二十一世纪教育 《名师求索》工作室出品
同步课时精练（四）1.3.带电粒子在匀强磁场中的运动（能力提升）（解析版）
一、单题
1．如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．粒子c在磁场中的速度最大
C．粒子c在磁场中的加速度最大
D．粒子c在磁场中运动的时间最长
详解:D
详解:A．根据左手定则可知，粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；
BC．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
得
粒子c的轨迹半径最小，速度最小，所以粒子c的加速度最小，故BC错误；
D．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
且
解得
三个带电粒子的质量和电荷量都相等，故三个粒子在同一磁场中运动的周期相等，粒子c的轨迹对应的圆心角最大，所以粒子c在磁场中运动的时间最长，故D正确。
故选D。
2．下列仪器没有利用安培力的是（ ）
A．磁电式电流表 B．显像管 C．电动机 D．扬声器
详解:B
详解:显像管没有利用安培力。
故选B。
3．如图所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点。大量相同的带正电荷粒子以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿纸面内的各个方向。这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于（ ）
A． B． C． D．2
详解:B
详解:当磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，即∠POM＝120°，如图所示：
所以粒子做圆周运动的半径
r2＝Rsin60°＝
同理可知
r1＝Rsin30°＝
解得
＝
故选B。
4．一个不计重力的带负电荷的粒子，沿图中箭头所示方向进入磁场，磁场方向垂直于纸面向里，则粒子的运动轨迹可能为（ ）
A．圆弧a B．直线b
C．圆弧c D．a、b、c都有可能
详解:C
详解:带负电的电荷在向里的磁场中向上运动，根据左手定则可知，粒子的受到的洛伦兹力的方向向右，所以粒子的可能的运动的轨迹为c，ABD错误，C正确。
故选C。
5．如图所示为电磁流量计原理示意图，在非磁性材料做成的圆形管道上加一个磁感应强度为B的匀强磁场，已知管中有导电液体流过时，管壁上a、b两点间的电势分别为和，且管道直径为D，电流方向向右，液体流量是指单位时间内流过管液体的体积，则（ ）
A．管内自由电荷运动的电荷为正离子则＞
B．管内自由电荷运动的电荷为负离子则＜
C．液体流量
D．液体流量
详解:D
详解:AB．管中有导电液体流过时，由左手定则带正电的导电液受洛仑兹力向上管壁偏转，上管壁带正电，则<，带负电的导电液受洛仑兹力向上管壁偏转，上管壁带负电，所以>，所以AB错误；
CD．由洛仑兹力与电场力平衡有
，
液体流量
由上几式解得
所以C错误；D正确；
故选D。
6．如图所示，竖直边界线MN、PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v（方向均垂直磁场方向）、比荷一定的带负电粒子（粒子重力及粒子间的相互作用力不计），已知从PQ射出的粒子沿图中与MN成=60°角进入磁场的粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
详解:A
详解:沿与MN成θ=60°角进入磁场的粒子在磁场中运动的时间最短，则对应的弦长最短，轨迹如图所示：根据几何关系可知，对应的圆心角为60°，圆半径为
r=a，
则粒子在磁场中运动的最长时间时，对应的轨迹应如图，是一个半圆，对应的圆心角为180°。最长时间为：
。
A. 。与上述结论相符，故A正确；
B. 。与上述结论不符，故B错误；
C. 。与上述结论不符，故C错误；
D. 。与上述结论不符，故D错误。
故选：A。
7．如图所示，在匀强磁场中有一长为的绝缘细管，管的底部放一质量为，电量为的带电粒子，磁感应强度为的方向垂直于纸面向里。开始时粒子和管静止，而后管带着粒子沿垂直于管的方向以作为匀速直线运动。不考虑重力和各种阻力，则粒子离开管的上端后在磁场中做圆周运动的半径为（ ）
A． B． C． D．
详解:C
详解:粒子沿垂直于管的方向以作为匀速直线运动，由左手定则可知，受到的洛伦兹力方向竖直向上，粒子在管中竖直方向上做匀加速直线运动，由牛顿第二定律
由运动学公式
所以在离开管口的合速度为
之后在磁场中做匀速圆周运动有
联立可得
故C正确，ABD错误。
故选C。
8．如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为位于磁场边界最低点P处有一粒子源，同时将n个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为m、电荷量大小为q、速率均为v。A、C为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板MN、 与圆形区域在A、C两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（ ）
A．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从D点离开磁场
B．粒子从P点出发到从D点离开磁场，运动的最长时间为
C．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为
D．粒子陆续从D点离开磁场过程中等效电流为
详解:C
详解:A．由洛伦兹力提供向心力，有
可得
根据磁聚焦结论作出如图所示的轨迹图
粒子在圆形磁场中射出后均能垂直打在左侧挡板上，反弹后再次进入磁场并全部从点离开磁场，故A错误；
B．根据磁聚焦可以得出粒子在圆形磁场中运动的两段圆弧圆心角之和为，每个粒子在磁场中运动的时间均为
这个时间是粒子从点出发到从点离开的最短时间，故B错误；
C．所有粒子到达挡板的最短时间为
最长时间为
粒子与挡板碰撞过程中的作用时间为
对这个粒子由动量定理可得
解的
故C正确；
D．所有粒子从发出到达点的最短时间为
最长时间为
因此粒子离开点过程持续的时间为
则等效电流为
同时考虑到电荷离开点时沿着不同方向，实际的电流会更小，故D错误。
故选C。
二、多选题
9．两个电荷量、质量均相同的带电粒子甲、乙以不同速率从a点沿对角线方向射入正方形匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。甲粒子垂直bc离开磁场，乙粒子垂直ac从d点离开磁场，不计粒子重力，则（ ）
A．甲粒子带正电，乙粒子带负电
B．甲粒子的运行动能是乙粒子运行动能的2倍
C．甲粒子所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的2倍
D．甲粒子在磁场中的运行时间与乙粒子相等
详解:AC
详解:A．由左手定则可判定甲粒子带正电，乙粒子带负电，A正确；
B．令正方形磁场的边长为L，则由题知甲粒子运行的半径为，乙粒子运行的半径为，由洛伦兹力提供向心力有
动能
甲粒子的运行动能是乙粒子运行动能的4倍，B错误；
C．由得
所以甲粒子在磁场中所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的2倍，C正确；
D．粒子运动的周期，时间为
甲粒子运行轨迹所对圆心角为45°，乙粒子运行轨迹所对圆心角为90°，即甲粒子在磁场中的运行时间是乙粒子的一半，D错误。
故选AC。
10．两个粒子所带电荷量相等，在同一匀强磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动，则（ ）
A．若速率相等，则半径必相等 B．若动能相等，则周期必相等
C．若质量相等，则周期必相等 D．若动量大小相等，则半径必相等
详解:CD
详解:AD．根据题意可知，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
可得
可知，由于两个粒子所带电荷量相等，在同一匀强磁场中运动，若速率相等，粒子轨道半径与粒子质量m有关，轨道半径不一定相等；若动量大小相等，则半径必相等，故A错误，D正确；
BC．根据题意，由公式可得，粒子的周期为
由于两个粒子所带电荷量相等，在同一匀强磁场中运动，则粒子运动的周期与质量有关，若动能相等，由公式可知，质量不一定相等，则周期不一定相等；若质量相等，则周期必相等，，故B错误，C正确。
故选CD。
11．如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B＝，一群比荷为的带正电粒子以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t，粒子在磁场中运动的最长时间为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则（ ）
A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为
详解:CD
详解:A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是
解得
故A错误；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
解得
画出该粒子的运动轨迹如图
设圆周运动半径为R，由几何知识得
可得
故B错误；
C．粒子在磁场中运动时有
可得粒子射入磁场的速度大小为
故C正确；
D．从D点射入的粒子恰好不从AB边射出，由几何知识可得粒子在磁场中扫过的面积为
故D正确。
故选CD。
12．如图所示，M、N两极板间存在匀强电场，场强大小可以调节，两极板的宽度为d，N板右侧存在如图所示的磁场，折线PQ是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点且AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从S点由静止经电场加速后从P点沿PQ方向水平射出，不计粒子的重力，则（ ）
A．当粒子通过P点的速度为时，可经过一次偏转直接到达A点
B．当M、N两极板间场强为时，粒子到达Q点的时间最长
C．粒子由P点到达Q点的时间只能为的偶数倍
D．粒子由P点到达Q点的时间只能为的奇数倍
详解:AC
详解:A．粒子经过一次偏转直接到达A点，
由图中几何关系得
2Rsin45°=L
联立解得
故A正确；
BCD．根据运动对称性，粒子能从P点到达Q点，应满足L=nx，其中x为每次偏转圆弧对应弦长，偏转圆弧对应圆心角为90°或270°，设圆轨迹半径为R，则有
可得
解得
v，（n=1、2、3、…）
在M，N间由动能定理
解得
E（n=1、2、3、…）
当M、N两极板间场强为时，粒子到达Q点的时间最短；
当n取奇数时，粒子从P到Q过程中圆心角总和为
，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，粒子从P到Q过程中圆心角总和为
，其中n=2、4、6、…，
则粒子由P点到达Q点的时间只能为的偶数倍，故BD错误，C正确；
故选AC。
三、解答题
13．质量为m，带电量为q的带电粒子以速度v垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，则带电粒子在洛伦兹力的作用下，将做匀速圆周运动。那么，它做圆周运动的
（1）半径r为多大
（2）周期T为多大
详解:（1）；（2）
详解:（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）周期
14．水平直线上方有垂直纸面向里的足够大的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，有两个质量和电荷量均相同的正负粒子（不计重力）同时从边界点以与成角的相同速度射入该磁场区域（质量为，电量为q），正、负粒子间的相互作用忽略不计，经一段时间后从边界射出。
(1)分别画出正负粒子的运动轨迹，并指明哪个是负离子的轨迹。（保留作图痕迹，用黑色签字笔）
(2)求它们从磁场中射出时，出射点间的距离；
(3)求它们从磁场中射出的时间差。
详解:(1)；(2)；(3)
详解:(1)(2)正、负电子分别按逆、顺时针方向做匀速圆周运动（轨迹图）
则有
得
由几何关系
(2)由周期，正电子在磁场中运动时间
负电子在磁场中运动时间
它们从磁场中射出时间差
15．如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y>0，0（1）求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
（2）求离子打到荧光屏上的范围；
（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30o～60o角内进入磁场，则某时刻(设为t=0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过×10-7s时这些离子可能出现的区域面积是多大
详解:（1）；（2）[0，m]；（3）0.26m2
详解:（1）离子在磁场中的运动的周期为
由几何关系知，能够打在荧光屏上的离子从粒子源放出到打在荧光屏上转过的圆心角均为；故离子从粒子源放出到打在荧光屏所用时间
（2）由
得
离子在磁场中运动最大轨道半径： ，由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如左图所示，所以长度为
即离子打到荧光屏上的范围为[0，m]。
（3）由几何关系知，与轴成方向入射的离子，经过时间：时离子转过的圆心角为
刚好打在y轴上，将时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：即都打在轴上，所以在时刻与轴成内进入磁场的正离子在时刻全部出现在以O为圆心的扇形范围内．如图：
则离子可能出现的区域面积
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同步课时精练（四）1.3.带电粒子在匀强磁场中的运动（能力提升）（学生版）
一、单题
1．如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．粒子c在磁场中的速度最大
C．粒子c在磁场中的加速度最大
D．粒子c在磁场中运动的时间最长
2．下列仪器没有利用安培力的是（ ）
A．磁电式电流表 B．显像管 C．电动机 D．扬声器
3．如图所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点。大量相同的带正电荷粒子以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿纸面内的各个方向。这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于（ ）
A． B． C． D．2
4．一个不计重力的带负电荷的粒子，沿图中箭头所示方向进入磁场，磁场方向垂直于纸面向里，则粒子的运动轨迹可能为（ ）
A．圆弧a B．直线b
C．圆弧c D．a、b、c都有可能
5．如图所示为电磁流量计原理示意图，在非磁性材料做成的圆形管道上加一个磁感应强度为B的匀强磁场，已知管中有导电液体流过时，管壁上a、b两点间的电势分别为和，且管道直径为D，电流方向向右，液体流量是指单位时间内流过管液体的体积，则（ ）
A．管内自由电荷运动的电荷为正离子则＞
B．管内自由电荷运动的电荷为负离子则＜
C．液体流量
D．液体流量
6．如图所示，竖直边界线MN、PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v（方向均垂直磁场方向）、比荷一定的带负电粒子（粒子重力及粒子间的相互作用力不计），已知从PQ射出的粒子沿图中与MN成=60°角进入磁场的粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在匀强磁场中有一长为的绝缘细管，管的底部放一质量为，电量为的带电粒子，磁感应强度为的方向垂直于纸面向里。开始时粒子和管静止，而后管带着粒子沿垂直于管的方向以作为匀速直线运动。不考虑重力和各种阻力，则粒子离开管的上端后在磁场中做圆周运动的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为位于磁场边界最低点P处有一粒子源，同时将n个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为m、电荷量大小为q、速率均为v。A、C为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板MN、 与圆形区域在A、C两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（ ）
A．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从D点离开磁场
B．粒子从P点出发到从D点离开磁场，运动的最长时间为
C．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为
D．粒子陆续从D点离开磁场过程中等效电流为
二、多选题
9．两个电荷量、质量均相同的带电粒子甲、乙以不同速率从a点沿对角线方向射入正方形匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。甲粒子垂直bc离开磁场，乙粒子垂直ac从d点离开磁场，不计粒子重力，则（ ）
A．甲粒子带正电，乙粒子带负电
B．甲粒子的运行动能是乙粒子运行动能的2倍
C．甲粒子所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的2倍
D．甲粒子在磁场中的运行时间与乙粒子相等
10．两个粒子所带电荷量相等，在同一匀强磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动，则（ ）
A．若速率相等，则半径必相等 B．若动能相等，则周期必相等
C．若质量相等，则周期必相等 D．若动量大小相等，则半径必相等
11．如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B＝，一群比荷为的带正电粒子以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t，粒子在磁场中运动的最长时间为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则（ ）
A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为
12．如图所示，M、N两极板间存在匀强电场，场强大小可以调节，两极板的宽度为d，N板右侧存在如图所示的磁场，折线PQ是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点且AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从S点由静止经电场加速后从P点沿PQ方向水平射出，不计粒子的重力，则（ ）
A．当粒子通过P点的速度为时，可经过一次偏转直接到达A点
B．当M、N两极板间场强为时，粒子到达Q点的时间最长
C．粒子由P点到达Q点的时间只能为的偶数倍
D．粒子由P点到达Q点的时间只能为的奇数倍
三、解答题
13．质量为m，带电量为q的带电粒子以速度v垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，则带电粒子在洛伦兹力的作用下，将做匀速圆周运动。那么，它做圆周运动的
（1）半径r为多大
（2）周期T为多大
14．水平直线上方有垂直纸面向里的足够大的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，有两个质量和电荷量均相同的正负粒子（不计重力）同时从边界点以与成角的相同速度射入该磁场区域（质量为，电量为q），正、负粒子间的相互作用忽略不计，经一段时间后从边界射出。
(1)分别画出正负粒子的运动轨迹，并指明哪个是负离子的轨迹。（保留作图痕迹，用黑色签字笔）
(2)求它们从磁场中射出时，出射点间的距离；
(3)求它们从磁场中射出的时间差。
15．如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y>0，0（1）求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
（2）求离子打到荧光屏上的范围；
（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30o～60o角内进入磁场，则某时刻(设为t=0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过×10-7s时这些离子可能出现的区域面积是多大
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