第三章 勾股定理单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 苏科版（2012）八年级上册 第三章 勾股定理 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（ ）

A． B． C． D．
2．已知等腰三角形的底边长为10，底边上的中线长为12，则它的腰长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
3．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
5．如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，三角形D是直角三角形，四边形A，B是正方形，已知正方形A的面积是16，正方形B的面积是25，则半圆C的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　）
A． B． C．14 D．24
9．在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中：①；②；③；④．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图一直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）cm
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，长方形纸片的边上有一点，将长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则 ．
12．如图，在中，，点D是的中点，，，则 ．
13．如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ．
14．如图，中，，，，点为斜边上一点，且，以为边、点为直角顶点作，点为的中点，连接，则的最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ．
16．如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ．
评卷人得分
三、证明题
17．如图，在中，，，在的右侧作锐角三角形，使，连接交于点O，过点C作于点E，连接．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
评卷人得分
四、问答题
18．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)连接，若，求的长．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，先根据题意得到，则由线段中点的定义得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
2．D
【分析】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，根据题意画出图形，如图所示：，为边的中线，，根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即为腰长．
【详解】解：如图所示：，为边的中线，，
为边的中线，是等腰三角形，
垂直平分，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
则等腰三角形的腰长为13．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】解：，平分，
，
，
，
如图，过点P作交于点D，
的角平分线相交于点P，，，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作于点，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设，则，，，
，
，
，解得，则．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，

由题意得：，，
由勾股定理得：，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查的是勾股定理、正方形的性质以及圆面积公式等知识，由正方形的性质得，，再由勾股定理求出的长，然后由圆的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
是直角三角形，
，
半圆C的直径为3，
半圆C的面积为：，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了表示数轴上的点，实数，及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
根据图示，可得：点是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出的值．
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上，且在左侧，
．
故选：．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由图形可知，阴影部分面积
，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断，即可．
【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
②由题意知，，则是不符合条件的直角三角形，符合题意；
③由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
④由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
即符合要求的只有1个，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理解直角三角形，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，解题的关键是熟练掌握勾股定理及折叠的性质及其应用．
【详解】由折叠可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴，
故选：．
11．
【分析】本题考查翻折问题，解题关键是熟练掌握矩勾股定理．由翻折可得，先通过勾股定理求出长度，即可得解．
【详解】解：由翻折可得，
∵四边形为长方形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
12．5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
13．
【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，先证明，得到，，根据当、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出长，即可求出长度的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，
，，
，
，
，
，，
∵
∴，
∵
∴
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
∵点B与点的关于对称，
，，
，
当B、F、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴线段长度的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点．
14．/
【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，证明，且，连接，证明点在直线上，从而化的最短距离为垂线段最短计算即可．
【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
连接，
∵是的中点，，
∴，
∴点在直线上，
∴时，最短，根据垂线段最短,得到的
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形的判定，垂线段最短原理，准确确定点的位置，选择垂线段最短原理是解题的关键．
15．或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．
由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，分①当为底，则在的垂直平分线与的交点；②当为腰，且时，；当为腰，且时，；分别计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，分为底，为腰两种情况求解：
设，则，
①当为底，则在的垂直平分线与的交点，
∴；
②当为腰，且时，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
当为腰，且时，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
综上所述，点坐标为或或，
故答案为：或或．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据勾股定理计算求解．
【详解】解：是直角三角形．
理由如下：
，，，
，，，
，
是直角三角形；
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得，
．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理应用、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，
（1）利用三角形内角和为，结合且即可证明；
（2）结合（1）中结论，证出，进而证出即可证明三角形全等；
（3）先求出，过点A作于点F，求出，再根据勾股定理求出结论即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
如图，过点A作于点F，在等腰直角三角形中，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)是等边三角形，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题．
（2）只要证明得到即可证明是等边三角形；
（3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，进而利用勾股定理求出的长，则由等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：是等边三角形，证明如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形．
（3）解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
，
，
∵，即，，
，
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
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