第二章 对称图形-圆单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年 苏科版（2012）九年级上册 第二章 对称图形-圆 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，内接于，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B，C，D，E在上，，则（ ）
A． B． C． D．
3．点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是（ ）
A．或 B． C． D．或
4．若正边形边长为4，它的一个内角为，则其外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，直径弦于E，连接，若，则的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，的半径为10，弦长，弦心距的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．黄冈市政府网消息，全长109公里的黄黄高速将进行改扩建，按双向八车道设计，高速公路的隧道和桥梁很多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（）
A．6米 B．6．5米 C．7米 D．7．5米
评卷人得分
二、填空题
11．如图平面直角坐标系中，的半径为，弦的长为4，内一点D的坐标为，当弦绕点O顺时针旋转时，点D到的距离的最小值是 ．
12．如图，已知的直径垂直于弦，垂足为点，则半径的长为 ．
13．如图，正方形内接于、E为上一点，连接．若，则正方形的边长为 ．
14．如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ．
15．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是，，则的长是 ．
16．如图，已知矩形，，，动点E、F分别从点A、C同时出发，分别沿着以相同速度运动，当E到达B点后，E、F同时停止运动．过点B作垂直直线于G，连接，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、问答题
17．如图，的直径为，弦为的平分线交于点D．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分的面积．
评卷人得分
四、证明题
18．如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了圆周角定理的应用，用的知识点是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．根据圆周角定理得出，代入求出即可．
【详解】解：弧对的圆心角是，对的圆周角是，
，
．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弦与弧之间的关系，根据弦与弧之间的关系得到，再根据同圆中等弧所对的圆周角是圆心角度数的一半可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
3．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，分为两种情况来讨论，当点在内时，直径最近点的距离最远点的距离；当点在外时，直径最远点的距离最近点的距离．
【详解】解：点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：
①当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是；
②当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了正多边形与圆．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．根据正边形的特点，构造直角三角形，即可求解．
【详解】解：经过正边形的中心作边的垂线，
，
正边形的一个内角为，，
，，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用圆周角定理可得：，再结合已知可得，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【详解】解：由圆周角定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理；连接，根据三角形内角和定理得出，根据是劣弧的中点，得出，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：连接，
，，
，
，
∵是劣弧的中点，
∴，
∴，
由圆周角定理得：
故选：C．
7．D
【分析】此题考查了圆周角定理，涉及的知识有：直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，利用了转化的思想，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
连接，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，根据可求得的度数．由圆周角定理可得进而求得答案．
【详解】解：连接，
为的直径，
∴，
，
∵D为弧的中点，
，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，本题先求得和的长，设，在中，利用勾股定理求解可得答案．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
连接，设，则，

在中，
，即，
解得，
∴．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握垂径定理及勾股定理．
【详解】解：∵是弦心距，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理在实际生活中的运用，用表示出各边的长是解答此题的关键．
先设此圆的半径为，用表示出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设此圆的半径为，则，
∵米，，
∴米，
在中，
∵米，
∴，即，解得米．
故选：B．
11．6
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，过点O作于H，过点D作于G，连接，由垂径定理得到，由勾股定理可得，再由，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于H，过点D作于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6，
∴点D到的距离的最小值是6，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
连接，根据圆周角定理可得，再利用垂径定理可得，，从而可得，，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
，
，
直径，
，，
，
，，
，
故答案为：．
13．
【分析】连接，由圆的性质可得，再由圆内接正四边形的性质以及，，进而证得是等边三角形，得到 ，根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
正方形内接于圆，
，
是等边三角形，
，
，
正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证得 是等边三角形．
14．
【分析】本题考查了扇形面积，勾股定理和折叠问题．解题关键是利用参数构建方程解决问题．
连接，由勾股定理求出由折叠可得出，设，则 ，在中，由勾股定理建立关于x方程求解，根据即可求解．
【详解】解：连接，
，,
，
在中，由勾股定理，得
，
由折叠可得，，
，
设则，
则根据勾股定理，
解得，
∴阴影部分的面积是：．
15．
【分析】本题主要考查了切线的性质，求弧长，四边形内角和定理，设圆心为O、连接，先由切线的性质得到，再由四边形内角和定理求出，则优弧对应的圆心角为，据此利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，设圆心为O、连接，
∵分别与所在圆相切于点A，B，
∴，
∵，
∴，
∴优弧对应的圆心角为，
∴优弧的长是：，
故答案为：．
16．/
【分析】先证，得，根据勾股定理求出的长，进而得是等边三角形，理解G在以点H为圆心，为直径的圆上，连接交圆于点，此时最小，求出得长，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接交与点O，连接，
点E，F从点A、C同时出发，分别沿着、CD以相同速度运动，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，
是直角三角形，
设中点是H，
G在以点H为圆心，为直径的圆上，
连接交圆于点，此时最小，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解连结交圆于点，此时最小．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，（2）中结合已知条件求得是解题的关键．
（1）根据角平分线及圆周角定理即可求得答案；
（2）连接，根据圆周角定理求得的度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
即阴影部分的面积为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；
（2）连接、，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到，则，所以，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接、，如图，
由（1）得，
∵，
∵
∴
，
，
而，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
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