数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其意义 (第一课时) 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第一课时
复习引入
1.两类变化率问题:
(1)高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
(2)抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．
2.问题：在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题中，都涉及下列形式的极限
①
并且发现，对于定义域中自变量的某个取值x=x0，①式都是一个常数．如果函数y=f(x)是一般的函数，①式是否也是一个常数？ 如果①式也是一个常数，这个常数有怎样的意义？
探究新知
探究:设函数f(x) =2x2，思考并回答上述问题.
追问1：若函数f(x) =ax2+bx+c呢？
追问2：若函数f(x) =|x|，x0=0 呢？
通过对不同函数的探究发现，尽管对很多函数而言，①式是一个常数；但并不是对所有的函数， ①式都是一个常数.
①
x
y
O
1
2
1
2
3
4
-1
-2
f (x)＝| x |
如果对函数y=f(x)的自变量的某个取值x=x0，下式
是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？
结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题思考.
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋ x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋ x). 这时，x的变化量为 x，y的变化量为
y＝f(x0＋ x)－f(x0).
我们把比值 ，即
叫做函数y＝f(x) 从x0到x0＋ x的平均变化率.
类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和瞬时变化率:
如果 是一个常数，那么这个常数就是微积分中的导数.
请尝试给出导数的定义！
2. 导数的定义
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
(1)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
(2)f′(x0)与 x的具体取值无关；
(3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
问题：根据导数的定义，我们再来重温前面2个问题情境，你能用导数重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即
问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)
(4)函数在某一点处的导数是一个可以变化的数.
(5)导数就是瞬时速度. (　　)
(6)因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数. (　　)
概念辨析
(正确的打“√”，错误的打“×”)
例1　已知函数f(x)＝x2，
(1)计算函数f(x)从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为
①2；②1；③0.1；④0.01；
(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
概念应用
求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤如下：
归纳提升
巩固练习
例2.
解：
概念应用
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
归纳提升
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
所以
分析：原油温度在第2 h时的瞬时变化率，从数学角度求的是什么？
追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
导数值的正负分别代表什么？
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).
练习.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
巩固练习
回顾本节课的内容，思考：
1.什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？
2.计算导数的步骤是什么？
3.本节课蕴含了什么思想方法？
课堂小结