中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各方程中,一定是一元二次方程的是(C)
A.+-2=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-2)2=2(x-2)
D.x2+2y=3
2.将方程x2+5x=7化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为1,则一次项系数、常数项分别为(A)
A.5,-7 B.5,7
C.-5,7 D.-5,-7
3.在下列方程中,满足两个实数根的和等于2的方程是(D)
A.x2-2x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+2x+4=0 D.x2-2x-4=0
4.用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是(D)
A.(x+3)2=-4
B.(x-3)2=-4
C.(x+3)2=4
D.(x-3)2=4
5.如图所示,在长为54 m、宽为38 m的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1 800 m2,设道路的宽为x m,则可列方程为(A)
A.(54-x)(38-x)=1 800
B.(54-x)(38-x)+x2=1 800
C.54×38-54x-38x=1 800
D.54x+38x=1 800
6.若m是方程x2-2x-1=0的根,则1+2m-m2的值为(A)
A.0 B.1
C.-1 D.2
7.一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是(D)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.有两个不相等的实数根
8.关于x的一元二次方程kx2+(2k-1)x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是(B)
A.k≤
B.k≤且k≠0
C.k≤4且k≠0
D.k≥
9.已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个实数根,则实数m的值是(B)
A.0 B.1
C.-3 D.-1
10.某商品原价300元,连续两次降价a%后售价为260元,下面所列方程正确的是(D)
A.300(1+a%)2=260
B.300(1-a2%)=260
C.300(1-2a%)=260
D.300(1-a%)2=260
11.某传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确的是(C)
A.x+x(1+x)=81
B.1+x+x2=81
C.1+x+x(1+x)=81
D.x(1+x)=81
12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程ax2+c=0 有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+
c=0必有两个不相等的实根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的为(B)
A.只有①② B.只有①②④
C.①②③④ D.只有①②③
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.若(m+1)x2-x+2=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 m≠-1 .
14.九年级学生在毕业前夕,某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言,全班共写了2 256段毕业感言,如果该班有x名同学,根据题意列出方程为 (x-1)x=2 256 .
15.(2022深圳模拟)关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是3,则另一个根是 -6 .
16.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=10 cm,BC=14 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动到点B停止,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动到点C停止.若点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过 2或 s后,S△PBQ=16 cm2.
三、解答题(共56分)
17.(6分)用适当的方法解下列方程:
(1)(2x-1)2=16;
(2)(x-3)(x+2)=1.
解:(1)(2x-1)2=16,
2x-1=±4,
2x-1=4,或2x-1=-4,
x1=2.5,x2=-1.5.
(2)(x-3)(x+2)=1,
整理,得x2-x-7=0.
∵Δ=(-1)2-4×1×(-7)=1+28=29>0,
∴x=,
∴x1=,x2=.
18.(6分)若关于x的一元二次方程x2-bx+2=0有一个根是x=1,求b的值及方程的另一个根.
解:∵关于x的一元二次方程x2-bx+2=0有一个根是x=1,
∴1-b+2=0,解得b=3.
把b=3代入方程,得x2-3x+2=0.
设另一根为m,则1+m=3,解得m=2.
则b的值为3,方程的另一个根为2.
19.(7分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,求此时方程的根.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实
数根,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(m+2)>0,
∴m<2.
(2)∵m为正整数,
∴m=1.
∴原方程为x2-4x+3=0,
即(x-1)(x-3)=0.
解得x1=1,x2=3.
20.(7分)求证:无论x取何实数,代数式3x2+12x+19的值一定是正数.
证明:3x2+12x+19
=3(x2+4x)+19
=3(x2+4x+4)+19-12
=3(x+2)2+7,
∵(x+2)2≥0,
∴3(x+2)2+7≥7>0,
故无论x取何实数,代数式3x2+12x+19的值一定是正数.
21.(7分)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得利润3 630元
解:(1)设y=kx+b,把x=20,y=360
和x=30,y=60代入,
可得
解得
∴y=-30x+960(10≤x≤32).
(2)根据题意,得(-30x+960)(x-10)=3 630,
解得x1=x2=21.
答:当销售价格定为21元时,每月获得利润3 630元.
22.(7分)一个矩形的周长为56 cm.
(1)当矩形面积为180 cm2时,长、宽分别为多少
(2)能围成面积为200 cm2的矩形吗 请说明理由.
解:(1)设矩形的长为x cm,则宽为(28-x)cm.
由题意,得x(28-x)=180,
解得x1=10(舍去),x2=18,28-18=10(cm).
答:长为18 cm,宽为10 cm.
(2)不能围成面积为200 cm2的矩形.理由如下:
设矩形的长为x cm,则宽为(28-x)cm.
由题意,得x(28-x)=200,
即x2-28x+200=0,
则Δ=(-28)2-4×200=784-800<0,原方程无实数根,
∴不能围成一个面积为200 cm2的矩形.
23.(8分)某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯,当每个台灯的售价定为80元时,每周可卖出600个,为了尽可能让利于顾客,经销商决定降价销售.经市场调查发现,该台灯的售价每降低2元,这种台灯每周的销量增加100个.如果该经销商每周要获得利润22 000元,那么这种台灯的售价应为多少元
解:设台灯的售价降低x元,
根据题意,得(80-x-50)(600+×100)=22 000,
整理,得x2-18x+80=0,
解得x1=10,x2=8.
∵尽可能让利于顾客,
∴x=8舍去.
∴定价为80-10=70(元).
答:这种台灯的售价应为70元.
24.(8分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程2x2-2x+1=0是否是“邻根方程”
(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值;
(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“邻根方程”,令t=12a-b2,试求t的最大值.
解:(1)2x2-2x+1=0,
解得x==,
即x1=,x2=.
∵=+1,
∴方程2x2-2x+1=0是“邻根方程”.
(2)解方程,得(x-m)(x+1)=0,
∴x1=m,x2=-1.
∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,
∴m=-1+1或m=-1-1.
∴m=0或-2.
(3)解方程,得x=.
∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“邻根方程”,
∴-=1.
=1.
=a,b2-4a=a2,
∴b2=a2+4a.
∵t=12a-b2,
∴t=8a-a2=-(a-4)2+16.
∵-1<0,
∴当a=4时,t的最大值为16.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.+-2=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-2)2=2(x-2)
D.x2+2y=3
2.将方程x2+5x=7化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为1,则一次项系数、常数项分别为( )
A.5,-7 B.5,7
C.-5,7 D.-5,-7
3.在下列方程中,满足两个实数根的和等于2的方程是( )
A.x2-2x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+2x+4=0 D.x2-2x-4=0
4.用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是( )
A.(x+3)2=-4
B.(x-3)2=-4
C.(x+3)2=4
D.(x-3)2=4
5.如图所示,在长为54 m、宽为38 m的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1 800 m2,设道路的宽为x m,则可列方程为( )
A.(54-x)(38-x)=1 800
B.(54-x)(38-x)+x2=1 800
C.54×38-54x-38x=1 800
D.54x+38x=1 800
6.若m是方程x2-2x-1=0的根,则1+2m-m2的值为( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
7.一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.有两个不相等的实数根
8.关于x的一元二次方程kx2+(2k-1)x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≤
B.k≤且k≠0
C.k≤4且k≠0
D.k≥
9.已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个实数根,则实数m的值是( )
A.0 B.1
C.-3 D.-1
10.某商品原价300元,连续两次降价a%后售价为260元,下面所列方程正确的是( )
A.300(1+a%)2=260
B.300(1-a2%)=260
C.300(1-2a%)=260
D.300(1-a%)2=260
11.某传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确的是( )
A.x+x(1+x)=81
B.1+x+x2=81
C.1+x+x(1+x)=81
D.x(1+x)=81
12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程ax2+c=0 有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+
c=0必有两个不相等的实根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的为( )
A.只有①② B.只有①②④
C.①②③④ D.只有①②③
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.若(m+1)x2-x+2=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 .
14.九年级学生在毕业前夕,某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言,全班共写了2 256段毕业感言,如果该班有x名同学,根据题意列出方程为 .
15.(2022深圳模拟)关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是3,则另一个根是 .
16.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=10 cm,BC=14 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动到点B停止,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动到点C停止.若点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过 s后,S△PBQ=16 cm2.
三、解答题(共56分)
17.(6分)用适当的方法解下列方程:
(1)(2x-1)2=16;
(2)(x-3)(x+2)=1.
18.(6分)若关于x的一元二次方程x2-bx+2=0有一个根是x=1,求b的值及方程的另一个根.
19.(7分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,求此时方程的根.
20.(7分)求证:无论x取何实数,代数式3x2+12x+19的值一定是正数.
21.(7分)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得利润3 630元
22.(7分)一个矩形的周长为56 cm.
(1)当矩形面积为180 cm2时,长、宽分别为多少
(2)能围成面积为200 cm2的矩形吗 请说明理由.
23.(8分)某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯,当每个台灯的售价定为80元时,每周可卖出600个,为了尽可能让利于顾客,经销商决定降价销售.经市场调查发现,该台灯的售价每降低2元,这种台灯每周的销量增加100个.如果该经销商每周要获得利润22 000元,那么这种台灯的售价应为多少元
24.(8分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程2x2-2x+1=0是否是“邻根方程”
(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值;
(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“邻根方程”,令t=12a-b2,试求t的最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
