第一章 图形的相似单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 青岛版（2012）九年级上册 第一章 图形的相似 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与位似，点O为位似中心，且B为的中点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知D、E分别是的边上的点，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，点D．E分别在边上．下列条件中，不能推断与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，分別是边，，上的点，，，且，那么等于（ ）．

A． B． C． D．
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若为斜边上的高，，则的面积与的面积比的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形都是正方形，点在线段上，三点共线，连接交于点，设，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，的垂直平分线与的延长线交于点E，与交于点F，若，，则的长为 ．
12．如图，在中，，若点是的重心，，则 ．
13．如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则李明击球的高度h为 ．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为 ．
15．如图，，，则与的比值是 ．
16．如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则
评卷人得分
三、问答题
17．如图，在中，，，，．
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长；
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长．
评卷人得分
四、证明题
18．如图，在四边形中，，，的平分线交于点，是的中点，连接、，且．求证：
(1)四边形是菱形；
(2)．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵，
∴，
添加，可用两角法判定；
添加，可用两角法判定；
添加，可用两边及其夹角法判定；
若添加，而夹角不一定相等，不能判定；
观察四个选项，C符合题意，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：为的中点，
，
与位似，
，，
，
，
，
∴与的面积比为
故选：C．
3．B
【分析】本题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了三角形相似的判定，画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【详解】解：由题意得，，如图，
A、当时，；故本选项不符合题意；
B、当时，；故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断与相似；故本选项符合题意；
D、当时，且，；故本选项不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，推出，推出 ，由可得 ，由此即可解决问题，解题的关键是熟练掌握三角形的判定和性质的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断A，B，再根据“两个角相等的两个三角形相似”判断C，D．
【详解】∵，且，
∴∽.
所以A不符合题意；
∵，且，
不能说明这两个三角形相似，所以B符合题意；
∵，，
∴∽.
所以C不符合题意；
∵，，
∴∽.
所以D不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是两次证得直角三角形相似并利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得两三角形面积的比．证明，然后利用相似的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．由四边形和四边形是正方形，根据正方形的性质，即可得，则可根据证得A选项的；然后延长交于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得，则可得B选项的．不能证明，因此不能够证明C选项，由与相似即可求得D选项．
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故A选项正确；
②延长交于点H，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
故B选项正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
但无条件证明
则不一定正确，即C选项不一定正确；
∵
∴
∴
∴
故D选项是正确；
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故A不符合题意；
由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故B不符合题意；
由条件，结合，可以由两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似证明，故C不符合题意；
由条件，结合，不可以证明，故D符合题意；
故选D．
10．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，据此得，结合，即可作答．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∵若的周长等于周长的，，
∴，
即．
故选：A．
11．/
【分析】如图所示，取中点H，连接，先求出，再由线段垂直平分线的性质得到，点D为中点，证明得到，则，再由三角形中位线定理得到，进而证明，得到，利用勾股定理可得．
【详解】解：如图所示，取中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，点D为中点，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点H为中点，点D为中点，
∴为 中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．2
【分析】本题考查了重心的性质及直角三角形的性质，延长交于点D，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及重心的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点D，
∵，若点是的重心，，
∴，，
∴，
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，从图中找出相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，
，
又，
，
，
，
解得，
故答案为：．
14．/0.5
【分析】此题重点考查平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．、、、四点均为格点，连接，则点、点均在上，连接、，可证明，得，，所以，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，、、、四点均为格点，连接，则点、点均在上，连接、，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点作交于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出，，进而得到答案．
【详解】解：如图，过点作交于点F，
由平行线分线段成比例定理得，
则，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先读数得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
17．(1)；
(2)．
【分析】()由，可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
()由的周长与四边形的周长相等，可得的周长，由先求出，进而可求出的长；
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵的面积与四边形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长与四边形的周长相等，
∴，
∴ ，
∴的周长，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，则，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后由，证明四边形是菱形．
（2）由平行的性质可得，证明，则，整理可证结论．
【详解】（1）证明：∵，是的中点．
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定．相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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