浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二下学期5月月考数学（理）试题
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二下学期5月月考数学（理）试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 321.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-05-20 22:15:01 | ||
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文档简介
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杭西高2015年5月高二数学试卷问卷
出卷人：徐斌华 审卷人：钱敏剑
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【来源：21·世纪·教育·网】
1.设全集，集合，则=（ ▲ ）．
A． B． C． D．
2. 某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ▲ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（▲ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4.已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：
①若；
②若；
③若，其中正确命题的个数是( ▲ )
A.3 B.2 C.1 D.0
5．若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是 （ ▲ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
6．已知直线，圆
，则直线与圆的位置关系是（▲ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与相关
7．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（▲ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O：，，为两个定点，是⊙O的一条切线，若过A，B两点的抛 物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是(▲ )21·世纪*教育网
A．圆 B．双曲线
C．椭圆 D．抛物线
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知等差数列的公差，首项，且依次成等比数列，则该数列的通项公式 ▲ ，数列的前6项和为 ▲ .2-1-c-n-j-y
10．若实数满足不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )，目标函数.若，则的最大值为 ▲ ；若存在最大值，则的取值范围为 ▲ ． 21*cnjy*com
11. 是抛物线上一点，是焦点，且．过点作准线的垂线，垂足为，则三角形的面积为 ▲ ．该抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，且双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为___▲______.【来源：21cnj*y.co*m】
12．设函数 ( http: / / www.21cnjy.com )则=____ ▲____；若，则实数的取值范围是___▲_ __.
13.已知的面积为，且． 求= ▲ ．
14．设函数，给出下列四个命题：①函数为偶函数；②若 其中，则；③函数在上为单调增函数；④若，则。则正确命题的序号是 ▲ ．.【出处：21教育名师】
15．若关于x的不等式 的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是___▲_____．
三、解答题
16．(本小题满分10分)已知是关于的二次方程，的两个实数根，求：
（I）的值； （II）的值．
17．(本小题满分10分)已知函数（为实常数）．
（I）若，求函数的单调区间；
（II）设在区间上的最小值为，求的表达式．
18.（本小题10分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面所成角为，求二面角的平面角的余弦值．
19．（本小题10分）如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ ）求椭圆的方程；
（Ⅱ ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．
① 求证：直线经过一定点；
② 试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
杭西高2015年5月高二数学试卷答卷
☆☆☆ 祝你考试愉快 ☆☆☆
一、选择题（每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C C D C C
二、填空题
9. ; 1008 10. 6 ; 21教育网
11. ; 12. ;
13. 14. ① ② ③ ④ 15.
三、解答题（共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16． ( http: / / www.21cnjy.com )-----5分
（2）------5分
17．1）当时，
作图（如右所示）
增区间，，减区间，——————4分
（2）当时，
若，则在区间上是减函数，
————————————————5分
若≠0，则，图像的对称轴是直线．
当＜0时，在区间上是减函数，,————————6分
当，即时，在区间上时增函数，
————————7分
当，即时，，——————8分
当，即0时，在区间上是减函数，．——————9分
综上可得 ( http: / / www.21cnjy.com )——————10分
18.（本小题10分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面所成角为，
求二面角的平面角的余弦值．
（I）证明：因为平面，平面，
所以二面角为直二面角，，
所以平面，----------1分
所以，
平行四边形中，，
所以为菱形，所以，------2分
所以平面，----------4分
而平面，
所以．------------5分
（II）（解法一）由于平面，
所以即为直线与平面所成的角，故，---------------6分
作于，连结，则，所以即为二面角的平面角，------------------------------7分21·cn·jy·com
中，
中，------8分
中，，--------9分
所以
即二面角的平面角的余弦值为-------------10分
（解法二）由于平面，
所以即为直线与平面所成的角，故，，----------------6分
在平面内，过点作的垂线，则两两垂直，建立空间直角坐标系如图，
则，，--------7分
所以，，平面的一个法向量为-------8分
平面的一个法向量为-
------------------10分
即二面角的平面角的余弦值为-----------10分
19．（本小题10分）如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．www.21-cn-jy.com
（Ⅰ ）求椭圆的方程； （Ⅱ ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．
① 求证：直线经过一定点；
② 试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．2·1·c·n·j·y
（Ⅰ ）依题意，，则，
∴，又，∴，则，
∴椭圆方程为．————————3分
（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )得 ( http: / / www.21cnjy.com )或
∴，————————5分
用去代，得，
方法1： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴：，即，——6分
∴直线经过定点．——————7分
方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，21cnjy.com
当时，，，此时直线经过轴上的点，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
∴，∴、、三点共线，即直线经过点，
综上所述，直线经过定点．
②由得 ( http: / / www.21cnjy.com )或∴，
则直线：，
设，则，直线：，直线：，
假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )由（）得对恒成立，则，
由（）得，对恒成立，
当时，不合题意；当时，，得，即，
∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．
解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．————————————10分
y
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杭西高2015年5月高二数学试卷问卷
出卷人：徐斌华 审卷人：钱敏剑
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【来源：21·世纪·教育·网】
1.设全集，集合，则=（ ▲ ）．
A． B． C． D．
2. 某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ▲ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（▲ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4.已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：
①若；
②若；
③若，其中正确命题的个数是( ▲ )
A.3 B.2 C.1 D.0
5．若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是 （ ▲ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
6．已知直线，圆
，则直线与圆的位置关系是（▲ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与相关
7．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（▲ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O：，，为两个定点，是⊙O的一条切线，若过A，B两点的抛 物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是(▲ )21·世纪*教育网
A．圆 B．双曲线
C．椭圆 D．抛物线
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知等差数列的公差，首项，且依次成等比数列，则该数列的通项公式 ▲ ，数列的前6项和为 ▲ .2-1-c-n-j-y
10．若实数满足不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )，目标函数.若，则的最大值为 ▲ ；若存在最大值，则的取值范围为 ▲ ． 21*cnjy*com
11. 是抛物线上一点，是焦点，且．过点作准线的垂线，垂足为，则三角形的面积为 ▲ ．该抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，且双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为___▲______.【来源：21cnj*y.co*m】
12．设函数 ( http: / / www.21cnjy.com )则=____ ▲____；若，则实数的取值范围是___▲_ __.
13.已知的面积为，且． 求= ▲ ．
14．设函数，给出下列四个命题：①函数为偶函数；②若 其中，则；③函数在上为单调增函数；④若，则。则正确命题的序号是 ▲ ．.【出处：21教育名师】
15．若关于x的不等式 的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是___▲_____．
三、解答题
16．(本小题满分10分)已知是关于的二次方程，的两个实数根，求：
（I）的值； （II）的值．
17．(本小题满分10分)已知函数（为实常数）．
（I）若，求函数的单调区间；
（II）设在区间上的最小值为，求的表达式．
18.（本小题10分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面所成角为，求二面角的平面角的余弦值．
19．（本小题10分）如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ ）求椭圆的方程；
（Ⅱ ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．
① 求证：直线经过一定点；
② 试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
杭西高2015年5月高二数学试卷答卷
☆☆☆ 祝你考试愉快 ☆☆☆
一、选择题（每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C C D C C
二、填空题
9. ; 1008 10. 6 ; 21教育网
11. ; 12. ;
13. 14. ① ② ③ ④ 15.
三、解答题（共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16． ( http: / / www.21cnjy.com )-----5分
（2）------5分
17．1）当时，
作图（如右所示）
增区间，，减区间，——————4分
（2）当时，
若，则在区间上是减函数，
————————————————5分
若≠0，则，图像的对称轴是直线．
当＜0时，在区间上是减函数，,————————6分
当，即时，在区间上时增函数，
————————7分
当，即时，，——————8分
当，即0时，在区间上是减函数，．——————9分
综上可得 ( http: / / www.21cnjy.com )——————10分
18.（本小题10分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面所成角为，
求二面角的平面角的余弦值．
（I）证明：因为平面，平面，
所以二面角为直二面角，，
所以平面，----------1分
所以，
平行四边形中，，
所以为菱形，所以，------2分
所以平面，----------4分
而平面，
所以．------------5分
（II）（解法一）由于平面，
所以即为直线与平面所成的角，故，---------------6分
作于，连结，则，所以即为二面角的平面角，------------------------------7分21·cn·jy·com
中，
中，------8分
中，，--------9分
所以
即二面角的平面角的余弦值为-------------10分
（解法二）由于平面，
所以即为直线与平面所成的角，故，，----------------6分
在平面内，过点作的垂线，则两两垂直，建立空间直角坐标系如图，
则，，--------7分
所以，，平面的一个法向量为-------8分
平面的一个法向量为-
------------------10分
即二面角的平面角的余弦值为-----------10分
19．（本小题10分）如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．www.21-cn-jy.com
（Ⅰ ）求椭圆的方程； （Ⅱ ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．
① 求证：直线经过一定点；
② 试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．2·1·c·n·j·y
（Ⅰ ）依题意，，则，
∴，又，∴，则，
∴椭圆方程为．————————3分
（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )得 ( http: / / www.21cnjy.com )或
∴，————————5分
用去代，得，
方法1： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴：，即，——6分
∴直线经过定点．——————7分
方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，21cnjy.com
当时，，，此时直线经过轴上的点，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
∴，∴、、三点共线，即直线经过点，
综上所述，直线经过定点．
②由得 ( http: / / www.21cnjy.com )或∴，
则直线：，
设，则，直线：，直线：，
假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )由（）得对恒成立，则，
由（）得，对恒成立，
当时，不合题意；当时，，得，即，
∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．
解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．————————————10分
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