北京英才苑高三数学第二轮复习教案

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数学专题（五）
不 等 式
陕西 安振平
高考风向标
不等式的概念和性质，2元均值不等式．不等式的证明（比较法、分析法、综合法）．不等式的解法（一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式）不等式的综合应用（求最值、求参数的取值范围、解答实际问题）．
典型题选讲
例１　已知（，）是直线与圆的交点，则当取最小值时，则实数的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
讲解：　由交点满足方程，便得
　　　　　　　　　
对第１个等式两边平方后减去第２个等式，立即得出
　　　　．
故当取最小值时，实数对于的值等于１，应该选C．
点评: 此题是一道解析几何面孔呈现的代数最值问题，解答中建立函数，而是二次函数，其求最值的方法自然就想到了是配方法！
例２　设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．
讲解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线（由|m|≤2知它实质是一条线段），且使|m|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立．
所以　　　　
即　　　　
即　　　　　　
所以　　　　　　　．
点评：没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的神奇作用．
例３　　若, 则函数的最大值是________．
讲解： 由对称性，可以猜想：当时，函数取得最大值．于是，就将求最值问题转化为不等式证明问题了．
令，则由得
于是
这是显然成立的，
故当即时， 应填
点评：换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题，而猜想最值又将问题转化为不等式证明．应用分析法是证明不等式的有效方法之一，它可以化生为熟、化繁为简．
例４　某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％，在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.
(１) 某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？
(２) 长期服用的人这种药会不会产生副作用？
讲解：（1）设人第次服药后，药在体内的残留量为毫克.则，
，
（2）由，
是一个以数为首项，0.4为公比的等比数列，
，
，
不会产生副作用．
　　点评：本题是一道数列与不等式综合的应用性问题，它紧密结合人们的生活实际，是一道既考知识，又考能力的好问题．
例５　已知a>0，函数f(x)=ax－bx．
(１) 当b>0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a2；
(２)　当b>1时，证明对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b-1a2；
(３)　当0讲解　(１)　对已知二次函数应用配方法，得
，当xR时，f(x)= ，
于是，对任意xR都有f(x)1 f(x)= 1 a2．
(２)　用f(x)、f(x)表示f(x)在[0,1]上的最大值、最小值，则对任意x[0,1],都有|f(x)|1当且仅当 （*）
而 f(x)=-b(x－+，（x[0,1]）
当2b时，0<1，f(x)= ，f(x)=f(0)或f(1)；
当2b1, f(x)= f(1)，f(x)=f(0)．
于是
(*) 或
b-1a2或xb-1a2．
故对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b-1a2．
(３)　由(２)的解答知，对任意x[0,1],都有|f(x)|1当且仅当
或
0故当0点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．读者在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．
例6（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；
　　（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．
讲解：（1）应用２元均值不等式，得
，
故　　　　　　　．
当且仅当，即时上式取等号．
（2）由（1）．　　　　　　　
当且仅当，即时上式取最小值，即．　　
点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
例７　如图，A、B为函数图像上两点，且AB∥x轴，点M（1，m）（m>3）是△ABC边AC的中点．
（1）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）求函数的最大值，并求出相应的点C的坐标．
讲解：先引如点A，B的坐标，再逐步展开解题思维．
（1）设B，A，，M是△ABC边AC的中点，则
，
∴．
（2）∵，M（1，m）是△ABC边AC的中点
∴　　　　
∴．
当时，
．
当且仅当，即时，S的最大值是，此时点C的坐标是．
当m>9时，在区间（0，1）上是增函数，证明如下：
设．
∵，，，又，
∴．
又，
∴，
∴，
∴在（0，1）上为增函数，
故时，，此时．
点评：本题是笔者自编的一道试题，曾作为陕西省高三的会考试题．此题的解答如果改为应用导数知识，其解法就要简洁的多了，请读者不妨一试．
例8 过点作曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．
（1）求证：，；
（2）求证：；
（3）求证：（注：）．
讲解：（１）对求导数，得．
若切点是，则切线方程是．
当时，切线过点，即，得；　　　　　　
当时，切线过点，即，得．
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，．
（２）应用二项式定理，得
　　　　　　　　　　．　　　
（３）记，则，
两式相减，得
，
　　　　　　，
故 　　　　．　　　　　　　
点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．
针对性演练
1． 已知是正实数，则不等式组是不等式组成立的（ ）
（A）充分不必要条件 　　(B) 　必要不充分条件
(C) 充分且必要条件 　　(D)　既不充分又不必要条件
2． 若a,b则|a| <1，|b|<1，是|a+b|+|a-b|<2成立的 （ ）
（A）充分不必要条件 　　　 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3． 已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是
　（A）0≤m≤4 （B）1≤m≤4
（C）m≥4或x≤0 （D）m≥1或m≤0
４．若对任意的长方体，都存在一个与等高的长方体，使得与的侧面积之比和体积之比都等于，则的取值范围是（ ）
（A）　　　　　　　　　　　　　　（B）
（C） （D）
５．不等式|x2－x－6|＞3－x的解集是（ ）
（A）（3，＋∞） （B）（－∞，－3）∪（3，＋∞）
（C）（－∞，－3）∪（－1，＋∞） （D）（－∞，－3）∪（－1，3）∪（3，＋∞）
6．是否存在常数，使得不等式对任意正实数 、恒成立？证明你的结论．
7．　已知
（１）当时，若函数f (x)的图象与直线均无公共点，求证
（２）对于给定的负数，有一个最大的正数M（a），使得，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论．
8．　设为正实数，满足
求的最大值．
9．　已知函数．
　　（1）证明函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
　　（2）当，时，求证：，；
　　（3）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，，…，在上述构造数列的过程中，如果（i＝2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，构造数列的过程停止．
　　①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值．
参考答案：
１．B．2．C．3．C．4．D．5．D．
6．当时，由已知不等式得．　　　　　　　
下面分两部分给出证明：
⑴先证，
此不等式
，此式显然成立；
⑵再证，
　　此不等式
，此式显然成立．
综上可知，存在常数，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．
7．　（１）的图象与y=x无公共点.
（２）
８．令
则 ，
于是
当 即时，
9．（1）设点P（，）是函数图象上一点，则，
点P关于（a，-1）的对称点，．
∵，
，
∴，即点在函数的图象上，
∴函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形．
（2）∵．
又，，，
∴，
∴，
∴．
（3）①根据题意，只需x≠a时，有实解，即有实解，即有不等于a的解，
∴
由得：a≤-3或a≥1，
由．
综上a≤-3或a≥1；
②根据题意，应满足时无实解，
即时无实解，
由于不是方程的解，
∴对于任意，无解，
∴a＝-1．
1713400 陕西永寿县中学 安振平 zpan1@ 13152325633 0910-7667327(0)
第四讲 向量及其应用
陕西特级教师 安振平
高考风向标
向量的概念: 向量的基本要素,向量的表示,向量的长度,相等的向量,平行向量．
向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的内积及各运算的坐标表示和性质．
重要定理与公式：平面向量基本定理，两个向量平行的充要条件，两个向量垂直的充要条件，线段的定比分点公式（特别是中点公式），平移公式，正弦定理，余弦定理．
典型题选讲
例1　　已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列. 求|n+p|的取值范围；
讲解 用向量的有关公式进行逐步翻译．
（1）设①
与夹角为，有·=||·||·，
所以　　　　　　　　　　　②
由①②解得　
（2）由垂直知，
由2B=A+C 知B= ，A+C=
若
点评　在第（２）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射．如：遇到高次想将次，即公式．
例2 设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.
（1）若f(x)=1-且x∈[-，]，求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．
讲解（1）同上题，遇到高次想将次，依题设可得
　f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由　1+2sin(2x+)=1-，得　　sin(2x+)=-.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，
即　　　　　　x=-.
（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（Ⅰ）得 　　　f(x)=2sin2(x+)+1.
∵|m|<，∴m=-，n=1.
点评 本题是2004年高考试题福建卷数学试题（理科）第17 题. 主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．
例3　如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值．
讲解 解题思维的入手点是在“Rt△ABC中”，据此进行翻译和转化．
，　　　
　　　
．
．
点评　本题是2004年湖北高考卷第19题，向量作为一种高中数学的新的知识，是高考的必考内容，它可能与三角函数、解析几何等知识综合，有时出现在选择题、填空题中，更多的时候有一道解答题．
例4 椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
讲解（１）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．
依据题意，设椭圆的方程为，则由
，
椭圆方程为．　　　　　　　　　　　
（２）因为在椭圆上，故　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　由平面几何知识得　，即，所以．　　　
　　令，设且，则
，
所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时原式取得最小值．
点评　本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．
例5 在△ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12．以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．
（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹Γ；
（2）设P为轨迹Γ上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？
讲解 （1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得
　　　　　　　　　a+c=2b，且a>b>c．
因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值．
注意到8>|AC|=4，且|BC|>|BA|，
故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分．
并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
（2）如图所示，不妨取，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是，，且，从而PQ为∠APC的外角∠SPA的平分线．过A且以为方向向量的直线AS⊥PQ．
从而，于是只须取AC的中点为D（O），即有=4为定值．故存在定点D，而为定值.
点评　二次曲线的定义是历年高考常考常新的热门话题．联系定义，有时可以使问题的解答非常简洁，请读者认真反思本题的思维路线，看看会有什么启发．
例6 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且
的最小值为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．
讲解 (1)由题意，设（），由余弦定理, 得
．
又·，
当且仅当时，· 取最大值，
此时取最小值，令，
解得，，∴，
故所求的轨迹方程为.
（2）设，，则由，可得，
故.
∵、在动点的轨迹上，故且，
消去可得，解得，
又，∴，解得，
故实数的取值范围是．
点评　椭圆的焦点三角形是高考的又一个热点，应用余弦定理是解答三角形的必用工具．在数学的复习过程中，逐渐形成一些有用的解题模式，对提高解题的技能是必须的，也是很有用的．
例7　抛物线的准线与y轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，且
（1）求||的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°.若存在，求出点B；若不存在，说明理由.
讲解 画出图形，肯定会帮助你快速找到解题的思维路线．
（1）抛物线为x2=－8y,准线为y=2, ∴A（0，2）.
设MN的中点为P，
∴PB垂直平分线段MN.
设MN为：y=kx+2,与x2=－8y联立，得
x2+8kx+16=0………………………………（*）
由
又点P坐标为，
∴直线PB方程为：.
令x=0,得y=－2－4k2<－6, ∴的取值范围是.
（2）设存在满足条件的点B（0，－2－4k2）,M、N坐标为M(x1, kx1+2)，N(x2, kx2+2)
由K BM·KBN=－1，得
　　　　　
即　　　x1x2+k2x1x2+4k(1+k2)(x1+x2)+16(1+k2)2=0,
由（1）中（*）式，韦达定理，代入上式得
16(1+k2)+16(1+k2)2+4k(－8k)(1+k2)=0
解得，.
故知点B（0，－10）为所求.
点评 对于抛物线的试题，考试中出现的较多的是型．
例8 如图，已知三角形PAQ顶点P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线与轨迹E交于B、C两点，点D（1，0），若∠BDC为钝角，求k的取值范围．
讲解 （1）
　　①
　　　　②
由①②
（2），
．
　　，
，则
．
y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1]　　　　　⑤
将④⑤代入③得 ．
．
点评　解答范围问题的关键在于建立不等关系，这常需要由等式导出不等式，一般用到判别式、2元均值不等式、三角函数的有界性等等．
针对性演练
1. 条件甲：“四边形是平行四边形”是条件乙：“”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2. 若向量的夹角为，,则向量的模为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 12
3. 已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则＝，其中＝（ ）
A．　 B．－　　 C．2　　 D．－2
4. 下列条件中，不能确定三点A、B、P共线的是 （ ）
A． B．
C． D．
5. 在直角坐标系中，O是原点，=(－2＋cosθ,－2＋sinθ) (θ∈R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 ( )
A． 4 　　　 B． 5 　　　　C． 2 　　　　 D． 　　　　　　　　　　　
6. 向量=（cos23°, cos67°），=（cos68°，cos22°），=+t=(t∈R)
（1）求·之值；
（2）求||最小值.
7. 已知向量
（1）求
（2）若的最小值为的值.
8. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
(１)求椭圆的方程；
(２)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.
9. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(１) 　求椭圆的方程及离心率；
(２)　若求直线PQ的方程．
10. 如图，在直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），P（x，y）（y≠0）. 设、
、与轴正方向的夹角分别为、、，若，
（1）求点P的轨迹G的方程；
（2）设过点C（0，－1）的直线l与轨迹G交于不同两点M、N. 问在x轴上是否存在
一点，使△MNE为正三方形. 若存在求出值；若不存在说明理由.
参考答案
１．A. 2. C. 3. D. 4.D. 5. C.
6. (1) ; (2) ．
７．（1）．
（2）
当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值－1，与已知矛盾．
当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取最小值－1－2λ2，由已知得：－1－2λ2=－，解得：λ=．
当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得：矛盾．
综上所述：λ=为所求.
８．（1）；（2）或0．
９．　（１）依据题意可设椭圆的方程为　由已知得
　　　　　　
解得 　　　　　　　
所以椭圆的方程为，离心率
(２) 由(１)可得
设直线PQ的方程为由方程组
　　　　　　
得
依题意 得　　
设 则
　 　 ①
　 ②
由直线PQ的方程得 于是
③
④
由①②③④得　　从而　
所以直线PQ的方程为　或
10. （1）由已知
．
　　　　　　　①
当x=1时，也满足方程①．
故所求轨迹G方程为．
（2）假设存在点，使△MNE为正△，设直线l方程：代入方程
，得　
．
．
所以，
　　　　．
．
．
在正．
矛盾.
故不存在这样的点使△MNE为正三角形．
A
C
O
x
y
N
M
P
R
Q
S
T
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第8讲 导数应用的题型与方法
（4课时）
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数
两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值
二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
　　⑵熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
　　⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三、复习目标
　 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．
2．熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．
　 3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
　　4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
四、双基透视
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．曲线的切线
　　在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．
　　5．瞬时速度
　　在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．
　　6．导数的定义
　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．
　　对导数的定义，我们应注意以下三点：
　　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．
　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．
　　(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．
　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
　　(1)求函数的增量；
　　(2)求平均变化率；
　　(3)取极限，得导数。
　　7．导数的几何意义
　　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
　　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
　　
　　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为
　　8．和（或差）的导数
　　上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。
　　
　　
　　我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。
　　由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。
　　9．积的导数
　　两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）
　　说明：
　　（1）；
　　（2）若c为常数，则(cu) ′=cu′。
　　10．商的导数
　　两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：
　　设
　　
　　
　　因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而　　即。
　　说明：（1）；　　（2）
　　学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。
11. 导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
㈤函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
12.
（1）恒成立 ∴为上
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）恒成立 ∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
五、注意事项
1．导数概念的理解．
　　2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
　　对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。
　　3．要能正确求导，必须做到以下两点：
　　（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
　　（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
　　4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
　　（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
　　（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
　　（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
　　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
六、范例分析
例1． 在处可导，则
思路： 在处可导，必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
　　（1）； （2）
　　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
　　解：（1）
　　
　　（2）
　　
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若为偶函数 令
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
例4．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
　　（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
　　解：（1），
　　，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
　　（2）
　　
　　。
　　
例5． 求下列函数单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定义域为
例6．求证下列不等式
（1）
（2）
（3）
证：（1）
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
例7．利用导数求和：
　　（1）；
　　（2）。
　　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
　　解：（1）当x=1时，
　　；
　　当x≠1时，
　　∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得
　　
　　即
　　（2）∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得。
　　令x=1得
　　，
　　即。
例8．求满足条件的
（1）使为上增函数
（2）使为上……
（3）使为上
解：（1） ∴
时 也成立 ∴
（2） 时 也成立 ∴
（3）
例9．（1）求证
（2） 求证
（1）证：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
（2）令 上式也成立
将各式相加
即
例10．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19））
设，求函数的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，
解得.
因此，函数在区间内单调递减.
说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。
　　例11．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。
　　（1）求A、B两点的坐标；
　　（2）求直线与的夹角。
　　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
　　解 （1）由方程组
　　
　　解得 A(-2，0)，B(3，5)
　　（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，
　　
　　所以
　　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例12．（2001年天津卷）设，是上的偶函数。
（I）求的值；
（II）证明在上是增函数。
解：（I）依题意，对一切有，即，
∴对一切成立，
由此得到，，
又∵，∴。
（II）证明：由，得，
当时，有，此时。
∴在上是增函数。
例13．（2000年全国、天津卷）设函数，其中。
（I）解不等式；
（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。
解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。
（II）作差比较（略）。
解2：
（i）当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。
（ii）当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。
解方程，得或，
∵，
∴当且仅当时，，
综上，（I）当时，所给不等式的解集为：；
当时，所给不等式的解集为：。
（II）当且仅当时，函数在区间上时单调函数。
例14．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷理科类20））
已知，函数设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则
解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题得，切线方程中令，得
，其中，
（ⅰ）由，，有，及，
∴，当且仅当时，。
（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，
所以。
例15．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21））
已知为正整数.
（Ⅰ）设；
（Ⅱ）设
分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。
证明：（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴
即对任意
七、强化训练
1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
　　A． B． C． D．
2．若，则等于 （ ）
A． B． C．3 D．2
3．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 （ ）
　　A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
　　A．90° B．0° C．锐角 D．钝角
5．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
　　A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度
　　B．时间t时该物体的瞬时速度
　　C．当时间为△t 时该物体的速度
D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率
7．关于函数，下列说法不正确的是 （ ）
A．在区间（，0）内，为增函数
B．在区间（0，2）内，为减函数
C．在区间（2，）内，为增函数
D．在区间（，0）内，为增函数
8．对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 （ ）
　　A． B． C． D．
9．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
10．设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是 （ ）
　　（1）； （2）；
　　（3） （4）。
　　A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））
f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
12．若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切线方程是_____________。
13．设，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。
14．设，则_____________。　
15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线相切的直线的方程是________．
16．已知曲线，则_____________。
17．y=x2ex的单调递增区间是
18．曲线在点处的切线方程为____________。
19．P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。
20．在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________。
　　
21．曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。
22．在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。
23．判断函数在x=0处是否可导。
24．求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。
25．求曲线y=xcosx在处的切线方程。
26．已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).
27．已知曲线与。直线l与、都相切，求直线l的方程。
28．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
29．求曲线在点处的切线方程。
30．求证方程在区间内有且仅有一个实根
31． 、、、均为正数 且
求证：
32．（1）求函数在x=1处的导数；
　　（2）求函数（a、b为常数）的导数。
　　
33．证明：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续。
34．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21））
已知函数，设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则。
八、参考答案
1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 11 B
12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1)
14．-6 15．3x+y+6=0 16．
17．(-∞,-2)与(0,+ ∞) 18．
19．2x-y-1=0 20．（2，4）
21．由导数定义求得，
　　令，则x=±1。
　　当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；
　　当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。
22．由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有
　　解得或，　　由，得；
　　由，得；　　则P（-1，1）或。
23．，
　　，
　　∵，
　　∴不存在。
∴函数f(x)在x=0处不可导。
24．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为。
　　由
　　 ，
　　得所求直线方程为
　　。
　　由点（2，0）在直线上，得，
　　再由在曲线上，得，
　　联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。
25．Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx
　　，切点为，
　　∴切线方程为：
　　即。
26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)
　　 　∴
　　=2x+a　　 =2x+c　　 ∴a=c ③
　　又知52+5a+b=30　　　　　　　 ∴5a+b=5　 ④　
　　由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5，
　　d=－g(4)=42+2×4－=23
27．解：设l与相切于点，与相切于。对，则与相切于点P的切线方程为，即。 ①
　　对，则与相切于点Q的切线方程为 ，即。 ②
　　∵ 两切线重合，∴，
　　解得或，
　　∴直线方程为y=0或y=4x-4。
28．解：
　　∴
　　
　　令x=1得
　　
29．解：，则
　　。
　　∴切线方程为　　即5x+32y-7=0。
30解：
在
∴ 在内与轴有且仅有一个交点
∴ 方程 在内仅有一解
31．证：由对称性不妨设
（1）若 显然成立
（2）若 设
∴
∵ ∴ ∴ 时
∴ ∴
32．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。
　　解（1）　　，
　　，　　∴。
　　（2）
　　 ，
　　。
　　
　　∴y′=2x+a
说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。
33．分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点处连续，必须证明，由于函数f(x)在点处可导，因此根据函数在点处可导的定义，逐步实现这个转化。
　　已知：　　求证：
　　证明：考虑，令，则，等价于△x→0，于是
　　
　　∴函数f(x)在点处连续。
说明：函数f(x)在点处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。
34．解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题意，在切线方程中令，得，
（ⅰ），
∴，当且仅当时取等成立。
（ⅱ）若，则，，且由（ⅰ），
所以。
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1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第2讲 数列问题的题型与方法
（3课时）
一、考试内容
数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
二、考试要求
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
三、复习目标
1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；
2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
四、双基透视
1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则为等差数列；
②若 ，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证 都成立。
3. 在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
五、注意事项
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
4．注意一些特殊数列的求和方法。
5．注意与之间关系的转化。如：
= ， =．
6．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
7．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
8．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。
六、范例分析
例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．
(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以
Kpp是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．
例2．已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．
当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{a}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b}的通项b=a-ka (n∈N)，数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
解：因为{a}是首项a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
a=a·q， a=a·q．
所以　　　　　　　 b=a-ka=a(q-k·q)．
T=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-k·q)=S(q-kq)．
依题意，由T＞kS，得S (q-kq)＞kS，　①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a1＞0，知a＞0，所以S＞0；
当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以S=
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S＞0总成立．
由①式可得q-kq＞k　 ②，
例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入
解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，
第n年投入800×（1－）n－1万元
所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1万元
bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］
(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0?
设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0? ∴x＜，x＞1（舍)? 即（）n＜，n≥5.?
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数，数列是首项为，公比为的等比数列，记，
求证：当时，对任意自然数都有=
解：。
记 ①
②
①+②得 ③
说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定是等差数列，等比数列。
解法一：设等差数列{a}的首项a=a，公差为d，则其通项为
根据等比数列的定义知S≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法)
解法二：
依题意，得
例7．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用表示a；
例8．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列。
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。
⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。
解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。
，
=
（3），
T中最大数.
设公差为，则，由此得
说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。
例9．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，
时，
故
（3）
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意，均有
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y轴的正半轴上依次有点其中点，且，在射线上依次有点点的坐标为（3，3），且
⑴用含的式子表示；
⑵用含的式子表示的坐标；
⑶求四边形面积的最大值。
解：（1），
（2）由（1）得
的坐标，
是以 为首项， 为公差的等差数列
（3）连接，设四边形的面积为，则
单调递减.
的最大值为.
说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比，为等差，（3）利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{a}为一等比数列，且a=4，a=16．
说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．
（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．
（Ⅱ）设数列的前项和为，试比较与的大小．
解：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得
，故是以为公比的等比数列；
（2），故只要比较与的大小．
方法（一），
当时，； 当时；
当时，．
方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有,
则当时,.
a)，…
是公差为-1的等差数列，又2a-a，2a-a，…，2a-a，…
(1)求数列{a}的通项公式；
(2)计算 (a+a+…+a)．
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a的方程组．
解：(1)设b=log(3a-a)，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log
3a-a＝2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
设c=2 a-a，{c}是等比数列，公比为q，|q|＜1，
c=2a-a=
例14．等比数列{a}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为S，自然数b，c，d，e满足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．
求证：S·S＜S·S．
分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
(证明不等式首选方法是差比较法，即作差—变形—判定符号，变形要有利于判定符号．)
be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又
同理
(要比较S·S与S·S的大小，只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法．)
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)．
(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e，寻求变形的途径，c=b+e-d，d、e出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等变形只有目标明确，变形才能有方向．)
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因为q＞0．所以q-d＞0．
(运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=qx是减函数，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0；
②当q＞1时，y=qx是增函数，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0．
所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有S·S＜S·S．
说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力．
例15．（2003年北京春季高考）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则
　所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
七、强化训练
1．设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （　　　 ）
A．4∶3 B．3∶2 C．7∶4 D．78∶71
2．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于．　　　　　　　　　　　 （　　　 ）
A．5　　　　　 B．6 C．7　　　　 D．8
3．若数列中，，且 ，则数列的通项 ．
4．设在等比数列中，求及
5．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
⑵
⑶
6．数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式
7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为
求证
（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
8．（2002年春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段的中点，…。
（I）写出与、之间的关系式（≥3）
（II）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
9．(94年全国理)设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项； (2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
八、参考答案
1．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
2．解：依题意知．数列单调递减，公差d＜0．因为
S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以　　　　　 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0
即　　　　　　　　 a4+a11=…=a7+a8=0，
故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用．
3．解：多次运用迭代，可得
4．解：，又，由以上二式得
　或；由此得或.
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。
5．解：（1），，
（2） =
又解：由题意，对一切自然数成立，
（3）是首项为
公比为的等比数列，
说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。
6．解：由可得当时，，， ，，是公比为的等比数列.　又当时，，，。
说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化。
7．（1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=
即=80%+16%=+
（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=…=
故有=，若则有即
两边同时取对数可得
故，故使得上式成立的最小为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
8．（I）解：当n≥3时，
（II）解：

.
由此推测。
证法一： 因为，且
（n≥2） 所以。
证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。
那么当时，
=式仍成立。
根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。
9．解：(1)由题意= an＞0
令n=1时，= S1=a1 解得a1=2
令n=2时有==a1+a2? 解得a2=6
令n=3时有= S3=a1+a2+a3 解得a3=10?
故该数列的前三项为2、6、10.?
(2)解法一：由(1)猜想数列｛an｝有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2 (n∈N)?
1°当n=1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.?
2°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2?
由题意有 得ak=4k-2,代入上式得2k=, 解得Sk=2k2
由题意有= Sk+1=Sk+ak+1 得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)?
整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0? 由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k?
所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2?
这就是说n=k+1时，上述结论成立.?
根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.?
解法二：由题意有，= (n∈N)? 整理得Sn=(an+2)2 ?
由此得Sn+1=(an+1+2)2 所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］?
整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0 由题意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4
即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2,公差d=4，
所以an=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)? 即通项公式an=4n-2.?
(3)令cn=bn-1,?
则cn== =
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn?
=
说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.
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7北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第10讲 参数取值问题的题型与方法
（4课时）
求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,
∴a+5>3即>a+2
上式等价于或，解得a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<54sinx+即
a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],
整理得2t24t+4a+>0,( t[1,1])恒成立。
设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即>a2.(下同)
例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于
对于任意x∈R恒成立。
不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)
不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=,
即k≤1或k≥2,-----------(4)
由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
思路1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
解1：当直线垂直于x轴时，可求得；
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则 令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，所以，
解得.结合得.
综上，.
说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则的取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念．本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以．由于在四个选择支中只有C含有，故选C．
当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．
说明 由本题可见, 0３年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．
例5．当x(1,2)时，不等式(x1)2分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,1例6．函数y=(x1)loga6xlog3a+x+1，其中在x[0,1]时函数恒正，求a的范围。
解：排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为
y=f(x)=(log32a6 log3a+1)x+1log32a, x∈[0,1].
一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。故有：
说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
例7．对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在[2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<1或x>3.
例8.设f(x)=x22ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[1,+)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.
ⅰ)当=4（a1)(a+2)<0时，即2ⅱ）当=4（a1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：
即
得3a2;
综合可得a的取值范围为[3，1]
说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例9．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
即
解得a8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10.=0,即（4+a）216=0,∴a=0或a=8.
a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合题意；
a=8时，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合题意。
∴a=8.
20. >0,即a<8或a>0时，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<4.
∴a<8
综合可得a8.
三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。
在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。
解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。
充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。
研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。
解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。
而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。
1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。
2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。
例10． 已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
解：设，则由可得：，
解之得： （1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
例11．已知，试讨论的值变化时，方程表示的曲线的形状。
解：（1）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线；
（2）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线；
（3）当时，方程化为，它表示一个单位圆；
（4）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆；
（5）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆；
（6）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的双曲线。
四、求参数的取值范围在解析几何中的应用
例12．一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？
分析：最优种植安排问题就是要求当非负变量x、y满足条件和时，总利润P达到最大，是线性规划问题。
解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得：
即
此不等式组的解为四边形区域（包括边界），这些解通常就叫做本问题的可行解，并称这个区域为问题的可行解区域。
而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y为二元函数，通常就叫做本问题的目标函数。故所求问题变为：要在此可行解区域内，找出（x，y）点，使目标函数P＝960x+420y的值为最大，这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢？观察目标函数P，我们知道：
（1） 当P等于任意常数m时，m＝960x+420y 都是－48/21的直线；
（2） 若直线l：m＝960x+420y与可行解区域相交，则对应于此直线的任一可行解，目标函数P的值皆为m；
（3） 当直线l：m＝960x+420y 即 y＝－48/21x＋m/400过可行解区域，且纵截距最大时，m有最大值，即目标函数P有最大值。
由图可知，当直线l过B点时，纵截距最大。
解方程组 得交点B（1.5,0.5）
所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。
说明：很多数学应用题都与二元一次不等式组有关，而不等式组的解答往往很多，
在各种解答中，是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢？求此类问题的解答为数学的一个重要分支——线性规划。线性规划是最优化模型中的一个重要内容，它具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点，它是现代管理科学的重要基础和手段之一。利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：
（1） 根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域；
（2） 设所求的目标函数f（x，y）为m值；
（3）将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f（x，y）＝m在y轴上截距的最大值（最小值）从而得m的最大值（最小值）。
例13．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车。今欲制造40辆甲型车和乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最小？
分析：这是一个如何安排生产才能发挥最佳效率的问题。最优工作时数的安排问题就是A、B两厂生产甲、乙两种不同型号的汽车数不得低于甲型40辆、乙型20辆时，总工时最少。
解：设A厂工作x小时，B厂生产y小时，总工作时数为T小时，则它的目标函数为
T=x＋y 且x＋3y≥40 ，2x+y≥20 ，x≥0 ，y≥0
可行解区域，而符合问题的解答为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为：要在此可行解区域内，找出格子点（x，y），使目标函数T ＝x＋y的值为最小。由图知当直线l：y＝－x＋T过Q点时，纵截距T最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点。
解方程组 得Q（4,12）为格子点，
故A厂工作4小时，B厂工作12小时，可使所费的总工作时数最少。
说明：也可以用凸多边形性质去寻找最佳解，要注意到有时符合题意的解仅限于可行解区域内的格子点，此时如果有端点并非格子点，这些点就不符合题意，不是我们要找的解；如果所有的端点都是格子点，所有的端点全符合题意，我们就可用凸多边形性质去找出最佳解。
符合本题的解仅为可行解区域内的格子点，其可行解区域的端点P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子点，都符合题意，而它们所对应的目标函数值如下表所示：
（x，y） （40,0） （4,12） （0,20）
T 40 16 20
故Q（4,12）即为所要找的点。
例14．私人办学是教育发展的方向。某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表如下（以班级为单位）：
班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元）
初中 50 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和环境等条件的限制，办学规模以20至30个班为宜。教师实行聘任制。初中、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排找生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？
解：设初中编制为x个班，高中编制为y个班。
则 （x>0,y>0,x,y∈Z）。
计年利润为s，那么s＝3x+6y-2.4x-4y，即s＝0.6x+2y
作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs＝0截距的最大值。过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出s的最大值。
联立得A（18,12）。
将x＝18，y＝12代入s＝0.6x+2y求得Smax＝34.8。
设经过n年可收回投资，则11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n＝33.5。
学校规模初中18个班级，高中12个班级，第一年初中招生6个班300人，高中招生4个班160人。从第三年开始年利润34.8万元，大约经过36年可以收回全部投资。
说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。
五、强化训练
1．（南京市2003年高三年级第一次质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”．依此规定， 能说明，，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
2．已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
3．设函数f(x)=2x-12-x-1,xR,若当0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求实数m的取值范围。
4．已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。
5．试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。
6．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调机 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力 （工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
7．某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
8．发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位
置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米）
9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
六、参考答案
1．分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关．在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则．所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）．
2．分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
3．分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msin<2m+2.
令t=sin,命题转化为不等式t22mt+(2m+1)>0,t∈[0,1]--------------------(*)
恒成立时，求实数m的取值范围。
接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间[0，1]的位置关系，分类使g(t)min>0,综合求得m>.
本题也可以用函数思想处理，将（*）化为2m(1t)>(t2+1),t∈[0,1]
⑴当t=1时，m∈R;
⑵当0≤t<1时，2m>h(t)=2[(1t)+],由函数F（u)=u+在（1，1]上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, ∴m>,综合（1）、（2）知m>。
说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。
4．分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数
y= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个
函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为6a3=160,a=;
当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为6a3=0，a=
∴a的范围为[，）。
5．解：（1）当时，方程化为，表示轴。
（2）当时，方程化为，表示轴
（3）当时，方程为标准形式：
①当时，方程化为表示以原点为圆心，为半径的圆。
②当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
③当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
④当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
⑤当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
6．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P＝6x+8y
由题意：30x+20y ≤300
5x+10y≤110
x≥0，y≥0
x、y均为整数
画图知直线 y＝－3/4x＋1/8P 过M（4,9）时，纵截距最大，这时P也取最大值Pmax＝6×4＋8×9＝96（百元）
故：当月供应量为：空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元。
7．解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）
则目标函数为S＝0.5x+0.4y
且x，y满足 ： 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ，y≥0
画图可知，直线 y＝－5/4x+5/2S
过A（13/15,14/15）时，纵截距5/2S最小，即S最小。
故每盒盒饭为13/15百克，米食14/15百克时既科学又费用最少。
8．解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米）。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。
9.解：假设围栏的边长为x米和玉米，于是由题设可知x＞0，y＞0，且
xy＝144 （1）
2x+y≤50 （2）
双曲线xy＝144在第一象线内的一支与直线2x＋y＝50的交点是A（），B（），满足条件（1）、（2）的解集是在双曲线xy＝144（），这一段上的点集（即如图中双曲线A、B之间的一段），当过双曲线A、B之间上的任一点作一点作直线2x＋y＝k（k＞0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k＞0）与双曲线xy＝144相切。这时，相应的k值最小，消去y得x的二次方程： ，从△＝0得， 即k＝24（米）所需用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A的纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即米。
所求量的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA= f（k），xB = g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
点Q的轨迹方程
利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k
将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
-1
o
x
y
4
o
x
y
4
o
x
y
x
y
o
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
x
关于x的方程有唯一解
问题
求解
转化为一元二次方程根的问题
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式
o
-20
l
l2
l1
y
图2
图1
PAGE
1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第6讲 立体几何问题的题型与方法
（4课时）
一、考试内容：9（A）直线、平面、简单几何体 考试内容
平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。
平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。
直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。
平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质。
多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。
二、考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。
（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（5）会用反证法证明简单的问题。
（6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
（9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
（10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
三、复习目标
1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．
2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．
3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．
4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
四、双基透视
高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.
1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．
2． 判定两个平面平行的方法：
（1）根据定义——证明两平面没有公共点；
（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；
（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3．两个平面平行的主要性质：
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。
4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角
θ∈(0，]，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π]．
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l－的平面角（记作）通常有以下几种方法：
(1) 根据定义；
(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝(图1)；
(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝ 或∠ACB＝－(图2)；
(4) 设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝－(图3)；
(5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积为S，F在平面内的射影图形的面积为S，则cos＝.
图 1 图 2 图 3
5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．
求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
6．棱柱的概念和性质
⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。
⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。
⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．多面体与旋转体的体积问题是《直线、平面、简单几何体》课程当中相对独立的课题．体积和面积、长度一样，都是度量问题．常用“分割与补形”，算出了这些几何体的体积．
7．欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2.
计算棱数E常见方法：
(1)E＝V+F-2；
(2)E＝各面多边形边数和的一半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半。
8．经纬度及球面距离
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。
⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。
例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。
线段AP的长 ∠AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长
9．球的表面积及体积公式
S球表=4πR2 V球=πR3
⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积, hn 为小三棱锥高），所以V球＝S球面·R＝·4πR2·R＝πR3.
⑵在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径）.
⑶球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。
10．主要题型：
⑴以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。
⑵利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。
⑶求球的体积、表面积和球面距离。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化为平面图形求解。
五、注意事项
1． 须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。
2． 与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是
指“二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间三个几何元素）间“没有公共点”时，它们间的关系均称为“互相平行”。要善于运用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。
3．注意两个平行平面的画法——直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将“平面平行于平面”，记为“∥”。
4．空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。
5．在明确“两个平行平面的公垂线”、“两个平行平面的公垂线段”、“两个平行平面的距离”的概念后，应该注意到，两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等——是唯一确定的值，且两平行平面间的公垂线段，是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，此外还须注意到，两平行平面间的距离可能化为“其中一个平面内的直线到另一个平面的距离”又可转化为“其中一个面内的一个点到另一个平面的距离。
6．三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos=来求。
7．有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。
六、范例分析
例1、⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是 （ ）
A. 或 B. >或 <
C. > D. <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.
分析与解答:
⑴ 如图1所示,易知直线上点Ａ在平面上的射影是ι上的点B,过点B作BC⊥b,
则AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.显然，AC>BC,
∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故选C.　　　　　　　　　　　　　　　　
⑵如图2所示，过空间一点O分别作∥a,∥b, ι
则所求直线即为过点O且与都成60角的直线。
∵=110，∴∴将两对对顶角的平分线绕　　　　　　　　　图１
O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成
60角的直线。故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条，
70.从而选 D. O
⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与
a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 图2
所成角都为60，如图3示，如果或 　　　　　　　　　　
则或，过 O点只有两条直线与 O
都成60角。如果=90，则，那么过点 O有四 　　　　　　　　　　　　　　　
条直线与所成角都为60。如果=60，则， 图 3
此时过点 O有三条直线与所成角都为60。其中一条
正是角的平分线.
⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面.
说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
例2、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且
(1)求证：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大小．
分析：先来看第1问，我们“倒过来”分析．如果已经证得AF⊥AC，则注意到因为AB=2AA=2a，ABC-ABC是直三棱柱，从而若设E是AB的中点，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我们能够先证明AF⊥平面ACE，则就可以证得AF⊥AC，而这由CE⊥平面AABB立得．
再来看第2问．为计算二面角C-AF-B的大小，我们需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若设G是AF与AE的中点，则∠CGE即为二面角C-AF-B的平面角，再计算△CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小．
解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，
∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；
(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，
∴， ∴，
∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。
说明：假设欲证之结论成立，“倒着”分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误．
例3、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与成45o角，与成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
以CD为轴，将平 以AB为轴，将平
面BCD旋转至与 面ABD旋转至与
平面ACD共面 平面ABC共面
图 1 图 2 图 3
解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．
为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，
∵ cosB＝＝,
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD BF cosB
＝()2＋()2 －2 ＝．
（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC DF＝CD BD可直接求得DF的长．）
在△DEF中，由余弦定理：
cos∠DEF＝＝＝.
∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos (*)
（注：这里的是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜ o≤90o， 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜ ＜180o，异面直线所成的角为180o－ .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，
从而算得 cos＝， ∴ ＝arccos.
说明：(1)解空间图形的计算问题，首先要解决定位问题（其中最基本的是确定点在直线、点在平面上的射影），其次才是定量问题．画空间图形的“平面移出图”是解决定位难的有效方法，必须熟练掌握．
(2) 解法２具有普遍意义，特别是公式(*)，常可达到简化运算的目的．
例4、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，
D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，
求二面角D－AC 1－C的大小．
解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7
∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1
∴ D为BC的中点．
过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1，
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．
连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝，CF＝.
∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin.
∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin.
例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异
面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.
解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是
以PC为斜边的直角三角形，，又M为AB的中点，
∴MN⊥AB.
（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.
设AB=a，PA=b，AD=d，则，
设PM=CM则由N为PC的中点，
∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，∴MN为
PC与AB的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。
例6、 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a,
.
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，
在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.
例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例8、 如图，在三棱锥中，平面，，，D为BC的中点.
（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；
（2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值；
（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离.
解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；
（2）设，则
解得 ，所以（舍），.
平面ABC，AB=AC，D为BC的中点
，
则是二面角S—BC—A的平面角.
在中，,
故二面角的正切值为４；
（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,
从而即A到平面SBC的距离为.
例9、如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I） 求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求二面角D—AC—B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.
解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
为二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctan
例10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。
类比性质叙述如下 ：
解：立体几何中相应地性质：
⑴从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离
之比为定值。
⑵从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面
的距离之比为定值。
⑶在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离
之比为定值。
⑷在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变。
⑸在空间，射线上任意一点到平面、、的
距离之比不变。
说明：（2）——（5）还可以有其他的答案。
例11、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）
为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：,
即,
所以母线和底面所成的角为
（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与
AC的交点，则OO1//AB且
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得
R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:
一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母
线长为1，则该几何体的体积等于 ．
例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
（2）平面∥平面SAD
即为二面角D—EF—C的平面角
中
而且
为等腰三角形，
(3)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。
例13、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
解: ∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.
例14、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
P、Q分别是线段AD1和BD上的点，
且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDDC；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.
解：（1）在平面AD内，作PP∥AD与DD交于点P，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q，连结PQ.
∵ , ∴PP1QQ .?
由四边形PQQP为平行四边形, 知PQ∥PQ，而PQ平面CDDC，
所以PQ∥平面CDDC?
（2）AD⊥平面DDCC， ∴AD⊥PQ，?又∵PQ∥PQ， ∴AD⊥PQ.?
（3）由（1）知PQ PQ,
，而棱长CD=1. ∴DQ=. 同理可求得 PD=.
在Rt△PDQ中，应用勾股定理, 立得PQ=
.?
做为本题的深化, 我们提出这样的问题： P, Q分别是BD, 上的动点,试求的最小值, 请应用函数方法计算， 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 可以得到一些启示。
如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1） 求MN的长；
（2） 当为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.
例15、（2004年北京春季高考题）如图，
四棱锥的底面是边长为1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，。
（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：如图1
图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，
又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
图2 图3
（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点
面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为
例16、在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图① 图②
解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,
.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
用导数的方法，三次函数的最值问题用导数求解最方便，不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关. 类似的问题是：
某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.
七、强化训练
1．下列命题中错误的是 （ ）
A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
B．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
C．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
D．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设α、β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，那么α∥β的一个充分条件是（ ）
A．lα，mα，且l∥β，m∥β B．lα，mβ，且l∥m
C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，那么A1E和C1F所成的角是（ ）
A．60° B．arccos C．arcsin D．45°
4．下列四个命题：
（1）如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行；
（2）直线a∥平面α，直线b∥平面α，且a、b都在平面β内，则平面α∥平面β；
（3）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角
必相等或互补；
（4）两个二面角的面分别对应平行时，它们的平面角相等或互补；
其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．从P点出发的三条射线PA、PB、PC两两成60°角，则PC与面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
6. (2004年北京春季高考)一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 （ ）
A. B. C. D.
7. (2004年北京春季高考)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A. B. C. D.
8．球面上有3个点，其中任意两点的球面积距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为 （ ）
A．4 B．2 C．2 D．
9．正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成
30°的二面角，则此截面面积为 （ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
10．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a
于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为 （ ）
A．2 B．2 C． D．2
11．如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图
上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为 （ ）
A．180° B．120° C．60° D．45°
12．如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面
AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与
底面ABCD成30°的二面角，AB=1，
则这个多面体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
13．在三棱锥A—BCD中，P、Q分别是棱AC、BD上的点，连AQ、CQ、BP、DP、PQ，
若三棱锥A—BPQ、B—CPQ、C—DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A—BCD的
体积是 （ ）
A．20 B．28 C．40 D．88
14．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥
15．已知三棱锥中，顶点在底面的射影是三角形的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱；②侧棱两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
16．若一棱台上、下底面面积分别是和，它的中截面面积是，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．两两相交的三个平面将空间分成___________个部分。
18．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为_________。
19．正四棱锥的高与底面边长都是1，侧棱与底面所成的角是，则________。
20．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_________个。
21．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是____________。
22．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_________。
23．三棱锥中，侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是，那么________。
24．直三棱柱中，，，是上的一点，则到截面的距离等于__________。
25．正四面体中，分别是的中点，那么与平面所成的角的大小为___________。
26．正三棱锥的底面边长为，侧棱，则二面角的大小是______。
27．设棱长为4的平行六面体的体积为，分别是棱
上的点，且，则三棱锥的体积_______。
28．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是___________________。（把你认为正确的序号都填上）
29．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
那么这个球面的表面积是 .
30．正三棱锥S—ABC的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45°，过顶点A作一截面交SB于D，交SC于E，则△ADE的周长的最长小值是 .
31．α，β是两个不同的平面，m , n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β； ④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .
32．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且”为真命题的是 （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
33．三棱锥中，，其余棱长均为1。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
34．直二面角中，分别是线段上的点（不包括端点），
且,。
（1）若与平面所成的角为，求的值；
（2）求函数的解析式及定义域、值域。
35. 如图，平面∩平面＝MN，
二面角A－MN－B为60o,点A∈，
　　B∈，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45o.
AC＝1,
(1) 求点A到平面的距离；
(2) 求二面角A－BC－M的大小．　 第35题图
36. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，F为BB1上的一点，BF＝BC＝2a，
FB1＝a.
(1) 若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC1；
(2) 若A1B1＝3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小．
37. 如图1，直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90o，AD＝CD＝a，AB＝2a，
将△ADC沿AC折起，使点D到D.
(1) 若二面角D－AC－B为直二面角(图2),求二面角D－BC－A的大小；
(2) 若二面角D－AC－B为60o(图3)，求三棱锥D－ABC的体积．
图1 图2 图3
38.(’85广东)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm，
它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90o,E是AB的
中点．
(1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm；
(2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小．
39．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
P—ABC所成两部分的体积比．
40．已知ABC—A1B1C1为正三棱柱，D是AC
的中点.
（Ⅰ）证明：AB1//平面DBC1；
（Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2.
①求二面角D—BC1—C的大小；
②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积.
41．在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′
矩形，C′B′⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB B′；
（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60O，求直线AC′与平面BCC′B′所成角以及三棱锥A—BB′C′的体积．
42、直三棱柱中，，，分别是棱、
上的点，且。
（1）求直三棱柱中的高及的长；
（2）动点在上移动，问在何位置时，的面积才能取得最小值。
43．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数。
八、参考答案
1-5.CCBBB； 6-10.CCBCC； 11-15.CDCDA； 16.C
17．6,7,8； 18．； 19．； 20．4个； 21．；
22．2或14； 23．7 ； 24． ； 25．；26．；
27．； 28．（2）（3）（4）（5）； 29. ； 30.
31. ①m⊥n ③n⊥β ④m⊥α②α⊥β（或②α⊥β③n⊥β④m⊥α①m⊥n）
32. ①③④
33．解：（1）取中点，∵与均为正三角形，∴，
∴平面。
（2）当平面时，三棱锥的高为，此时。
34.解：（1）作于，则平面，∴，。
，，由。
（2）函数解析式，定义域，值域.
35. (1)； (2)arctan(提示：求出点A在平面 的射影到直线BC的距离为).
36. (2) arcsin.
37. (1) 45o； (2).
38. (3) arccos.
39．解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
说明：值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误.
40．解：（Ⅰ）连结CB1交BC1于O，连结OD
（Ⅱ）①
②
41．（Ⅰ）证明　在三棱柱ABC—A′B′C′中，C′B′//CB，
∵C′B′⊥AB，∴CB⊥AB．
又四边形BCC′B′是矩形，CB⊥B′B，∴CB⊥平面A′AB B′．
而CB平面CA′B ，故平面CA′B⊥平面A′A B B′．
（Ⅱ）解　过A作AH⊥BB′于H，连C′H．
∵CB⊥平A′AB B′，CB平面BC C′B′，
∴平面BCC′B′⊥平面A′AB B′．
∴AH⊥平面BCC′B′．
∴∠AC′H为AC′与平面BCC′B′所成的角．
连结A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O，
可知△ABB′为等边三角形， AB′=AB =4，而H为BB中点，于是AH=2
在Rt△C′B′A中，
AC′=,
在Rt△AH C′中，
故直线AC′与平面BCC′B′所成的角为
又AH⊥平面BCC′B′.
∴点A到平面BCC′的距离即为AH=2.
= ．
42．答案：（1），。
（2）即当与重合时，的面积才能取得最小值。
43．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，
∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,
∵，∴,又，
∴的可能取值为，,,
当或时（1）中无整数解；
当,由（1）得,
∴, ∴，
综上可知:，，.
C
A
B
C1
C
B1
B
A
D
D1
P
C
B
A
N
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
C
D
M
N
N
M
C
B
A
M
D
C
B
A
B
P
O
α
β
γ
A
图
B
A
C
O
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25数学专题目录表
序号 题 目
1 函数问题的题型与方法
2 数列问题的题型与方法
3 不等式问题的题型与方法
4 三角问题的题型与方法
5 解析几何问题的题型与方法
6 立体几何问题的题型与方法
7 概率与统计问题的题型与方法
8 导数应用的题型与方法
9 应用问题的题型与方法
10 参数取值问题的题型与方法
11 高三数学专题辅导（1）
12 高三数学专题辅导（2）
13 高三数学专题辅导（3）
14 高三数学专题辅导（4）
15 高三数学专题辅导（5）
16 高三数学专题辅导（6）
17 高三数学专题辅导（7）
18 高三数学专题辅导（8）
19 高三数学专题辅导（9）
20 高三数学专题辅导（10）北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第4讲 三角问题的题型与方法
（3课时）
一、考试内容
角的概念的推广，弧度制； 任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：sina+cosa=1， sin a/cos a=tan a， tan a cot a=1，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=Asin(ωx+ψ)的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例。
二、考试要求
1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。
6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。
三、复习目标
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．
2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．
3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．
5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
四、双基透视
（一）三角变换公式的使用特点
1．同角三角函数关系式
(1)理解公式中“同角”的含义．
(2)明确公式成立的条件。
例如，tanα+1=secα，当且仅当≠k
(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是 sinα=tanα·cosα，
cosα=cotα·sinα．它使得“弦”可以用“切”来表示．
(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．
(5)几个常用关系式
①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)
同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式．
②． ③当时，有．
2．诱导公式
(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角．
(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．
(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．
⑷熟记关系式；．
3．两角和与差的三角函数
(1)公式不但要会正用，还要会逆用． (2)公式的变形应用要熟悉．
熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切的和与积的关系．
(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．
4．倍角公式，半角公式
(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．
如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1
(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．
对sin3α，cos3α的公式应记住．
(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正
在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，
5．和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．
(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．
(3)对下列关系式要熟记：
6．三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
7．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点．
(1)角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以
sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
r为三角形内切圆半径，p为周长之半．
在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．
(4)在△ABC中，熟记并会证明：
∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．
△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列．
8．三角形的面积公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）．
（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB．
（3）△＝＝＝．
（4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R为外接圆半径）
（5）△＝．
（6）△＝；．
（7）△＝r·s．
9．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，
tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝．
10．斜三角形中各元素间的关系:
如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC．
（4）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝a·cosC＋c·cosA，
c＝a·cosB＋c·cosA．
11．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
（1）角与角关系：A+B+C = π，
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
（3）边与角关系：
正弦定理 （R为外接圆半径）．
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．
它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．
（4）面积公式：
．
解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
（二）三角函数性质的分析
1．三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．
2．三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1．
(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
常用的一些函数的值域要熟记．
③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．
3．三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：
①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．
同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．
同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．
③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．
4．三角函数的奇偶性，单调性
研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．
5．三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．
(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx　 图象的对称中心分别为
∈Z)的直线．
五、思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
六、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等．
熟悉常数“1”的各种三角代换：
等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α · cos α ，，等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数”．是否正确．
分析：当时，，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
7.三角函数的单调性
“正切函数f (x) = tan x，是定义域上的增函数”，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
任取，，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间上，f (x ) = tan x都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
七、范例分析
例1、已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2、已知函数f(x)=tan(sinx)
（1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间；
（3）判定方程f(x)=tanπ在区间（－π，π）上解的个数。
解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ+(k∈Z)处无定义，
且 （－，）[－,]（－π, π），
∴令sinx=±，则sinx=±
解之得：x=kπ± (k∈Z)
∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}
∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足
（－，）B
∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。
设t=sinx，则当x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0, ∪(,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。
又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,
当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,
当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,
当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）
∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－，），（，单调递减区间为。
（3）由f(x)=tanπ得：
tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z）
sinx=k+(k∈Z)①
又∵－1≤sinx≤1，∴
∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx=
当k=1时，从①得方程sinx= －+
显然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。
说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。
例3 、已知函数的定义域为，值域为 [ －5，1 ]，求常数a、b的值．
解：∵ ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，
∴ 解得
当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．
∴ 解得
故a、b的值为 或
说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．
例4、设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）.
解：(1) ， ， ， 又 的最大值
， ① ， 且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
.
说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例5、已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。
解法一：令sinα+cosα=t，则sinα·cosα=
∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα·cosα+cos2α)
=t·(1－)=1，得：
t3－3t+2=0(t－1)2·(t+2)=0
∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα==0。
∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2α·cos2α=1－2·0=1
sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α·cos2α+cos4α)=1
解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α
∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1
等号当且仅当时成立，
或
∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1
说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinx·cosx=。
（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。
（3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。
例6、设f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,证明：
[ f(x1)+ f(x2)]>f()
证明:tanx1+ tanx2=+=
= ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2
∴2sin(x1+x2)>0,cosx1·cosx2>0,0从而有0∴tan x1+tanx2>=2tan
另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。
左边－右边=[tanx1+tanx2]－tan
= [tanx1－tan+tanx2－tan]
=[tan(x1－)·(1+tanx1·tan)+tan(x2－)·(1+tanx2·tan)]
=tan·(1+tanx1tan－1－tanx2·tan)
=tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan>0
又∵tan和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x10。
综上tantan·(tanx1－tanx2)>0，即[f(x1)+f(x2)]>f()
说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。
例7、如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);
（2）写出函数f(x)的取值范围。
解：（1）∵OE=1，EF=
∴∠EOF=60°
当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)
∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)－tanα]
==
当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=
∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=
综上得：f(α)=
（2）由（1）得：当α∈[0，]时
f(α)= ∈[,－1]
且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=－1；
当α∈时,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]
且当α=时，f(α) min=－；当α=时，f(α) max=
所以f(x) ∈[,]。
说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。
例8、 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例9、已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例10、设二次函数，已知不论为何实数恒有.
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 若函数的最大值为8，求的值.
(1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立.
， 即 .
（2）， ， ， .
（3）由题意可知： ，
①， ② ，
由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 .
说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。
例11、已知函数
（1） 求函数y的最大值，并求此时x的值.
（2） 该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1） ，
；
（2）将函数的图象依次进行如下变换：
① 把函数的图象向左平移，得到函数的图象；
② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数
的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数+的图象；
综上得函数的图象.
说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。
例12、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）.
解：如图，，设，则
，
，
，
，
当，即时，
达到最大值，是锐角，最大时，
也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为米.
说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离AD应使视角达到最大。合理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。
例13、平面直角坐标系有点
（1） 求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
（2） 求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
例14、已知：定义在上的减函数，使得对一切实数均成立，求实数的范围.
解：由题意可得 ，
即 ，
又 ，
，
， ，
， 或 .
说明：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域。
七、强化训练
1．（2003 江苏）已知x(,0),cosx=,则tan2x = ------------------------------( )
A. B. C. D.
2．（2003北京春季）在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求 的值.
3．（2003北京）已知函数
（1） 求f(x)的最小正周期;
（2） 若x[0, ],求f(x)的最大值，最小值.
4、（2002江苏）在内，使成立的取值范围为-----------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、（2002上海）函数的大致图象是----------------------（ ）
y y y y
π π π
-π
o π x -π o π x -π o π x -π o π x
-π -π -π
(A) (B) (C) (D)
6、（2002北京）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是---------------------------------------------------（ ）
(A) y
(B)
(C) 0 1 2 3 x
(D)
7、已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（ ）
A.若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B.若α、β是第二象限，则tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
8、下列命题中正确的是（ ）
A.y=tanx是增函数 B.y=sinx在第一象限是增函数
C.y=－arccosx是奇函数 D.y=sinx的反函数是y=arcsinx
9、函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin2x的图像（ ）
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
10、要得到函数的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象( )
A. 沿x轴向左平移单位 B. 沿x轴向右平移单位
C. 沿x轴向左平移单位 D. 沿x轴向右平移单位
11、图04是函数y =2 sin (ωx＋φ)（）的图象．则ω、φ的值是（　　　）
A．， B．，
C．， D．，
12、△ABC中，若∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，则cos2A+cos2C的取值范围是______．
13、，，求tan x的值．
14、（1）已知sin(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α；
（2）已知 cos(x+)=,π15、某观测站C在城A的南20 西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40 东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
16、△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c顺序成等差数列，且∠A-∠C=120°，求sinA，sinC．
17、如图03，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB = AC = a ，侧棱长均为2a，问BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少？
18、已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有
成立，求△ABC面积S的最大值．
八、参考答案
1. D
2. ，
得 ，
.
3. ，
（1）； (2) ， ， ，
， 此时 ， ， 此时 .
4. C 5.C 6.B.
7、当α，β∈（0，）时，由sinα>sinβ得α>β，此时cosαsinβ得,α<β，此时tanαsinβ得，α<β，此时cosαsinβsin2αcos2βtanβ。故答案选D。
8、y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x∈[－,]的反函数；令f(x)= －arccosx,则f(－x)= － arccos(－x)=arccosx－= －f(x)所以y=－arccosx是奇函数。故答案选C。
9、y=sin2x图像向左平移单位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x图像，向右平移 单位后得y=sin2(x－)=sin(2x－);y=sin2x图象向左平移单位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x－);y=sin2x图像向右平移单位后得：y=sin2(x－)=sin(2x－)=sin(2x+)，故答案选D。
10、分析：我们知道，当a＞0时，把函数y = f (x)的图象沿x轴向右移a个单位，便得到函数y = f (x－a) 的图象，把函数f (x)的图象沿x轴向左平移a个单位，便得到函数
y = f (x＋a) 的图象．本题中与y = 3 sin 2x的对应法则不同，应当把它们变为“y = f (x)与y = f (x＋a)”的形式后，再讨论平移关系．因为我们关心的是对函数
y = 3 sin 2x的图象平移，所以要把变形，变到y = 3 sin (2x＋φ)的形式．
由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x轴向右平移，就得到正弦曲线，即是（这与诱导公式的结论是一致的）．利用这个关系，可以得到：
．
问题成为：把函数y = 3 sin 2x的图象沿x轴进行怎样的平移，可以得到函数
的图象？
如果y = 3 sin 2x = f (x)，那么．可见，把函数y = 3 sin 2x的图象向左移个单位后，可得到函数的图象，即得到函数的图象．因此选A．
说明：这个题目有两点值得注意：一是函数y = f (x)的图象与函数y = f (x＋a)的图象的平移关系（平移方向，平移量）；二是对法则“f ”的理解．只有把两个函数整理成f (x)与
f (x＋a)的形式后，才可讨论它们沿x轴的平移问题．例如“把函数y = － tan x的图象沿x轴进行怎样的平移，就可得到函数的图象”的问题．就应该考虑y =－tan x与这两个函数．它们是y = f (x)与的关系．可见，只要把函数y =－tan x的图象沿x轴右移个单位，就能得到函数的图象．
11、分析：图04给我们提供的“信息”是：
（1）点 (0，1 )、在图象上；
（2）函数的最小正周期．
可见：
∵ ，由2sin φ = 1得 ，
由 ，得
∴ ．
由 ，得 ．
满足时，k = 1或k = 2．由此得到，．分析到这里，只否定了B、D．为选出正确答案，关键在于确定及中哪个符合题意．为此，还要仔细地从图04中“挖掘”出有用的“信息”．
注意到，即，因此．这样就排除了．
根据以上分析知，应选C．
说明：因为函数y = A sin (ωx＋φ)是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了ω＞0，的条件，但是仅靠(0，1 )、，两点，能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．
12、分析：因为∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，所以2B=∠A+∠C，
∠B=60°，∠A+∠C=120°．
对cos2A+cos2C用降幂变形，得
13、分析与解：跨越了四个象限，如果角x真能落在各象限内，那么tan x值的符号就有正有负．为便于求出tan x的值，不妨先“审查”一下角x的实际范围．
根据正弦曲线和余弦曲线；当时，sin x＜0，cos x＜0，与 矛盾．可见，角x的终边不在第三象限．
当角x在第一象限时，sin x＞0，cos x＞0，这时有，又与矛盾．可 见角x的终边不会位于．
如果．由余弦曲线知：，
由正弦曲线知：，
这时 ，
可见 ．
如果，由正弦曲线及余弦曲线知，，这时，可见．
根据以上分析可以看出：满足的角，根据正切曲线知
tan x＜－1．
由 ，等式两端平方得：
即：，
，
整理得：12 tan 2 x＋25 tan x＋12 = 0．
解之得：或 ．
注意到 tan x＜－1
∴ ．
说明：有些三角函数的题目，为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊值”的区分能力，常把已知条件中的区间给“大”．这时往往先要进行“缩小”区间的工作．
14、解 （1）∵α++－α=
∴sin(－α)=cos(+α)
∴sin(+α)·sin(－α)=sin(+α)·cos(+α)
=sin(+2α)= cos2α=
又∵π<2α<2π,cos2α=,∴sin2α= －
∴sin4α=2sin2α·cos2α= －
本题也可以这样解：
sin(+α)·sin(－α)=（sinα+cosα）(cosα－sinα)= cos2α－sin2α=cos2α=
也可以用积化和差公式：
sin(+α)·sin(－α)= (cos2α－cos)= cos2α=
（2）法一:由x+∈(π,2π)知sin(x+)= －
∴cosx=cos(x+－)=cos(x+)·cos+sin(x+)·sin=－= －
由cosx<0可知，sinx= －,tanα=7
∴原式== －
法二：原式=
=
=－cos(2x+)tan(x+)
=[1－2cos2(x+)]tan(x+)
而cos(x+)=,tan(x+)= －，代入得：原式= －
注 三角函数求值，重视与角的关系，如+x与－x互余（广义）,2α=α+β+α－β等。
15、解：根据题意得图02，
其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，
∠CAB=60 ．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．
在△CDB中，由余弦定理得：
，
．
．
在△ACD中，由正弦定理得：
．
此人还得走15千米到达A城．
说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
16、解：因为2b=a+c，由正弦定理得
17、分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是△ABC的外心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值．
解：作PO⊥底面ABC，垂足为O．
由PA = PB = PC = 2a，知O为△ABC的外心．
∵ AB = AC = a ，
∴ O落在底面ABC的高AD上．
设∠ABC = θ，连结BO，
则BO为△ABC外接圆的半径．
记BO = R，由正弦定理，有 ，
∵ BD = a cosθ，AD = a sin
．
∴当时，．
此时，．
在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时．常用的公式有：
（1）在△ABC中，A + B + C = π，，，
，， ．
（2）正余弦定理及其变式：
如a = 2R sinA ，b2 + c2－a2 =2b c cosA ．
射影定理：a = b cosC + c cosB ．
（3）三角形面积公式：
（其中，r为三角形内切圆半径）．
18、解：由已知条件得
．
即有 ，
又
∴ ．∴
．
所以当A = B时，．
说明：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．
D
C
B
A
1.2 m
2 m
1 m
D
C
B
A
1.2 m
2 m
1 m
π
PAGE
1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第9讲 应用问题的题型与方法
（4课时）
1、 考试内容
《2004年普通高等学校招生全国统一考试数学科说明（理科、新课程版）》中指出：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力.
二、考试要求
“考试说明”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流.
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解.
三、复习目标
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复课时引起重视.
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.
四、双基透视
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型， 另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化， 紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：
1．函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
2．不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.
4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中 A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.
5．数列：能运用公式解决简单的问题.
6．直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.
7．圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.
8．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.
9．排列、组合、二项式定理：
⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；
⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.
⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
　 ⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用．
10．概率：
⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；
⑵了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
⑶了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
⑷会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
11．概率与统计：
⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；
⑷会用样本频率分布去估计总体分布；
⑸了解正态分布的意义及主要性质；
⑹了解假设检验的基本思想；
⑺会根据样本的特征数估计总体；
⑻了解线性回归的方法.
12．极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；
五、注意事项
对应用题，要求能阅读、理解陈述的材料，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题.并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.
在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型.此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型.
六、范例分析
例1．（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.
解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P .
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.
A
M C D B
例2．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
解: 引入字母，转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.
.
，于是
即 .
.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.
说明：上述解法中提炼的模型， 使我们联想到了课本典型习题：
已知数列的项满足
（其中），
证明这个数列的通项公式是：
这是一个重要的数列模型，用此模型可以解决许多实际应用题， 如2002年全国高考解答题中的应用题(下文例14)就属此类模型.
例3．（1991年上海高考题）已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.
解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例4．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中
在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中
sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时.
解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，
则
设N（x0，y0），
又B（p，0），∴直线BC的方程为：
由得C的纵坐标
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.
例5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
解：（1）当，是增函数，且；，是减函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.
（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
当时，；当，
（3）令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
例6．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：
y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
当当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
2.二次函数、指数函数以及函数（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握.
3.要能熟练地处理分段函数问题.
例7．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.
解: 引入字母， 构建等差数列和不等式模型.
由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…， a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且
，化简可得.
解得.
可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.
说明：对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题， 一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具， 这要求不断的联想， 力求寻找恰当的解题方案.
例8．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
解: 不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言， 进而想法建立数学模型.
设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时， 人可以追上小船.
例9．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风
的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依题意得 .
（2）由 ， 得
，
当且仅当时等号成立.，
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.
说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.
例11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运
用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三镇距离
的平方和为
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
函数的图象如图，因此，
当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线
MA的反向延长线上，记P为P2，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
例12．据气象台预报，在A市正东方向300公里的B处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，台风将影响A市，持续时间有多长？
分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。视A市为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系XOY，则B处的坐标（300,0），圆A的方程为x2＋y2＝2502，易知当台风中心在圆A上或内部时，台风将影响A市。
解：建立如图所示的直角坐标系，台风中心运动的轨迹是一条射线，由于台风中心以每小时40公里的速度向西北方向移动，于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：
x＝300+40tcos135o 即 x＝300-20t
y＝40tsin135o （t≥0） y＝20t （t≥0）
其中，参数t的物理意义是时间（小时），于是问题转化为“当时间t在何范围时，台风中心在圆A的内部或边界上”。
台风中心C（300-20t，20t）在圆A上或内部的充要条件是：
（300-20t）2＋（20t ）2≤2502 ，解得1.9≤t≤8.6
所以大约2小时后，A市将受到台风影响，并持续6.5小时左右。
说明：这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。
例13．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解：设裁员人，可获得的经济效益为万元，则
=
依题意 ≥， ∴0<≤.
又140<<420， 70<<210.
(1)当0<≤，即70<≤140时， ， 取到最大值；
(2)当>，即140<<210时， ， 取到最大值；
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
说明：在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
例14．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类20））
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B
队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因为ξ+η=3，所以
例15．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得
，
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例16．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工19））某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
分析：本题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
（II）当时，
当时，
当时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当时，；当时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元.
例17．有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式
g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0)，其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
解（1）∵g(t)为常数， 有g(0)-=0， ∴g(0)= .
(2) 我们易证得0g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e
=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］，
∵g(0)·<0，t1e， ∴g(t1)故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
七、强化训练
1. (1994年全国高考)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ ）
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
2. (1993年全国高考)圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是（ ）
A. ()π B. ()π C. ()π D. 2()π
3．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类））从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
5．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类））某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工））两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）
A. B. C. D.
7．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工））在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是 （ ）
A. B. C. D.
8．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工））期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
9．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类））将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .
10．(1982年全国高考)如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为_______时，场地面积最大，最大面积是_________.
11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类））某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.
12．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷
理工农医类））某城市在中心广场建造一个花圃，花
圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，
每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不
同的栽种方法有 .（以数字作答）
13. (1993年全国高考)在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______.(精确到0.1m)
14．(1986年全国高考)甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有_______种承包方式.
15．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工））据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨.由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨.
16．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有 个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
17．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.
18．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷)
如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第
_____行中从左至右第14与第15个数的比为.
19．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷)
在等差数列中，当时，
必定是常数数列.然而在等比数列中，对某
些正整数、，当时，非常数数
列的一个例子是____________.
20．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农 医类)）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
21． 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
22．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
23．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‰) 商业性贷款月利率(‰)
……1112131415…… ……4.3654.4554.5454.6354.725…… ……5.0255.0255.0255.0255.025……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还 清；那么他家在这个月的还款总数是多少
(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
24．假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往B地，已知AC＝10km，BC＝30km，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C点多远处？
25．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，
第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，
才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
已知：lg2=0.3010．
26.（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷19)
某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？
27．某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市， 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
28．A、B两个批发市场，商品批发价格相同，但在某地区的居民从两地运回商品时，每单位距离的运费不同，A地的运费是B地的两倍，已知A、B两地相距100公里。问：A、B两批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利？
八、参考答案
1－5 BACBC； 6－8 CCB 9.
2．解：V＝πr＝πr(－2r)≤π()
10．解：设长x，面积S＝x×≤()，答案：长为，最大面积；
11. 6，30，10；
12. 120；
分析与解：在解本题时，需要利用分类计数原理和分步计数原理，对6个部分逐个讨论：
（1）先种标号为1的部分，共4种不同的种法；
（2）栽种标号为2 、3、5的部分，
①若5与2或3同色，则对于标号为2、3、5的部分有种不同的栽种方法，如果5与2同色，则4有1种栽种的方法，6有2种不同的栽种方法；如果5与3同色，则4有2种不同的栽种的方法，6有1中栽种方法．
②若5与2和3均不同色，则对于标号为2、3、5的部分有种不同的栽种方法，则标号为4和6的部分分别有1种不同的栽种方法．
所以，共有种不同的栽种方法．
说明：本题考查了分类计数原理和分步计数原理、排列组合的有关知识以及运用数学知识解决问题的能力，具有较高的难度，本题的得分率低于0.1．其实这道题与下面的一道题这样一道、绝大多数考生见过的原型的基础上改造而成的。
13. 由＝tg60°得h＝10≈17.3；
14. CCC＝1680. 15. ， ； 16.；
17.； 18. 34；
19.1，，与同为奇数或偶数； 20．72；
21．解: 想想看， 需要引入哪些字母 怎样建构数学模型
设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为
[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·元，从而
（元）
当且仅当 ， n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时， 最少总费用为1000A元.
22．解:（1）安全负荷为正常数） 翻转
，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
，当且仅当，即取，
取时，u最大， 即安全负荷最大.
说明：三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解， 学过导数知识， 其解法就更为方便， 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.
23.解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
　　第1月末欠款数　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款数　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款数　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款数　
得：
　　对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．
说明：本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.
24．分析：设∠ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等.
解：设∠ADC＝α，则AD＝，BD＝30－10cotα，
设水路每km的运费为1，则运费y＝(30－10cotα)＋2×
＝10(3－＋)＝10(3＋)
设t＝，即t×sinα＋cosα＝2，有sin(α＋θ)＝2，
∴≥2即t≥.
当t＝时，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1，
∴ sin(α＋30°)＝1，即α＝60°.
∴ CD＝10cotα＝km
综上所述，D点应选在距C点km时运费最少.
说明：作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型.
25．解：（1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为， 则由
两边取对数得 n27.5，
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为，
由题意≤108，两边取对数得
，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
说明：本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.
26.解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中
则在2010年应该投入的电力型公交车为（辆）.
(2)记，依据题意，得.
于是（辆），即，
则有因此.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
27．解: 题中已知了字母， 只需要建立不等式和函数模型进行求解.
由于又
则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时， z有最大值38，
∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
说明：视这是整体思维的具体体现， 其中的换元法是数学解题的常用方法.
28．分析与解：因为选择从A或B进货的标准应该是包括运费在内的总费用比较便宜，因此在A、B两个批发市场的售货区域分界线上，到两地进货的费用应该相等，由于商品价格一致，于是只要运费相等就使附近居民获利。设M为分界线上任意一点，从B市场运往M的单位运费未能a，则有于是，从而知点M具有特殊性质，即M到两定点A、B的距离之比为定值1/2，这样问题就转化为“求到两定点A、B距离之比为定值1/2的点M的轨迹方程”。
以A、B两地距离的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A、B的坐标分别（－50,0）、（50,0），设M（x，y），由距离公式：化简整理得： , 所以售货区域分界线应是以（－250/3,0）为圆心200/3为半径的圆。由于,所以在该圆上的居民从A或B市场进货均可以，因为进货总费用一样，而圆内的居民则从A市场进货较便宜，圆外的居民从B市场进货较合算。
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
l
d
a
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
天数t 病毒细胞总数N
1234567… 1248163264…
图1
PAGE
27713400 陕西永寿县中学 安振平 zpan1@ 13152325633 0910—7667327 (0)
第三讲 三角函数
陕西特级教师 安振平
高考风向标
主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．
典型题选讲
例1 （1）已知：
（2）已知：的值.
点评　三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上
　　　　　
例2 已知电流I与时间t的关系式为．
（１）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
讲解　本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A＝300．
设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．
∴ ω＝＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴ ＝．
故所求的解析式为．
（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943．
点评　　本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．
例３　已知函数.
（１）求实数a，b的值；
（２）求函数的最大值及取得最大值时x的值.
（１）函数
讲解　学会翻译，逐步展开解题思维．
时，函数f(x)的最大值为12.
点评　结论是历年高考命题的热点之一．
例4 已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.
讲解 解题目标中含有角，可向角转化，以便出现；而条件中的可向转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上
原式＝
　　　　　＝
　　　　　 ＝　，
由　　　tan2θ＝，
解得　　　tanθ＝－或tanθ＝，
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，
∴tanθ＝－ ，
∴原式＝＝3＋2．
点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路.
例５ 在中，，，，求的值和的面积．
讲解　本题是２００４年北京高考试题，下面给出两种解法．
法一　先解三角方程，求出角A的值．
又,
.
法二　由计算它的对偶关系式的值．
①
,
. ②
　 ①　+　②　得　　.
　 ①　－　②　得　　.
从而　．以下解法略去．
点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
例６　设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.
（１）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
讲解　（１）依题设可知，函数的解析式为
f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程
sin(2 x +)=－．　
∵-≤x≤，
∴-≤2x+≤，
∴2x+=-，即x=-．
（２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（１）得 f(x)=2sin2(x+)+1.
∵|m|<，∴，
点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．
例７　已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围．
讲解　（1）设①
与夹角为，有·=||·||·，②
由①②解得
（2）由垂直知，
由2B=A+C 知B= ，A+C=
若
点评　本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你反思：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的．
例８　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，表示S1和S2；
（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．
讲解　（１）∵
∴
设正方形边长为x.
则BQ=
（２）当固定，变化时，
令
令 任取，且，
．
，
是减函数．
取最小值，此时
点评　三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？
针对性演练
1. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 已知，且，则　　　　　　　　　（　　）
(A) (B) (C) (D)
3. 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得
∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.
（A）20 （B）20 （C）40 （D）20
4. 设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5. 已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
（A） （B）3 或
（C） （D）或
6. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：
①A=10；　　　②；　　　③；　　　　④k=5．
则其中所有正确结论的序号是 ．
7. 求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间．
8. 求函数的最小正周期、最大值和最小值．
9. 已知α为锐角,且求的值．
10. 已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值．
11. ．
12. 已知的值．
参考答案：
１．C. 2．A. ３．D.　４．A. ５．C.　６．①②④．
7．
故该函数的最小正周期是；最小值是－2；单增区间是[]，．
8．　
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.
9．　原式=
因为时,
所以 原式=
因为α为锐角,由得
所以 原式=
10．由已知.
从而
.
11．由
于是
12．由已知得：
．
由已知条件可知
从而 有
，得PAGE
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数学专题（七）
直线、平面、简单几何体
陕西 安振平
高考风向标
本讲高考的知识点是：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质．多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球．在高考命题时，一般呈现一道解答试题和两到选择、填空题．其热点内容是有关垂直的推理证明和角、体积等的计算问题。
典型题选讲
例1 已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积．
讲解 （1）连结AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，
即.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即．，
又∵M是AB的中点，
．
（2）为了求二面角P—CD—A的大小，需要
先作出它的平面角．
由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC，
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成
二面角的平面角．由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DN⊥PC．
又∵平面MND⊥平面PCD于ND， ∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，而N是PC中点，则必有PM=MC． ．
此时，即二面角P—CD—A的大小为．
（３）关于体积的计算，需要转换角度看问题，事实上，我们容易知道：，连结BD交AC于O，连结NO，则，， 且NO⊥平面AMD，由PA=a，．
点评　　需要指出的是，题（１）也可应用三垂线定理来证明，请读者自己去思考，并写出具体的解题过程．
例2矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线BD将矩形折 成二面角A-BD-C．
（1） 若二面角A-BD-C的大小为60 ，求A、C两点间的距离；
（2） 当三棱锥A-BCD体积最大时，求AC与
BD所成的角（若为非特殊角，限用反正切表示）．
讲解 （1）过A作AE⊥BD，垂足为E；过C
作CF⊥BD，垂足为F；过F在平面ABD内作
FHAE，连结AH、HC．
∵FHAE，∴四边形AEFH为平行四边形．
∴AHEF．∵AE⊥BD，HF∥AE，∴HF⊥BD．
又FC⊥BD，故∠HFC就是二面角A-BD-C的平面角，．
在Rt△BAD中，，，，．
∵EF⊥平面HFC，AH∥EF，∴AH⊥平面HFC，∴AH⊥HC．
在Rt△AHC中，，，
为所求．
（2），因为定值，故当h取得最大值时，最大，即当二面角A-BD-C的大小为时，最大．
由（1）知，AH∥BD，故∠HAC就是AC与BD所成的角．
在Rt△AHC中，，，
故AC与BD所成的角为．
点评　和第（２）题的一个类似的问题是：已知正方形
ABCD沿它的对角线ＡＣ折叠以后，得到的四面体的体积最大时，求直线AB和平面 CDA的所成的角的大小．
例３　如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（１）求证：AM⊥PD；
（２）求二面角P—AM—N的大小；
（３）求直线CD与平面AMN所成角的大小．
讲解（１）∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD
∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD.
（２）∵AM⊥平面PCD（已证）.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角．
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.
在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=
由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.
即二面角P—AM—N的大小为.
（３）延长NM，CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.
∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中，
∴CD与平面AMN所成的角的大小为．
点评　为了计算角的大小，需要先作出角的平面角，然后放到三角形里去计算就行了．这既需要推理，也需要计算．不是特殊角时，请用反三角函数表示角．
例4 四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.
（１）求异面直线PA与CD所成的角；
（２）求证：PC∥平面EBD；
（３）求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）.
讲解（１）∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD.
在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6．
取BC的中点F，连结PF，则AF//CD，所以，异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF．在△PAF中，
（２）连结AC交BD于G，连结EG，
（３）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.
又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.
作AE⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE，
∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.
点评　等面积法与等体积法，在立体几何的计算问题中，有时是有用的，关于这一点，还请读者多多留意．事实上，记住一些有用的解题的小结论、小技巧，也许对提高解题的速度是有较大的帮助的．
例5如图，正四棱锥P—ABCD中，AB=2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为60°.
（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得AE⊥PC，若存在，试确定点E的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由.
讲解（1）如图O为底面ABCD的中心
则∠PAO为PA与底面所成的角，∴∠PAO=60°
∵ ∴
过O作OM⊥BC于M，连PM由三垂线定理得BC⊥PM
∴∠PMO为侧面与底面所成二面角平面角．
∵OM=1，PO=
（2）如图，建立空间直角坐标系，
　　点评　空间向量是B种教材要求的内容，它是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，应当紧扣课本，适度控制问题难度．
例6 如图，将长，宽的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱，如图所示：
（１）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
（２）求三棱锥的体积．
讲解（１）依题意知，三棱柱是正三棱柱，且侧棱，底面边长为，BP=1，CQ=2.
延长QP交BC延长线于点E，连AE.
在△ACE中， ，，∠ACE=60°，于是AE=3.
过C作CF⊥AE于F，连QF.
则∠QFC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角.
, 于是.
即平面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为．
（２）连，的面积为，点Q到平面的距离为,
∴
点评　本题是２００４年咸阳市高三数学模考试题，在解答此题时，请读者注意，折迭的过程当中，哪些量是不变的，哪些量是变化的．与微细的地方发现问题的本质所在．
针对性演练
1. 选择题
１．下列命题中，正确的是（　　）．
Ａ．若直线a 平行于平面内的一条直线b , 则 a //
Ｂ．若直线a垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则a⊥b
Ｃ．若直线a垂直于平面,　直线b是平面的斜线，则a与b是异面直线
Ｄ．若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥
２．在正方体中，面对角线与（　　）．
A. １０条 B. ８条 C. ６条 D.４条
３．如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）.
A. 61cm B.cm
C. cm D.cm
４．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）.
A． B． C． D．
５．如图，矩形ABCD中,AB=3, BC = 4 , 沿对角线ＢＤ将 ⊿ＡＢＤ折起，使Ａ点在内的
射影落在BC边上,若二面角C—AB—D的平面角大小为，
则sin的值等于（ ）.
A . 　　　 B.
C . 　　　 D.
６．一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为，且四面体的四个顶点在一个球面上．则这个球的表面积为（　　）．
Ａ．１６　　　　Ｂ．３２　　　　　Ｃ．３６　　　　　Ｄ．６４
７． 一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为 ( ).
A. B. C. D.
８．在空间直角坐标系Ｏ－xyz中，有一个平面多变形，它在xOy平面上的射影的面积８，在yOz 平面和在zOx平面的正射影的面积都是６，则这个多边形的面积为（　　）．
Ａ．　　　　Ｂ．２　　　Ｃ．　　　　Ｄ．２
９．如图, 在三棱锥P－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝、Ｅ分别是ＢＣ、ＡＢ的中点，ＡＣ>AD,设PC与DE 所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角P－ＢＣ－Ａ的平面角为，则的大小关系是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．　　　　　　　Ｂ．
Ｃ．　　　　　　　Ｄ．
１０．已知二面PB
= 4 ,设Ａ、Ｂ到二面角的距离分别为x,y 当变化时，点（x , y ）的轨迹是下列图形中的（　　）．
二、填空题
１１． 在正方体ABCD－中,O是底面ABCD的中心,E、F、G、H分别是棱、
的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面 .(截面以给定的字母标识, 不必写出全部符合条件的截面 ).
１２．如图把边长为a 的正六边形薄铁板剪去相同的６个角后，用剩余部分做成一个形如正六棱柱的无盖盒子（不计接缝），那么这个盒子的最大容积是　　　　　　
１３．在三棱锥P—ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，则侧棱PA与侧面PBC所成的角的大小是 .
１４． 一个立方体的六个面上分别标有A、C、D、E、F，下图是此立方体的的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是 .
１５．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体．则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积3a2；⑤体积为．以上结论正确的是___________(写出所有正确结论的序号）
三、解答题
１６. 在长方体中，，，O为对角线的中点.
（1）求OD与底面ABCD所成的角的大小；
（2）P为AB上一动点，当P在何处时，平面平面 并证明你的结论.
１７．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，E是AC中点.
（1）求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）求证：AB1//平面BEC1；
（3）若，求二面角E—BC1—C的大小.
１８． 如图，已知面，于D，.
（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？
１９．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α（0<α<）．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD.
（1）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（2）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积；
（3）当点B′在平面ACD内的射影为线段CD的中点时，
求异面直线AD与B′C所成角的大小．
２０．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于
母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的
抛物线．
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
参考答案
1、 选择题
１．Ｄ　２．Ｂ　３．Ａ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ａ７．Ｂ　８．Ｄ　９．Ａ　１０．Ｄ
二、　　填空题
１１．面GDB (或)１２．．１３．１４．Ｂ．
１５．①②⑤.
三、解答题
１６. ，，
，即，故OD与底面所成的角为．
（2），．
又 O为的中点，，于是当P为AB的中点时， ，
从而，平面POD.
又平面， 平面POD平面．
１７．（1）∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1.
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1.
又∴BE平面BEC1
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1.
（２）连B1C，设BC1∩B1C=D. ∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，
∴BCC1B1是矩形，D是B1C的中点. ∵E是AC的中点，
∴AB1//DE. ∵DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1//平面BEC1.
（３）作CF⊥BC1于F，FG⊥BC1于G；连CG. ∵平面BEC1⊥平面ACC1A，
∴CF⊥平面BEC1． ∴FG是CG在平面BEC1上的射影.
根据三垂线定理得，CG⊥BC1. ∴∠CGF是二面角E—BC1—C的平面角.
设 在Rt△ECC1中，CF=
在Rt△BCC1中，CG= 在Rt△CFG中，
二面角E—BC1—C的大小是．
１８． （1）为寻求与的关系，首先可以将转化为.
∵ 面，于D，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为在面上的射影，
∴ ，即，
∴ ．
即的最大值为，等号当且仅当时取得．
（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得，
，
令，解得：，与交集非空，
∴ 满足条件的点Q存在．
１９． （１）作于E. ∵平面，∴.
∴的长为点到平面ACD的距离 ．
（２）∵ ∴CE为在平面ACD内的射影.
又，∴AD⊥CD（CE）
∵AD=BC=1，∠ACB=90°
∴D为AB的中点，且
∴， ∴
（３）∵E为CD的中点，且，
．
作CF//DA，并作EF⊥CF于F，连接，则为与AD所成的角.
在Rt△FCE中，，
∴
∵，EF⊥CF　∴，∴
∴ 即B’C与AD所成的角为
２０．（1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：，即，
所以母线和底面所成的角为．
（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得
R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p．
∴圆锥的全面积为．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
_
C
_
)
A
(
_
D
_
　
A
_
B
ｏ
ｙ
３
３
３
３
ｏ
ｏ
ｏ
ｘ
ｘ
ｘ
ｙ
ｙ
ｙ
Ａ
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
A
B
C
D
E
C
D
C
B
A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第5讲 解析几何问题的题型与方法
（4课时）
1、 考试内容
（一）直线和圆的方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。
两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。
用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。
曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程
椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。
双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。
二、考试要求
(一)直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标
1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
四、双基透视
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。
(一)直线的方程
1.点斜式：；2. 截距式：；
3.两点式：；4. 截距式：；
5.一般式：，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线：=+，直线：=+，则
∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.
(三)线性规划问题
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.
2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
3.线性规划问题一般用图解法.
(四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.
2.圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（，），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，）；
当＜0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
（θ为参数）
（θ为参数）
(四)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.
2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(五)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
(六)椭圆的参数方程
椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(七)双曲线及其标准方程
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(八)双曲线的简单几何性质
1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.
在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(九)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
(十)轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.
五、注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在.
⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.
⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
六、范例分析
例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于，交y轴于由，得，代入①得所求直线的方程为：
解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直线l 的方程为
说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。
例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例3、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.
可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得
x≤10，
y≤5，
x+y≤11，
48x+56y≥60，
x，y∈N，
且z=350x+400y.
x≤10，
y≤5，
即 x+y≤11，
6x+7y≥55，
x，y∈N，
作出可行域，作直线：350x+400y=0，即7x+8y=0.
作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A（，5）不是最优解.
为求出最优解，必须进行定量分析.
因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小.
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.
例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0(1)写出直线的方程；
（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
解: (1 ) 显然, 于是 直线的方程为；
（2）由方程组 解出 、；
（3）, .
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗
例6、设P是圆M：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。
解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：
(x+yi)·i=-y+xi，即S(-y, x)
∴
其中可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为最小值为，则
|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为
例7、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
例8、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.（1）求证：;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
解: （1）易求得抛物线的焦点.
若l⊥x轴，则l的方程为.
若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得 .
综上可知 .
（2）设，则CD的垂直平分线的方程为
假设过F，则整理得
，.
这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。
例9、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴，
，点M到椭圆左准线的距离
，∴，∴，∴或，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。
例10、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。
解：（Ⅰ）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又
故a=3， ∴所求的椭圆方程为
（Ⅱ）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2
又设A
由 得
① ②
∵点M坐标为M（0，2） ∴
由∴
∴代入①、②得… ③ ④
由③、④ 得 ∴
∴线段AB所在直线的方程为：。
说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。
另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。
例11、已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程 得
化简后，得关于的一元二次方程
于是其判别式
由已知，得△=0．即 ①
在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．
说明：方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗
例12、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例13、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：
把代入椭圆方程得：，即
，，
∴，此时
令直线的倾角为，则
即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。
例14、（2003年江苏高考题）已知常数，向量
经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
解：∵=（1，0），=（0，a）， ∴+λ=（λ，a）， －2λ=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点的坐标满足方程.
整理得 ……①
因为所以得：
（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；
（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.
说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。
例15、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
例16、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，，求直线和椭圆C的方程。
解： 椭圆离心率为，，
所以椭圆方程为，设方程为：，
由消去得
……（1） ……（2）
所以
而
所以
所以……（3）又，， 从而……（4） 由（1）（2）（4）得……（5）
由（3）（5）解得， 适合，
所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为
说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。
例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
解法一：（1）设, 对 由余弦定理, 得
， 解出
（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为………………①
椭圆方程为
由 得 .
于是椭圆方程可转化为 ………………②
将①代入②，消去得 ,
整理为的一元二次方程，得 .
则x1、x2是上述方程的两根．且
，
，
AB边上的高
ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得
由①②知S的最大值为 由题意得=12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
解法二：设过左焦点的直线方程为：…………①
椭圆的方程为：
由得：于是椭圆方程可化为：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的两根.
,
AB边上的高,
从而
当且仅当m=0取等号，即
由题意知, 于是 .
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
例18、（2002年天津高考题）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ。
解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得
所以
于是， 是公差小于零的等差数列等价于
即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。
（Ⅱ）点P的坐标为。。
因为 0〈， 所以
说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。
七、强化训练
1、已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。
3、求直线l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分线的方程。
食物P 食物Q 食物R
维生素A（单位/kg） 400 600 400
维生素B（单位/kg） 800 200 400
成本（元/kg） 6 5 4
4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.
现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？
5、某人有楼房一幢，室内面积共180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。
8、已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。
9、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。
11、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.
12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。
13、 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
14、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，
试确定实数的取值范围．
16、 （2004年北京春季高考） 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。
八、参考答案
1、解：设c为为椭圆半焦距，∵　∴
又 ∴
解得： 选（D）。
说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。
2、解：设B(a, b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中点在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直线的方程为即2x+9y-65=0
3、解法一：设l2到l1角平分线l的斜率为k，∵k 1=-1，k2=7
∴，解之得k=-3或，由图形可知k<0，
∴k=-3，又由解得l1与l2的交点，
由点斜式得 即6x+2y-3=0
解法二：设l2到l1的角为θ，则，所以角θ为锐角，而，由二倍角公式可知 ∴或 为锐角，
∴，∴k=-3等同解法一。
解法三：设l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴，由解法一知，∴，代入①化简即得：6x+2y-3=0
解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P(x, y)，则P到l1与l2的距离相等。
∴整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l是l2到l 1的角的平分线，
k<0，∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y-3=0.
4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x，y两个变量.设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是问题就归结为求k在已知条件下的线性规划问题.
解：已知条件可归结为下列不等式组：
x≥0，
y≥0，
x+y≤100，
400x+600y+400（100-x-y）≥44000，
800x+200y+400（100-x-y）≥48000.
x+y≤100，
即 y≥20， ①
2x-y≥40.
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直线：2x+y=0，把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小.
2x-y=40， x=30，
由 得 即点E的坐标是（30，20）.
y=20， y=20，
所以，=2×30+20+400=480（元），此时z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.
5、解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足
18x+15y≤180，
1000x+600y≤8000，
x，y∈N，
且 z=200x+150y.
所以 6x+5y≤60，
5x+3y≤40，
x，y∈N，
作出可行域及直线：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如图4）
把直线向上平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B（，）.由于点B的坐标不是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点B不是最优解.
为求出最优解，同样必须进行定量分析.
因为4×+3×=≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z取最大值1800元.
6、解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：
解之得：D=，E=4，F=30
所以所求的△ABC的外接圆方程为：
7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为，而
，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线的方程为y=x-x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），
Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
，，则
∴，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。
8、解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。
9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。
解：设M（x，y），过M作于A，，，∴，又过M作轴于O＇，因为点M为短轴端点，则O＇必为椭圆中心，
∴，，∴，∴化简得y2=2x，∴短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x≠0）。
10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。
11、解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的中点坐标为（）.
由已知得
故椭圆的离心率为 .
（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为
解得
由已知得
故所求的椭圆方程为 .
12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。
解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方程为：
即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，
∴，
∴为定值。
13、解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在双曲线的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？
14、分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，|F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。
证明：（1）在中，由正弦定理可知，则
∴
∴
（2）在中由余弦定理可知
y
∴
∴。
15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .
∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | =
∴动点P的轨迹是椭圆 .
∵
∴曲线E的方程是 .
（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得
设M1（, 则
i) L与y轴重合时，
ii) L与y轴不重合时，
由①得 又∵,
∵ 或
∴0＜＜1 , ∴ .
∵
而 ∴∴
∴ , ,
∴的取值范围是。
16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即。
①
②
③
A O B
C
PAGE
4北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第1讲 函数问题的题型与方法
（3课时）
一、考试内容
映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数
函数的应用举例。
二、考试要求
1．了解映射的概念，理解函数的概念
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法， 并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
三、函数的概念型问题
函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．
2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．
㈠深化对函数概念的认识
例1．下列函数中，不存在反函数的是　　　　　　　　　　（ ）
分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．
由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．
㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
1．求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字
例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．
解：(1)由0＜x＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．
2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
四、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
1．对函数单调性和奇偶性定义的理解
例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）
A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
2．复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
（二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．
2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．
在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(1)平移变换
函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；
函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．
(2)伸缩变换
函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．
函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上
而得到．
(3)对称变换
函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．
函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．
函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．
函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。
函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．
函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．
例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．
2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．
3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．
具体要求是：
1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．
2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．
4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．
本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．
难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．
例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．
函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为（　　　 ）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则
f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．
因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k·3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
六、强化训练
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )
3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．a≤1 B．a<2 C．14.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为 （ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A. f(2)C. f(2)6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) （ ）
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
7.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是 （ ）
A. － B. － C. D.
8.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
9.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
10.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
11. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
12．已知函数满足：，，则
。
13．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________________。
14．设函数f(x)=lg(ax+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
15．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
16. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范围；
②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(1992年全国高考)
P
M
A H B
D C
17. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
18. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
19. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求 实数a的取值范围。
20．已知偶函数f(x)=cossinx－sin(x－)+(tan－2)sinx－sin的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合．
21．已知，奇函数在上单调．
（Ⅰ）求字母应满足的条件；
（Ⅱ）设，且满足，求证：．
七、参考答案
1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A。
2．先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又
f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。
3．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为14．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
6．从反面考虑，注意应用特例，选B；
7．设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
8．利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
9．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
10．设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
11．设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
12．运用条件知：=2，且
==16
13．依题意可知，从而可知，所以有
，又为正整数，取，则
，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。
下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。
14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．
切实数x恒成立． a=0或a＜0不合题意，
解得a＞1．
当a＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；
a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．
15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
16．分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。
17．分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P
M
A H B
D C
解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决。
19．分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
所以a的取值范围是a>－。
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
在解决不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。
20．解：f(x)=cossinx－(sinxcos－cosxsin)+(tan－2)sinx－sin
=sincosx+(tan－2)sinx－sin
因为f(x)是偶函数，
所以对任意xR，都有f(－x)=f(x)，
即sincos(－x)+(tan－2)sin(－x)－sin=sincosx+(tan－2)sinx－sin,
即(tan－2)sinx=0，
所以tan=2
由
解得或
此时，f(x)=sin(cosx－1).
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为,
自变量x的集合为{x|x=2k+,kZ}．
21．解：（1）；．，
若上是增函数，则恒成立，即
若上是减函数，则恒成立，这样的不存在．
综上可得：．
（2）（证法一）设，由得，于是有，（1）－（2）得：，化简可得
，，，故，即有．
（证法二）假设，不妨设，由（1）可知在
上单调递增，故，
这与已知矛盾，故原假设不成立，即有．
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1713400 陕西省永寿县中学 zpan1@ 13152325633 0910--7667327 (0)
第二讲 数列
陕西特级教师 安振平
高考风向标
数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．
典型题选讲
例１　若数列{an}满足若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
讲解　逐步计算，可得
,
这说明数列{an}是周期数列，而, 所以．应选B．
点评　分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．
例２　在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列.
（１）写出这个命题的逆命题；
（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.
讲解　（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
（２）设{an}的首项为a1，公比为q
由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm
∵a1≠0 q≠0 ,
∴2q2－q－1=0 ,
∴q=1或q=－.
当q=1时，
∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2,
∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.
当q=－时,
2 Sm+2=,
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ,
∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；
当公比q≠1时，逆命题为真．
点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．
例３　设数列{an}前n的项和为 Sn，且其中m为常数，
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求．
讲解（1）由，得
两式相减，得
是等比数列．
　　
点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．
例４　设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.
（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；
（２）试比较的大小，并证明你的结论.
讲解　（１）∵是各项均为正数的等比数列，
∴．
当n=1时，a1=S1；
当．
∴
（２）当n=1时，
∴．
∵
①当q=1时，
②当
③当
综上以上，我们可知：当n=1时，．当
若 若
点评　数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式：
例５　已知数列满足>0，且对一切n∈N*，有，
(1) 求证：对一切n∈N*，有；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 求证：．
讲解 (1)　由　 ①
得　　　　　　　 ②
②-①得　　　　=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1
∵ an+1 >0，
∴ ．
(2) 由，得
(n≥2)，
两式相减，得
(an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an，
∵an+1+ an >0，
∴an+1 - an =1．(n≥2)
当n=1，2时易得，a1=1，a2=2，∴an+1 - an =1(n≥1) ．
从而{ an}是等差数列，其首项为a1=1，公差d=1，故an=n ．
(3)　　
　　点评　关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．
例6 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．
（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．
讲解　(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有
…　　　　　　　　　　　　　…
∴＝,
.
,
．
,
,
即.
（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（44－16）＝28秒，所以秒．
（3）由2004，解得，取最大得n=44,
经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．
点评　从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．
例７　已知数列的前项和满足.
（1）写出数列的前三项；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有 .
讲解　（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．
　由
由
由
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上
当时，有
即有　
从而　
　　　
……
接下来，逐步迭代就有
经验证a1也满足上式，故知
其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得
　　　　　　　　　．
令就有
，
于是 ，
这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得
　　　　　，
即　　　　，
故有
（３）由通项公式得
当且n为奇数时，
当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景
故任意整数m>4，有
点评　本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．
针对性演练
１　某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选（ ）
(A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼
2. 若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则 ( )
（A）= （B）＞ 　（C） （D）＞
3.　2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是 （　　）
（A）1024 （B）2048 （C） 2049 （D）无法确定
4. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为
(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008
5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：
1998年 1999年 2000年
新植亩数 1000 1400 1800
沙地亩数 25200 24000 22400
而一旦植完，则不会被沙化.
问：（1）每年沙化的亩数为多少？
（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？
６．　已知正项数列满足 （），且求证
（1）
（2）
　答案
１．C　　　２．　C　　３．C　　４．A
５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.
因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩.
同理2000年沙化土地为200亩.
所以每年沙化的土地面积为200亩.
（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.
设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则n年造林面积总和为：
.
由题意： 化简得
,
解得： .
故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.
６．（1）将条件变形，得.
于是，有
…………
.
将这n-1个不等式叠加，得
故
（2）注意到，于是由（1）得
，
从而，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第7讲 概率与统计问题的题型与方法
（4课时）
一、考试内容
离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。
二、考试要求
⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
⑷会用样本频率分布去估计总体分布。
⑸了解正态分布的意义及主要性质。
⑹了解假设检验的基本思想。
⑺会根据样本的特征数估计总体。
⑻了解线性回归的方法。
三、复习目标
1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。
2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体转化为标准正态总体N（0，1）的公式及其应用。
6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
7． 了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
8． 了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。
9． 了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
四、双基透视
㈠随机事件和统计的知识结构：
㈡随机事件和统计的内容提要
　　1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
　　2．随机变量的概率分布
　　（1）离散型随机变量的分布列：
　　
ε … …
P … …
　　
　　两条基本性质①…)；
　　②P1+P2+…=1。
　　（2）连续型随机变量概率分布：
　　由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；
　　总体分布密度函数的两条基本性质：
　　①f(x) ≥0(x∈R)；
　　②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。
　　3．随机变量的数学期望和方差
　　（1）离散型随机变量的数学期望：
　　…；反映随机变量取值的平均水平。
　　（2）离散型随机变量的方差：
　　……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
　　（3）基本性质：；。
　　4．三种抽样方法。
　　5．二项分布和正态分布
　　（1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
　　其概率…。
　　期望Eε=np，方差Dε=npq。
　　（2）正态分布密度函数：
　　
　　期望Eε=μ，方差。
　　（3）标准正态分布：
　　若，则，
　　，
　　。
　　6．线性回归：
　　当变量x取值一定时，如果相应的变量y的取值带有一定的随机性，那么就说变量y与x具有相关关系。对于它们的一组观测值来说，如果与之相应的在平面直角坐标系中的点大体上集中在一条直线的附近，就说变量y与x之间具有线性相关关系。
　　相关系数用来检验线性相关显著水平，通常通过查表取显著水平0.05自由度n-2的，若为显著；否则为不显著。
㈢离散型随机变量的分布列
随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量最常见的两种类型，即离散型随机变量和连续型随机变量。如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量的可能取值为xi（i＝1，2，…），由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量取每一个值也有一定的概率P（＝xi）＝pi，人们常常习惯地把它们写成表格的形式，如：
x1 x2 … xi …
P p1 p2 … pi …
这种表即为随机变量的概率分布，简称为的分布列。
分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i”的等式。
1．在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值。离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。其中标准差与随机变量本身有相同的单位。
2．离散型随机变量期望和方差的计算公式
设离散型随机变量的分布列为P（＝xi）＝pi，i＝1，2，…，则：
E＝i pi，D＝i－E)2 pi＝i2 pi－(E)2＝E(2)－(E)2。
3．离散型随机变量期望和方差的性质
E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。
4．二项分布的期望与方差
若～B (n，p)，则E＝np，D＝np (1－p)。
㈣抽样方法
三种常用抽样方法：
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
㈤总体分布的估计
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。
㈥正态分布
正态分布：如果总体密度曲线是以下函数的图象：
， ①
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体。其分布叫做正态分布，常记作N(μ，σ2)。①的图象被称为正态曲线。
特别地，在函数①中，当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，这时，相应的函数
表达式是，， ②
相应的曲线称为标准正态曲线。
当我们不知道一个总体的分布时，往往总是从总体中抽取一个样本，并用样本的频率分布去估计总体的分布，而且随着样本容量越大分组的组距越小，样本的频率分布就更加接近总体分布。当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线，即反映总体分布的总体密度曲线。可以知道，反映总体分布的总体密度曲线的形状是形形色色的，不同形状的总体密度曲线是不同总体分布的反映，而正态分布以及反映这种分布的正态曲线是异彩纷呈的总体分布及总体密度曲线中的一类重要分布。
　　1．正态分布的重要性
　　正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
　　2．正态曲线及其性质
　　对于正态分布函数：
　　，x∈（-∞，+∞）
　　由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
　　3．标准正态曲线
　　标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽像函数，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
　　4．一般正态分布与标准正态分布的转化
　　由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过探究发现：对于任一正态总体，其取值小于x的概率。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式的来由不作要求，只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
　　5．“小概率事件”和假设检验的基本思想
　　“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。
　　课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：
　　第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布。
　　第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）。
　 第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
　　上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论。
㈦线性回归
回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。
回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：。其中
，。我们称这个方程为y对x的回归
直线方程。
　 1．相关关系
　　研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：
　　（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形面积S与边长x之间的关系就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系。
　　（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。
　　（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。
　　相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况。因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度。
　　2．回归分析
　　本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——一元线性回归分析。
　　对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：
　　（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。
　　（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。
　　（3）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。
　　3．相关系数
　　有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式。相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。
　　4．线性相关性检验
　　相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的具体办法。限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。其具体检验的步骤如下：
　　（1）在课本中的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n为观测值组数）相应的相关系数临界值。
　　（2）根据公式计算r的值。
　　（3）检验所得结果。
　　如果，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设。
　　如果，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了。这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系。
　　有了相关性检验方法后，我们对一组数据作线性回归分析，只须先对这组数据的线性相关性进行检验。如若具有线性相关性，则可依据求回归直线方程的方法进行求解，而不必像前面那样，先画散点图，再依照散点图呈直线性后再求回归直线方程。这样就使得回归直线方程更能真实地反映实际情况，具有应用于实际的价值。
　　
五、注意事项
㈠1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
（1）pi≥0，i＝1，2，…；
（2）p1＋p2＋…＝1。
2．若随机变量的分布列为：P (＝k)＝Cnk pk qn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。
对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：
（1）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；
（2）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＝(p＋q) n＝1。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。
㈡1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性。若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是。
2．三种抽样方法的各自特点、适用范围、相互联系及共同点如下表：
类 别 共 同 点 各 自 特 点 相 互 联 系 适 用 范 围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均分成几个部分，然后按照事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
㈢总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内取值的概率。总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。
㈣1．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N(μ，σ2)，根据定义有：
μ=E，σ=D。
2．正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
（2）曲线关于直线x =μ对称。
（3）曲线在x =μ时位于最高点。
（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
㈤⒈在“标准正态分布表”中相应于x0的值(x0)是指总体取值小于的概率，则：
（1）(x0)=P(x< x0)；（2）(x0)=1-(-x0)。
⒉对于任一正态总体N(μ，σ2)来说，取值小于x的概率F(x)= HYPERLINK \l "_Hlk8451225" \s "1,18047,18070,0,, EMBED Equation.3 " EMBED Equation.3 ()。
⒊从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是R，但实际上取区间(μ-
3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
㈥线性回归的相关关系与函数关系不同，有相关关系的两个变量存在密切关系，但不存在确定性的函数关系。
六、范例分析
例1. 2000年全国高考天津理科卷(13)
0 1 2
p
某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数 的概率分布是
解：大批产品中抽取产品，认为次品数 服从二项分布B(2, 0.05)
空格中应填 0.9025, 0.095, 0.0025
考点：离散型随机变量的概率分布，二项分布
例2. 2001年全国高考天津理科卷(14)
一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是__________________.
解1：同时取出的两个球中含红球数 的概率分布为
P( = 0) ==, P( = 1) ==, P( = 2) ==
E ==, 空格中应填
解2：同时取出的两个球中含红球数 服从超几何分布，其数学期望为 n==
例3. 2002年全国高考天津文科卷(15)
甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。
提示：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0;
s = ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02，s = ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 。
例4. 2003年全国高考江苏卷(14) 辽宁卷(14) 天津文科卷(14) 天津理科卷(14)
某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 ，z 30 ， 10 辆。
提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20；
1200 = 6，6000 = 30，2000 = 10。
例5. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？
⑴ 每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；
⑵ 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）
解：⑴ 设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是重复排列，共有
个.再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有 个，所以
⑵ 由于取出后不放回，所以总的基本事件数为个，事件M的基本事件数为，所以
例6. 已知连续型随机变量ε的概率密度函数，且f(x) ≥0，求常数k的值，并计算概率P(1.5≤ε<2.5)。
　 分析:凡是计算连续型随机变量ε的密度函数f(x)中的参数、概率P(a≤ε≤b)都需要通过求面积来转化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上为线性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即。
　　解: ∵
　　
　　∴；
　　　
　
例7. 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
　　甲：27，38，30，37，35，31；
　　乙：33，29，38，34，28，36。
　　根据以上数据，试判断他们谁更优秀。
　　分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的与，然后加以比较，最后再作出判断。
　　解: ，
　　
EMBED Equation.3 ；
　　，
　　
　　∴，，
　　由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀。
　　说明：与作为总体方差的两个估计量，当样品容量不是很大时，更接近，故在实际运用时，我们常用去估计，但当容量较大时，与则没有什么差别。
例8．几何分布
某射击手击中目标的概率为P。求从射击开始到击中目标所需次数的期望、方差。
解：
1 2 3 …… ……
令
　　
　　例9．设，且总体密度曲线的函数表达式为：
　　，x∈R。
　　（1）求μ，σ；（2）求及的值。
　　分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。利用一般正态总体与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。
　　解： （1）由于，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）。
　　（2）
　　
　　 。
　　又
　　
　　 。
　　说明：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。
　　　　
　　例10．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），问车门应设计多高（精确到1cm）？
　　分析：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其总体在不低于x的概率小于1%。
　　解：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm，由题意，需使P(ε≥x)<1%。
　　∵ε～N（173，7），∴。查表得，解得x>179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞。
　　说明：解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式；而逆向思维和逆向查表，体现解决问题时思维的灵活性。
　　例11．已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：
　　
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95
y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
　　
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
x(kg) 92 108 115 123 130 138 145
y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
　　
　　（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；
　　（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。
　　分析：（1）使用样本相关系数计算公式来完成；（2）查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界比较，若则线性相关，否则不线性相关。
　　解：（1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：]
　　
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
70 74 80 78 85 92 90 95 92 108 115 123 130 138 145
5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140 1058 1188 1357 1500.6 1625 1766.4 1885
　　
　　，，
　　，，。故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数
　　。
　　由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值，则，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。
　　（2）设所求的回归直线方程为，则，
　　，
　　∴回归直线方程为。
　　说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算。如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到，，，，这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。
例12.设随机变量ε服从N（0，1），求下列各式的值：
　　（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。
　　分析:一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分布表中只给出了，即的情形，对于其它情形一般用公式：φ(-x)=1-φ(x)；p(a　　解:（1）
　　
　　（2）
　　 ；
　　（3）
　　
说明：从本题可知，在标准正态分布表中只要给出了的概率，就可以利用上述三个公式求出其它情形下的概率。
例13．某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25）。质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm。试问该厂生产的这批零件是否合格？
　　分析：欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外。
　　解：由于圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批产品是不合格的。
说明：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想。
例14．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
　　若由资料可知y对x呈线性相关关系。试求：
　　（1）线性回归方程；
　　（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
　　分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间呈线性相关关系，目的是训练公式的使用。
　　解：（1）列表如下：　　
i 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
4 9 16 25 36
，，
　　
　　于是，
　　。
　　∴线性回归方程为：。
　　（2）当x=10时，（万元）
　　即估计使用10年时维修费用是12.38万元。
说明：本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。
例15. （2003年全国高考辽宁卷(20) 天津理科卷(20)）
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分。设A队、B队最后总分分别为 、。
(Ⅰ) 求 、 的概率分布；
(Ⅱ) 求E、E。
分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：(Ⅰ) 、 的可能取值分别为3, 2, 1, 0.
P( = 3) = （即A队连胜3场）
P( = 2) = （即A队共胜2场）
P( = 1) = （即A队恰胜1场）
P( = 0) = （即A队连负3场）
根据题意知 + = 3，所以
P( = 0) = P( = 3) = ， P( = 1) = P( = 2) = ，
P( = 2) = P( = 1) = ， P( = 3) = P( = 0) = 。
(Ⅱ) E = ；
因为 + = 3，
所以E = 3 – E =。
七、强化训练和参考答案
1.随机变量的的分布列如下，则m= （D）
1 2 3 4
p m
（A） （B） （C） （D）
2.设随机变量服从二项分布B（6，），则P（=3）= （A）
（A） （B） （C） （D）
3.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设为这3支签的号码之中最大的一个。则的的数学期望为 （B）
（A）5（B）5.25（C）5.8（D）4.6
4.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则P（1）等于 （D）
（A）0.9163（B）0.0081（C）0.0756（D）0.9919
5.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 （C）
（A） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大。
（B） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小。
（C） 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等。
（D） 与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关。
6.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（D）
（A）分层抽样 （B）抽签法 （C）随机数表法 （D）系统抽样法
7.当一个样本的容量不大时，我们估计总体的标准差σ的常用量是：（C）
（A）s （B）s2 （C）s* （D）s*2
8.从总体中抽一个样本，2、3、4、8、7、6，则样本平均数为= （B）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）6.5
9.从总体中抽一个样本，3、7、4、6、5，则样本方差s*2为 （B）
（A）2 （B）2.5 （C）5 （D）3
10.下面哪有个数不为总体特征数的是 （D）
（A） 总体平均数（B）总体方差（C）总体标准差（D）总体样本
11.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查，这种抽样方法称为 （C）
（A）简单随机抽样 （B）随机数表法
（C）系统抽样法 （D）分层抽样法
12.已知n个数据为x1，x2，…，xn，那么
是指 （D）
（A）s （B）s* （C）s2 （D）s*2
13.总体方差σ2的的估计量为 （B）
（A） （B）s2 （C）s （D）s*
14.已知容量为40的样本方差s2=3.9，那么s*= （B）
（A）4 （B）2 （C） （D）1
15.设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为 （B）
（A）20 （B）10 （C）5 （D）15
16.某一计算机网络，有几个终端，每个终端在一天中使用的概率p，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （B）
（A）np(1-p) （B）np （C）n （D）p(1- p)
17.下列说法正确的是： （D）
（A） 甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样
（B） 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好
（C） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习情况甲班比乙班好
（D） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习情况甲班比乙班好
18. 某射击运动员射击所得环数的分布列如图所示，
则P(=8)= (D)
ζ 7 8 9 10
P 0.21 P 0.29 0.22
（A）P(P>0)（B）0.38（C）0.41（D）0.28
19.设随机变量的的分布列为P（=k）=（k=1、2、3、4、5、6），则P（1.5<3.5）= （A）
（A）（B）（C）（D）
20. 如果η～B（15，）则使P（η=k）最大的k是 （D）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）3 或4
21.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲，乙两种商品，根据统计资料：
经营甲 经营乙
获利（万元） 2 3 -1
概率 0.4 0.3 0.3
获利（万元） 1 4 -2
概率 0.6 0.2 0.2
那么，他应该选择经营 甲 种商品。
22.在10件产品中有8件正品，从中任意地取出3件，设取到正品的个数为ζ，则ζ的取值可以有 3 种。
23.要检查某厂的产品合格率，检查人员从1000件产品中任意抽取了50件，问这种抽样的方法是 简单随机抽样法 。
24.若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差是 8 。
25.甲、乙两种棉花，各抽取50根棉花纤维检验长度，样本方差分别是s甲=1.32，s乙=0.93，这两种棉花质量较好的是 乙 。
26.甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下，甲：80、75、80、90、70；乙：70、70、75、80、65。则可以认为 乙 的数学成绩比较稳定。
27.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出两件，其中次品数的概率分布是：
ζ 0 1 2
P 0.9025 0.095 0.0025
28.若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1，2a2，2a3的方差是 8 。
29.已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
p x2 x
求x的值。
30.袋中有3个白球，2个红球，从袋中随机取2个球，假设取得1个白球得1分，取得1个红球得0分，求得分值的分布列。（要写出解题过程，并按要求填空）
p
31.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机地取出3张卡片，设3张卡片的数字之和为随机变量。
求E，D。
32.某市教委，为了指导教师更好地做好2002年高三复习迎考工作，决定对全市第一次高三模拟考试成绩进行分析，要从全市2008张考卷中抽取200份试卷，请你设计一个系统抽样，抽取所需数目的样本。
33.已知已个样本的s2=0.63，s*2=0.7，求样本的容量n是多少？
34.样本（x1，x2，x3，…，xn）的样本均值为，样本（x1，x2，x3，…，xn， xn+1）的样本均值为。
求证：=+ xn+1
35.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a万元（a>100），问a如何确定，可是保险公司期望获利？
36.某公司有三个部门，第一个部门800个员工，第二个部门604个员工，第三个部门500个员工，现在用按部门分层抽样的方法抽取一个容量为380名员工的样本，求应该删除几个人，每个部门应该抽取多少名员工？
4，160，120，100
37.已知连续型随机变量的概率密度函数为：
f(x)= 且f(x)0，
求常数k的值，并计算概率p（1.5<ζ<2.5）。k=-, p（1.5<<2.5）=0.0625
38.在同样条件下，用甲乙两种方法测量某零件长度（单位mm），由大量结果得到分布列如下：
48 49 50 51 52
P 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1
甲：
η 48 49 50 51 52
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
乙：
问哪种方法精度较好？
E=Eη=50, D39.某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量组别 平均 标准差
第一组 90 6
第二组 80 4
求全班的平均成绩和标准差。平均为85，
40.某企业对一项工程的完成有三个方案，甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示：
自然状况 方案甲 方案乙 方案丙
概率 获利(万元) 概率 获利(万元) 概率 获利(万元)
巨大成功 0.4 6 0.3 7 0.4 6.5
中等成功 0.3 2 0.4 2.5 0.2 4.5
不成功 0.3 -4 0.3 -5 0.4 -4.5
问企业应选择哪种方案？E甲>E乙>E丙
八、近几年全国高考概率题集锦
1．2000年全国高考天津理科卷(17)
甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
(I) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(II) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：(I) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为=
(II) 设 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件B，则对立事件为两人均抽到判断题，则 P(B) = 1 – P() = 1 –=
2．2001年全国高考天津理科卷(18)
用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2. 当
元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正
常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.
已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80, 0.90, 0.90，分
别求系统N1、N2正常工作的概率。
解：分别记三个元件A、B、C能正常工作为事件A、B、C，
由题意，这三个事件相互独立，
系统N1正常工作的概率为
P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 0.80.90.9 = 0.648
系统N2中，记事件D为B、C至少有一个正常工作，则
P(D) = 1 – P() =1 – P() P() = 1 – (1 –0.9)(1 – 0.9) = 0.99
系统N2正常工作的概率为
P(A D) = P(A) P(D) = 0.80.99 = 0.792
说明：用事件的并可知，系统N2正常工作的概率为
P() = P(AB) + P(AC) – P(ABC) = 0.80.9 + 0.80.9 – 0.80.90.9 = 0.792
3．2002年全国高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) （本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。）
某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)。
(Ⅰ) 求至少三人同时上网的概率；
(Ⅱ) 至少几人同时上网的概率小于0.3
解： (Ⅰ) 至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即
(Ⅱ) 至少4人同时上网的概率为
至少5人同时上网的概率为
因此，至少5人同时上网的概率为小于0.3。
4．2003年全国高考江苏卷(17) 天津文科卷(20) （本小题考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。）
有三种产品，合格率分别为0.90, 0.95和0.95，各抽取一件进行检验。
(Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001)
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C。
(Ⅰ) P(A) = 0.90，P(B) = P(C) = 0.95，P() = 0.10，P() = P() = 0.05。
因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P(A B ) + P(A C) + P( B C)
= P(A) P(B) P() + P(A) P() P(C) + P() P(B) P(C)
= 0.90 0.95 0.05 + 0.90 0.05 0.95 + 0.10 0.95 0.95 = 0.176 [[0.17575]]
答：恰有一件不合格的概率为0.176。
(Ⅱ) 解法一：至少有两件不合格的概率为
P(A ) + P( B ) + P( C) + P( )
= 0.90 0.052 + 2 0.10 0.95 0.05 + 0.10 0.052 = 0.012
答：至少有两件不合格的概率为0.012。
解法二：三件都合格的概率为
P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 0.90 0.952 = 0.812 [[0.81225]]
由 (Ⅰ) 知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为
1 – [P(A B C) + 0.176 ] = 1 – ( 0.812 + 0.176 ) = 0.012。
答：至少有两件不合格的概率为0.012，
5．2002年全国高考上海文科卷(7) 上海理科卷(7)
在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件。竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增到14名，但只取其中7 名裁判的评分作为有效分。若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 。(结果用数值表示)
提示：所求概率为
6．2003年全国高考上海文科卷(9) 上海理科卷(9)
某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 。(结果用分数表示)
提示：属于同一个国家的概率为，
所求概率为
或：所求概率为
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数学专题（六）
直线与圆锥曲线
陕西 安振平
高考风向标
直线的倾斜角和斜率，直线的方程，两直线的位置关系，简单的线性规划．圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系．将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点．
典型题选讲
例１　若的取值范围是（ ）.
A．　[2，6] B．　[2，5] C．[3，6] D．[3，5]
讲解　由得 又所以当时，原不等式组成立，从而故应选A．
点评　请读者不妨画个图形，可以给出图形解法吗？
例２　椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则＝（　　）
A． B． C． D．4
讲解　由椭圆的方程可以读出 ，则 . 令，则点P的横坐标，代入椭圆方程，解得，点P的纵坐标. 而，于是，在Rt△PF1F2中，应用勾股定理，得
.应选C.
点评　请读者自己画出图形. 当然，不必画图，图在心中也能解题.
例３　设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
讲解　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得 ，应选C.
点评　对斜率取特殊值也可巧解；如果画图形，可以看出答案吗？.
例４　设双曲线与直线相交于两个不同的点A、B.
（1） 双曲线C的离心率的取值范围；
（2） 直线与轴的交点为，且，求的值.
讲解：（１）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（２）设
由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
点评　本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力．
例５　某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。现有两种规格的原料，甲种规格每张3,可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张2,可做文字标牌2个、绘画标牌1个．求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？
讲解 设用甲种规格原料x 张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x+2y个，绘画标牌2x+y个．由题意可得
，　　　　　　　　
所用原材料的总面积，作出可行域如图示阴影部分内的整点，作直线，作一组与直线平行的直线．
当直线通过2x+y=3与直线x+2y=2的交点时，t取得最小值
因为不是整点，所以它不是最优解．当时，
可知当时，代入约束条件，可得，即经过可行域内的整点，点B（1，1）满足3x+2y=5，使t最小，所以最优解为B（1，1）．
故用甲种规格的原料1张，乙种规格的原料1张，能使总的用料面积最小，其最小值是5．
点评　求整点最优解时，可先转化为普通线性规划求解．若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解．因为在考试时，常需要作出一些图形，而要解决作图的准确性问题，就必须抓住图形中的一些关键点和图形的变化趋势．只有抓住了局部的关键点，也就带动了整体的图形状态．
例６　已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
讲解　（1）设．由
得　　　　．
（2）　1) 当k存在时，设l的方程为 ………………①
椭圆方程为．
由　得　　　．
于是椭圆方程可化为 ………………②
把①代入②，得
，
整理得
，
则x1、x2是上述方程的两根，且
，
．
AB边上的高
．
２）当k不存在时，把直线代入椭圆方程，得
由①②知S的最大值为．由题意得=12 所以，．
所以面积最大时椭圆方程为：
点评　也可这样求解：．
例７　经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点．
（1） 线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
（2） 直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围．
讲解　(1)　设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入得
　　　　 kx-(2k+4)x+k=0．
设M(x ,y)，则
∴点M的坐标为(．
于是消去k，可得M的轨迹方程为．
(2) 由于
d=
所以　　
即 　　　0＜＜,　　得
0＜,
即 或
故实数的取值范围为 ．
点评　圆锥曲线的焦点弦问题是历年高考的热门话题，解答过程当中有一些需要我们掌握的技巧和方法，应当引起读者深刻的反思．
例８　已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且
的最小值为．
（１）求动点的轨迹方程；
（２）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．
讲解　(１)由题意．设（），由余弦定理, 得
．
又·，
当且仅当时，· 取最大值，
此时取最小值，令，
解得，，∴，
故所求的轨迹方程为.
（２）设，，则由，可得
，
故.
∵、在动点的轨迹上，
且，
消去可得，解得
，
又，∴，解得，
故实数的取值范围是．
点评　为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．新教材的高考已经进行了５年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性．
针对性演练
1．直线与直线平行且不重合，则a等于（ ）
A　 B　　　　　　C　0或 　D．　0或
２．椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
A　 　B　　　　　　C　 D　
３．若P为抛物线上任意一点，以P为圆心且与轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是（ ）．
A B C D
４．已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为.
（１） 求证：直线必过定点;
（２）分别以和为直径作圆，求两圆相交弦中点的轨迹方程．
５．设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点. 四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6. 椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
7. 在△ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12．以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．
（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹Γ；
（2）设P为轨迹Γ上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？
８．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围．
答案
１．D　２．B　　３．A
４．（１）由题可知，设，，直线AB的方程为，
则
（1）—（2）得，即，代入方程，解得
同理可得：的坐标为.
直线的斜率为，方程为，
整理得,
显然，不论为何值，均满足方程，
所以直线恒过定点 .
（２）过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的性质不难知道：准线为圆与圆的公切线.
设两圆的相交弦交公切线于点，则由平面几何的知识可知：为的中点. 所以
，
即 .
又因为公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为
,
所以，公共弦所在直线的方程为 ,
即 ,
所以公共弦恒过原点.
根据平面几何的知识知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形，即在以为直径的圆上．
５．以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设 N的坐标为，则切线DC的方程为：，
由此可得
AC的方程为
BD的方程为
将两式相乘得：，即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）．
6. （１）设椭圆的方程为，则由，椭圆方程为．　　　　　　　　　　　
（２）因为在椭圆上，故　　　　　　
　　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　由平面几何知识，即，所以．　　　
　　记，设且，则
，
所以在上单调递减，于是，当时原式取最大值，当时，原式取最小值．
7.（1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得
a+c=2b，且a>b>c．
因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值．
注意到8>|AC|=4，且|BC|>|BA|，
故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分．
并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
（2）如图所示，不妨取，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是，，且，从而PQ为∠APC的外角∠SPA的平分线．过A且以为方向向量的直线AS⊥PQ．
从而，于是只须取AC的中点为D（O），即有=4为定值．故存在定点D，而为定值．
８．(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，=2c=4,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得
4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是.
O
B
A
C
O
x
y
A
C
O
x
y
N
M
P
R
Q
S
T
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- 1 -713400 陕西永寿县中学 zpan1@ 0910-7667327(0) 13152325633
第一讲 集合与函数
陕西特级教师 安振平
高考风向标
本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用．
典型题选讲
例１　在中，“”是“”的什么条件？
讲解 在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径．
一方面，因为 A即 ，亦即 ，从而中
A另一方面，因为，
所以 ，即 ，得A从而中，A故中，“”是“” 的充要条件．
点评　试问：在中，“”是“”的什么条件？
例２　试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 .
讲解　的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如
．
点评　本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．
例３　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；
（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
（３）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
讲解　（１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下
分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8
细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256
（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是
y＝2n，nN＋．
利用计算器可以算得
215＝32768，220＝1048576．
故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．
点评　细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）.
例４　已知函数的反函数，
（１）若，求的取值范围；
（２）设函数，当时，求的值域．
讲解　　∵　，
∴　．
（１）∵ 即．
∴，
∴
解之得　　　，
∴．
（２）　　∵
　
　
　．
令 ，显然在[0，1]递增，
则有　　　　　　．
∴，即的值域为．
例５　某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：
（其中c为小于96的正常数）
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
讲解　（1）当时，，所以，每天的盈利额;
当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额
.
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．
令，则．故
．当且仅当，即时，等号成立．
所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）．
（ii） 当时，由得，
易证函数在上单调递增（证明过程略）．
所以，．所以，
，
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．　　　
　　点评　分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
例６　设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有
（1）求证：
（2）求证：
（3）若函数的最大值为8，求b，c的值．
讲解 （1）由产生b+c，只要消除差异，这可令
从而知　
（2）由
又因为
（3）
当
由 解得
点评　注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.
例７　设f(x)=lg,aR, nN且n2.若f(x)当x(-,1)有意义，求a的取值范围．
讲解　f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当1＋2＋…＋(n-1)＋an>0 对x(-,1)恒成立．即函数
g(x)=＋＋…＋＋a>0
对于任意的x(-,1)恒成立．
因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)= ＋＋…＋＋a=(n－1)＋a，
所以g(x) >0对x(-,1)恒成立的充要条件是＋a>0，即a>．
故所求实数a的范围为（，+）．
点评　构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．
例８　函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（１）及，的值，并归纳出的表达式;
（２）直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值．
讲解　（１）为了求，只需在条件中，令，即有
　　　　　　，得．
由及，得．
同理，．
归纳得．
（２）时,
.
故　是首项为，公比为的等比数列,
所以　.
的定义域为1，当时取得最小值.
点评　本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．
针对性演练
１．合，若，，则，则运算可能是　　（ 　 ）
(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法
２．已知集合，，则满足条件的映射的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 　 )
（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )
(A ) (B) (C) (D)
４．定义两种运算：，，则函数为（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数
５．偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 ( )
（A） （B）
（C） 　　　　　　（D）
６．已知函数，且正数C为常数．对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.
7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
８．已知定义域为，且对任意的、，恒有，时，．
（１）求的值，并证明；
（２）求证：在的定义域内恒有．
９．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
（2）f(1)=1
（3）若，，，则有
（Ⅰ）试求f(0)的值；
（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x..
10. 设、为常数，：把平面上任意一点
（，）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当时，，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？
答案：
１．D．２．D．３．C．４．A．５．D．6．，，　（）．
7．450．８．略．
９．（I）令，
依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.
又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0.
（Ⅱ）任取，可知,
则,
即，故
于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1
因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，
（Ⅲ）证明：
研究①当时，f(x) ≤1<2x
②当时，
首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴.
显然，当时，
成立.
假设当时，有成立，其中k＝1，2，…
那么当时，
可知对于，总有，其中n=1，2，…
而对于任意，存在正整数n，使得，
此时,
③当x=0时，f(0)=0≤2x..
综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立.
10. (1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，
即 对一切实数x均成立。
特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数。
（2）当时，可得常数a0，b0，使
。
由于为常数，设是常数.
从而。
（3）设，由此得
（，）
在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是
消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆．
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1北京英才苑 高三数学第二轮复习教案
第3讲 不等式问题的题型与方法
（3课时）
一、考试内容
不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式
二、考试要求
1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三、复习目标
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
四、双基透视
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。
五、注意事项
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
六、范例分析
b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
例2．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
例3． 己知三个不等式：① ② ③
(1)若同时满足①、②的值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1） 因同时满足①、②的值也满足③，ABC
设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
（2） 因满足③的值至少满足①和②中的一个，因
此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．
分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①
顶点式．f(x)=a(x-x)+f(x)(a≠0)．这里(x，f(x))是二次函数的顶点，x=
))、(x，f(x))、(x，f(x))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由
证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈N．
依题意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，
所以f(0)=axx、f(1)=a·(1-x)(1-x)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．
从而　　 f(0)·f(1)≥1．　　　　　　　　 ①
另一方面，
且由x≠x知等号不同时成立，所以
由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{a}的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？
分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．
解:设等差数列{a}的公差为d，由Sm=Sn得
ak≥0，且ak+1＜0．
(k∈N)．
说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例7．(2002 江苏)己知，
（1）
（2），证明：对任意，的充要条件是；
（3）讨论：对任意，的充要条件。
证明：（1）依题意，对任意，都有
（2）充分性：
必要性：对任意
（3）
即
而当
例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．
分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”．
证法一　 (作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即　　　　　　 (a+b)3≤23．
证法二　 (平均值不等式—综合法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
所以a+b≤2，ab≤1．
说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮．
证法三　 (构造方程)
设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则
因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以
所以a+b≤2．
由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．
说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点．
证法四　 (恰当的配凑)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，
于是有6≥3ab(a+b)，从而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，
所以a+b≤2．(以下略)
即a+b≤2．(以下略)
证法六　 (反证法)
假设a+b＞2，则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．
因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．　　　　　　　 ①
另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，
所以ab＜1．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
于是①与②矛盾，故a+b≤2．(以下略)
说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法．
例9．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相
分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，
Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即
b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例10．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。
由题意得
例11．已知奇函数
知函数
分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。
令
要使
10 当
30当
综上：
例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？
（半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为：底面积乘以高，，本题结果均精确到0.1米）
分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。
解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）
椭圆方程为：
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
例13．已知n∈N，n＞1．求证
分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解．
则
说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决．
例14．已知函数
分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。
证明：（1）
当且仅当时，上式取等号。
（2）时，结论显然成立
当时，
例15．（2001年全国理）己知
（1）
（2）
证明：（1）
同理
（2）由二项式定理有
因此
。
七、强化训练
1．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≤1 B．a<2 C．13． 解关于的不等式＞0
4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
5． 解关于的不等式
6．（2002北京文）数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
7．设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围．
8．已知数列中，
b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。
Ⅰ）求数列
Ⅱ）设的前n项和为Bn, 试比较。
Ⅲ）设Tn=
八、参考答案
1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为13．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为
和比较与及3的大小，定出分类方法。
解：原不等式化为：
（1） 当时，由图1知不等式的解集为
（2） 当
（3） 当
4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．
解(1)　 由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以
(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以
4a+2b+a2-1=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以
(4)由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以
a=0，b=-1．
说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。
5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。
解：设，原不等式化为，在同一坐标系中作出两函数图象
故（1）当
（2）
（3）当时，原不等式的解集为φ
综上所述，当时，解集为）；当时，解集为
时，解集为φ。
6．证明：（1）
（2）当时，
=
7．分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？
解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件
解得log2x＞3或log2x＜-1．
说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．
8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。
略解：Ⅰ）
Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
Ⅲ)Tn= ①
②
①-②得
又
。
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