第二课时： 1.2.1 函数的概念（二）
教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法．
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域．
教学难点：定义域求法．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域.
二、讲授新课：
1.教学函数定义域：
①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=； f(x)=； f(x)=－
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
②练习：求定义域（用区间）→
f(x)＝； f(x)＝＋
③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
2.教学函数相同的判别：
①讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？
②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
A.；； B.；
C．； 、D.；
②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。
3.教学函数值域的求法：
① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝ ；
f(x)＝
先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个
②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：；
2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)． 变：，求f(f(x))
解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求．（特殊值法）
3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 ．
4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域．
解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域
5.课堂作业：
我的理解：对定义域的求法必须向学生交待清楚如未加特殊说明就是使解析式有意义；基本类型为分母不能为0，开偶次方根根号下大于等于0，若由两个式子构成则它们必须同时又意义，实际意义。对值域的处理不可太难基本就行最多渗透个分离常熟即可。抽象函数可以了解最简单的就行必须结合实例。可以在处理绿皮书的时候一并解决第三课时： 2.2 函数的表示法
教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
教学难点：分段函数的表示及其图象．
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
1.教学函数的三种表示方法：
① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值．
具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表．
②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．
③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
⑤处理课本P29例2
2．教学分段函数：
①出示例3：写出函数解析式，并画出函数的图像．
邮局寄信，不超过20g重时付邮资1.2元，超过20g重而不超过40g重付邮资2.4元。超过40g重而不超过60g重付邮资3.6元。超过60g重而不超过80g重付邮资4.8元。超过80g重而不超过100g重付邮资6.00元。每封x克（0
（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ）
②练习：A. 写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg．批发x千克应付的钱数（元）．
B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像．
③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例
④课本P30例4
3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段
三、巩固练习：1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值．
2.作业：P34 1、2题
我的安排：学生提前自学，作业就是找出三种表示方法的优缺点。课堂上必须以某个课本函数为具体的例子自己亲自用三种方法表示，重点放在分段函数上，即分类对待，据实际例子。会求分段函数的值会画图像。第2章 本章复习
一 知识结构梳理
二 本章专题讲解
1．函数的定义域：函数定义域是函数的三要素之关键，一般分为两大类：自然定义域---就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，通常有以下几种情况：（10分式分母不为零（2）偶次方根中，被开方熟非负（3）对于要求不为0；限定定义域----受应用条件或附加条件所限制的定义域，这要考虑实际意义或附加条件．
例１已知函数的定义域为［－２,4］,求函数的定义域．
解 因为函数的定义域为［－２,4］，所以应满足
即所以函数的定义域为［-2,2］
〖点拨〗复和函数求定义域关键是要注意对应关系,在同一对应关系作用下,不论接受关系的对象是什么,其制约条件是一致的,即必须都在同一范围取值．
例２ 用可围成长３２ｍ的墙的砖，沿一面墙围成平面图如图２－１７所示的猪舍四间，各间面积相等，墙的厚度忽略不计，写出一间猪舍的面积ｙ与宽度ｘ的关系．
解 一间猪舍的宽为x，长为，故一间猪舍的面积为由题意，，所以一间猪舍的面积y与宽度x的关系为：．
〖点拨〗在实际应用问题中除使解析式有意义外，应考虑实际问题意义．
2．函数的单调性和奇偶性：函数单调性是函数的一个重要性质，是历年高考的重点，并且常考常新，是一个热点．主要考查单调区间的求法，单调性的证明及应用．函数奇性常与函数的单调性，周期性等结合考查．常见题形，有直接判断奇偶性的，也有利用奇偶性求解析式或判断单调性．
例３ 试求函数的单调区间．
解
＝
因为，所以符号不能确定，因此需对的取值讨论，当时，此时，故在上为减函数；当时，，此时，故在上为增函数．
〖点拨〗 求函数的单调区间方法很多，可利用单调性的定义、函数的图像等．
例４ 证明函数上为减函数．
证明 设为两个任意实数，且，则
＝＝
＝．
因为，所以，所以
即，所以函数上为减函数．
〖点拨〗 证明函数单调性是作差后配方或因式分解等，关键找因式．
例５设定义在实数集Ｒ上，且满足，在取间上是增函数，并且求的取值范围．
解 ，
，由
且是偶函数，又在取间上是增函数，，即
〖点拨〗运用奇偶性及其与单调性的关系是进行区间转化的重要手段，奇函数在对称取间的单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．
３．二次函数在区间上的最值：二次函数在给定区间上的最值是一个忽略点，在求解时，一般要讨论对称轴与区间的关系，再利用函数单调性解题．
例６设函数的最小值为的解析式．
解：二次函数的对称轴为ｘ＝１，根据区间［t,t+1］与对称轴位置关系：（1）当即时，的最小值为
（2）当时，即时，的最小值为
（3）当时，的最小值为
综上所述，的解析式为
〖点拨〗本题属于轴定，区间动的问题，要对对称轴与区间的相对位置分别讨论，，可结合函数图像帮助解题．
５．函数的应用问题：解决应用问题的一般程序是：（１）审题：弄清题义、分清条件和结论、理顺熟练关系；（２）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学模型；
（３）求模：求解数学模型，得到数学结论；（４）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际意义．
例７我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法；水费＝基本费＋超额费＋损耗费．
若每月用水量不超过最低限量a（立方米），只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过a（立方米）时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 水费（元）
一 9 9
二 15 19
三 22 33
根据以上表中的数据，求a，b，c．
解：设每月用水量为x立方米，支付费用y元，则
由题意知．由表知第二，三月份该户水费超过１３元，故用水量１５立方米，２２立方米均大于最低限量立方米，将分别代入解析式得
解得ｂ＝２，--------（３）
不妨设一月份用量也最低限量，即，这时将代入（２）得
矛盾，，即可知一月分付款方式应选（1）式，则有
8+c=9．
〖点拨〗应用问题中给出的事物比较陌生，连题目都没有看完，就望而生畏，实际上这类问题是对学生心理素质的严峻考验，等题意理解了，问题就简单多了，转化为处理数学模型问题．
例8．某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：其中x是产品售出的数量，且.（I）若x为年产量，y为利润，求的解析式；（II）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
解：（I），产品全部售出；当时，产品只能售出500台，
故
（II）当
例9 已知关于x的方程的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
解：令，为使方程的两根一个小于1，另一个大于1
只需使 或
即 或
解得．
〖点拨〗 本题是一个利用图像解决方程根分布的典型例题，关于根的分布问题，均可引如函数，由函数图像的特征构造法，使问题得以巧妙解决．§2.1 实际问题的函数刻画
§2.2 用函数模型解决实际问题
§2.3 函数建模案例
【知识要点】
1．解应用题的一般思路
2.解应用题的一般程序
(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.
(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证
【典型例题】
例1 某列车从北京西站开往石家庄,全程277km.火车出发10min 开出13km后,以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2h内行驶的路程.
解 因为火车匀速运动的时间为,所以.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t,所以,火车运行总路程 S与匀速行驶时间t之间的关系是
().
2 h内火车行驶的路程.
〖点拨〗 这是一道一次函数模型的简单应用题，建模过程虽然简单，但体现了数学建模的主要思路。
例2 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅社将房租提高到多少时,每天客房的租金总收入最高
解 方法一 由题设可知,每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数.设提高为个2元, 则依题意可算出总租金(用)的表达式。依题意可列表如下：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
… …
由上表容易得到，当，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为800元。再提高租金，总收入就要小于8000元了。
方法二 设客房租金每间提高个2元，则将有10间客房空出，客房租金的总收入为
=
=
=
由此得到，当时，即每间租金为（元）时，客房租金的总收入最高，每天为8000元。
〖点拨〗由于客房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后用函数的解析表达式求解。这种利用列表的方法分析应用题的方法需要好好理解。
例3 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为，如果要使围墙围出的场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？
解 设矩形的长为，则宽为，从而矩形的面积为
=
=
=
由此可得，该函数在时取得最大值，且这时矩形的宽为
，
即这个矩形是边长等于的正方形时，所围出的面积最大。
〖点拨〗 涉及几何问题的应用问题建模思路清晰，直接应用有关公式即可。
例4 用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.
解 如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=
因此y=2x·,
即y=-
再由
解之得0＜x＜
即函数式是y=-·+mx
定义域是：（0，）
〖点拨〗数学应用题的能力要求①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力；
例5 问题：我国1999年至2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
年 分 1999 2000 2001 2002
0 1 2 3
生产总值 8．2067 8．9442 9．5933 10．2398
（1） 画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2） 利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3） 利用关系式预测2003年我国的国内生产总值。
解 （1）画出函数图形，如图所示
从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的线性函数为
把直线通过的两点（0，82067）和（3，102398）代入上式，解方程，可得
因此所求的函数关系式为
（2）有得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为
与实际的生产总值相比，误差不超过01万亿元。
（3）经济专家估计，我国今后几年内生产总值还会按此规律增长，所以2003年，即时，由上述关系式，得
即预测2003年国内生产总值约为109175万亿元。
〖点拨〗根据国家统计局公布的数据，我国2003年国内生产总值为116694万亿元，比预测的数字高得多。这说明为解决实际问题所建立的数字模型是否符合实际情况，还要经过实 践的验证，如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型。
例6 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，
用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
解 根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式
设为常数，且，
，
根据已知，得及 解得
显然更接近于1.37，故选用作为模拟函数较好
〖点拨〗确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图．⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
例7根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系求这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值
解 据题意，商品的价格随时间变化，且在不同的区间与上，价格随时间的变化的关系式也不同，故应分类讨论
设日销售额为
⑴当时
当或11时，
⑵当时，
当时，
综合（1）、（2）知当或11时，日销售额最大，最大值为176
〖点拨〗①销售额销售量价格；②解本题时应注意按时间划分区间分类讨论，然后对两种情况下的销售额的最大值作比较；③要熟练掌握定义域为闭区间的二次函数最值的求法
作业
一、选择题（本题共5个小题，每小题6分，共30分）
1．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金 （ ）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．8元
2．甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是 （ ）
A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )
A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元
4．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )10% B ( http: / / www. / wxc / )15% C ( http: / / www. / wxc / )18% D ( http: / / www. / wxc / )20%
5．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 ( http: / / www. / wxc / ) 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )
A B C D
二、填空题（本题共4个小题，6、8、9题每小题6分，7题12分，共30分）
6．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,……,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a1,a2,a3,……an推出的
a=
7．如下图所示，向高为的水瓶同时以等速注水，注满为止；
（1）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ；
（2）若水量与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；
（3）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ；
（4）若注水时间与水深的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ( http: / / www. / wxc / )
8．小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用 分钟.
9．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。根据题中条件填空，m= （元/担），写出税收y（万元）与x的函数关系式为
三、解答题（本题共3小题，共40分）
10．（12分）（2004·北京春）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
时
0
6
12
18
24
37
体温(℃)
37
体温(℃)
时
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体温(℃)§1集合的含义及其表示
教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题
教学重点：集合概念与表示方法
教学难点：运用描述法和列举法表示集合
课 型：新授课
教学过程型：
引入课题
同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级的学生在行政大楼前集合；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P16）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
1、 新课教学
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，等标记。示例
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 aA
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
3、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合
3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N 有理数集Q
正整数集 N+ （或N*） 实数集R
整数集Z 注：实数的分类
5、集合的表示方法：①列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法
例：{1，2，3} 特点：元素个数少易列举
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
特点：元素多或不宜列举
例：大于3小于10的实数 A= {x∈R│3﹤x﹤10}
方程的解集用描述法为 B=
函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表示为 C={（x,y)│y=2x}
在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合 D={（x,y)│x﹤0,且y﹥0}
方程组的解集
例题 用适当的方法表示下列集合
①由大于3小于10的整数组成的集合
②方程的解的集合
③小于10的所有有理数组成的集合
④所有偶数组成的集合
6、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数Q
③空 集 不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ
2、 课堂练习
1、用符合“∈”或“”填空：课本P5练习
2、补充思考
①下列集合是否相同
1）A {1，5} B {(1,5)} C {5,1} D {(5,1)}
2）A Φ B { 0 } C { Φ } D {{ Φ }}
3）
小结
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
3、常见数集的专用符号.
4、集合的表示方法
5、空集
3、 作业布置
基本作业：P6 A组 4，5
补充作业：求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；
思考作业：P6B组
板书设计（略）
另注：集合与元素的关系。一定让学生举例说出不同的集合。请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及R之间的区别及{ 三角形}
和{ 全部三角形}的区别
第 2 页 （共 3页）第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）
教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课：
1.函数模型思想及函数概念：
①给出第一节生活中的变量关系三个实例略．
②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：
③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？
一次函数、二次函数的定义域与值域？
⑤练习：，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值．
求值域.
例1：见课本27页例1
2.区间及写法：
① 概念：设是两个实数，且，则：
叫闭区间； 叫开区间；
； ；都叫半开半闭区间．
② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”
③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x④ 用区间表示：函数y＝的定义域 ，值域是 ． （观察法）
3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
三、巩固练习：
1. 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)
2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？
3. 课堂作业：
我的安排：我认为对《生活中的变量关系》这节内容完全可以让学生提前自学，在函数概念开始前适当的提出几个问题就行了。然后由初中函数的定义出发，指出此定义是由运动的观点给出的，强调其中的每一个x和唯一的一个y。然后提出能否用集合重新定义函数，给出一个运动变化过程由他两个变量的集合为例引入函数的新说明。强调非空 数集 每一个 唯一 对应，并同以前的定义作比较。对区间的说明结合数轴更能解决问题放到下节课效果更好。再者f(x)的理解很重要必须让学生明白f x f(x)的含义。2．1指数概念的扩充
教学目标：
通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学重点：
1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学难点：有理指数幂性质的灵活应用
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质
二、新课讲授
提出问题
（1） 观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
②
③
④
（2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？
，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）
（3）你能推广到一般的情形吗？
师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是（a＞0，m，n，且n＞1）
提出问题
负分数指数幂的意义是怎样规定的？
你能得到负分数指数幂的意义吗？
你认为如何规定0的分数指数幂的意义？
分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0？
既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？
讨论结果有以下结论：
（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）
性质
（1） （a＞0，r，s∈Q）
（2）（a＞0，r，s∈Q）
（3）（a＞0，b＞0，r∈Q）
规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
例题讲解
（1）求下列各式的值
（2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b（式中a＞0）
=32
学生练习
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
同学们可参阅了解有关无理数指数幂知识（老师做必要的说明，极限思想）
作业
1．计算下列各式
2．求值课 题： 3.3 指数函数的图象和性质
教学目的：
了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质（定义域、值域、单调性）
二：新课讲授
例1用计算机作出图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=. ⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
例2 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y＝ y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
例3 已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
小结 本节课学习了以下内容：函数图像的变换
课后作业：本章小结
【知识结构梳理】
本章的主要内容是函数的应用，包括两大部分内容.（1）函数与方程：利用函数性质判定方程的实数解的存在性，用二分法求方程解的近似值.（2）函数的实际应用：实际问题的函数表示，利用函数性质解决实际问题.
1．函数的零点：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
f(x)的零点就是方程f(x)=0的解。这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程解的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．
2．函数零点的性质：若函数y=f(x)在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解．
3．二分法：对于在区间上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步地逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
4．二分法求零点的步骤（略）．
5．解应用题的一般思路
6.解应用题的一般程序是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证
【综合问题讲解】
例1 试说明函数在区间上各点的值,可近似地用函数在相应各点的值来表示,其绝对误差小于0.1.
解
因为
所以
在区间上列出上述两个函数的近似值,如下表所示:
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
1 1.061 1.125 1.191 1.260 1.331
1 1.06 1.12 1.18 1.24 1.3
从上表也可看到,在区间上,用函数的函数值,去近似地表示函数的函数值时,其误差小于0.1.
〖点拨〗利用二分法求方程的近似解，其计算量较大，需借助科学计算器或计算机完成。
例2 求函数的零点，并画出它的图像。
解 因为
=
=
所以已知函数的零点为，1，2
3个零点把轴分成4个区间：
，，，。
在这4个区间内，取的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：
0 05 1 1．5 2 2．5
1.88 2 1．13 0 0 2．6
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图像如图所示。
〖点拨〗借助求出函数的零点，可以画出函数简图。
例3 求函数的一个为正数的零点（误差不超过01）
解 由于可以取区间[1，2]作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间
1
由上表的计算可知，区间的长度小于，所以这个区间的中点可作为所求函数误差不超过的一个正实数零点的近似值。
函数的图像如图。
实际上还可以用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值。
例4 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.
（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？
解 依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则
(1)要使工厂有赢利，则有f(x)>0.
当0≤x≤5时，有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得1当x>5时，有8.2–x>0,得x<8.2,∴5综上，要使工厂赢利，应满足1（2）0≤x≤5时，f(x)=–0.4(x–4)2+3.6
故当x=4时，f(x)有最大值3.6.
而当x>5时f(x)<8.2–5=3.2
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为=2.4（万元/百台）=240（元/台）.
例5 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<2a<420，且a为偶数），每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元,则
y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx
=
依题意 2a-x≥ ∴0又140<2a<420, 70(1)当0(2)当a-70>,即140综上所述，当70〖点拨〗在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
例6 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
已知：lg2=0.3010．
解 （1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由
两边取对数得(n-1)lg2≤8 n≤27.5,
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为,
由题意≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8,得x≤6.2，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
〖点拨〗本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.
【评价检测】（１２０分钟，１５０分）
一、选择题（本题共１２小题，每题５分，共６０分）
1．方程的解所在的大致区间是（）
A． B． C． 和（3，4） D.（e,+）
2．方程在区间上的解必定在（ ）内。
A． B. C. D.
3．若函数在区间上的图象是连续的，且方程在上仅有一个实根0，则的值是（）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
4.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨价格为800元，购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是( )
A ( http: / / www. / wxc / )820元 B ( http: / / www. / wxc / )840元 C ( http: / / www. / wxc / )860元 D ( http: / / www. / wxc / )880元
5．对于函数若则函数在区间内（ ）
A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C.可能有两个零点 D.至少有一个零点
6．方程的正根的近似值是（ ）（精确到0. 1）
A．1 Ｂ．1.5 Ｃ．1.4 Ｄ．1.41
7. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低P%，设成本经过x年降低到y元，那么成本随经过年数变化的函数关系式为 （ ）
A．y=a(1-P%) (x∈N*且x≤m) Ｂ．y=a(1-P%) (x≤m)
Ｃ．y=a(1＋P%) (x∈N*且x≤m) Ｄ．y=a(1-P%) (x∈N*)
8．方程的实数解所在的一个区间是（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
９．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )
A.413.7元 B.513.7元 C.546.6元 D.548.7元
１０．某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )
A.1050元 B.1052元 C.2100元 D.2102元
1１．用二分法可以求得方程的解为 ( )（精确到0.1）
A．-1.5 Ｂ．-1.6 Ｃ．-1.7 Ｄ．-1.8
１２．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年～2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A.115000亿元 B.120000亿元
C.127000亿元 D.135000亿元
二、填空题（本题共４小题，每题４分，共１６分）
13．函数下列结论正确的有 个
①在内有一实根；②在内有一实根；
③没有大于2的实根； ④没有小于-2的实根； ⑤有四个实根。
14.已知函数函数，若方程的两根为则之间的关系是
15. 某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则函数y关于x的解析式. .
16. 某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，写出汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数 ，写出车速v km/h表示为时间t(h)的函数 .
三、解答题（本题共６小题，共７４分）
17.(本题１２分) 若函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
1８. (本题１２分) 求函数的零点，并指出时，的取值范围。
１９.（本题满分12分）函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？
20.（本题满分12分）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x（），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.
（1）写出y与x的关系式；
（2）为使日利润有所增加，求x的取值范围.
21.（本题满分12分）某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨,若蓄水池向居民小区不间断地供水,且t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)。
（1） 供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？
（2）若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供不紧张现象，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由。
22. （本题满分14分）曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系式是Q=已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y（万元）表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？
【参考答案】 1-----6： B D D C C Ｃ
7-----12： Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
13. ①②③④ 14. 15. y=360()
16. x= v=
17. 解：（1）若 =0，则为一次函数，易知函数仅有一个零点；（2）若则函数为二次函数，若其只有一个零点，则方程仅有一个实数根，故判别式得，综上，当=0和时，函数仅有一个零点。
18. 解：解二次方程，得函数的零点为又函数，画出这个函数的简图如图4-1-8，从图像上可以看出：当时，当或时，
综之，函数的零点为；时的取值范围是；时，的取值范围是。
19. 解：由，得，所以函数零点是和，亦即当自变量取和时函数值等于0。
函数的两个零点和将轴分成3个区间：，，
在内取特殊值，得其函数值，依函数零点的性质可知，当时，；
根据函数零点的性质，当时，都有
所以当自变量时，函数值大于0；
当时，函数值小于0，当和时，函数值等于0。
20. 解：（1）由题意得
（2）要保证日利润有所增加，当且仅当
即
所以，为保证日利润有所增加，x应满足
21. 解（1）设t小时后蓄水池中水量为y吨，
则y=400+60t-120，令=x，则0≤x≤12
这时y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40 当x=6即t=6时，ymin=40
即从开始供水6小时后蓄水池中水量最少，最少水量为40吨。
（2）由400+10x2-120x<80，得4即4<<8 ∴ ∵ ∴在一天的24小时内，有8小时供水紧张。
22．解：设每年投入x万元，年销量为万件，
每件产品的年平均成本为，
年平均每件所占广告费为，
销售价为
年利润为
当x=100时，明显y<0
故该公司投入100万元时，该公司亏损1正整数指数函数
教学目标：
了解正整数指数函数模型的实际背景。了解正整数指数函数的概念。理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。
教学难点：正整数指数函数图象的特征。
授课类型：新授课
教学过程：
一、新课引入
以湖面水葫芦的生长问题，折纸问题引入课题
二、新课讲授
问题1 某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。
1 列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；
2 用图象表示1个细胞分裂次数n与得到细胞个数y之间的关系；
3 写出y与n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）
问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q近似的满足其中是臭氧的初始量，t是时间（年）。这里设=1
（1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。
解 （1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q分别是：
（2）图象是一些孤立的点
（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少
小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于， ()我们可以用更一般的式子来表示，用a取代2（a＞0），用x取代n（）则上式可以表示为（a＞0，a≠1，）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。
特别指出的是有如下特点：
a) x是自变量，定义域是正整数集，x 在指数上。
b) 规定底数大于0且不等于1。
c) 图象是一些孤立的点，并且当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减函数。
在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。
例 某地现有森林面积是1000，每年增长5%，经过x（）年，森林面积为y，写出x，y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积是多少？（例题）
学生练习
小结 再次强调正整数指数函数的特点（图象，表达式，a的范围）
作业
体现函数的变化趋势的剧烈函数是高中数学的主心骨，我个人认为本章教材编写不好，可能把二次函数及不等式学了后再说单调性和奇偶性这两个通性可能更好。在解题方面重点放在二次函数的应用，及两个通性上，尤其是抽象函数必需接触
另外在分段函数的单调性的处理上一定主意单调性的联系性如应注意上面的最小值应大于下面的最大值比如
5．(2006年北京高考试题)已知是上的减函数，那么的取值范围是( ).
A. B. C. D.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§2 集合间的基本关系
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2. 过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想 ．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.学法与教学用具
1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.
2.教学用具：投影仪.
四.教学过程
(一)创设情景，揭示课题
问题l：实数有相等.大小关系，如5<7，2≤2等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探. （宣布课题）
(二)研探新知
1. 子集
问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？
(1) ；
(2) ={西安中学高一(1)班女生}，={西安中学高一(1)班学生}；
(3) ,
组织学生充分讨论.交流，使学生发现：
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。
综合归纳给出定义：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.
记作：
读作：A包含于B，或B包含A
举例：如， 则
思考：包含关系与属于关系定义有什么区别 试结合实例作出解释. {1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}}
注意：
（1）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
（2）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
（3）若，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。
非子集关系的反例：(1) A={1,3,5} B={2,4,6}
(2) C={x|x≥9} D={x|x≤3} 可用数轴直观表示
(3) E={ x|x≥9} F={ x|x≤12}
当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，分别记作： (或)
2. 集合的相等
引入时举例：
由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.
问题3：与实数中的结论“”相类比，在集合中，你能得出什么结论
教师引导学生通过类比，思考得出结论: .
3. 真子集
问题4：A={小于7的正整数} B={1，2，3，4，5，6，} C={}1，3，5}
显然，，又发现B=A ，C≠A ，如何确切表明C与A的特殊关系？
文 字 语 言对于两个集合A与B，如果，就说集合A是集合B的真子集（proper subset） 符 号 语 言若,但存在元素x,则A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）
教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。
图1 图2
问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
做练习4，并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。
思考：
(1) 对于集合A，B，C,如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系 如果真包含呢？
(2) 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别
(3) 空集是任何集合的子集吗 空集是任何集合的真子集吗
(4) 0，{0}与三者之间有什么关系
(三)巩固深化，发展思维
1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2（与书上有变动） 分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集.
，{1}, {1,2}, {1,2,3}
集 合 子 集 子集个数 真子集个数
1 0
{1} ,{1} 2 1
{1,2} ,{1},{2},{1,2} 4 3
{1,2,3} ,{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3} 8 7
推广归纳：有限集 的子集个数，真子集个数，非空
子集个数，非空真子集个数。
2. 练习 第9页第5题
(四)归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些.
1.
也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。
2. 性质结论：
（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。
(2) 空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
空集是任何非空集合的真子集。
(3) 欲证，只须证且都成立即可。
（4 对于集合A、B、C，若AB，BC,则AC. 若AB,BC,则AC.
(五)布置作业
基础题：
第9页习题1-2 A组2，4，5题. B组第1题.
思考题：
1. (06年上海理)已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．
2. 已知集合,≥，且满足，求实数的取值范围。
注意：在讲子集和真子集概念后应该给学生多举实例，区分它们之间的区别，子集：你有我都有。真子集：你有我都有且我有你必没有。公共的部分是空集。实例以学生身边的，常用的数集比较好
A（B）
B
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网课 题： 2.2 指数运算的性质
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：利用指数运算性质进行化简，求值。
教学难点：指数运算性质的灵活运用
课时安排：2课时
教学过程：
一、复习巩固：
总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。
先回顾正整数指数幂的运算性质
当
其中m,n∈
实际上，当a＞0，b＞0时，对任意的m，n都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条：
二、新课讲授
学生看书67页例1
例2 化简（式中字母均为正实数）：
（1） （2）
解 （1） =
（2）
学生练习68页练习 1
例3 已知
解
学生练习68练习 2
1．思考. 已知=3，求下列各式的值: （注意：补充立方和的乘法公式）
（１） ； （２） ； （３） ．
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）
小结
作业
第二课时 授课类型： 巩固课
教学过程：
一、巩固练习：
回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上：
二、讲解范例：
例1计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例2计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例3化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
思考 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
解：
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂的计算。
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
2．已知：，求证：.
，
4．已知：，，求的值..
6．设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.(共32张PPT)
本节课应注意在得出概念的过程中一定要多加图例一定要慢，在讲述该念的过程中注意x1，x2的任意性，证明过程可以少一些。重点应该放在概念上，对引例的处理可以淡化
学校准备用一条长24米的栅栏建造一个长方形的花坛，由于周围环境的限制，其中一边的长度既不能超过5米，又不能少于1米。求受限制的边长是多少时花坛的面积才能最大？
思考：
设长方形受限制一边长为 x 米，
归结为数学问题：
x
研究y随x的变化而变化的规律
函数的单调性
西安市年生产总值统计表
年份
生产总值
（亿元）
西安市高等学校
在校学生数统计表
年份
人数
（万人）
西安市耕地面积统计表
年份
面积
（万公顷）
y
O
x
y
y
O
x
O
x
y
O
x
2
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
a
b
a
b
O
x
y
问题的分析：
如何分析函数
方法一
方法二
方法三
证明
解：
∵
∴
∴当受限制的边长为５时面积最大
学校准备用一条长24米的栅栏建造一个长方形的花坛，由于周围环境的限制，其中一边的长度既不能超过5米，又不能少于1米。求长是多少时花坛的面积才能最大？
设受限制的边长为x,面积为 ,由题意可得
课堂小结：
（1）函数单调性的概念；
（2）分析函数单调区间的常用方法；
（3）解决实际问题的数学思想方法。
实际问题
实际问题的解
建立数学模型
数学问题的解
求解
实践验证
有解吗？
数学问题
数值分析
图象观察
做差比较
作业：
数学习题册：
第３９页 第４，５题。
练习：
根据下列各图表找出函数的单调区间
x
y
o
a
b
c
d
f
寻找以前学过的函数的单调区间。
思考：
同学们再见！
证明：
﹥
﹤
﹤
方法一：分析函数值大小的变化。
x
y
8
7
5
4
3
2
6
9
1
32
35
35
32
27
20
36
27
11
猜测：
在区间[1，5]上单调递增
方法二：分析和函数的图象
x
y
6
o
1
5
方法三：比较大小过程中的数值分析。
∴1≤ x1﹤x2≤5
∴2 ﹤ x1+x2﹤10
证明：
（条件）
（论证结果）
（结论）
本节课应注意在得出概念的过程中一定要多加图例一定要慢，在讲述该念的过程中注意x1，x2的任意性，证明过程可以少一些。重点应该放在概念上，对引例的处理可以淡化第四章 函数应用
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
【知识要点】
1．函数的零点：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
f(x)的零点就是方程f(x)=0的解。这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程解的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．
2．函数零点的性质：若函数y=f(x)在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解．
【典型例题】
例1 求下列函数的零点：（1）；（2）
解：（1）由于，所以方程的两根是故函数的零点是
（2）由于，所以方程的实数根是-1，1故函数的零点是-1，1。
〖点拨〗 根据函数零点的定义可知：函数的零点，就是方程的解，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数解，有几个实数解。
函数零点的求法：解方程，所得实数解就是的零点。
例2 观察图4-1-1中的四个函数图像，指出在区间内方程哪个有解？说明理由。
解：观察的图像，在内都与轴有交点，所以方程
有解。而在内都与轴没有交点，所以方程无解。
〖点拨〗 由于“方程有实数解函数的图像与x轴有交点’’, 因此判断方程在某区域内是否有实数解，只需判断它的图像在该区间内与x轴是否有交点即可。反过来，也可以由函数图像的交点情况来确定方程的实数解。因此函数的零点实质上是数形结合思想的具体体现。
例3 求证：方程的根一个在区间上，另一个在区间上。
证明：设则
由于
和分别有零点。
即方程的一个根在上，另一个在上。
〖点拨〗 判断函数是否在上存在零点，除验算是否成立外，还需考察函数在上是否连续，若判断根的个数问题，还需结合函数的单调性进行。
例4 若函数在区间上的图象是连续的，且方程在上仅有一个实根0，则的值是（）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
解：由于函数在上的图象是连续的，且在上仅有一个实根0，却不一定有也可能有如图所示：选D。
例5 函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？
解：由，得，所以函数零点是和，亦即当自变量取和时函数值等于0。
函数的两个零点和将轴分成3个区间：，，
在内取特殊值，得其函数值，依函数零点的性质可知，当时，；
根据函数零点的性质，当时，都有
所以当自变量时，函数值大于0；
当时，函数值小于0，当和时，函数值等于0。
〖点拨〗 在求函数的零点后，借助函数零点的两个性质：（1）通过零点时函数值变号；（2）在相邻的两个零点空间里，函数值保持同号。依次便可得到在不同的自变量的取值范围内，函数的不同取值情况。
注意：第一，区间两端值反号
第二，必须连续3.1 指数函数的概念
教学目的：
能在正整数指数函数的基础上理解指数函数的概念，能正确作出其图象，掌握指数函数的基本性质.培养学生实际应用函数的能力
教学重点：指数函数的图象、性质
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新课讲授
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
例题讲解：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量
经过2年，剩留量
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84
的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2比较下列各题中两个值的大小：
①，； ②，； ③，
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面几组数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
练习：⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n；m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
小结 本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质
课后作业：P77 1 ，2第四课时：2.3 映射
教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：理解概念．
教学过程：
一、复习准备：
1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.
二、讲授新课：
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方；
，，对应法则：平方；
, , 对应法则：求正弦；
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？
举例一一映射的实例 （一对一）
2.教学例题：
① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P | P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B= ？
（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）
② 讨论：如果是从B到A呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
，对应法则；
，，；
设；
，
3. 小结：映射概念.
三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.
我的安排：先复习函数定义，重点放在第二种定义，强调对应，指出将函数的概念扩充一下，非空数集变为非空集合即为映射。在这个过程中边举实例边讲。映射必须是一对一。让学生举自己生活中映射的具体例子。我个人认为对映射这块不应深究对照函数概念了解即可，§5简单的幂函数
教学要求：了解简单幂函数的概念巩固函数画图像的方法，了解常见的米函数；理解函数的奇偶性，掌握奇偶性的性质，会用图像，定义判断证明函数的奇偶性
教学重点：常见的幂函数，奇偶性的概念．
教学难点：判断奇偶性性
教学过程：
一、复习准备：
提问：1 边长为a的正方形的面积s和a构成的函数是？
2 边长为a的正方形的体积v和a构成的函数是？
二、讲授新课：
结合上面的问题 给出幂函数的定义
幂函数；如果一个函数的底数是自变量x，指数是常数α，即，这样的函数称为幂函数．
比如：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
画出它们的图像
引导学生由图像上观察函数的对称性从而引出函数的奇偶性
图像关于原点对称的函数叫奇函数，满足．图像关于ｙ轴对称的函数叫偶函数，满足．当函数为奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
引导学生得出判断函数奇偶性的骤：（１）先求定义域，看是否关于原点对称；（２）再判断或是否成立．或者直接看图像
有图像上可以得出奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在单调区间上单调性相反．
例1 已知幂函数的图像过点，是求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．
解 设，，因为图像过点，
函数，定义域是
列表作图
0.25 １ ２ ３ ４
２ １ 0.7 0.58 0.5
其图像如图２－11由于定义域不关于原点对称，所以
为非奇非偶函数；在定义域上是减函数
处理P49 A第一题
例2 已知定义域为Ｒ奇函数，求证：
（１）（２）若在区间上有最大值Ｍ，那么在区间上必有最小值－Ｍ．
证明：（１）因为是定义域在Ｒ上的奇函数，
（２）因为Ｍ是在区间上的最大值，则对于任意的，都有．任取则有．
因为是Ｒ上的奇函数．
即对任意的都有
所以在区间上有最小值－Ｍ．
练习
确定下列函数的奇偶性。
(1) y=x-2,x∈(2,3)是____；(2)y=|x2-x+3|是_____；(3)y=x2-|x|+3是____
小结： 略
巩固练习：
课本P50 2
作业：绿皮书
思考：1 若函数y=f(x)在R是奇函数则f(0)=
2 分别考虑一次函数，反比例函数，二次函数的系数对其奇偶性的影响
注意：奇偶性开始不要太难，最好不说抽象函数我觉得这章编排不好，我将做以调整，我要先讲指数扩充及其运算性质再讲指数函数，最后再讲指数函数应用时即复利和增长率的问题时再把教材第一节内容解决了。一个月来学生的基本功不能高看，只有他们对指数运算性质熟练后再讲其他的可能更好
我实际的教学方法是用一节课时间把指数概念扩充及运算性质讲完，再一节课讲练结合，补充了其他式子值的方式，对指数幂的运算结果要求分母同负指数不能同时出现，根式和分数指数幂同时出现。在具体的操作过程中首先处理系数，再化成乘积的形式最后用同底幂相乘的办法解决。数字要求都为分数，不用小数。
对指数函数我的实际方式是，利用田鼠繁殖引入指数函数的概念，紧接着区别什么是指数函数，再下来在黑板上画出两个图像利用图像分析出具体函数的性质让学生总结，同时放下幕布利用多媒体演示整体变化规律得出P72表，顺便把底数对函数图像的影响规律总结了，再讲了简单的利用单调性比较大小；这就用了一节课，借助10分钟左右的多媒体完全可以
再讲平移的时候注意直线x=1的限制条件。对复合函数的求职问题一定要有最简单的形式逐渐递进第五课时 函数及其表示 （练习课）
教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．
教学难点：函数记号的理解.
教学过程：
一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1. 说出下列函数的定义域与值域： ； ； .
2. 已知，求， ， .
3. 已知，作出的图象，求的值.
二、教学典型例题：
1.函数记号的理解与运用：
① 出示例1. 已知f(x)= 1 g(x)=求f[g(x)]
（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）
② 练习：已知=xx+3 求： f(x+1), f()
已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
③ 出示例2. 若,求
分析：如何理解？ 如何转化为
解法一：换元法，设，则……
解法二：配元法，，则……
解法三：代入法，将x用代入，则……
讨论：中，自变量x的取值范围？
④ 练习：若， 求.
2. 函数应用问题：
①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）.
Ⅰ.写出与x之间的函数关系式？
Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？
小结：简单函数应用模型 ）
三、巩固练习：1. 已知满足，求.
2.若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域
3.设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.
注意：应该先处理抽象函数的定义域问题结合f(x)学生好理解，就是占（），两点：定义域指x取值范围；x位置不同含义不同。在此基础上学生理解函数的解析式的换元法就更容易了。§1.2 利用二分法求方程的近似解
【知识要点】
1．二分法：对于在区间上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步地逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
2．二分法求零点的步骤（略）．
【典型例题】
例1 如下图所示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
解：观察所给的四个函数的图像，它们与轴都有交点，仅有B中的图像都在轴上方，即函数在零点附近的函数值不变号，故选B。
〖点拨〗 判断一个函数是否能用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点。因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用。
例2 求得近似值（误差不超过01）
解：本例可转化为方程求的一个近似正实根。
设，则，令则函数的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值。
由于，故可以取区间[1，2]为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
[1，2] 1.5 1.375
[1，1.5] 1.25 -0.0469
[1.25，1.5] 1.375 0.5996
1.3125 0.2610
1.28125 0.1033
1.265625 0.273
1.2578125 -0.01
区间的长度1.265625-1.2578125=0.007815<0.01,所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数零点的近似值是1.26，即的近似值1.26。
例3 借助于计算器或计算机用二分法求方程的近似解，精确到。
解：原方程，令，由于函数在[1，2]内有零点，即方程在[1，2]内有解。取[1，2]的中点,经计算又所以方程在内有解。
如此下去，得到方程实数解所在区间的表
左端点 右端点
第1次 1 2
第2次 1 1．5
第3次 1．25 1．5
第4次 1．375 1．5
第5次 1．375 1．4375
第6次 1．40625 1．4375
至此，可以看出，区间内的所有值，若精确到，都是所以是方程精确到的解。
〖点拨〗 利用二分法求方程的近似解体现了算法和逼近的思想。（1）逼近的思想：为求得需要的解，按照一定的方向逐步逼近，虽然我们按精确度的要求算有限步就停止了，但是，在理论上是可以无限地算下去，使得误差可以任意小。（2）算法思想：二分法的过程框图是算法，高中阶段的数学学习专门设置了算法，不久就要专门学习，这里是初步感受的思想。
例4 求函数的零点，并指出时，的取值范围。
解：解二次方程，得函数的零点为又函数，画出这个函数的简图如图4-1-8，从图像上可以看出：当时，当或时，
综之，函数的零点为；时的取值范围是；时，的取值范围是。
例5 方程有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解（精确到。
解：考查函数说明函数在区间（1，2）有一个零点
因为函数在上是增函数（证明略），所以方程在区间（1，2）内有唯一的实数解。
取区间（1，2）的中点,用计算器可算得
再取的中点，用计算器可算得
再取的中点，用计算器可算得
同理，可得
由于
此时区间的两个端点精确到的近似值都是，所以方程的一个精确到的近似解约为。
〖点拨〗 1 利用二分法求方程的近似解时，取不同的初始区间其计算就有繁简之分，那么如何选定初始区间才能简化解题过程呢？一般地可用特殊值代入计算即可，但此时应注意遵循“最简原则”（即计算在最简单）还应注意与估计结合一起才行，如果条件允许，利用科学计算器或计算机作出图像，由图像不难确定初始区间。
2利用二分法求方程的近似解时，还涉及实数解个数的确定问题，一般利用函数的单调性或函数的图像即可确定。
作业
一、选择题（本题共5个小题，每小题6分，共30分）
1．方程在区间内 （ ）
A．没有实数解 Ｂ．有一个实数解
Ｃ. 有两个实数解 Ｄ．有无数个实数解
2．方程在区间上的实数解一定在区间（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．方程的实数解所在的一个区间是（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．用二分法可以求得方程的解为 ( )（精确到0.1）
A．-1.5 Ｂ．-1.6 Ｃ．-1.7 Ｄ．-1.8
二、填空题（本题共5个小题，每小题6分，共30分）
6．方程在区间有________个实数解．
10．给出以下结论，其中正确结论的序号是 __________．
（1）函数图像过零点时，函数值一定变号；
（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
（3）函数在区间上连续，若满足<0,则方程=0在区间上一定有实根；
（4）二分法对连续不断的函数的所有零点都有效。
11．（12分）若方程在（和（1，3）内各有一个实根，则实数的取值范围如何？§4二次函数性质的再研究
本节内容我的安排2课时，在图像这节课主要让学生明白中参数a,b,c对函数图像的作用以及图形的平移规律。在第二节课时主要讲二次函数图像的应用包括顶点，最值，单调区间等
§4.1二次函数的图像
教学要求：理解在二次函数图像中a,b,c，h,k对函数图像的作用，掌握研究二次函数移动的方法，并能推广其他函数
教学重点：二次函数的平移变换
教学难点：推广到其他函数
教学过程：
一、复习准备：
回顾初中学习的二次函数的性质，画出一个二次图像提出问题a,b,c对函数图像有何作用
二、讲授新课：
利用多媒体课件分析问题引导学生得出：
1．的值越大，而函数的图像开口越小，的值越小，而函数的图像开口越大．
2．a ,b符号确定对称轴在y轴的两侧位置
3．C是图像同y轴的交点
4．的图像可以由的图像上各点的横坐标不变，纵坐标边为原来的倍得到；决定了抛物线的开口大小程度．的图像可以由的图像上各点的纵坐标不变，横坐标左右平移得到，ｈ＞０左移，ｈ＜０右移．的图像可先由 的图像伸缩得到的图像，再由的图像左右平移得到的图像，最后再上下平移得到的图像，ｋ＞０上移，ｋ＜０下移．
三、巩固练习：
略
提出问题如何由y=f(x)得到y=af(x+h)+k的图像
【探究创新】
函数的图像关于对称，试计算并由此你能发现什么规律，一般地，如果函数的图像关于直线对称，你又发现什么规律？
作业：课本P44 练习 绿皮书
注意：并不是所有学生都能顺利地把二次函数写成顶点式 的，最好提前安排练习
§4.2二次函数的性质
教学要求：能利用二次函数的图像解决基本的有关定义域，值域，单调性，最值得问题
教学重点：二次函数图像的性质
教学难点：应用
教学过程：
一、复习准备：
提问：如何确定一个二次函数的图像 a 对称轴 顶点
二、讲授新课：
如何画出f(x)=3x2－3x+4的草图？利用图像分析性质
1．当时，它的图像向上，顶点坐标为对称轴为；在上是减少的，在上是增加的；当时，函数取得最小值．
２．当时，它的图像向下，顶点坐标为对称轴为；在上是增加的，在上是减少的；当时，函数取得最大值
３．二次函数解析式有：一般式；顶点式；两根式二次函数图像与ｘ轴交点的横坐标就是方程的两根，若图像与ｘ轴无交点，则方程无根．
例题
例1 求函数的最大值和最小值．
例2 设当时，恒成立，求的取值
例3 函数f(x)=3x2－mx+4在[－5,+∞上是增函数，在(－∞,－5上是减函数，
则f(－1)的值是
练习 设函数R）的最小值为m（a），当m（a）有最大值时a的值为（ ）
课本P45例3
小结 略
作业：课本P46
注意：一定强调一看开口方向，二看对称轴，三分析区间位置本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
课题：§3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
第一课时：
教学过程：
1、 引入课题
我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？
实例1：A=﹛高一（9）班女生﹜ B=﹛高一（9）班团员﹜
C=﹛高一（9）班女团员﹜，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。
实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员
假设A=﹛高一（9）班的篮球队员﹜B=﹛高一（9）班的足球队员﹜
C=﹛高一（9）班的运动员﹜，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成的。
我们发现集合之间是存在一定运算的。
2、 新课教学
1．交集（如实例1）
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
则上例中C=A∩B。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∩B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
2． 并集（如实例2）
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∪B；
2．
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
总结基本结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
总结：
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
三.例题讲解：
例1．某学校所有男生组成的集合A，一年级的所有学生组成的集合B，一年级的所有男生组成的集合C，一年级的所有女生组成的集合D，求A∩B，C∪D。
解 A∩B=
=B.
例2．设
求A∩B，A∪B.
解
完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。
例3． 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
解 M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}
∴ M∩N=M={y|y≥1}
四．课堂练习：
P12 练习 1，2，3，4题P14习题1题
五．小结：
A∩B={x|∈A，且x∈B}
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
交集的性质
AA=A , A=, AB=BA, ABA, ABB,
若AB,则AB=A,反之也成立。
并集的性质
AA=A， A=A， AB=BA， ABＡ， ABB
若AB,则AB=B,反之也成立。
联系交集的性质有结论：ABAAB．
六．作业
1．基础作业：P14习题A组2，3，4题
2．选做：
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
解 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}
当B=时，△=m2-8<0 ∴
当B={1}或{2}时，，m无解
当B={1，2}时， ∴ m=3
综上所述，m=3或
3．思考B组1题
第二课时
一．复习回顾：
上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。
二．新课讲解
1．全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
2．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A在U中的补集，或余集。
记作：CUA
即：
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
三．例题讲解
例3 试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。
解 Ⅰ部分：
Ⅱ部分：
Ⅲ部分：
Ⅳ部分：
例 4 设全集为R，
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）;
（7）
并指出其中相等的集合。
解 （1）在数轴上，画出集合A和B.
（2）
（3） 在数轴上表示出
（4）
（5） .
（6）=;
（7）
注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。
总结：
补集的性质：
C＝Ｕ， CＵ＝，A∩CA＝，A∪CA＝Ｕ，C( CA)＝A
德摩根律：
(CuA) (CuB)= Cu (AB), (CuA) (CuB)= Cu(AB)，
四．课堂练习。
P14 练习1，2，3，4，5题
五．归纳小结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
6． 作业布置
1、 基础作业：P15习题A组，第5，6，7题。
2、 选做：
若全集Ｕ＝，子集Ｐ＝，且CuＰ＝，求实数ａ．
解 由子集定义和补集定义可知，解得ａ＝２．
3．思考：
习题B组 2题
注意：在处理交，并集时，尤其是图像重叠部分时可以推广到数轴表示，此法实用对以后大有好处，应在这上面多做练习。其次对关键词且，或的说明一定要准确例子一定事先推敲好，免得得不偿失
A∪B
A
B
A
=
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
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我觉得如果对学生的考察测评方法仍是考试的话，那么在我们所处的环境里，应试教育就是首选的方式
本章内容和老教材比起来内容没多大变化，难度要求降低，我觉得还是把一些东西补充进去比较好。学生刚上高一，大家都是新的，在讲课时最好想办法运用各种手段让学生尽快了解到高中数学同初中数学的不同，努力使他们不烦我的这门课，让他们觉得有意思，有些神奇 ，愿意或喜欢学数学。集合的基本关系和运算我觉得应该多练基本功。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网课 题： 3.2 指数函数的图像和性质
教学目的：
熟练掌握指数函数概念、图象、性质掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
二、新课讲授：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
例2求函数的单调区间，并证明
解：设
则
∵ ∴
当时， 这时
即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
引申：求函数的值域 （）
小结：复合函数单调性的判断
例3设a是实数，
试证明对于任意a,为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
小结 本节课学习了以下内容：
指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性方法
课后作业：