第三章 对圆的的进一步认识单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 青岛版（2012）九年级上册 第三章 对圆的的进一步认识单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　）
A．48 B． C．24 D．
5．如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与相切于点，，，则长为( )

A．2 B．4 C． D．
7．如图是某高速公路的一个隧道的横截面，若它的形状是以点O为圆心，线段OA的长为半径的圆的一部分，路面，隧道高，则的半径( )
A． B． C． D．
8．在中，，，点D为的中点，以点C为圆心，以长为半径作圆，则点D与的位置关系是（ ）
A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定
9．如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）
A．130 B．140 C．150 D．160
10．如图，已知点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为 ．
12．如图，，为的两条切线，连接，若的半径为3，的长为5，则的长是 ．
13．如图，在中，，，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的整数值是 ．
14．如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为 ．
15．如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是 ．
16．如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是
评卷人得分
三、证明题
17．如图，与相切于点C，点P在直径的延长线上，于点D，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．（温馨提示：用简单的方式表示角）
18．如图，在中，，D是的中点，以为直径的交的边于G，F，E点．求证：
(1)F是的中点；
(2)连接，弧弧，直接写出与相等的角．
参考答案：
1．D
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解．
此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置．
【详解】连接，∵，∴，∵，∴，
要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，
则，
∴，
又，
∴，
∴，
故选D．
2．A
【分析】本题考查的是圆周角定理和直角三角形性质，根据圆周角定理得到，，然后利用直角三角形两锐角互余计算出的度数，从而得到的度数，解题的关键是掌握圆周角定理和直角三角形性质及其应用．
【详解】∵是的直径，
∴，
∴，由，
∴，
∴，
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理．
所以是的垂直平分线，
因而，，，都是正确的．
所以选项B、不一定成立．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
，
解得，
，
，
，即的周长为，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理．
观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解．
【详解】解：弧弧，
其中是弧的圆心角，是弧的圆周角，
．
故选：．
6．A
【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：与相切于点，
，
，
．
，
．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设半径为，利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：设的半径为米．
，经过圆心，
(米，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定，熟练的掌握“点与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键．
【详解】解：解：由勾股定理，得，
∵D是边上的中点，
∴，
∴， ∴点D在内．
故选C．
9．B
【分析】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：四边形是内接四边形，
，
，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，根据等弧所对的圆心角相等，可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，由此可解．
【详解】解：如图，连接，
C为的中点，
∴，
，
，
故选D．
11．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
先求出再利用勾股定理即可得得出，最后用垂径定理即可得出．
【详解】解：如图，
连接，
的直径，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
12．
【分析】先标注图形，根据切线长定理得，再根据，得是线段的垂直平分线，然后根据切线的性质得，结合勾股定理求出，再根据面积相等求出，即可得出答案．
【详解】如图所示．
∵，是的切线，
∴．
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，且．
∵是的切线
∴．
在中，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，求三角形面积，线段垂直平分线的性质和判定等，解决此类问题的思路是由切线得到直角三角形，再根据勾股定理求线段长．
13．4
【分析】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
点在内且点在外，
，即，
∴r的整数值是4．
故答案为：4．
14．
【分析】连接并延长交于点，连接，过点作，根据切线的性质及旋转的性质可以得到四边形、四边形均为矩形，结合、、的半径及勾股定理可以求出及的长度，再利用等腰三角形的性质即可确定及的长度；
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，过点作，
∵边与相切，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵四边形、四边形均为矩形，
∴，则，
在中，
，
∵且，
∴，
即：
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质定理，旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性质，理解切线的性质定理是解决本题的关键．
15．24
【分析】本题考查了切线长定理；利用勾股定理求得切线的长，再根据切线长定理可知，，，进而可求出结果．
【详解】解：连接．
∵，与相切，
∴，，
在中，
由勾股定理可得．
根据切线长定理可得，，，
所以的周长．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为．
17．(1)见解析
(2)半径
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，，根据直径的性质得到，，得到，根据等边对等角得到，得到．
（2）根据，，得到，得到，根据，得到 ，根据，推出，得到，根据，得到，根据，，推出，得到，根据， 得到, ，得到，得到．
本题主要考查了圆的切线，相似三角形等．熟练掌握圆的切线的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
即：．
∵为的直径，
∴．
即：，
∴．
又∵，
∴．
∴，
即．
（2）∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴ ．
又，
∴，
．
又∵，
∴．
由（1）得，又，
∴．
∴．
∵，
∴ ．
∴, ．
∴．
∴半径．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在中，由斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由是的直径，得，再根据等腰三角形的性质可证，是的中点；
（2）由（1）知，由圆周角定理可得，得，根据中位线定理可知，，得，由圆周角定理可得：，，可得．由等弧所对的圆周角相等，可得，进而可知．
【详解】（1）证明：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即是的中点
（2）由（1）知，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴，
∵，分别是，的中点，则为的中位线，
∴，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴．
∵弧弧，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．
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