新泰一中实验部2022级高二上学期第二次阶段性检测
数学参考答案 2023.12
一、二选择题(每小题5分，共60)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A C C B B AC BC AD AC
三．填空题(每小题5分，共20)
13． 14． 15． 16．
四．解答题
17．【详解】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
18． 【详解】（1）由题意可得：，
因为，
可得，
所以，即的长为.
（2）因为，
可得，即，且，
则，
所以直线与所成的角的余弦值为.
19．【详解】（1）设的公差为d，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），故，
（2）依题意，．
当时，，故；
当时，，故故
20．【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，
由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上，
设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，
由可得：的中点，即，所以，
故的方程为.
（2）因为与圆相切，故，
圆的圆心坐标为，半径，则要想圆与圆有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故，所以.
（3）因为，
所以该式子是表示点到点、点的距离之和，又，
所以上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值.设点关于直线的对称点为，
则有解得，即.
所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.
21．【详解】（1）在题图2中，则为二面角的平面角，即，
又，面，所以平面，
由平面，所以，
题图1中及，所以，
在中，由余弦定理得，
又，所以.
又，面，所以平面.
（2）以为坐标原点，以、、（）为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在中，所以.
所以，
则，令，则，
由，则，
所以且，，，
设平面的法向量为，则，
取，所以，而
所以，解得或（舍去），故.
22．【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，，
所以曲线的方程为
（2）设，，直线：；
，到直线的距离，
所以
另一方面，因为，是椭圆上的动点，
所以可设，，，
由，得，
为定值.新泰一中实验部2022级高二上学期第二次阶段性检测
数学试题 2023.12
一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．设数列满足，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．3
5．已知圆，直线与圆C相交于两点，若圆C上存在点P，使得为正三角形，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．不过原点的直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项满足题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9．已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A． B．当时，最大
C． D．
10．点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是 D．的最大值为72
11．在正方体中，E、F、G分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥与正方体的体积之比为
D．存在实数使得
12．已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与轴相交
C．最小值为16
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有2条.
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题纸的相应位置.
13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
14．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ．
15．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标.
(2)求直线的方程.
18．（本小题12分）如图，在平行六面体中，，.
求：
(1)的长；
(2)直线与所成的角的余弦值.
19．（本小题12分）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
20．（本小题12分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
(1)求的“欧拉线”方程；
(2)若圆M与圆有公共点，求a的范围；
(3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
21．（本小题12分）在（图1）中，为边上的高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.
(1)证明：平面；
(2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.
22．（本小题12分）已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
