第一章 全等三角形单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 苏科版（2012）八年级上册 第一章 全等三角形单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ）度．
A．60 B．61 C．62 D．63
2．若直线与轴的交点位于轴正半轴上，则它与直线交点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．如图，在中，垂直平分，交于点，交于点．若，的周长为31，则的周长为（ ）
A．21 B．24 C．26 D．28
5．已知线段a，b，c，其中c是a，b的比例中项，若，，则线段c的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（）
A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3
9．已知A，B两地相距，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了小时，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在等边中，顶点O与坐标原点重合，点，点P到原点O的距离为．若点P到的边上的中点的距离为，则点P的坐标可能是 ．
12．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ．
13．如图，长方形纸片的边上有一点，将长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则 ．
14．如图，在中，，点D是的中点，，，则 ．
15．如图，数轴上点P表示的数是，点M表示的数是1，轴，且，若以点P为圆心，的长为半径画弧交数轴的正半轴于，则点B表示的数为 ．
16．如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ．
评卷人得分
三、问答题
17．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点．
(1)求点，的坐标；
(2)设点，的纵坐标分别为，，当时，为定值，求的值；
(3)在（2）的条件下，分别过点，作，垂直于轴，垂足分别为点，，当时，求长方形周长的最大值．
18．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．
(1)分别求出直线和直线解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的判定、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键．连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，得出，则，即可得出结果．
【详解】解：连接、，如图所示：
由折叠的性质得：，
，，
又由折叠的性质得：，，
，，
，，，
，
，
，
，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，由直线与轴的交点可得，分两种情况讨论，即可得，联立两条直线解析式即可得交点横坐标，由的范围即可确定出的范围，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：直线与轴的交点位于轴正半轴上，
，
令，解得：，
即，得，
①当时，解得，与题设矛盾；
②当时，解得，故，
当直线与直线相交时，
，解得：，
即，
又，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接，由题意可得，将转化为，当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小，此时的长度为的最小值．
【详解】解：如图：连接，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小．
此时：是等边三角形，，，
，
即的最小值是6，
故选A．
4．A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据是线段的垂直平分线得出，即，再由的周长即可求出答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，即，
∵的周长为31，
∴的周长．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了比例中项，平方根．熟练掌握比例中项是解题的关键．由题意知，，即，计算求解满足要求的解即可．
【详解】解：∵c是a，b的比例中项，
∴，即，
解得，或（舍去），
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，数形结合思想，根据一次函数与坐标轴的交点确定x的取值范围，据此即可作答．
【详解】解：由一次函数的图象，知当时，x的取值范围是
故选：A
7．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】解：，平分，
，
，
，
如图，过点P作交于点D，
的角平分线相交于点P，，，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值．
【详解】根据题意得，
∴当时，，
即，
解得；
当时，
即，
解得；
综上所述，的值为3或．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可
【详解】解：由图象可得，甲车从A地到B地共用时4小时，
∴甲车的平均速度为（千米/小时），
两地相距，甲车行驶时间，
∴甲车离B地的路程s与t之间的函数关系式为．
由图可知：当时，两车相遇，此时，
∴乙车的速度为（千米/小时），
乙车从B地到A地用了（小时），
故正确的是①②，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．
【详解】解：当这个内角就是底角时，它的底角为；
当这个内角是顶角时，则它的底角为：；
故选C．
11．、、
【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，对称的性质，正确作图是本题的关键．作等边的两条中线，并作两条中线所在的直线，根据已知可计算中线长为，因为中线交点把中线分为的两部分，根据对称可得符合条件的点有三个．
【详解】解：如图，
作等边的两条中线所在的直线，可知中线交点把中线分为的两部分，
点，
是等边三角形，是中线
，
，
点到原点的距离为，
故点到三角形的边上的中点的距离为的有重心及关于对称的点，和关于对称的点．
故答案为：或，或．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至G，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】
如图，延长至G，使，连接，
在和中
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：
13．
【分析】本题考查翻折问题，解题关键是熟练掌握矩勾股定理．由翻折可得，先通过勾股定理求出长度，即可得解．
【详解】解：由翻折可得，
∵四边形为长方形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
14．5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
15．/
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理，先利用勾股定理求得，再根据数轴上两点之间的距离求解即可．
【详解】解：∵点P表示的数是，点M表示的数是1，
∴，又轴，且，
∴，则，
∴点B表示的数为，
故答案为：
16．
【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，先证明，得到，，根据当、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出长，即可求出长度的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，
，，
，
，
，
，，
∵
∴，
∵
∴
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
∵点B与点的关于对称，
，，
，
当B、F、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴线段长度的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点．
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解；
（3）分①当时，②当时两种进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，得：，解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
18．(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为：或或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵，
∴点B的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点C的坐标为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
∵，，
，
设点P的坐标为，
当点P在、D之间时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在点上面时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴；，
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
综上分析可知，点E的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
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