曲线C的离心率
为 .
16.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1 : (x 1)2 + y2 = 2,圆C2 : (x a)2 + (y )2 = 12 .
若圆C1 上存在两点 A,B ，且圆C2 上恰好仅有一点P，使得四边形 OAPB 为矩形，则实数a
的取值集合是 .
四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17 ．设数列{an } 的前n 项和为Sn ，且Sn = 2an 1(n = 1, 2, ) .
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）若数列{bn }满足bn+1 = an + bn (n = 1, 2, ), b1 = 2 ，求数列{bn } 的通项公式.
18.已知函数f (x) = x3 + x 2 ．
(1)求曲线y = f (x) 在点(1, 0) 处的切线方程；
(2)直线l 为曲线y = f (x) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．
19．已知等差数列{an } 的公差为d ，前 n 项和为Sn ，S3 = 15 ，an > 0 ，d > 1，且______从
“① a2 1为 a1 1与a3 + 1的等比中项”，“②等比数列{bn } 的公比 ，b1 = a2 ，b3 = a3 ”
这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{an } 存在并 作答．
（1）求数列{an } 的通项公式；（2）设数列 的前n 项和为Tn ，求Tn ．
20 ．已知圆C : x2 + 2 = 1 ，点P轴下方一点 Q 作圆 C 的切线与 x 轴分别 交于 两点.
(1)过点 P 的直线 l 被圆 C 截得的弦长为，求直线 l 的方程；
时，求点 Q 的坐标；
21. 设函数f (x) = ex alnx(a∈ R) ，其中e 为自然对数的底数.
（1）若 f(x) 在定义域上是增函数，求a 的取值范围；
（2）若直线y = e 是函数f (x) 的切线，求实数 a 的值；
22 ．已知椭圆 和抛物线C2 : y2 = 2px(p > 0) ，点 F 为C1 的右焦点，点 H 为
C2 的焦点．(1)过点 F 作C2 的切线，切点为 T，| TH |= 求抛物线C2 的方程；
(2)过点 H 的直线 l 交C2 于 P ，Q 两点，点 M 满足为坐标原点），且点 M 在线段上，记 的面积为S1 ,PFH 的面积为S2 ，求 的取值范
围.
1 ．B 2. C 3.D 4. A 5．D 6．D. 7．C 8．C.
9 ．BD. 10 ．AC 11．ACD ．12. ABC
13 .
(
’
)y’= (cos x) = sin x
14 ．【详解】 4 ，2 ， 1 成等比数列，而 4 ， 1 ，2 成等差数列， ∴ a ，b ，c 可取 4 ， 2 ， 1 .故答案为: 4 ，2 ， 1 .（答案不唯一）
15. 、/3
16. { 4,0, 2,6}
17 ．【详解】（1）因为Sn = 2an 1(n = 1, 2, ) ，则Sn 1 = 2an 1 1(n = 2,3, ) ，
所以当n ≥ 2 时，an = Sn Sn 1 = 2an 2an 1 ，整理得an = 2an 1 ，由Sn = 2an 1 ，令n = 1 ， 解得a1 = 1 .所以{an } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得an = 2n 1 .
（2）因为an = 2n 1 ，由bn+1 = an + bn (n = 1, 2, ), 得bn+1 bn = 2n 1 ，
由累加得bn = b1 + = 2n 1 +1,
当n = 1 时也满足，所以bn = 2n 1 +1 .
18.【详解】（1）f (x) = x3 + x 2 ，f ’(x) = 3x2 +1 ，f ’(1) = 3×12 +1 = 4 .
故曲线y = f (x) 在点(1, 0) 处的切线方程为y 0 = 4(x 1) ，即4x y 4 = 0 ；
（2）设切点为(x0 , x + x0 2) ，f ’(x0 ) = 3x +1，
切线方程为y (x + x0 2) = (3x +1)(x x0 ) ，.
切线经过原点，故 (x + x0 2) = x0 .(3x +1) ，所以2x = 2 ，x0 = 1 ， 故f ’( 1) = 3×( 1)2 +1 = 4 ，切点为( 1, 4) ，切线方程为y + 4 = 4(x+1) ，
即过原点的切线方程为y = 4x ，切点为( 1, 4) .
19.解：（1）若选① , a2 1为 a1 1与a3 +1的等比中项，
则 (a1 1)(a3 +1) = (a2 1)2 ，
由{an } 为等差数列，S3 = 15 ，得 3a2 = 15 ，:a2 = 5 ，
把 a2 = 5 代入上式，可得(4 d)(6 + d) = 16 ，
解得d = 2 或 d = 4 （舍 ) ．:a1 = 3 ， an = 2n +1；
若选②,等比数列{bn }的公比q = ，b1 = a2 ，b3 = a3 ，
可得b3 = b1q2 ，即a3 = 即有
又 S3 = 15 ，可得3a1 + × 3× 2d = 15 ，即a1 + d = 5 ，
解得 不符题意，故选①,此时an = 2n +1；
20 ．(1)解：由题知，直线l 的斜率一定存在，所以设直线 l 的方程为 ，
整理得kx y 2k+
因为直线l 被圆 C 截得的弦长为，所以圆心 C 到直线l 的距离
又因为 解得k = 0 或k =
所以，直线l 的方程为 或16x+ 30y 47 = 0 .
(
1
(
1
)
)(2)解：当t = 2 时，M |(2 ,0丿| ，N ( 1, 0) ，
因为直线QM ，QN 都是圆 C 的切线，所以直线QN 的方程为x= 1；
此时直线QM 的斜率一定存在，设其方程为 即kx y
圆心 C 到直线QM 的距离 解得k = 或k = 0 （舍去），
则直线QM : 4x 3y 2 = 0 ，把x= 1 代入4x 3y 2 = 0 ，解得y= 2 ，
所以点 Q 的坐标为( 1, 2) .
函数f = ex alnx 的定义域为 = ex
因为f (x) 在(0, +∞) 上是增函数，
所以 = ex 0 在x∈(0, +∞) 上恒成立；即 a ≤ xex 在x∈(0, +∞) 上恒成立，
设m(x) = xex ，则 m'(x) = (x+1)ex ，由x∈(0, +∞) 得m'(x) = (x+1)ex > 0，
所以m(x) = xex 在x∈(0, +∞) 上为增函数；即m(x) > m(0) = 0 ，所以a ≤ 0 .
（2）设切点为(x0, ex0 alnx0 )，则 ex0 alnx0 = e ，
因为 = ex 所以ex0 ,得 a = x0ex0 ，所以ex0 x0ex0 ln x0 = e .
设g(x) = ex xex lnx ，则 g'(x) = ( x 1)ex ln x ，
所以当0 < x < 1 时，g '(x) > 0 ，g(x) 单调递增，
当x > 1 时，g '(x) < 0 ，g(x) 单调递减，所以g(x)max = g(1) = e .
因为方程ex0 x0ex0 ln x0 = e 仅有一解x0 = 1，所以 a = e .
22.【详解】（1）由题可知：F(1,0) 设直线l 的方程为：y = k(x 1) ，
联立 可得：k2x2 x + k2 = 0 .
则△ = (2k2 2p)2 4k4 = 8k2p + 4p2 = 0 ，故p = 2k2 且xT = 1 ，即点T( 1, ±2p) ,
故|TH |= ( 1 + )2 + 2p = ，所以 抛物线C2 的方程：y2 = x ；
设点Q ，直线PQ 方程为：x = + ty ，
联立 可得：y2 + 2pty p2 = 0 ．故yP + yQ = 2pt, yPyQ = p2 ，从而 , 又 则xM = xQ = = 1,yM = yQ = y0 ，
从而y02 = 4p ，且 < yM < 则0 < p < ，
由此可得