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第二十八章 锐角三角函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则(B)
A.c=bsin B
B.b=csin B
C.a=btan B
D.b=ctan B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4.下列四个选项,正确的是(C)
A.tan B=
B.sin A=
C.sin B=
D.cos B=
3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,AC=2,那么AB的长为(A)
A. B.2sin α
C. D.2cos α
4.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tan A=1,sin B=,你认为△ABC最确切的判断是(C)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
5.如图所示,点P在第二象限,OP与x轴负半轴的夹角是α,且OP=5,
cos α=,则点P的坐标是(B)
A.(3,4) B.(-3,4)
C.(-4,3) D.(-3,5)
6.已知锐角α为△ABC的内角,且sin α=,则α的取值范围是(C)
A.0°<α<30° B.30°<α<45°
C.45°<α<60° D.60°<α<90°
7.如图所示,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan∠BFE 的值是(D)
A. B.2 C. D.
8.如图所示,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cos α的值,错误的是(C)
A. B. C. D.
9.如图所示,一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子,同时测得黑匣子C的俯角为30°,潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处,测得黑匣子C的俯角为60°,则黑匣子所在的C处距离海面的深度是(A)
A.(480+300) m B.780 m
C.(960+300) m D.1 260 m
10.如图所示,塔底B与观测点A在同一水平面上.为了测量铁塔的高度,在A处测得塔顶C的仰角为α,塔底B与观测点A的距离为150 m,则铁塔的高BC为(A)
A.150tan α m B. m
C.150sin α m D. m
11.如图所示,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC⊥BC,AB⊥AD,CA=CD.若tan ∠BAC=.则tan ∠DBC的值是(D)
A. B.
C. D.
12.如图所示,在正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,在BC延长线上取点F使EF=ED,过点F作FG⊥ED交ED于点M,交AB于点G,交CD于点N,以下结论:①tan∠GFB=;②NM=NC;③=;④GB=.其中正确的结论有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.计算:2tan 60°= 2 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,则cos B的值为 .
15.如图所示,一束光线照在坡度为1∶的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是 30°.
16.在△ABC中,AB=8,AC=5,∠ABC=30°,则BC= 4+3或4-3 .
三、解答题(共56分)
17.(6分)计算:
(1);
(2)cos 60°-2sin2 45°+tan2 30°-sin 30°.
解:(1)
==
=-1-=-.
(2)cos 60°-2sin2 45°+tan2 30°-sin 30°
=-2×+×-
=-1+-
=-.
18.(6分)如图所示,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,
AC=2(+1) m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门
解:工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.理由
如下:
如图所示,过点B作BD⊥AC于点D.
∵在Rt△ADB中,∠A=30°,
∴tan A==,
即AD=BD.
在Rt△BDC中,∠C=45°,
∴CD=BD.
则AC=AD+CD=BD+BD=(+1)BD=2(+1)m,解得BD=2 m.
∵2 m<2.1 m,
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.
19.(7分)如图所示,在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆.在离电线杆6 m的B处安置测角仪(点B,E,D在同一直线上),在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪的高AB为 m,拉线CE的长为6 m,求测角仪底端(点B)与拉线固定点(E)之间的距离.
解:如图所示,过点A作AM垂直CD,垂足为M,
由题意,得AM=BD=6 m,MD=AB= m,
∠AMC=90°,
∵∠CAM=30°,
∴∠ACM=90°-30°=60°.
∴CM=AM×tan ∠ACM=6×=2(m).
∴CD=CM+MD=3(m),
∵CE=6 m,
利用勾股定理,得DE====3(m),
∴BE=BD-ED=6-3=3(m).
即测角仪底端(点B)与拉线固定点(E)之间的距离是3m.
20.(7分)如图所示,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E,若CD=5,sin ∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
解:(1)∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°.
sin∠BCD===,
∴DE=3.
∵∠B=45°,
∴∠BDE=180°-∠B-∠DEB=45°.
∴BE=DE=3.
∴CE==4.
∴BC=BE+EC=3+4=7.
(2)如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,
∵DE⊥BC,AF⊥BC,
∴DE∥AF,
∵D是AB的中点,
∴DE是△ABF的中位线,
∴AF=2DE,BF=2BE.
由(1),可知DE=BE=3,
∴AF=6,BF=6.
∴CF=BC-BF=1.
∴tan ∠ACB==6.
21.(7分)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=.求:
(1)BC的长;
(2)sin ∠ADC的值.
解:(1)如图所示,过点A作AE⊥BC于点E.
∵cos C=,∴∠C=45°.
在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,
∴AE=CE=1.
在Rt△ABE中,tan B=,
即=.
∴BE=3AE=3.
∴BC=BE+CE=4.
(2)∵AD是△ABC的中线,
∴CD=BC=2.
∴DE=CD-CE=2-1=1.
∴DE=CE=AE=1.
∵AE⊥BC,DE=AE,
∴∠ADC=45°.
∴sin ∠ADC=.
22.(7分)春节期间,某市在各个高速公路出入口均设立检测点,对出入人员进行登记和体温检测.如图所示为一高速路口检测点的指示牌,已知立杆AB的高度是3 m,从侧面D点处测得指示牌C点和B点的仰角分别是60°和45°,求指示牌BC的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:≈1.414,≈1.732).
解:∵在Rt△ADB中,∠BDA=45°,AB=3 m,
∴DA==3 m.
在Rt△ADC中,∠CDA=60°,
∴tan 60°=.
∴CA=DA·tan 60°=3 m.
∴BC=CA-BA=3-3≈3×1.732-3=2.196≈2.2(m).
∴高速路口检测点的指示牌BC的高度约为2.2 m.
23.(8分)在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且(cos A-)2+|tan B-1|=0.
(1)分别求出三个内角度数;
(2)若AC=2,求AB长度.
解:(1)∵(cos A-)2+|tan B-1|=0,
(cos A-)2≥0,|tan B-1|≥0,
∴cos A-=0,tan B-1=0.
∴cos A=,tan B=1.
∵∠A,∠B都是锐角,
∴∠A=60°,∠B=45°.
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.
综上所述,∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°.
(2)如图所示,过点C作CH⊥AB于点H,
在Rt△ACH中,AC=2,
∠A=60°,
则AH=AC·cos A=2×=1,CH=AC·sin A=2×=,
在Rt△CHB中,∠B=45°,
∴BH=CH=.
∴AB=AH+BH=1+.
24.(8分)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度,如图所示,先沿着斜坡AB走了52 m 到达坡顶点B处,然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°,已知斜坡AB的坡度为i=1∶2.4,点A到大楼的距离AD为
72 m,求大楼CD的高度(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈).
解:如图所示,过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F.
∵CD⊥AD,
∴四边形BEDF是矩形.
∴FD=BE,FB=DE.
在Rt△ABE中,BE∶AE=1∶2.4=5∶12.
设BE=5x m,AE=12x m,
根据勾股定理,得AB=13x m,
∴13x=52.解得x=4.
∴FD=BE=5x=20 m,AE=12x=48 m.
∴FB=DE=AD-AE=72-48=24(m).
∴在Rt△CBF中,
CF=FB·tan∠CBF≈24×=32(m).
∴CD=FD+CF=20+32=52(m).
∴大楼CD的高度约为52 m.
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第二十八章 锐角三角函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则( )
A.c=bsin B
B.b=csin B
C.a=btan B
D.b=ctan B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4.下列四个选项,正确的是( )
A.tan B=
B.sin A=
C.sin B=
D.cos B=
3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,AC=2,那么AB的长为( )
A. B.2sin α
C. D.2cos α
4.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tan A=1,sin B=,你认为△ABC最确切的判断是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
5.如图所示,点P在第二象限,OP与x轴负半轴的夹角是α,且OP=5,
cos α=,则点P的坐标是( )
A.(3,4) B.(-3,4)
C.(-4,3) D.(-3,5)
6.已知锐角α为△ABC的内角,且sin α=,则α的取值范围是( )
A.0°<α<30° B.30°<α<45°
C.45°<α<60° D.60°<α<90°
7.如图所示,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan∠BFE 的值是( )
A. B.2 C. D.
8.如图所示,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cos α的值,错误的是( )
A. B. C. D.
9.如图所示,一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子,同时测得黑匣子C的俯角为30°,潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处,测得黑匣子C的俯角为60°,则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
A.(480+300) m B.780 m
C.(960+300) m D.1 260 m
10.如图所示,塔底B与观测点A在同一水平面上.为了测量铁塔的高度,在A处测得塔顶C的仰角为α,塔底B与观测点A的距离为150 m,则铁塔的高BC为( )
A.150tan α m B. m
C.150sin α m D. m
11.如图所示,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC⊥BC,AB⊥AD,CA=CD.若tan ∠BAC=.则tan ∠DBC的值是( )
A. B.
C. D.
12.如图所示,在正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,在BC延长线上取点F使EF=ED,过点F作FG⊥ED交ED于点M,交AB于点G,交CD于点N,以下结论:①tan∠GFB=;②NM=NC;③=;④GB=.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.计算:2tan 60°= .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,则cos B的值为 .
15.如图所示,一束光线照在坡度为1∶的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是 .
16.在△ABC中,AB=8,AC=5,∠ABC=30°,则BC= .
三、解答题(共56分)
17.(6分)计算:
(1);
(2)cos 60°-2sin2 45°+tan2 30°-sin 30°.
18.(6分)如图所示,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,
AC=2(+1) m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门
19.(7分)如图所示,在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆.在离电线杆6 m的B处安置测角仪(点B,E,D在同一直线上),在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪的高AB为 m,拉线CE的长为6 m,求测角仪底端(点B)与拉线固定点(E)之间的距离.
20.(7分)如图所示,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E,若CD=5,sin ∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
21.(7分)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=.求:
(1)BC的长;
(2)sin ∠ADC的值.
22.(7分)春节期间,某市在各个高速公路出入口均设立检测点,对出入人员进行登记和体温检测.如图所示为一高速路口检测点的指示牌,已知立杆AB的高度是3 m,从侧面D点处测得指示牌C点和B点的仰角分别是60°和45°,求指示牌BC的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:≈1.414,≈1.732).
23.(8分)在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且(cos A-)2+|tan B-1|=0.
(1)分别求出三个内角度数;
(2)若AC=2,求AB长度.
24.(8分)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度,如图所示,先沿着斜坡AB走了52 m 到达坡顶点B处,然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°,已知斜坡AB的坡度为i=1∶2.4,点A到大楼的距离AD为
72 m,求大楼CD的高度(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈).
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