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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第26章
课标要求 1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式． 3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法．
内容分析 函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一． 反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的”变化和对应”思想有了深层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法．
学情分析 让学生进一步体会反比例函数的意义，掌握反比例函数的表示方法，以及准确的求出反比例函数的未知项，能够根据图象的分布确定常数的取值范围，并能用反比例函数解决一些简单的实际问题。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，尽量让学生对反比例函数的概念、图象及性质的整合与巩固．
单元目标 （一）教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程． 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识提高运用代数方法解决问题的能力． 3.通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力． 4.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题． 5.理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． （二）教学重点、难点 教学重点:反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用． 教学难点:反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 本章教学内容主要分为三大部分:第一部分:反比例函数的概念；第二分:反比例函数的图象及其性质；第三部分:反比例函数的应用． 第一部分:反比例函数的概念: （1）在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫． （2）利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说 明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象． （3）在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想一变化一对应． 第二部分:反比例函数的图象及其性质； 函数的性质蕴涵于概念中，对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识， 教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通观察、分析函数的图象，自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述． （1）学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出反比例函数图象． （2）利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数 与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征． （3）利用几何画板作出k>0和k<0时的多个反比例函数图象，数形结合，让学生归纳概括出反比例函数的性质． 第三部分：反比例函数的应用 （1）确定反比例函数解析式 （2） 实际问题与反比例函数 在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模。一般地建立函数模型有两种思路: (1) 通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可． (2)从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式． 实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视．这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的． 2.本章教学中应注意的问题： 1、加强数学与现实的联系，加强数学与其他学科的联系． 2、利用反比例函数解决实际问题时，即要关注函数本身，又要考虑实际意义，特别是在画函数图象时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。(画图时只画双曲线的一支) 3、例题中涉及体积、工程、杠杆、电压四个方面的问题，没有涉及函数图象，建议增加利用函数图象来解决实际问题的题型，更好的体现数形结合. 3.研究方法与研究过程 1、分析解析式自变量与函数值的取值范围(数) 2、结合解析式预测图象特点(形) 3、列表体验(注意点的代表性) 4、描点、连线、验证(加密) 5、归纳概括形成结论 4.本章教学建议： 1.注意做好与已学内容的衔接； 2.类比正比例函数、一次函数的研究方法，研究反比例函数，帮助学生体会研究一个函数的一般过程； 3.把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索； 4.加强反比例函数与正比例函数的对比； 5.关注反比例函数与现实世界的联系； 6.合理安排反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学. 5.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1.1反比例函数126.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时126.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 126.2.1实际问题与反比例函数（1）126.2.2实际问题与反比例函数（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1.1反比例函数1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念． 2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系． 3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用． 1.经历抽象反比例函数概念的过程． 2.加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能．活动一：让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程． 活动二：学生自主探究，完成解答，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念.6.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时1．会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力． 3．在画反比例图像，并探究其性质的过程中，感悟“数形结合”、分类讨论及“从特殊到一般”的数学思想．1.会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2.加深对构建反比例函数模型的理解. 活动一：学生思考、交流，画图 ． 活动二：同学分别交流，找出图象的特征． 活动三：探究巩固例题． 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题． 3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 1.理解k的符号作用． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．活动一：领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 活动二：理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 活动三：探究巩固例题．26.2实际问题与反比例函数（1）1．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 1.会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 2．分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式． 活动一：通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．26.2实际问题与反比例函数（2）1.利用物理学中相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 2.进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 1.运用反比例函数解决实际问题. 2.体会各学科间的内在联系及函数思想的广泛应用.活动一：学生思考、交流，写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动二：探究运用反比例函数解决实际问题. 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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26.1.1反比例函数
人教版 九年级 下册
教材分析
经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际.理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系．源:21
经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用．
教学目标
教学目标：1.理解反比例函数的意义.
2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式．
教学重点:理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式．
教学难点:反比例函数解析式的确定.
新知导入
情境引入
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗 本节课我们一起来探究一下！
新知讲解
合作学习
情景1：学校要组织春游了，小亮作为生活委员，去超市给全班30名同学买春游所需物品。在食品区，他想买糖果，如果每人x 颗，则总颗数为 y 颗.
总颗数y
x颗/人
1
30
2
60
3
90
…
…
x
y=30x
y是x的正比例函数
情景2：小亮决定用60元买糖果，如果买单价为x元/千克的糖果可以买y千克.
单价x （元/千克）
数量y (千克)
4
15
5
12
6
10
…
…
x
y=
60
x
xy=60，积是定值
y与x成反比例
情景3：小亮要买一块可以剪裁的坐垫，要求坐垫的形状是矩形，并且面积是8m2，若剪裁的矩形长为xm,宽为ym.
长 x(m)
宽 y(m)
2
4
2.5
3.2
5
1.6
…
…
x
y=
8
x
xy=8，积是定值
y与x成反比例
提炼概念
y=30x
y=
60
x
y=
8
x
y与x成正比例
y是x的正比例函数
xy=60，xy=8，
积是定值
y与x成反比例
y是x的反比例函数
回顾旧知、类比归纳
思考2： 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
思考3：反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式：(注意 k≠0)
下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？
① y =3x-1 ② y =2x2 ③ ④
⑤ y =3x-1 ⑥ ⑦
不是
是，k = 1
不是
不是
是，k = 3
是，
是，
典例精讲
例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值.
分析：因为y是x的反比例函数，所以设 .
把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值.
解：（1）设 .因为当x=2时，y=6，所以有
解得k=12.因此
（2）把x=4代入 得
根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比例函数的三种表现形式．①y＝2x－1是一次函数；②y＝－ 是反比例函数；③y＝x2＋8x－2是二次函数；④y＝ ，y与x2成反比例，但y与x不是反比例函数关系；⑤y＝ 是反比例函数，可以写 成 ；⑥y＝ ，当a≠0时是反比例函数，没有此条件则不一定是反比例函数．
例2 下列关系式中，y是x的反比例函数的是________(填序号)．
①y＝2x－1；②y＝－ ；③y＝x2＋8x－2；
④y＝ ； ⑤y＝ ； ⑥y＝ .
② ⑤
归纳概念
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为（k≠0）．
（2）代，即将已知条件中对应的 x、y 值代入 中得到关
于k的方程．
（3）解，即解方程，求出 k 的值．
（4）定，即将 k 值代入 中，确定函数解析式．
课堂练习
必做题
1、用反比例函数解析式表示下列问题中两个变量间的对应关系：
(1)一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间t
(单位：h)随注 水速度v (单位：m3/h)的变化而变化；
(2)某长方体的体积为1000 cm3，长方体的高h(单位：cm)随
底面积S (单 位：cm2)的变化而变化；
(3) 一个物体重100 N，物体对地面的压强p (单位:Pa)随物体
与地面的接触 面积S (单位：m2)的变化而变化.
解：
2．若函数 是反比例函数，则m的取值是 ．
3
选做题
3. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解得 k =－12.
（1）所以有
(2) 把 y=6 代入 ，得
解得 x =－2.
综合拓展题
4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
作业布置
必做题
1、下列说法不正确的是 ( )
A．在y＝ -1中，y＋1与x成反比例 B．在xy＝－2中，y与 成正比例
C．在y＝ 中，y与x成反比例 D．在xy＝－3中，y与x成反比例
C
选做题
2.已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
解得 m =－3.
解：因为 是反比例函数，
所以
m2 + 2m－4=－1，
m－1≠0.
综合拓展题
3.已知函数 y＝y1－y2，y1 与 x 成正比例，y2 与(x－2)成反
比例，且当 x＝3 时，y＝5；当 x＝1 时，y＝－1，求出 y 与 x 的函数解析式．
课堂总结
反比例函数
求解析式时，
①设
②由已知条件求出 k .
一般地，形如（k 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
概念
解析式
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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分课时教学设计
第1课时《 26.1.1反比例函数 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际.理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系．源:21世纪育网
学习者分析 经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用．
教学目标 1.理解反比例函数的意义. 2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.
教学重点 理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式．
教学难点 反比例函数解析式的确定．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？ 学生活动1： 通过探究活动理解． 学生思考、交流，予以回答活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发， 关注学生能否正确列出函数关系式，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 情景1：学校要组织春游了，小亮作为生活委员，去超市给全班30名同学买春游所需物品。在食品区，他想买糖果，如果每人x 颗，则总颗数为 y 颗. 情景2：小亮决定用60元买糖果，如果买单价为x元/千克的糖果可以买y千克. 情景3：小亮要买一块可以剪裁的坐垫，要求坐垫的形状是矩形，并且面积是8m2，若剪裁的矩形长为xm,宽为ym. 思考 观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看. 思考2： 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考3：反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式：(注意 k≠0) 下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？学生活动2： 学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式． 加深对构建反比例函数模型的理解.活动意图说明： 通过经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1 已知y是的反比例函数，当=2 时,y = 6. (1) 写出y与之间的函数解析式； (2) 当=4时，求y的值. 【分析】由于y是的反比例函数，故可说其表达式为y = ，只须把=2，y=6代入，求出值，即可得y = ，再把=4代入可求出 y=3. 例2 下列关系式中，y是x的反比例函数的是________(填序号)． ①y＝2x－1；②；③y＝x2＋8x－2； ④； ⑤y＝； ⑥y＝ （学生独立完成，然后分小组展示，教师点拨） 答案：② ⑤ 总结： 判断一个函数是不是反比例函数的方法： 先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式，再看k 是否为常数且k≠0.警示：形如y＝的式子中，y是x2的反比例函数，不要误认为y是x的反比例函数． 总结： 求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式y ＝(k≠0)中常数k的值，它一般需经历：“设→代→求→还原”这四步． 即：(1)设：设出反比例函数解析式y＝； (2)代：将所给的数据代入函数解析式； (3)求：求出k的值； (4)还原：写出反比例函数的解析式． 2．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k，因此求反比例函数的解析式只需一组对应值或一个条件即可． 学生活动3： 理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系． 活动意图说明： 培养学生归纳总结的能力，．让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用。在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、用反比例函数解析式表示下列问题中两个变量间的对应关系： (1)一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间t (单位：h)随注 水速度v (单位：m3/h)的变化而变化； (2)某长方体的体积为1000 cm3，长方体的高h(单位：cm)随 底面积S (单 位：cm2)的变化而变化； (3) 一个物体重100 N，物体对地面的压强p (单位:Pa)随物体 与地面的接触 面积S (单位：m2)的变化而变化. 2．若函数y=(3+m)x^8 m^2 是反比例函数，则m的取值是 ． 3 选做题： 3. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 【综合拓展类作业】 4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 它是反比例函数.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1、下列说法不正确的是 ( ) A．在y＝ -1中，y＋1与x成反比例 B．在xy＝－2中，y与 成正比例 C．在y＝ 中，y与x成反比例 D．在xy＝－3中，y与x成反比例 C 选做题： 2.已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
【综合拓展类作业】 3.已知函数 y＝y1－y2，y1 与 x 成正比例，y2 与(x－2)成反 比例，且当 x＝3 时，y＝5；当 x＝1 时，y＝－1，求出 y 与 x 的函数解析式．
教学反思 1．反比例函数的定义： 形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 2．反比例函数的形式： 3．确定反比例函数的解析式：待定系数法． 4．建立反比例函数模型．
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