福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题（含答案）

2023-2024（上）闽侯一中高二第二次月考数学试卷
H.2023.12.18
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.
1.已知抛物线：，则焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线：的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，为的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.过抛物线：的焦点作直线交拖物线于，两点，若，两点横坐标的等差中项为2，则（ ）
A.8 B.6 C. D.4
5.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A.5.3 B.4.1 C.7.8 D.6
6.设点，，直线：，于点，则的最大值为（ ）
A. B.6 C.4 D.
7.在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆：的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多个项符合题目要求，全选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分）
9.已知曲线：，：，则（ ）
A.的长轴长为
B.的渐近线方程为
C.与的离心率互为倒数
D.与的焦点相同
10.已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，，则（ ）
A.
B.当且仅当时，取得最小值
C.
D.的正整数的最大值为11
11.设，为椭圆：的两个焦点，点在椭圆上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A.符合条件的点有4个 B.点的纵坐标可以是
C.的面积一定是 D.的周长一定是
12.已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）
A.点的轨迹中包含的中点
B.点的轨迹与侧面的交线长为
C.的最大值为
D.直线与直线所成角的余弦值的最大值为
三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于______.
14.双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为______.
15.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______.
16.已知抛物线：的焦点在直线上，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，的面积是面积的4倍，则直线的方程为______.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（1）求经过点和点的椭圆的标准方程；
（2）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度
18.在平面直角坐标系中，，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.
（1）若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；
（2）若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围.
19.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前10项和.
20.如图，在三棱锥中，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为.若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
21.已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的的最小值.
22.椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，，成等比数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，求直线的斜率.
2023-2024（上）闽侯一中高二第二次月考数学答案
一、单项选择题：
DABB ABAC
8【详解】由题可得，∴，即椭圆：，
∴，直线方程为，∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
二、多项选题
9.BC 10.AC
10【详解】对于A，因为，所以，因为，解得，故A正确；
对于B，注意到，故，时，，，时，，所以当或时，取得最小值，故B错误；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，，，因为，
所以，
所以，所以，正整数的最大值为12，故D错误，
11.BD
【详解】椭圆：的长半轴长，焦点，，为直角三角形，
以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，
显然椭圆的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆有4个公共点，
以为直角顶点的直角有4个，因此；符合条件的点有8个，A不正确；
以为直角顶点时，设，由消去得：，即点的纵坐标为，B正确；
由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；
由椭圆定义知，的周长为，D正确.
12.BCD
【详解】如图，取的中点，分别取，上靠近，的四等分点，，连接，，，，
易知且，所以，，，四点共面.连接，
因为，，，
因此，所以，易知，所以平面，
即点的轨迹为四边形（不含点），易知点的轨迹与侧面的交线为，
由不过的中点，所以A选项错误
又，B选项正确；
根据点的轨迹可知，当与重合时，最大，易知平面，则，
连接，所以，故C选项正确；
由于点的轨迹为四边形（不含点），所以直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，
又向量与平面的法向量的夹角等于，
且，所以直线与平面所成角的余弦值为，
即直线与直线所成角的余弦值的最大值等于，故D选项正确.
三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.1872 14. 15.
16.【详解】设点，的坐标分别为、，焦点的坐标为，可求得，
由，，有，可得，
设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，
有，代入，有，可得，
则直线的方程为，
17.解：【1】设椭圆方程为，
将点和点代入可知，
所以椭圆的标准方程为：；
【2】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，
当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.
把代入椭圆方程可得：，所以当水位上升时，水面的宽度为，
18.【问1详解】设且，，，由题意知，，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，
可化为，所以解得.
【问2详解】设且，，，由题意知，，的斜率存在，
则即，
可化为，可化为
因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，，，
因为，所以解得，所以的取值范围为.
19.【问1详解】（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
【问2详解】由（1）知，
设的前项和为，，∴
当时，，
，
故
20.【详解】（1）取的中点，连接，，∵，∴，
∵，∴是直角三角形，∴，
又，∴，∴，
∴，又，，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）以为坐标原点，平行于的直线为轴，平面的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，
∴，
则，，，，，
∴，
设，，
则，
∴，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
∵直线与平面所成的角为，
整理得，∵，∴方程无解，
∴在线段上不存在点，使直线与平面所成的角为.
21.【问1详解】∵，，，
又，，，，
∴，故，解得或（舍去）；
∴，
∴，，
∴，又∵，
∴或.
【问2详解】由（1）知，，
所以，
，
错位相减得：
∴，
由，可得，
令，
，
令，得，
故当且时，；当且时，；
当时，，
又，，而，
故，，，满足，
所以满足的的最小值为13.
22.【问1详解】设椭圆左，右焦点分别为，，由题意可知，，①
因为，，成等比数列，所以，
即，
整理得，，②又，③
由①②③解得，，，，
所以椭圆方程为.
【问2详解】由（1）可知，，
由题意知，当直线的斜率为0，，重合，，重合，，符合题意；
当直线斜率不为零时，设其直线方程为，，
由可得，，
，
则，
因为，所以的直线为，
令，则，即，同理可得，
所以
所以，
，
点到直线的距离为，
所以，
又因为，
所以，
解得，或，
当时，直线的方程为，此时直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为，即，符合题意.
综上，所以直线的斜率为或0.