第二章 解直角三角形单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 青岛版（2012）九年级上册 第二章 解直角三角形单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，中，，于点D，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线l： ，过点，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点．过点作直线l的垂线交y轴于点；……；按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，小明爬一土坡，坡度为，他从A处爬到B处离地面高度为米，则这个土坡直线距离长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
4．如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．24
7．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
10．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）．

A．3 B．5 C．2 D．4
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为 ．
12．如图，己知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若,则 ,的值= ．
13．中，D为边中点，，，若，，则 ．
14．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ．
15．将放置在的正方形网格中，顶点、、都在格点上．则的值为 ．
16．如图，在中，，点是边上的一动点（不与点重合），过点作交于点，将沿直线翻折，点落在射线上的点处．当为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形的周长为 ．
评卷人得分
三、问答题
17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴于点、交轴于点A，已知点，点是线段的中点，，点是轴上的一动点．
(1)求点A的坐标；
(2)如果以点A，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)平面上是否存在点，使得以点A，，，为顶点的四边形是菱形．如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，求解锐角的正切，掌握正切的定义是解本题的关键，先证明，再利用定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A
2．C
【分析】本题考查了一次函数的规律探索问题、锐角三角函数，利用锐角三角形函数得，同理得 ，进而可求解，准确找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l的解析式为，
当时，代入上式得，
即，，
∴点，
，
，
，轴，
，
，
，
，
同理可得 ，
∴点的纵坐标为，
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了坡度的定义与相关计算，属于基础题型，熟知概念是关键．设斜坡的水平宽度为x米，根据坡度的定义可求出x，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设斜坡的水平宽度为x米，
根据题意，得，
解得，
∴米，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：，，
，
设
故选：D．
5．B
【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，故①错误；
∵，
∴，故②正确、④错误；
∵，
∴，故③正确，
∴正确的有个．
故选：B．

6．D
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．
【详解】解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，将与的交点记为，连接，

解：在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：．
8．A
【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图，可知：，
∴，
∴，
∴，，，，
综上：只有选项A是错误的，
故选A．
9．A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，，，
，
故选：C．
11．
【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，连接，根据题意得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】如图所示，连接，
由网格可得，
∴，
∴．
故答案为：．
12． 5
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠的正切值转化为求∠的正切值是解题的关键.
根据勾股定理求出，根据题意得知，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.
【详解】解：在矩形中，，
∴
∵矩形，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设则，
∴，
∵，
∴∠∠，
∴.
故答案为：5，
13．
【分析】延长到，使，连接，过作于, 得出，证 推出，求出，得出，设，在 中，根据勾股定理求出，即可求出和，根据勾股定理求出即可.
【详解】如图, 延长到，使，连接, 过作于，
∵在和中
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：(舍去)，
即 ，
，
，
即 ，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，勾股定理，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，此题难度偏大.
14．或/或
【分析】分两种情况：①延长交于，由，，，得，，，根据将沿翻折，使得点落在点处，有，，在中，可得，，即知，再用勾股定理即得；②与交于，同①方法可求出．
【详解】解：分两种情况：
①延长交于，如图：
，
，
，，，
，
，，
是边的中点，
，
将沿翻折，使得点落在点处，
，，
在中，，
，
，
在中，
；
②与交于，如图：
由题意知：，
将沿翻折，使得点落在点处，
，，
在中，，
，
，
在中，
；
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题．
15．1
【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，问题即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由网格的特点可知，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
16．或
【分析】本题主要考查的是翻折的性质和特殊角的三角函数值的应用．先求得的长、与的度数，然后分别从从与去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得的长，继而求得答案．
【详解】解：中，，
．
，．
由翻折的性质可知：，．
为直角三角形，
或．
①时，点在边上．
，．
由翻折的性质可知：，
，
，
，
，
四边形的周长；
②时，点在的延长线上．
．
．
又，
．
设．
∵，
∴，
，即，
解得，，
则，
四边形的周长．
综上所述，折叠后所得到的四边形的周长为或．
故答案为或．
17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴和是直角三角形，
∵，
∴设，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得（舍），，
∴，，
即点A的坐标为：，点B的坐标为：．
18．(1)
(2)或
(3)存在，或或或．
【分析】（1）根据正切函数及题意得出，即可得出结果；
（2）分两种情况分析：当时，当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）分两种情况分析：①当是菱形的边时，②当为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形求解即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵， ,∴，
∴点A的坐标为；
（2）如图所示，满足条件的点P有2个，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，如图中点所示，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，点是的中点，
∴，
∴点的坐标为；
当时，如图中点所示，，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
综上可得：点的坐标为或；
（3）解：存在．理由如下：
①当是菱形的边时，如图所示，
在菱形中，
，
∴，
∴的坐标为；
在菱形中，
，
∴，
∴的坐标为；
在菱形中，
，
∴的坐标为；
②当为菱形的对角线时，如图所示的菱形，
设菱形的边长为x，则，，
则在中，，
即，
解得，
∴．
综上可得，平面内满足条件的P点的坐标为：或或或．
【点睛】题目主要考查正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应图形进行分类讨论是解题关键．
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