第五章 几何证明初步单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 青岛版（2012）八年级上册 第五章 几何证明初步 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、…在射线上：、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）

A．4044 B．4046 C． D．
2．一个三角形的两个内角分别是和，则下列角度不可能是这个三角形外角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（　　）
A． B． C． D．
4．将沿翻折得到，点与点是对应点，若，则（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线、相交于点．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，平分，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，点O为三边垂直平分线交点，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，在中，，为边上的一点，点在边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ．
12．如图，都是等边三角形，与交于点O，则 ．
13．如图，在中，点为边的中点，点E为上一点，将沿翻折，使点C落在上的点F处，若，则的度数为 ．
14．如图，在中，与分别是和的角平分线，若，则 ，连接，则 ．
15．如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ．
16．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 °．
评卷人得分
三、证明题
17．问题情景：如图1，．
(1)观察猜想：若，．则的度数为__________．
(2)探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
评卷人得分
四、问答题
18．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
……，
∴的边长为．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角．先根据三角形的内角和为求出第三个内角，然后根据内角和相邻外角的关系，求出答案．
【详解】∵三角形的内角和为，已知三角形的两个内角分别为和，
∴第三个内角为．
∴角相邻的外角为，
相邻的外角为，
相邻的外角为；
所以这个三角形的外角不可能是．
故选：A
3．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，再由折叠的性质可得：，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可．
【详解】解：在中，，
，
由折叠的性质可得：，
，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出再利用角的和差求解即可，．
【详解】解：∵
∴
由折叠的性质可得，
∵
∴
∴，
∴
故选：A．
5．C
【分析】由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的性质即可得出与的数量关系，故可判定②；由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；延长到，使，连接，证明，可得，，，可得，由线段和差关系可得结论，故可判断④．
【详解】解：∵四边形是“筝形”四边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，故结论①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，
∵，故结论③错误；
如图所示，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确的结论有个．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查三角板相关的角度计算，三角形外角的定义和性质，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可求解．
【详解】解：由图可知，三角板中，，
，，
，
故选B．
7．C
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，
延长，过点E作于点F，作于点G，作于点H，根据角平分线的性质定理可得，进而可证明是的平分线，根据角平分线的定义、三角形外角的性质可得，问题得解．
【详解】解：延长，过点E作于点F，作于点G，作于点H，
∵的外角的平分线与内角的平分线交于点E，
又∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理可得的度数，从而得到，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义；
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴，
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质．先根据三角形外角的性质得出，，再根据，，即可得出结论．
【详解】解：∵是的外角，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
故选：B．
11．或
【分析】此题考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据题意画出图形，然后分P点在B的左边和P点在B的右边两种情况讨论，然后分别利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．解题的关键是正确画出图形并分类讨论．
【详解】如图，点P的位置有两种可能，分别为左边的，右边的．
∵，，
∴，
∴，
①若P点在B的左边，
，，
，
；
②若P点在B的右边，此时，
∴，
，
，
综上，的度数是或．
故答案为：或．
12．/度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．60
【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意，得，，，，，计算即可，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】∵点D为边的中点，沿翻折，使C点落在上的点F处，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60．
14． /115度 /25度
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的性质得即可求出的度数，根据三角形角平分线的性质得平分，即可解决问题．
【详解】解：，
，
与分别是和的角平分线，
，，
，
连接，则平分，
．
故答案为：，．
15．/20度
【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出，再根据折叠性质即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
由翻折的性质可得：，
∵，
∴，
故答案为：．
16．32
【分析】本此题主要考查了三角形内角和定理以及与角平分线有关的计算，先根据三角形内角和定理求得，再求，由是的平分线，得知，从而根据求得答案．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵是的平分线，
∴
∴
故答案为：．
17．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
（1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高线的性质：
（1）在中，根据，可得，再根据是角平分线，，即可求解；
（2）在中，根据，，可得，再根据是角平分线，可得，又因为是高，在中，根据，可得，即可求解.
【详解】（1）解：在中，
∵
∴
∵是角平分线，
∴
∴
（2）解：在中，
∵，
∴
∵是角平分线，
∴
∵是高，
在中，
∵
∴
∴
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