机密★启用前
试卷类型A
山东名校考试联盟
2023年12月高一年级阶段性检测
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在
答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右
上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合A={4,5,7,8},B={2,3,5,6,7},则A∩B=
A{2,3,4,5,6,7,8}
B.{5,7}
C.{5,7,8)
D.{6,7,8}
2.命题“了x∈N,√x2一1∈N”的否定是
A,Hx度N,wx2-1在N
B.Hx∈N,√x-I∈N
C.3x∈N,Wx-I4N
D.Hx∈N,x-IEN
3.已知集合M={z|2x十1>0}，N={x|x2-2x-8≥0}，则M∩(CRN)=
A.{e-2
B.{x|x≥4}
c.{z-D女-2≤x≤-引
高一数学试题。
第1页（共4页）
4.在同一直角坐标系中，函数f(x)=a,g(x)=x(x≥0)的图象可能是
长4
5已知幂函数y=fx)的图象经过点(2，)，则
A.f(x)定义域为R
B.f(x)是偶函数.
Cf(x)是减函数、
D.f(x)的图象关于原点中心对称.
6设适数f)=(兮)“一在2，十心)上单调递减，则。的取值范周是
A.8,+∞)
B.[4,+∞)
C.(-∞，4]
D.(-∞，8]
7.已知a,b∈N,则“a2一b2为偶数”是“a一b为偶数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.log (log2)=log (logay)=log (logsz)=1,
A.IB.xC.zD.z二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.其，二：斗·.雪咨四
9.函数f(x)=log。x(a>0且a≠1)，下列说法正确的是
A.f(x)为增函数.
B.函数f(x)的图象过定点(1,0)
C.当01时，f(x)>0,
D.若点2,1)在fx)的图象上，则f(保)=-2。
10.函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0，十∞)单调递减，f(1)=1,若函数y=f(x-1)的
图象关于直线x=1对称，则下列结论正确的是
A,y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
B,f(x)为偶函数.
C.Vx∈R,f(x)≤f(0)恒成立.
D.f(x)>1的解集为(-1,1).
高一数学试题第2页（共4页）2023—2024学年第一学期考试高一数学试题
本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和
座位号填写在答题卡上.用 2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在
试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A 4,5,7,8 ,B 2,3,5,6,7 ,则A B
A. 2,3,4,5,6,7,8 B. 5,7 C. 5,7,8 D. 6,7,8
答案：B.
解析： A B 5,7
2.命题“ x N , x2 1 N”的否定是
A. x N , x2 1 N B. x N , x2 1 N
C. x N , x2 1 N D. x N , x2 1 N
答案：D.
解析：命题“ x N , x2 1 N”的否定是 “ x N , x2 1 N ”.
3.已知集合M x | 2x 1 0 ,N x | x2 2x 8 0 ，则M CRN
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
A. 1 x | x 4 B. x | x 4 C. x |
1
x 4 D.
x | 2
1
x
2 2 2
答案：A
解析：M {x | x 1 },N {x | x 2或 x 4},CR N {x | 2 x 4}，2
M CRN
x | 1 x 4
2
4.在同一直角坐标系中，函数 f x a x , g x xa x 0 的图象可能是
A B C D
答案：C
解
析:
当a 1时，函数f x a x , g x xa (x 0)的图象如图1所示，此时无满足要求
的答案；当0 a 1时，函数f x a x , g x xa (x 0)的图象如图2所示，故C正确.
图 1 图 2
故选 C.
1
5.已知幂函数y f x 的图象经过点（2，），则
4
A. f x 定义域为R.
B. f x 是偶函数.
C. f x 是减函数.
D. f x 的图象关于原点中心对称.
答案：B
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
解析： f x xa , 1 1 1幂函数 图象过点 2， a 2 a 2, f x x 2 ，
4 4 x2
.
定义域是 ，0 0， ，A错误；
函数 f(x)在(0,+∞)单调递减，在(－∞，0)单调递增，C 错误；
f x 1 1 2 2 f x , f x 是偶函数，B正确，D错误. x x
2x2 ax
6.设函数 f x 1 在 2， 上为减函数，则a的取值范围是
3
A. 8, B. 4, C. , 4 D. ,8
答案：D
t
解析：令 t 1 2x2 ax, y 在定义域内为减函数,
3
2
1 2x ax
函数f x 2 在 2， 上为减函数，则t 2x ax在 2， 上为增函数,
3
a
则 2，a 8 .
4
7.已知 a,b∈N,则 2 2“a－b 为偶数”是“a－b为偶数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析; a,b∈N,分四种情况
①a 为偶数,b 为偶数，则 a2－b2为偶数且 a－b 为偶数；
②a 为偶数,b 为奇数，则 a2－b2为奇数且 a－b 为奇数；
③a 为奇数,b 为偶数，则 a2－b2为奇数且 a－b 为奇数；
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
④a 为奇数,b 为奇数，则 a2－b2为偶数且 a－b 为偶数.
所以“a2－b2为偶数”是“a－b”为偶数”的充要条件。
8.若 1 2 = 1 3 = 1 5 =1，则
2 3 5
A.x答案：C
1 1 1 1 1 1 1
解析：由题意 x=22=86=3210, x=33=96, x=55=2510,所以 z二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.函数f x loga x a 0且a 1 ,下列说法正确的是
A. f (x)为增函数.
B.函数 f(x)的图象过定点(1,0).
C.当0 a 1且x 1时，f x 0.
D. 1 若点 2，1 在f x 的图象上，则f 2.
4
答案：BD
解析：当 a>1 时，f(x)是增函数，0函数 f(x)的图象过定点(1,0),B 正确；
当0 a 1且x 1时，f x 0,C错误；
若点 2，1 在f x 的图象上，则loga 2 1，a 2, f
1 log 1 2.D 正确. 2
4 4
10. 函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在[0,+∞)单调递减，f(1)=1,
若函数y f x 1 的图象关于直线x 1对称，则下列结论正确的是
A.y f x 的图象关于直线x 2对称. B. f x 为偶函数.
C. x R, f (x) f (0)恒成立 D. f x 1的解集为 1，1 .
答案：BCD
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
解析： f x 1 的图象关于直线x 1对称， f 1 x 1 f 1 x 1 ,即f x f x .
所以 f(x)为偶函数，图象关于 x=0 对称，所以 A 错误，B 正确；
由 f(x)在[0,+∞)单调递减，知 f(x)在(－∞，0)单调递减，所以 x ∈ R,f(x)≤f(0)恒成
立，所以 C 正确；
因为 f(1)=1,所以 f(x)>1 f(x)>f(1) |x|<1,-111.已知 a>0,b>0 且 2a+b=1 则下列说法正确的有.
A.4 + 2 ≥ 2 2 B. log2 + log2 ≤ 3
C.4 2+ 2+2ab≤ 3 D. 2a + b ≤ 2
4
答案：ABD
解析：因为 a>0,b>0 且 2a+b=1，4 + 2 ≥ 2 22 + =2 2，当且仅
当 2a=b=1时等号成立，故 A 正确；
2
∵2a+b=1≥2 2ab，∴ab≤ 1,故log2 + log2 =log2 ≤-3，故 B 正8
确；
2
4 2 + 2 +2ab= （2a + b） 2ab = 1 2ab ≥ 1 （ 2a+b )2 =
2
3即 4 2+ 2+2ab≥ 3 ，故 C 错误；
4 4
2
2a + b =2a+b+2 2ab ≤ 2,∴ 2a + b ≤ 2，故 D 正确.故选
ABD.
12.函数 f(x)=x|x|+ax+b,下面的结论正确的是( )
A.函数 f(x)的图象为中心对称图形
B.存在 a，b 使得 f(x)有三个零点
C.当且仅当 a2－4b≥0 时，f(x)有零点
D.存在 a，b 使得 f(x)有两个零点
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
答案：ABD
x2 ax, x 0解析：令函数 g(x)=f(x)-b=x|x|+ax= , g(-x)=- g(x)，g(x)为奇函数，
x
2 ax, x 0
图象关于原点中心对称，所以函数 f(x)的图象关于点(0,b)中心对称，选项 A 正确；
令 f(x)=0，即 g(x)=-b，
a≥0 时，函数 g(x)的图象如图 1，
a<0 时，函数 g(x)的图象如图 2，
所以对任意 a,b,方程 g(x)=-b 至少有一个实根，函数 f(x)至少有一个零点，选项 C
错误；
a<0 时，如图 3，做函数 g(x),y=-b 的图象，可以得到存在 a，b 使得方程 g(x)=-b
有两个实根，f(x)有两个零点，选项 D 正确；
如图 4，做函数 g(x),y=-b 的图象，可以得到存在 a，b 使得方程 g(x)=-b 有三个
实根，f(x)有三个零点，选项 B 正确.故选 ABD
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.函数f x x 3 lg x2 3x 10 的定义域是 .
答案： 3，2
x 3 0 x 3解析：由题意 x2 3x 10 0 5 x 2 3 x 2，函数f x 的定义域是
3，2
ex , x 1
14.设函数 f (x) ，则 f(f(ln2)) = ，若 f(a)=3,则 a= .
ln x, x＞1
(第 1 个空正确得 2 分，第 2 个空正确得 3 分)
答案：ln2 e3
解析: ∵0＜ln2＜1，∴f(ln2)= 2=2, f(f(ln2))=f(2)=ln2.所以 f(f(ln2)) = ln2.
ea 3 ln a 3 a ln3 a e3
∵f(a)=3, ∴ 或 ，∴ (舍)或 ，a=e
3。
a 1 a 1
a 1 a 1
15.a= 1 + 11 1∈(k,k+1),k∈Z，则 k= 13 13
2 5
答案：2
解析：a= 1 1 11+ 1= 1 +
1
1 = 11 = 310 ∈ (2,3). 1 1 3 2 3 5 103 3 3
2 5
16.函数 f(x)在 R 上单调递增，f[f(x)-3x]=2,则 f(3)= .
2
答案：5
解析：设 t= f(x)-3x，则 f(t)=2, ∵函数 f(x)在 R 上单调递增，∴t 为常值，
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
则 f(x)-3x=t，f(x)=3x+t，f(t)=3t+t=4t, 4t=2,t=1, f(x)=3x+1, f(3)=5.
2 2 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.(10 分)已知实数 a≥6，集合
A x 2a 1 x 3a 5 ，B x (3 x)(x 22) 0 .
(1)当 a=10 时，求 RA及 A ∪ B.
(2)当 A ∩ B = A 时，求实数 a 的取值范围.
解：（1）当 a=10， A x 21 x 25 ，……………………1 分
B x 3 x 22 .…………2 分
所以 RA = x x < 21或 x > 25 ，……………3分
A ∪ B = x 3 ≤ x ≤ 25 .………………4 分
(2)因为 A ∩ B = A，所以 A B……………5分
因为 a ≥ 6，所以 A ≠ .
2a 1 3………………6分
3a 5 22………………7分
a 6………………8分
得 6 ≤ a ≤ 9.
实数 a 的取值范围为 6 ≤ a ≤ 9.………………10 分
18.(1)如果 a 0 ,且a 1,M 0,N 0，求证
① loga (MN) loga M loga N ;
② log M na n loga M (n R)
(2)如果 a 0 ,且a 1；b 0；c 0,且 c 1，求证
log b log ba c ,logc a
证明：方法一
(1)①设M am ,N an ,
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
根据对数与指数间的关系可得 log M m, log N n ,……………………1分a a
因为aman am n ,……………………2 分
所以MN am n.……………………3 分
根据对数与指数间的关系可得 loga (MN) m n ,
得 loga (MN) log M log N
……………………4 分
a a
②)设M am，
根据对数与指数间的关系可得 loga M m .……………………5 分
M n (am )n amn，……………………6 分
根据对数与指数间的关系可得 loga M
n mn……………………7 分
得 log na M n loga M (n R)……………………8 分
(2)设 loga b x ,则a
x b ,……………………9 分
于是 log xc a logc b.……………………10 分
根据(1)中的②得 x logc a logc b ,……………………11分
log b
即 log b ca .……………………12 分logc a
方法二
(1)①设 loga M m, loga N n，
则M am ,N an ,……………………1 分
因为aman am n ,……………………2 分
所以MN am n.……………………3 分
根据对数与指数间的关系可得 loga (MN) m n ,
得 loga (MN) loga M loga N ……………………4 分
②)设 loga M m，
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
则M am，……………………5 分
M n (am )n amn，……………………6 分
根据对数与指数间的关系可得 loga M
n mn……………………7 分
得 log na M n loga M (n R)……………………8 分
(2)设 loga b x ,则a
x b ,……………………9 分
于是 log a xc logc b.……………………10 分
根据(1)中的②得 x logc a logc b ,……………………11分
log b log b即 ca ……………………12 分logc a
19.已知函数 f x x2 ax b
(1)若不等式 f x 0的解集为 ( ,1) (3, )，求实数 a,b的值；
(2)当 f 1 0时，
（ⅰ）解关于 x的不等式 f x 0;
（ⅱ）若存在 x 1,2 ，使得 f (x) 0，求实数a的取值范围.
解：（1） 不等式 f x 0的解集为 ( ,1) (3, )
x 1和 x 3是方程 x2 ax b 0的两个根，……………………………1 分
a 1 3 4
由韦达定理定理可得 …………………………………………2 分
b 1 3 3
（2）由 f 1 0可得1+a b 0，即b a 1…………………………3 分
(ⅰ) f (x) x2 ax a 1= x (a 1) (x 1)…………………………4 分
f x 0即 x (a 1) (x 1) 0
若a 1 1即a 2时，可得 x a 1或 x 1；
若a 1= 1即a= 2时，可得 x 1 ；
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
若a 1 1即a 2时，可得 x 1或 x a 1……………………………7 分
综上所述：
当a 2时，不等式的解集为 x | x a 1或x 1 ；
当a= 2时，不等式的解集为 x | x 1 ；
当a 2时，不等式的解集为 x | x 1或x a 1 ……………………10 分
（ⅱ）由上一问可知，若存在 x 1,2 ，使得 f (x) 0
只需a 1 1即可，所以a 0…………………………………12 分
20.经验表明，某种日照绿茶用80 C的水泡制，再等到茶水温度降至60 C时，饮
用口感最佳. 为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的
冷却模型：若物体的初始温度是 1 C，室温是 0 C，则经过时间 t（单位：分钟）
kt
后物体的温度 （单位： C）满足 0 1 0 e ，其中 k为正常数. 研究小
组通过多次测量取平均值的方法，测得 200mL初始温度为85 C的茶水，放在室
温 25oC的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55 C .
(1)求 k的值；
(2)当室温为 20 C 时，若该种日照绿茶用80 C的水泡制，则刚泡好的茶水大约需
要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到0.1）
（附：参考值 ln 2 0.7, ln3 1.1）
解析：（1）依题意， 10 55， 0 25， 1 85 . 25 85 25 e 10k则 55
10k 1
化简得， e ，············································································ 3分
2
即 10k ln
1
，
2
ln 2
解得： k .···················································································5分
10
ln 2
（2 t）由（1）得 t 20 60 e 10 .······················································· 6分
令 t 60 ln 2，即 t20 60e 10 60 .
ln 2
t
化简得： e 10 2 ···············································································8分
3
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
ln 2 t 2 ln ····················································································9分
10 3
10 3 ln
得 2 10 ln 3 ln 2 10 t 1.1 0.7 40
ln 2 ln 2 0.7 7
5.7 .······························································································ 11分
所以刚泡好的茶水大约需要放置 5.7分钟才能达到最佳饮用口感.··················12分
21.我们知道，函数 y f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函
数 y f (x) 为奇函数，这一结论可将其推广为：函数 y f (x) 的图象关于点
P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数 y f (x m) n为奇函数．已知函数
f (x) 2
3x 1
.
1
(1)利用上述结论，证明： f x 的图象关于 1,1 成中心对称图形；
(2)判断并利用定义证明函数 f(x)的单调性.
证明：（1）
f (x) 2因为 x 1 ，令 g (x) f (x 1) 1………………1分3 1
g(x) 2 1 1 3
x
所以 x x …………………………..3分3 1 3 1
因为函数 g (x)的定义域为 R ,关于原点对称，
x
g( x) 1 3 3
x 1
又因为
3 x
x g(x) 1 3 1
所以 g (x)为奇函数,……………………………………………5 分
由题意可知， f x 的图象关于 1,1 成中心对称图形；…………………….6 分
(2)f(x)为减函数……………………………7 分
x1, x2 R且 x1 x2，
2 2 2(3x2 1 x1 1 x2 x1
f (x1) f (x2 )
3 ) 6(3 3 )
3x1 1
1 3x2 1
…………9分
1 (3x1 1 1)(3x2 1 1) (3x1 1)(3x2 1)
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
因为 x1, x2 R且 x1 x2，
所以3x2 3x1 0,(3x1 1)(3 x2 1) 0，………………………………10 分
x2 x1
所以 f (x1) f (x2 )
6(3 3 )
(3x1 1)(3x
0
2 1)
所以 f (x1) f (x2 )………………………………………11 分
所以 f (x)为减函数…………………………………12 分
22. 2已知幂函数 f x m 3m 3 x3m 2 是偶函数．
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）若 f 2x 3 f 1 x ，求 x的取值范围；
（3）若 g(x) x2 ax 1，对任意 x1 [ 1,2]，都存在唯一 x2 [ 2,4]，使得 f (x1) g(x2 )，
求实数 a的取值范围.
【解析】（1）因为m2 3m 3 1，所以m 1或m 2，···························· 1分
当m 1时， 3m 2 1；当m 2时， 3m 2 4；
因为 f x 为偶函数，
所以m 2 ························································································2分
即 f x x4 ····················································································· 3分
（2）因为 f x 为偶函数， f 2x 3 f 1 x
所以 f 2x 3 f 1 x ，
4
又 f x x 在 0， 上单调递增
所以 2x 3 1 x ，········································································· 5分
即 (2x 3)2 (1 x)2 4，解得： x 2
3
4
所以 x , 2 ················································································· 6分
3
（3）对 x1 [ 1,2]， f (x) [0,16]，即 f x 的值域为[0,16]，
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}
所以对 y [0,16]，总存在唯一 x2 [ 2,4]，使得 y g(x2 )成立，················ 7分
1 ·· a当 2时，即 a 4时， g(x)在[ 2,4]上单调递增，
2
g( 2) 4 2a 1 0
则 a 4g(4) 16 4a 1 16，解得 ；················································· 8分
a
2 ··当 4时，即 a 8时， g(x)在[ 2,4]上单调递减，
2
g( 2) 4 2a 1 16
则 g(4) 16 4a 1 0 ，解得
a 8；···················································9 分
·· 2 a a a3 当 4时，即 4 a 8时， g(x)在 [ 2, ]上单调递减，在 ( ,4]上单调递增，
2 2 2
g( 2) 4 2a 1 16 g( 2) 4 2a 1 0
则
g(4) 16 4a
或
1 0 g(4) 16 4a 1 16
，
11 5
解得 a 8或 4 a ；……………… 11分
2 2
综上，实数 a的取值范围为 ( ,
5) [11 , ) ．······································ 12 分
2 2
{#{QQABKYIEogiIAABAARgCQQHKCgIQkACACKoOwBAEsAABwQFABAA=}#}