第二十八章 二次函数单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二十八章 二次函数单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 05:38:24 | ||
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文档简介
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2023-2024学年 人教版（五四制）九年级上册 第二十八章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．0 B． C．2023 D．
4．对于抛物线，下列判断正确的是（）
A．与y轴交点坐标是 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而减小
5．对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…这个数据（如下表）：
数据
对应值 7.1 6.6 7.1
设，若当时，有最小值，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，二次函数的图象过点，对称轴是直线．下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若点是图象上的任意一点，则
8．抛物线经过平移得到，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
9．下列二次函数的图象可以通过平移的图象得到的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题
11．已知二次函数的最小值为5，则 ．
12．已知抛物线．当时，则该二次函数的最小值为 ．
13．若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是 ．（用“”号连接）
14．如图，灌溉系统从点处喷出水来给右侧矩形花坛浇水，水流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点，分别交，于点，.测量得，，，，则 .过一段时间，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，则 .
15．如果函数是关于x的二次函数，则 ．
16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在y轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则 ．
评卷人得分
三、计算题
17．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
(1)写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
(2)当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
评卷人得分
四、问答题
18．综合与探究：
如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是对称轴右侧第一象限内抛物线上一点．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)当时，求出点D的坐标；
(3)在满足（2）的条件下，如图2，过点C作，交直线于点E，连接．则四边形是否为平行四边形？请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点．由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，②错误；
∵方程没有实数根，
，③正确；
，，
，④正确．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围．
【详解】解：如图，把代入，
∴，
由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，
∴；
故选A
3．A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，由二次函数图象过两点和，得到a，b是方程的两根，根据方程的解的定义及根与系数的关系得到，，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，
∴a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论,根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、令与y轴交点坐标是，本选项不符合题意，
B、抛物线的顶点为，本选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为：，本选项符合题意，
D、因为开口向下，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了完全平方公式及二次函数，对进行化简，得到与之间的二次函数，根据二次函数最值即可解答，利用完全平方公式进行化简是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
当时，有最小值，
即 ，
故选：．
6．D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位置可判断①，根据图象与x轴的一个交点在点和之间可得图象与x轴另一交点位置，从而判断②，根据点与点与对称轴的距离大小可判断③，由时函数值最大可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①正确，符合题意．
∵图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点在点和之间，
时，，②正确，符合题意．
，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，③正确，符合题意．
时，为函数最大值，
时，，即，
，
对于任意实数m，都有 ，故④正确，符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据开口方向和与y轴交于正半轴得到，根据对称轴得到，由此可判定A、B；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，从而得到二次函数与x轴有两个不相同的交点，即可判定C；根据开口向下的二次函数在对称轴轴取得最大值，得到，即可判断D．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故A、B说法错误，不符合题意；
∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象过点，
∴二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴，故C说法错误，不符合题意；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值，
∴点是图象上的任意一点，则，即，故D说法正确，符合题意；
故选D．
8．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位得，再向上平移3个单位得，即，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵，，的二次项的系数都不是，
∴它们都不可以通过平移的图象得到，
∵与的二次项的系数都是，
∴可以通过平移的图象得到的是选项A．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：D．
11．6
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，对于二次函数，当时，则当时，函数有最小值k，当时，则当时，函数有最大值k．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，最小值为，
∴，
故答案为：6．
12．0
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求出当时的最小值．
【详解】解：抛物线中，，
抛物线关于对称，
抛物线在上，y随x的增大而增大，
当时，y有最小值，即最小值为：，
故答案为：0．
13．
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．根据“开口向下时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小”进行求解即可．
【详解】解：∵，开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；
故答案为：．
14． 10 //
【分析】本题考查了二次函数的实际应用、二次函数的平移、矩形的性质，以为坐标原点，建立直角坐标系，则，，，设抛物线的解析式为：，待定系数法求出解析式为，令，则，求出点的坐标，得出，再求出的长，即可得解；求出点的坐标，设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，将点的坐标代入进行计算，求出的值即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，，
，
如图，以为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
，，
设抛物线的解析式为：，
将，，代入解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：或，
，
，
，
，
，
，
，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，
设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，
灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，
，
解得：,
，
故答案为：10，．
15．0
【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到k的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得．
故答案为：0．
16．
【分析】设第一个等腰直角三角形的直角边长为x,表示出点的坐标，再代入二次函数的解析式求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m,表示出的坐标，代入二次函数的解析式求出m,同理求出第2024个等腰直角三角形的直角边长，最后求出斜边即可解答．掌握利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
【详解】解：设,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴的坐标为，代入二次函数，则，解得或（舍），
设,
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，代入二次函数，得，解得或（舍），
同理可求出，，
∴，
根据勾股定理可得，
故答案为．
17．(1)；
(2)25元或43元；34元，512万元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式和方程并熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据利润销售量（销售单价成本），代入代数式求出函数关系式；
（2）令利润，求出x的值；将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）解：由题意得，
；
故答案为：；
（2）解：当时，
，
解得：．
答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元．
，
当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
18．(1)，，
(2)
(3)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）分别求出时的值，时的值，即可得到点A，B，C的坐标；
（2）过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，设点，则，，根据得出关于m的方程，解方程舍去不合题意的解，求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）先求出直线的解析式，再根据求出直线的解析式，然后求出直线的解析式，联立解析式求出点E坐标，计算出和，再根据平行四边形的判定得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
解得，，
∴，，
当时，，
∴；
（2）过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．
设点，则，，
由（1）可知：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵抛物线的对称轴为，
∴舍去，
当时，，
∴点D坐标为；
（3）四边形是平行四边形．
理由：设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线，，
∴直线的解析式，
设直线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴点E坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
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2023-2024学年 人教版（五四制）九年级上册 第二十八章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．0 B． C．2023 D．
4．对于抛物线，下列判断正确的是（）
A．与y轴交点坐标是 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而减小
5．对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…这个数据（如下表）：
数据
对应值 7.1 6.6 7.1
设，若当时，有最小值，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，二次函数的图象过点，对称轴是直线．下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若点是图象上的任意一点，则
8．抛物线经过平移得到，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
9．下列二次函数的图象可以通过平移的图象得到的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题
11．已知二次函数的最小值为5，则 ．
12．已知抛物线．当时，则该二次函数的最小值为 ．
13．若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是 ．（用“”号连接）
14．如图，灌溉系统从点处喷出水来给右侧矩形花坛浇水，水流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点，分别交，于点，.测量得，，，，则 .过一段时间，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，则 .
15．如果函数是关于x的二次函数，则 ．
16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在y轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则 ．
评卷人得分
三、计算题
17．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
(1)写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
(2)当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
评卷人得分
四、问答题
18．综合与探究：
如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是对称轴右侧第一象限内抛物线上一点．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)当时，求出点D的坐标；
(3)在满足（2）的条件下，如图2，过点C作，交直线于点E，连接．则四边形是否为平行四边形？请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点．由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，②错误；
∵方程没有实数根，
，③正确；
，，
，④正确．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围．
【详解】解：如图，把代入，
∴，
由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，
∴；
故选A
3．A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，由二次函数图象过两点和，得到a，b是方程的两根，根据方程的解的定义及根与系数的关系得到，，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，
∴a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论,根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、令与y轴交点坐标是，本选项不符合题意，
B、抛物线的顶点为，本选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为：，本选项符合题意，
D、因为开口向下，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了完全平方公式及二次函数，对进行化简，得到与之间的二次函数，根据二次函数最值即可解答，利用完全平方公式进行化简是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
当时，有最小值，
即 ，
故选：．
6．D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位置可判断①，根据图象与x轴的一个交点在点和之间可得图象与x轴另一交点位置，从而判断②，根据点与点与对称轴的距离大小可判断③，由时函数值最大可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①正确，符合题意．
∵图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点在点和之间，
时，，②正确，符合题意．
，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，③正确，符合题意．
时，为函数最大值，
时，，即，
，
对于任意实数m，都有 ，故④正确，符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据开口方向和与y轴交于正半轴得到，根据对称轴得到，由此可判定A、B；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，从而得到二次函数与x轴有两个不相同的交点，即可判定C；根据开口向下的二次函数在对称轴轴取得最大值，得到，即可判断D．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故A、B说法错误，不符合题意；
∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象过点，
∴二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴，故C说法错误，不符合题意；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值，
∴点是图象上的任意一点，则，即，故D说法正确，符合题意；
故选D．
8．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位得，再向上平移3个单位得，即，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵，，的二次项的系数都不是，
∴它们都不可以通过平移的图象得到，
∵与的二次项的系数都是，
∴可以通过平移的图象得到的是选项A．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：D．
11．6
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，对于二次函数，当时，则当时，函数有最小值k，当时，则当时，函数有最大值k．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，最小值为，
∴，
故答案为：6．
12．0
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求出当时的最小值．
【详解】解：抛物线中，，
抛物线关于对称，
抛物线在上，y随x的增大而增大，
当时，y有最小值，即最小值为：，
故答案为：0．
13．
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．根据“开口向下时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小”进行求解即可．
【详解】解：∵，开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；
故答案为：．
14． 10 //
【分析】本题考查了二次函数的实际应用、二次函数的平移、矩形的性质，以为坐标原点，建立直角坐标系，则，，，设抛物线的解析式为：，待定系数法求出解析式为，令，则，求出点的坐标，得出，再求出的长，即可得解；求出点的坐标，设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，将点的坐标代入进行计算，求出的值即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，，
，
如图，以为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
，，
设抛物线的解析式为：，
将，，代入解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：或，
，
，
，
，
，
，
，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，
设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，
灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，
，
解得：,
，
故答案为：10，．
15．0
【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到k的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得．
故答案为：0．
16．
【分析】设第一个等腰直角三角形的直角边长为x,表示出点的坐标，再代入二次函数的解析式求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m,表示出的坐标，代入二次函数的解析式求出m,同理求出第2024个等腰直角三角形的直角边长，最后求出斜边即可解答．掌握利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
【详解】解：设,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴的坐标为，代入二次函数，则，解得或（舍），
设,
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，代入二次函数，得，解得或（舍），
同理可求出，，
∴，
根据勾股定理可得，
故答案为．
17．(1)；
(2)25元或43元；34元，512万元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式和方程并熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据利润销售量（销售单价成本），代入代数式求出函数关系式；
（2）令利润，求出x的值；将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）解：由题意得，
；
故答案为：；
（2）解：当时，
，
解得：．
答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元．
，
当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
18．(1)，，
(2)
(3)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）分别求出时的值，时的值，即可得到点A，B，C的坐标；
（2）过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，设点，则，，根据得出关于m的方程，解方程舍去不合题意的解，求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）先求出直线的解析式，再根据求出直线的解析式，然后求出直线的解析式，联立解析式求出点E坐标，计算出和，再根据平行四边形的判定得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
解得，，
∴，，
当时，，
∴；
（2）过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．
设点，则，，
由（1）可知：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵抛物线的对称轴为，
∴舍去，
当时，，
∴点D坐标为；
（3）四边形是平行四边形．
理由：设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线，，
∴直线的解析式，
设直线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴点E坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
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