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第二十二章 二次函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列函数中,y是x的二次函数的是(A)
A.y=-2x2 B.y=
C.y=ax2+bx+c D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是(D)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则(C)
A.y1C.y34.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是(D)
A.开口向上
B.与x轴有一个交点
C.对称轴是直线x=1
D.当x>1时,y随x的增大而减小
5.抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为(C)
A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3
C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1
6.若二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则常数k的值为(C)
A.1 B.±1 C.-1 D.-
7.如图所示,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为(C)
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为(B)
A.2 B.4 C.8 D.16
9.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是(C)
10.向空中发射一枚炮弹,第x s时的高度为y m,且高度与时间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6 s与第18 s时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(C)
A.第8 s B.第10 s C.第12 s D.第15 s
11.如图所示,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x之间的函数关系的是(A)
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),其中00;②-3am2+bm(m≠-1);⑤a>.其中正确的结论有(C)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.二次函数y=-2x2-4x+5的图象与y轴的交点纵坐标是 5 .
14.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式为y=60t-t2,飞机着陆至停下来期间的最后10 s共滑行 120 m.
15.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,6)和 B(8,3),如图所示,则不等式ax2+bx+c>kx+m时x的取值范围是 x<-2或x>8 .
16.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为-8且形状与抛物线 y=-2x2-2x+3相同,则此函数解析式为 y=2x2+8x或y=2x2-8x .
三、解答题(共56分)
17.(6分)已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大
解:(1)∵a=1>0,
∴图象开口向上.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-4).
(2)由图象与y轴相交,则x=0,代入,得
y=-3,
∴图象与y轴的交点坐标是(0,-3).
由图象与x轴相交,则y=0,代入,得
x2-2x-3=0,
解得x1=3,x2=-1.
∴图象与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0).
(3)∵对称轴为直线x=1,图象开口向上,
∴当x>1时,y随x的增大而增大.
18.(6分)小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地,矩形面积S(单位:m2)随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大,最大面积是多少
解:(1)S=x(30-x)
自变量x的取值范围为0(2)S=x(30-x)=-(x-15)2+225,
∴当x=15时,S有最大值,最大值为225 m2.
即当x是15时,矩形场地面积S最大,最大面积是225 m2.
19.(7分)抛物线y=ax2-2ax+1(a>0)经过点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1(1)求该抛物线的对称轴;
(2)若y1=y2=1,直接写出x1、x2的值;
(3)若-1解:(1)∵y=ax2-2ax+1=a(x-1)2-a+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)当y=1时,ax2-2ax+1=1,
整理,得x2-2x=0,
解得x1=0,x2=2.
(3)∵-1∴x1-x2<0,0∴x1+x2-2<0,
∴y1-y2=(a-2ax1+1)-(a-2ax2+1)=a(x1-x2)(x1+x2-2)>0,
∴y1>y2.
20.(7分)已知二次函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m为任何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数的图象与坐标轴的交点坐标.
(1)证明:Δ=(-m)2-4(m-2)=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,
∴(m-2)2+4>0,即Δ>0.
∴无论m取何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点.
(2)解:∵二次函数的图象经过点(3,6),
∴6=9-3m+m-2.
∴m=.
∴y=x2-x-.
当x=0时,y=-,即该函数图象与y轴交于点(0,-).
当y=0时,x2-x-=(x+1)(2x-3)=0,
解得x1=-1,x2=.
则该函数图象与x轴的交点坐标是(-1,0),(,0).
综上所述,m的值是,该函数图象与y轴交于点(0,-),与x轴的交点坐标是(-1,0),(,0).
21.(7分)某拱门的平面示意图如图所示.拱门的地面宽度为200 m,两侧距地面高150 m处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100 m,求拱门的最大高度.
解:如图所示,建立平面直角坐标系.
此时,抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0),
设这条抛物线的解析式为
y=a(x-100)(x+100).
∵抛物线经过点B(50,150),
把(50,150)代入,
得150=a(50-100)(50+100).
解得a=-,
∴y=-(x-100)(x+100).
即抛物线的解析式为y=-x2+200,
顶点坐标是(0,200).
∴拱门的最大高度为200 m.
22.(7分)如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求点P的坐标.
解:(1)把(-3,0),(-2,-3)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)设点P的坐标为(x,x2+2x-3).
令y=0,则x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点B的坐标为(1,0).
则AB=4.
∵三角形ABP的面积为6,
∴点P到AB的距离为3.
故当点P的纵坐标为3时,3=x2+2x-3,
解得x1=-1+,x2=-1-.
符合题意的点P的坐标为(-1+,3),
(-1-,3).
当点P的纵坐标为-3时,-3=x2+2x-3,
解得x1=0,x2=-2.
符合题意的点P的坐标为(0,-3),(-2,-3).
综上所述,符合题意的点P的坐标为(-1+,3),(-1-,3),
(0,-3),(-2,-3).
23.(8分)已知某种橘子的成本为4元/千克,经过市场调查发现,一天内橘子的销售量y(千克)与销售单价x(元)(4≤x≤10)的函数关系图象如图所示.
(1)当4≤x≤8时,求y与x之间的函数解析式.
(2)当4≤x≤8时,要使一天内获得的利润为1 200元,单价应定为
多少
(3)求橘子的单价定为多少时,一天内获得的利润最大 最大利润为
多少
解:(1)当4≤x≤8时,设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
将(4,1 000)与(8,200)代入,得
解得
∴当4≤x≤8时,y与x之间的函数解析式为y=-200x+1 800.
(2)当4≤x≤8时,由题意,得
(x-4)(-200x+1 800)=1 200,
解得x1=6,x2=7.
∴当4≤x≤8时,单价定为6元或7元,利润为1 200元.
(3)设利润为w元.
当4≤x≤8时,y=-200x+1 800,
w=(x-4)(-200x+1 800)
=-200(x-)2+1 250.
∵-200<0,4≤x≤8,
∴当x=时,w有最大值,w最大值=1 250.
当8w=200(x-4)=200x-800.
∵200>0,
∴w随x的增大而增大.
又∵8∴当x=10时,w有最大值,w最大值=1 200.
∵1 250>1 200,
∴w的最大值为1 250.
∴当橘子的单价定为6.5元时,一天内获得的利润最大,最大利润为
1 250元.
24.(8分)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t
的值.
解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴顶点坐标为(3,4).
(2)∵a=-1<0,
∴抛物线开口向下.
∵顶点坐标为(3,4),
∴当x=3时,y最大值=4.
∵当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,
∴当x=1时,y最小值=0.
∵当3∴当x=4时,y最小值=3.
∴当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.
(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论.
①当t+3<3时,即t<0,y随着x的增大而增大,
当x=t+3时,
m=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,
当x=t时,n=-t2+6t-5,
∴m-n=-t2+4-(-t2+6t-5)=-6t+9,
∴-6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去).
②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,
∴m=4.
a.当0≤t≤时,在x=t时,n=-t2+6t-5,
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9.
∴t2-6t+9=3,
解得t1=3-,t2=3+(不合题意,舍去).
b.当∴m-n=4-(-t2+4)=t2.
∴t2=3,
解得t1=,t2=-(不合题意,舍去).
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,
当x=t时,m=-t2+6t-5,
当x=t+3时,
n=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,
m-n=-t2+6t-5-(-t2+4)=6t-9.
∴6t-9=3,
解得t=2(不合题意,舍去).
综上所述,t=3-或.
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第二十二章 二次函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列函数中,y是x的二次函数的是( )
A.y=-2x2 B.y=
C.y=ax2+bx+c D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则( )
A.y1C.y34.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.与x轴有一个交点
C.对称轴是直线x=1
D.当x>1时,y随x的增大而减小
5.抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )
A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3
C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1
6.若二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则常数k的值为( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-
7.如图所示,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
9.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是( )
10.向空中发射一枚炮弹,第x s时的高度为y m,且高度与时间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6 s与第18 s时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
A.第8 s B.第10 s C.第12 s D.第15 s
11.如图所示,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x之间的函数关系的是( )
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),其中00;②-3am2+bm(m≠-1);⑤a>.其中正确的结论有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.二次函数y=-2x2-4x+5的图象与y轴的交点纵坐标是 .
14.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式为y=60t-t2,飞机着陆至停下来期间的最后10 s共滑行 m.
15.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,6)和 B(8,3),如图所示,则不等式ax2+bx+c>kx+m时x的取值范围是 .
16.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为-8且形状与抛物线 y=-2x2-2x+3相同,则此函数解析式为 .
三、解答题(共56分)
17.(6分)已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大
18.(6分)小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地,矩形面积S(单位:m2)随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大,最大面积是多少
19.(7分)抛物线y=ax2-2ax+1(a>0)经过点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1(1)求该抛物线的对称轴;
(2)若y1=y2=1,直接写出x1、x2的值;
(3)若-120.(7分)已知二次函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m为任何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数的图象与坐标轴的交点坐标.
21.(7分)某拱门的平面示意图如图所示.拱门的地面宽度为200 m,两侧距地面高150 m处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100 m,求拱门的最大高度.
22.(7分)如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求点P的坐标.
23.(8分)已知某种橘子的成本为4元/千克,经过市场调查发现,一天内橘子的销售量y(千克)与销售单价x(元)(4≤x≤10)的函数关系图象如图所示.
(1)当4≤x≤8时,求y与x之间的函数解析式.
(2)当4≤x≤8时,要使一天内获得的利润为1 200元,单价应定为
多少
(3)求橘子的单价定为多少时,一天内获得的利润最大 最大利润为
多少
24.(8分)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t
的值.
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