山西省晋中市灵石县一中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

灵石县一中2023~2024学年高二上学期12月月考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正项等比数列的前n项和，若,则的公比（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角（ ）
A．0 B． C． D．
4．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C．1345 D．2345
5．已知空间向量,若共面，则实数z的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知两点,若在直线上存在4个点,使得为直角三角形，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知平面α与正方体的12条棱所成的角均为，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线,则下列结论正确的是（ ）
A．若,则曲线C为双曲线
B．若,且,则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则其渐近线方程为
D．若曲线C表示椭圆，则其焦距为
10．已知直线,则（ ）
A．若,则 B．若，则或
C．若与相交于点，则 D．若,则在两坐标轴上的截距相等
11．已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若,则（ ）
A．为递减数列 B．
C．当时，最大 D．成等比数列
12．如图，在正三棱柱中，D为的中点，空间一点P满足,其中,则（ ）
A．当时，存在点P,使得
B．当时，点P的轨迹的长度为2
C．当时，点P的轨迹为一段圆弧，其长度为π
D．当点P到直线的距离与其到直线的距离相等时，点P的轨迹为一段抛物线弧
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面的法向量为,点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为____________．
14．过点与圆相切的直线方程为____________．
15．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的一条新近线的垂线，垂足为P,若的面积为（O为坐标原点），则C的离心率为____________．
l6．已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为____________;数列的前n项和等于____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知的边所在的直线方程分别为．
（1）求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程；
（2）若为边的中点，求边所在的直线方程．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作交C于点的周长为,面积为．
（1）求C的方程；
（2）过的直线交C于A,B两点，若,求直线l的方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面,过的平面交平面于．
（1）证明：平面;
（2）若平面平面，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
在数列中，,对任意正整数
（1）记,证明：为等比数列；
（2）求的通项公式及其前项和．
22．（本小题满分12分）
已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值．
2023~2024学年高二上学期12月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由题意知抛物线C的标准方程为,所以其准线方程为．故选C．
2．B 由题意知且，所以解得故选B．
3．B 因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，又,所以，因为,所以．故选B．
4．A 由,得，由,得，所以数列的公差，所以,所以．故选A．
5．D 因为共面，所以存在实数对,使得,所以解得故选D．
6．D 由题意知直线l与以为直径的圆相交（与一交点构成的三角形为直角三角形，另外分别过作的垂线与l相交也可构成直角三角形），以为直径的圆为,所以,解得．又当时，l的方程为,此时l上的点与A,B两点共线，不合题意，故a的取值范围为．故选D．
7．C 由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知,故,且,又，所以当或时，取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为．故选C．
8．A 以D为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，平面的一个法向量,正方体的12条棱分为三组，各组的方向向量分别为,由题意知，即,故，又，所以．故选A．
9．ACD 若,则C表示双曲线，其渐近线方程为,故AC正确；若,当时不表示任何曲线，故B错误；对于D,若曲线C表示椭圆，则,且,当时，则焦点在x轴上，且,所以,故其焦距为,同理当时，焦点在y轴上，此时的焦距为，故D正确．故选ACD．
10．BC 若，则,解得或，故A错误；若，则，且，解得或，故B正确；若与相交于点，则解得,故C正确；若，则在x轴和y轴上的截距分别为和，显然截距不相等，故D错误．故选BC．
11．ACD 因为,且,所以,即,同理,所以且,又,所以,又,所以单调递减，最大，故A,C正确，B错误；因为,易证其为等比数列，故D正确．故选ACD．
12．ACD 由题意知，点P是侧面上的动点，对于A,当时，取的中点E,则P的轨迹为线段,易得当点P在D点或E点处时，,故A正确；对于B,当时，点三点共线，故P的轨迹为线段,其长度为，故B错误；对于C,易证平面，当时，所以,故P点的轨迹为以E为圆心，1为半径的圆在侧面内的部分（半圆），其长度为π，故C正确；对于D,易证平面,又点P在侧面内，所以,故点P到直线的距离即为点P到点D的距离，由题意知点P到点D的距离等于点P到直线的距离，显然点D不在直线上，故点P的轨迹为抛物线在侧面内的部分，故D正确．故选ACD．
13．1 由题意得，故点P到平面的距离．
14．或 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切；当直线过点，且斜率存在时，其方程为，则，解得，故方程为．
15． 设C的半焦距为c,则,渐近线方程为,故点F到渐近线的距离为,所以,所以,所以，所以,所以,所以．
16．（2分） （3分） 当时，，又,所以；当时，，所以，所以数列为等差数列，所以,又,所以,所以当时，，显然时上式成立，故；,故数列的前n项和．
17．解：（1）设数列的公差为d,由,得, 1分
因为是和的等比中项，
所以,化简，得, 3分
解得,或（舍），
所以． 5分
（2）由（1）得，
所以， 6分
两边同乘以，得，
两式相减，得 7分
， 9分
所以． 10分
18．解：（1）由得所以点, 1分
由题意知，所以． 2分
设圆A的方程为,
当两圆外切时，有，所以,
故所求圆的方程为； 4分
当两圆内切时，有，所以,故所求圆的方程为．
综上所述，所求圆的方程为或． 6分
（2）设,因为点B在直线上，故，① 7分
因为为边的中点，所以点C的坐标为, 8分
又点C在直线上，所以，② 9分
①②联立，并解得即， 10分
故边所在的直线方程为， 11分
化简，得，即边所在的直线方程为． 12分
19．解：（1）设,因为,所以， 1分
因为的周长为，面积为,
所以， 2分
即，又， 3分
所以， 4分
所以C的方程为． 5分
（2）由（1）知,因为C的长轴长为4，故l的斜率不为0，
设l的方程为, 6分
与C的方程联立，得
消去x并整理，得， 7分
所以． 8分
又
， 11分
解得，故l的方程为，即． 12分
20．（1）证明：因为平面,过的平面交平面于,
所以,又,所以四边形为平行四边形，
所以, 1分
又平面平面,所以平面． 2分
同理平面,
又平面,
所以平面平面．
又平面,所以平面． 4分
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，又,所以四边形为菱形，
因为，所以为等边三角形． 5分
连接交于O,连接,则,
因为平面平面,平面平面,
又平面,所以平面, 6分
因为平面,所以．
因为四棱锥的体积为，即,
又，所以，所以． 7分
以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,
所以． 8分
设平面的一个法向量,则即
令，解得,所以，
设平面的一个法向量,则即
令，解得,所以， 10分
设平面与平面的夹角为，
所以,
故平面与平面的夹角的余弦值为． 12分
21．（1）证明：因为，
所以， 1分
所以， 3分
又，所以， 4分
所以，即是以4为首项，2为公比的等比数列． 5分
（2）解：由（1）得,所以，
所以， 6分
又，所以, 7分
所以 9分
由上知， 10分
所以． 12分
22．（1）解：设动点,则, 1分
点P到直线的距离， 2分
由题意知，即， 3分
化简，得，即曲线的方程为． 4分
（2）证明：设直线l的方程为,
联立方程，得消去y并整理，得， 5分
则，且,
所以， 6分
所以． 7分
因为,所以，即,
所以，所以， 8分
，
， 9分
所以
，
即为定值． 12分