2024河南中考数学专题复习第四章 微专题 遇到中点如何添加辅助线 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
遇到中点如何添加辅助线
微专题
一阶 方法训练
方法解读
情形1　当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线
如图，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.
【结论】DE∥BC；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
方法一　构造中位线(9年3考)
情形2　当图形中出现中点，考虑过中点作已知边的平行线构造中位线
如图，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E.
【结论】AE＝CE；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
例1　 如图，O为 ABCD的对角线AC和BD的交点，E为边BC的中点，连接AE交BD于点F，若BD的长为6，则OF的长为________．
一题多解法
例1题图
1
例2　 如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点E，若F为DE的中点，BF＝3，求AF的长．
一题多解法
例2题图
解法一：解：如图，过点D作DG∥AB交BC于点G，
∵点F为DE的中点，∴BF为△EGD的中位线，
∴DG＝2BF＝6.
∵D为AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，
∴AB＝2DG＝12，
∴AF＝AB－BF＝12－3＝9.
G
一题多解法
思路点拨：
例2
解法：如图，过点D作DH∥BC交AB于点H，证明△HDF≌△BEF.
解法二：解：如图，过点D作DH∥BC交AB于点H，
∵DH∥BC，∴∠HDF＝∠E，∠FHD＝∠EBF.
∵F为ED中点，∴EF＝DF，
∴△HDF≌△BEF，
∴HF＝FB＝3，∴BH＝6.
∵D为AC中点，
∴H为AB中点，
∴AH＝HB＝6，∴AB＝12，
∴AF＝AB－BF＝9.
例2题图
H
方法解读
情形1　遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，连接CD.
【结论】CD＝ AB.
方法二　构造中线
方法解读
情形2　遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题
如图，在等腰△ABC中，点D是底边BC的中点，若连接AD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
例3　如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，E，F分别是AB，BC边上的点，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝4，FC＝3，则EF的长为________．
例3题图
5
例4　如图，将两个含30°且大小不一样的两个直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD)如图摆放在一起，∠ACB＝∠BDC＝90°，E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．
例4题图
例5　如图，在△ABC中，D是BC上的点，E，F分别是AC，BD的中点，连接AD，EF，若AD＝AB，AC＝6，则EF的长度为________．
例5题图
3
方法解读
①如图，AD是BC边的中线，若延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ACD≌△EBD.
方法三　构造倍长中线
②如图，D是BC边的中点，E是AB上一点，连接ED，延长ED至点F，使得DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF.
注：连接EC，ED实质为△BEC的中线．
倍长中线的本质可以理解为平移变换或中心对称．
例6　 如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC.
一题多解法
例6题图
解法一：证明：如图，延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB(SAS)，
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H.
H
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴BF＝AC.
例6题图
H
解法二：证明：如图，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中， ，
∴△BDF≌△CDG(SAS)，
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，∴BF＝AC.
例6题图
G
二阶 综合训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝ AB，连接DE，DF，则DF的长为________．
第1题图
2
【解析】如图，连接EF，AE. ∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴BE＝EC，AF＝CF，∴EF∥AB，EF＝ AB，
∵AD＝ AB，∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，
∵∠BAC＝90°，∴AE＝ BC＝2，∴DF＝AE＝2.
第2题图
2. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC边上一点，连接AE，作∠AEF＝∠DAE，交CD于点F，若点F是CD的中点，则EF的长为________．
【解析】如图，延长EF，AD交于点G，
∵∠AEF＝∠DAE，∴AG＝EG.
设DG＝x，则EG＝AG＝6＋x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠ADC＝90°＝∠GDF，AB＝CD＝6.
∵点F是CD的中点，∴CF＝DF＝3，
G
又∵∠CFE＝∠DFG，∴△CEF≌△DGF，
∴CE＝DG＝x，EF＝GF＝ .
在Rt△CEF中，根据勾股定理，
得CF2＋CE2＝EF2，
即32＋x2＝( )2，解得x＝4或x＝0(舍去)，
∴EF＝ ＝5.
【答案】5
第2题图
G
解题关键点
延长EF，AD交于点G，证得△CEF≌△DGF，再根据勾股定理求解．
3. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，点D是AB的中点，E是AC边上一点，连接BE交CD于点F，若CE＝7，求CF的长．
第3题图
解：∵AC＝BC＝13，D是AB的中点，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5.
∵CE＝7，
∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.
如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，
G
∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位线，∴DG＝ AE＝3.
∵DG∥AC，∴△DGF∽△CEF，
∴ ＝ ，即 ＝ .
在Rt△BDC中，根据勾股定理，
得CD＝ ＝ ＝12，
∴ ＝ ，解得CF＝ .
第3题图
G
【解题思路】
∵AC＝BC＝13，D是AB的中点，可得∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5，AE＝AC－CE＝6，如解图，过点D作DG∥BE交AC于点G，由中位线定理得AG＝GE＝3，CG＝10，可证得△CEF∽△CGD，得出 ，由勾股定理解得CD的长，最后求出CF的长．
第3题解图
一题多解
4. 如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接AE，AC，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝6，AD＝8，CE＝AC，求DF的长．
第4题图
解：如图，过点F作FH⊥CD交AB于点G，交CD于点H，
∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，
∴FH∥BC，
∵F是AE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝ BE，AG＝BG.
∟
G
H
由FH⊥CD和矩形的性质可得，DH＝CH＝ CD＝ AB＝3，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵CA＝CE，BC＝8，
∴BE＝2，
∴FH＝FG＋GH＝ BE＋BC＝9，
∴在Rt△DFH中，
DF＝ ＝ ＝3 .
第4题图
∟
G
H
解题关键点
过点F作FH⊥CD于点H，交AB于点G，证FG是△ABE的中位线．
请完成精练本习题