高一数学参考答案
一选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D C D B C D ABD ACD ACD BCD
填空题
4 14. 或 15 / 16
解答题
17、（1）由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
（2）由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
18、（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
19、（1）取中点，连接，如图，
因为底面为菱形，且，
所以为等边三角形，故，
因为，所以. 又因为平面，
所以平面， 平面，所以.
因为是的中点，所以.
由（1）知三棱锥P-BCD为棱长，过点P作DE的垂线，垂足为O,易知O为DE的三等分点，且DO=2OE,连接OB.易知OB垂直AB,所以就是二面角的平面角，所以
20、（1）因为过焦点且与轴垂直，故，
故，
解得：，从而抛物线C的方程为.
（2）设线段中点为，，，
由题知，直线的垂直平分线斜率存在，设为k，则：，
，.
若直线不与x轴垂直，由得，，
即，则直线l斜率为，
从而直线l的方程为，整理得：恒过点.
若直线与x轴垂直，则l为直线，显然也满足恒过点.
综上所述，直线l恒过点.
21、（1）因为为直角三角形，设， ，
又，所以.
因为在直角中，，所以，.
所以（其中）.
当，即时，取到最大值，为，
所以.
（2）依题意，设，，，，则，
则，，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以当时，对底边AB观察的视线所张的角最大.
因为，则，，
可得，所以，
平面平面AMD，平面平面，平面，
所以平面AMD，由平面AMD，得.
因为，，所以，所以.
所以从M处观察P点时仰角的正切值为.
22、（1）设，，则，，
将代入，得
将代入，得，
即，
又因为且所以，
所以，
所以的方程为. 即的方程为.
（2） 设中点为，中点为.
当垂直轴时，由对称性可得；
当不垂直轴时，设，
将直线的方程代入，得，
所以，，
所以，，即，同理，
由此可知.丰城九中2023-2024学年上学期高一第三次月考试题
数 学
一、单选题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知，则在复平面上对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，则下列各式中值为的是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．内切 D．相交
5．椭圆与的（ ）
A．长轴的长相等 B．短轴的长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
6．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
① 若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知椭圆与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，的外接圆半径为，则点在（ ）上.
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
8．已知双曲线()的左 右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为
10．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2 B．的离心率为
C．的面积为 D．的平分线所在直线的方程为
11．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点.下列结论正确的是（ ）
A．若点P在线段上运动，则始终有
B．若点P在线段上运动，则过P，B，三点的正方体截面面积的最小值为
C．若点P在线段上运动，三棱锥体积为定值
D．若点P在线段上运动，则的最小值为
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（1，0），直线，动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”.
C．平面上有一点A（1，1），则的最小值为3.
D．点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．点是空间直角坐标系中的一点，点与点关于轴对称，点与点关于平面对称，则 .
14．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ．
15．已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ．
16．双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在中，分别为内角所对的边，若，．
(1)求的面积；
(2)求的最小值．
18．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
19．已知四棱锥的底面为菱形，且.
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.
20．已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.
21．某公司为宣传其产品，设计一大型广告立牌置于公司楼下显目位置，广告立牌垂直于地面，其设计图如下所示，由直角和以BC为直径的半圆拼接而成，，AB固定于地面，且，点P为半圆上一点（异于B，C两点），四边形ABPC为梯形，，该广告立牌右侧有一条垂直于AB的直线小道L（直线小道路面与地面平齐），与AB的延长线交于点D，且.
(1)若沿该造型外部边缘增加铁丝加以固定，求铁丝长度（即）的最大值及此时的值；
(2)若，行人M（视为质点，行人高度忽略不计）沿直线小道L向该广告立牌走近，当对底边AB观察的视线所张的角最大时，求从M处观察P点时仰角的正切值.
22．已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：.
