2023-2024学年上海市大同中学高一年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.水平放置的的斜二测直观图是下图中的，已知，则边的实际长度是______.
2.已知事件互相独立，且，则______.
3.若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______.
4.新年音乐会安排了2个唱歌、3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有______种。（用数字表示）
5.直线与平面所成角为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是______.
6.一颗标有数字的骰子连续掷两次，朝上的点数依次记为，使得复数为实数的概率是______.
7.表面积为的圆锥沿着母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______.
8.的展开式中的系数是______.（用数字表示）
9.某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有______种
10.空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种。
11.假设抛质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲乙两人现各抛掷若干枚硬币，甲抛掷的硬币总数为99，而乙抛掷的硬币总数为100，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是______.
12.一个“皇冠”状空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为。如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.某人在打靶训练时连续射击3次，“至多有一次中靶”的互斥但不对立事件是（ ）
A.至少有一次中靶 B. 三次都不中靶 C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶
15.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点钟任意选两个点连成直线，乙也从这6个点钟任意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率是（ ）
A. B. C. D.
16.若是正方体，任作平面与对角线垂直，且使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）
A.为定值，不为定值 B.不为定值，为定值
C.与均为定值 D.与均不为定值
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知的展开式的二项式系数之和为1024
（1）求展开式中的常数项
（2）求展开式中的系数最大的项。
18.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知圆柱的底面半径为，上下底面圆心分别为，正六边形内接于下底面，，为圆柱的一条母线
（1）求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）
（2）若圆柱的体积为，求点到平面的距离。
19.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
如图，在三棱柱中，边长为8的正方形,
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值
（3）证明：在线段上存在点，使得,并求的值
20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某中学的小乔同学参加上海市举办的禁毒知识测试大赛，本次大赛由十道选择题组成，得分规则为：作对一题得1分，做错一题扣去1分，不做得0分，总得分7分才算及格。小乔的目标是及格，在这次考试中，他确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题作对的概率均为，考试中，小乔思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道反而更容易及格。
（1）设小乔从余下的四道题中恰做三题并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及
（2）计算：小乔从余下的四道题中，恰做几道时及格的概率最大？2023-2024学年上海市大同中学高一年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.水平放置的的斜二测直观图是下图中的，已知，则边的实际长度是______.
【答案】5
【解析】把直观图还原为原图形，如图所示
则
所以
2.已知事件互相独立，且，则______.
【答案】
【解析】
3.若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______.
【答案】3
【解析】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2
则球的半径为
4.新年音乐会安排了2个唱歌、3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有______种。（用数字表示）
【答案】3600
【解析】插空法，则
5.直线与平面所成角为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是______.
【答案】
【解析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角种最小的角，且直线与平面所成角的范围为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是
6.一颗标有数字的骰子连续掷两次，朝上的点数依次记为，使得复数为实数的概率是______.
【答案】
【解析】
若为实数，则，共有2种结果
则概率为
7.表面积为的圆锥沿着母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为
由题意得
解得
所以圆锥的高为
则该该圆锥的体积为
8.的展开式中的系数是______.（用数字表示）
【答案】168
【解析】的展开式中的系数是
9.某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有______种
【答案】150
【解析】①有一种灯谜印在3个灯笼上，有种方法
②3款灯谜分别印在2个，2个和1个灯笼上，有
共有种方案
10.空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种。
【答案】9
【解析】如图所示，有两种情况：
①当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，若为底面棱有两种（平面左右两侧各一组），同理为底面棱时有各两种，故共有6种；
②当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧，若为底面对角线则有一组，同理为底面对角线各有一组，故共有3种；
综上所述，共有9种.
11.假设抛质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲乙两人现各抛掷若干枚硬币，甲抛掷的硬币总数为99，而乙抛掷的硬币总数为100，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是______.
【答案】
【解析】设甲得到的正面数为，则且
此时甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率为
因此所求概率为
因为
则所求概率为
12.一个“皇冠”状空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为。如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______.
【答案】
【解析】过点作底面的垂线，垂足为，，分别为上下底面正方形的中心，连接，，交于，连接，如图，由题意可知：，即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，，，由三角形都为正三角形知，，，设正方形边长为，则，，，，
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】设为空间中的四个不同点
则“中有三点在同一条直线上”推出“在同一个平面上”
“在同一个平面上”知“中可以任意三点不在同一条直线上”
则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的充分不必要条件
故选A
14.某人在打靶训练时连续射击3次，“至多有一次中靶”的互斥但不对立事件是（ ）
A.至少有一次中靶 B. 三次都不中靶 C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶
【答案】C
【解析】某人在打靶中，连续射击3次
对于A，至少有一次中靶与至多有一次中靶同时发生，不是互斥之间，故A错误
对于B，三次都不中靶与至多有1次中靶能同时发生，不是互斥事件，故B错误
对于C，恰有两次中靶与至多有一次中靶不能同时发生，但能同时不发生，是互斥不对立事件，故C正确
对于D，至少两次中靶与至多有一次中靶既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故D错误
故选C
15.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点钟任意选两个点连成直线，乙也从这6个点钟任意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为正方体6个面的中心总共有6个
所以甲从这6个点钟任意选两个点连成直线共有条
所以乙也从这6个点中任意选两个点连成直线共有条
所以甲乙从中任选一条共有种不同取法
因为正方体6个面的中心构成一个正八面体
所以有6对互相平行但不重合的直线
所以甲乙两人所得直线互相平行但不重合共有12对
则所得的两条直线互相平行但不重合的概率为
故选A
16.若是正方体，任作平面与对角线垂直，且使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）
A.为定值，不为定值 B.不为定值，为定值
C.与均为定值 D.与均不为定值
【答案】B
【解析】将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展平在一个平面上，得到一个，而多边形的周界展开后便成为一条与，平行的线段（如图中），显然，故为定值；当位于中点时，多边形为正六边形，而
当移至处时，截面多边形为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故不为定值，故选B.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知的展开式的二项式系数之和为1024
（1）求展开式中的常数项
（2）求展开式中的系数最大的项。
【答案】（1）180；（2）
【解析】
（1）由题意知
设为常数项，则
则展开式中的常数项为
（2）设第项为系数最大项，则
则展开式中的系数最大的项为
18.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知圆柱的底面半径为，上下底面圆心分别为，正六边形内接于下底面，，为圆柱的一条母线
（1）求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）
（2）若圆柱的体积为，求点到平面的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）连接，如图
根据圆柱的性质知，是异面直线与所成角（或所成角的补角）
在中，由余弦定理得
（2）依题意，解得
设点到平面的距离，则
解得点到平面的距离为
19.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
如图，在三棱柱中，边长为8的正方形,
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值
（3）证明：在线段上存在点，使得,并求的值
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）证明：因为四边形是正方形，则
又平面平面，平面平面，平面
所以平面
（2）解：因为，则，所以
以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示
则
所以
设平面的法向量为
则
令，则
故
设平面的法向量为
则
令，则
故
所以
故二面角的余弦值为
（3）设点的竖坐标为
在平面内，作于点，则
所以
由（1）可知
因为
则
解得
所以
20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某中学的小乔同学参加上海市举办的禁毒知识测试大赛，本次大赛由十道选择题组成，得分规则为：作对一题得1分，做错一题扣去1分，不做得0分，总得分7分才算及格。小乔的目标是及格，在这次考试中，他确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题作对的概率均为，考试中，小乔思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道反而更容易及格。
（1）设小乔从余下的四道题中恰做三题并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及
（2）计算：小乔从余下的四道题中，恰做几道时及格的概率最大？
【答案】（1）见解析；（2）；做对3题
【解析】
（1），；
（2）① 且，∴；② 且，；
③ 且，无解；综上，时，恰做一道及格概率最大；时，；时，恰做三道及格概率最大.
