山西省吕梁市孝义市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

孝义市2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线：的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正项等比数列的前项和，若，，则的公比（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A．0 B． C． D．
4．在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C．1345 D．2345
5．已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知两点，，若在直线：上存在4个点（），使得为直角三角形，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，为椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知平面与正方体的12条棱所成的角均为，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则曲线为双曲线
B．若，且，则曲线为椭圆
C．若曲线为双曲线，则其渐近线方程为
D．若曲线表示椭圆，则其焦距为
10．已知直线：，：，则（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若与相交于点，则 D．若，则在两坐标轴上的截距相等
11．已知为每项均为正数等比数列的前项积，若，，则（ ）
A．为递减数列 B．
C．当时，最大 D．成等比数列
12．如图，在正三棱柱中，为的中点，空间一点满足，其中，，，则（ ）
A．当时，存在点，使得
B．当时，点的轨迹的长度为2
C．当时，点的轨迹为一段圆弧，其长度为
D．当点到直线的距离与其到直线的距离相等时，点的轨迹为一段抛物线弧
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点到平面的距离为______．
14．过点与圆相切的直线方程为______．
15．已知为双曲线：（，）的右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为（为坐标原点），则的离心率为______．
16．已知各项均为正数的数列的前项和为，，恒成立，则数列的通项公式为______；数列的前项和等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，，，，是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知的边，所在的直线方程分别为，．
（1）求以点为圆心，与圆：相切的圆的方程；
（2）若为边的中点，求边所在的直线方程．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，（），过点
作交于点，的周长为，面积为．
（1）求的方程；
（2）过的直线交于，两点，若，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
在数列中，，对任意正整数，
（1）记，证明：为等比数列；
（2）求的通项公式及其前项和．
22．（本小题满分12分）
已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线交于点，，为坐标原点，若，证明：为定值．
孝义市2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由题意知抛物线的标准方程为，所以其准线方程为．故选C．
2．B 由题意知且，所以解得故选B．
3．B 因为直线的一个方向向量为，所以的斜率，又，
所以，因为，所以．故选B．
4．A 由，得，由，得，所以数列的公差，所以，所以．故选A．
5．D 因为，，共面，所以存在实数对，使得，所以，解得故选D．
6．D 由题意知直线与以为直径的圆相交（，与一交点构成的三角形为直角三角形，另外分别过，作的垂线与相交也可构成直角三角形），以为直径的圆为，所以，解得．又当时，的方程为，此时上的点与，两点共线，不合题意，故的取值范围为．故选D．
7．C 由题意知，，半焦距，
所以由椭圆定义知，故，
且，又，
所以当或时，取得最小值，且其最小值为，
所以的最大值为．故选C．
8．A 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，平面的一个法向量，正方体的12条棱分为三组，各组的方向向量分别为，，，由题意知，即，故，又，所以．故选A．
9．ACD 若，则表示双曲线，其渐近线方程为，故AC正确；若，当，时不表示任何曲线，故B错误；对于D，若曲线表示椭圆，则，，且，当时，则焦点在轴上，且，，所以，故其焦距为，同理当时，焦点在轴上，此时的焦距为，故D正确．故选ACD．
10．BC 若，则，解得或，故A错误；若，则，且，解得或，故B正确；若与相交于点，则解得，故C正确；若，则在轴和轴上的截距分别为和，显然截距不相等，故D错误．故选BC．
11．ACD 因为，且，所以，即，同理，所以且，又，所以，又，所以单调递减，最大，故A，C正确，B错误；因为，易证其为等比数列，故D正确．故选ACD．
12．ACD 由题意知，点是侧面上的动点，对于A，当时，取的中点，则的轨迹为线段，易得当点在点或点处时，，故A正确；对于B，当时，点，，三点共线，故的轨迹为线段，其长度为，故B错误；对于C，易证平面，，当时，所以，故点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆在侧面内的部分（半圆），其长度为，故C正确；对于D，易证平面，又点在侧面内，所以，故点到直线的距离即为点到点的距离，由题意知点到点的距离等于点到直线的距离，显然点不在直线上，故点的轨迹为抛物线在侧面内的部分，故正确．故选ACD．
13．1 由题意得，故点到平面的距离．
14．或 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切；
当直线过点，且斜率存在时，其方程为，
则，解得，故方程为．
15． 设的半焦距为，则，渐近线方程为，
故点到渐近线的距离为，所以，所以，
所以，所以，所以，所以．
16．（2分） （3分） 当时，，又，
所以；当时，，所以，所以数列为等差数列，
所以，又，所以，所以当时，，
显然时上式成立，故；，故数列的前项和．
17．解：（1）设数列的公差为，由，，得，
因为，是和的等比中项，
所以，化简，得，
解得，或（舍），所以．
（2）由（1）得，
所以，
两边同乘以，得，
两式相减，得
，
所以．
18．解：（1）由得所以点，
由题意知，所以．
设圆的方程为（），
当两圆外切时，有，所以，
故所求圆的方程为；
当两圆内切时，有，所以，故所求圆的方程为．
综上所述，所求圆的方程为或．
（2）设，因为点在直线上，故，①
因为为边的中点，所以点的坐标为，
又点在直线上，所以，②
①②联立，并解得即，
故边所在的直线方程为，
化简，得，即边所在的直线方程为．
19．解：（1）设，因为，所以，，
因为的周长为，面积为，
所以，，
即，，又，
所以，，，
所以的方程为．
（2）由（1）知，因为的长轴长为4，故的斜率不为0，
设的方程为，，，
与的方程联立，得
消去并整理，得，
所以，．
又
，
解得，故的方程为，即．
20．（1）证明：因为平面，过的平面交平面于，
所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，
因为，所以为等边三角形．
连接交于，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为四棱锥的体积为，即，
又，，所以，所以．
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量，则即
令，解得，，所以，
设平面的一个法向量，则即
令，解得，，所以，
设平面与平面的夹角为，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
21．（1）证明：因为，
所以，
所以，
又，所以，
所以，即是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得，所以，所以，
又，所以，所以
由上知，
所以
．
22．（1）解：设动点，则，
点到直线的距离，
由题意知，即，
化简，得，即曲线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立方程，得消去并整理，得，
则，且，
所以，，
所以
．
因为，所以，即，
所以，所以，
，
，
所以
，即为定值．