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第二十四章 圆
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法错误的是( )
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图所示,将直角三角板含45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于E,F两点,P是优弧EF上任意一点(与E,F不重合),则∠EPF的大小是( )
A.22° B.22.5° C.45° D.50°
第2题图
3.如图所示,在☉O中,=,∠ABC=70°,则∠BOC的大小为( )
第3题图
A.100° B.90° C.80° D.70°
4.正方形的边长是4 cm,那么它的外接圆半径为( )
A. cm B.2 cm C.2 cm D.4 cm
5.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,则球的半径长是( )
A.2 cm B.2.5 cm
C.3 cm D.4 cm
6.已知☉O的半径为3,点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O公共点的个数为2,则d可取( )
A.0 B.3 C.3.5 D.4
7.☉O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么这个圆锥的全面积是( )
A.12π cm2 B.15π cm2
C.20π cm2 D.24π cm2
9.如图所示,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠B=122°,则∠D等于( )
A.58° B.116°
C.122° D.128°
第9题图
10.如图所示,在△ABC中,AB=7 cm,AC=8 cm,BC=6 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则△CEF的周长为( )
第10题图
A.14 cm B.15 cm
C.13 cm D.10.5 cm
11.如图所示,在△ABC中,AB=12 cm,BC=6 cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是( )
A.15π cm2 B.60π cm2
C.45π cm2 D.75π cm2
第11题图
12.如图所示,MN是☉O的直径,作AB⊥MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为上一点,且=,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论:①AD=BD;②∠MAN=90°;③=;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=MF;⑥FM=FN.其中正确的结论共有( )
第12题图
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=57°,那么∠BOD= .
第13题图
14.如图所示,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为 .
第14题图
15.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,分别切BC,AB,AC于点D,E,F,
△ABC的周长为24 cm,BC=10 cm,则AE= cm.
第15题图
16.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 .
第16题图
三、解答题(共56分)
17.(6分)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.
(1)求扇形OAB的弧长和扇形面积;
(2)若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
18.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.求证:∠CBD=∠CAB.
19.(7分)如图所示,已知平面直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.若A点的坐标为(0,4),C点的坐标为(6,2).
(1)根据题意,画出平面直角坐标系;
(2)在图中标出圆心M的位置,写出圆心M的坐标;
(3)判断点D(5,-2)与☉M的位置关系;
(4)求的长.
20.(7分)如图所示,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
21.(7分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=20,BC=16,求CD的长.
22.(7分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的☉O与BC相交于点E,在AC上取一点D,使得DE=AD.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)当BC=10,AD=4时,求☉O的半径.
23.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上的中点,CD⊥AF,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.
24.(8分)如图所示,在☉O中,直径AB=8,∠A=30°,AC=8,AC与☉O交于点D.
(1)求证:直线BD是线段AC的垂直平分线;
(2)若过点D作DE⊥BC,垂足为E,求证:DE是☉O的切线;
(3)若点F是AC的三等分点,求BF的长.
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第二十四章 圆
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法错误的是(B)
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图所示,将直角三角板含45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于E,F两点,P是优弧EF上任意一点(与E,F不重合),则∠EPF的大小是(B)
A.22° B.22.5° C.45° D.50°
第2题图
3.如图所示,在☉O中,=,∠ABC=70°,则∠BOC的大小为(C)
第3题图
A.100° B.90° C.80° D.70°
4.正方形的边长是4 cm,那么它的外接圆半径为(B)
A. cm B.2 cm C.2 cm D.4 cm
5.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,则球的半径长是(B)
A.2 cm B.2.5 cm
C.3 cm D.4 cm
6.已知☉O的半径为3,点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O公共点的个数为2,则d可取(A)
A.0 B.3 C.3.5 D.4
7.☉O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么这个圆锥的全面积是(D)
A.12π cm2 B.15π cm2
C.20π cm2 D.24π cm2
9.如图所示,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠B=122°,则∠D等于(B)
A.58° B.116°
C.122° D.128°
第9题图
10.如图所示,在△ABC中,AB=7 cm,AC=8 cm,BC=6 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则△CEF的周长为(A)
第10题图
A.14 cm B.15 cm
C.13 cm D.10.5 cm
11.如图所示,在△ABC中,AB=12 cm,BC=6 cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是(C)
A.15π cm2 B.60π cm2
C.45π cm2 D.75π cm2
第11题图
12.如图所示,MN是☉O的直径,作AB⊥MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为上一点,且=,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论:①AD=BD;②∠MAN=90°;③=;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=MF;⑥FM=FN.其中正确的结论共有(C)
第12题图
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=57°,那么∠BOD= 114° .
第13题图
14.如图所示,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为 3 .
第14题图
15.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,分别切BC,AB,AC于点D,E,F,
△ABC的周长为24 cm,BC=10 cm,则AE= 2 cm.
第15题图
16.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 3 .
第16题图
三、解答题(共56分)
17.(6分)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.
(1)求扇形OAB的弧长和扇形面积;
(2)若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
解:(1)扇形OAB的弧长==4π(cm);
扇形OAB的面积==12π(cm2).
(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r,
所以2πr=4π,解得r=2,
在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,
所以OH==4(cm).
18.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.求证:∠CBD=∠CAB.
证明:如图所示,连接AE.
∵AB是圆的直径,
∴AE⊥BC,∠AEB=90°,
即∠ABE+∠BAE=90°.
∵AB=AC,
∴AE平分∠BAC.
∴∠BAE=∠CAE=∠CAB.
∵BD是☉O的切线,
∴∠ABD=90°,即∠ABE+∠CBD=90°.
∴∠CBD=∠BAE.
∴∠CBD=∠CAB.
19.(7分)如图所示,已知平面直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.若A点的坐标为(0,4),C点的坐标为(6,2).
(1)根据题意,画出平面直角坐标系;
(2)在图中标出圆心M的位置,写出圆心M的坐标;
(3)判断点D(5,-2)与☉M的位置关系;
(4)求的长.
解:(1)平面直角坐标系如图所示.
(2)圆心M如图所示,圆心M的坐标为(2,0).
(3)由图形可知,点D(5,-2)关于x轴的对称点D′(5,2)在☉M内,
∴点D(5,-2)在☉M内.
(4)连接AM,MC,如图所示,
AM==2,
∵∠AMC=90°,
∴的长为=π.
20.(7分)如图所示,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
解:(1)∵CD是圆O的直径,CD⊥AB,
∴=.
∴∠C=∠AOD.
∵∠AOD=∠COE,
∴∠C=∠COE.
∵AO⊥BC,
∴∠C=30°.
(2)如图所示,连接OB,
由(1),知∠C=30°.
∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=120°.
在Rt△AOF中,AO=1,∠AOF=60°,
∴AF=,OF=.
∴AB=.
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=-××=π-.
21.(7分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=20,BC=16,求CD的长.
(1)证明:如图所示,连接OC,
∵DC切☉O于点C,
∴OC⊥CD.
∵AE⊥CD,
∴AE∥OC.
∵AO=BO,
∴EC=BC.
∴OC=AE.
∵OC=OA=OB=AB,
∴AE=AB.
(2)解:如图所示,连接AC,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACE=90°,即AC⊥BE.
由(1),知AB=AE.
∴EC=BC.
∵BC=16,
∴EC=16.
在Rt△ACB中,由勾股定理,得
AC===12.
在Rt△ACE中,S△ACE=AC·CE=AE·CD,
∵AE=AB=20,
∴×12×16=×20×CD.
∴CD=9.6.
22.(7分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的☉O与BC相交于点E,在AC上取一点D,使得DE=AD.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)当BC=10,AD=4时,求☉O的半径.
(1)证明:如图所示,连接OE,OD.
在△AOD和△EOD中,
∴△AOD≌△EOD(SSS).
∴∠OED=∠BAC=90°.
∴DE是☉O的切线.
(2)解:∵△AOD≌△EOD,
∴∠AOD=∠EOD.
∵OB=OE,
∴∠B=∠OEB.
∵∠AOE=∠B+∠OEB,
∴∠BEO=∠EOD.
∴OD∥BC.
又AO=BO,∴OD=BC=5.
由勾股定理,得AO==3.
则☉O的半径为3.
23.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上的中点,CD⊥AF,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:连接OC,如图所示,
∵C为☉O上的中点,
∴∠1=∠2.
∵OA=OC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴AD∥OC.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.
(2)解:设☉O的半径为r,则OC=OB=r.
在Rt△OCE中,r2+(3)2=(r+3)2,
解得r=3.
∴OC=3,OE=6.
∴∠E=30°,∠COE=60°.
∴图中阴影部分的面积为S△COE-S扇形OBC
=×3×3-
=.
24.(8分)如图所示,在☉O中,直径AB=8,∠A=30°,AC=8,AC与☉O交于点D.
(1)求证:直线BD是线段AC的垂直平分线;
(2)若过点D作DE⊥BC,垂足为E,求证:DE是☉O的切线;
(3)若点F是AC的三等分点,求BF的长.
(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=8,∠A=30°,
∴BD=4,AD=4.
∵AC=8,
∴AD=AC.
∴直线BD是线段AC的垂直平分线.
(2)证明:如图所示,连接OD,
∵D,O分别是线段AC,AB的中点,
∴OD∥BC,OD=BC.
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE.
∵OD为☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
(3)解:∵点F是AC的三等分点,
∴AF=.
∵AD=4,
∴DF=.
∵BD⊥AC,BD=4,
∴BF==.
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