课件10张PPT。10.5 角平分线（1）你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE.你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗?回顾与思考定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).引入新知你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.
已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠1=∠2.老师期望:你能写出规范的证明过程.引入新知逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?O动手练一练已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线.做一做1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?老师期望:
你能说出结论并能证明它.课内练习2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺为 1:20 000).课内练习定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
用尺规作角的平分线.
邻补角的角平分线之间的关系.小结与拓展课件13张PPT。10.5角平分线（2）已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线.知识回顾定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点, PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别是D, E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).回顾与思考逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?回顾与思考剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.老师期望:
你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?观察这三条角平分线,你发现了什么?做一做命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.引入新知基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.引入新知如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.老师期望:
你能正确地解答并规范地写出其过程.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.课内练习1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?老师提示:
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.试一试定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.小结拓展1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD. 老师期望:
你能写出规范的证明过程.课后作业2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上. 老师期望:
养成用数学解释生活的习惯. 课后作业3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线. 老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 课后作业
