泗阳县实验高级中学2023-2024学年第一学期
高一第二次调研测试
数学试卷
本试卷共22题，共150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
一、单选题
1．若是三角形内角，且，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（ ）
A． B．3 C．1或 D．或3
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若“”为假命题，则的取值可以是（ ）
A．5 B．3 C．1 D．-1
6．已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A． B． C．2021 D．0
8．扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．角与角终边重合
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若是第二象限角，则点在第四象限
10．下列函数中，值域为的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）
A．函数至多有2个零点 B．，使得是R上的增函数
C．当时，的值域为 D．当时，方程有且只有1个实数根
12．已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则或
D．若方程有两个不同的实数根，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．请写出与终边相同的最小正角： .
14．已知函数，则的值域是 .
15．已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ．
16．已知都不为1的正数a，b，c，m满足.若，则m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）若，化简：；
（2）求证：.
18．已知角a的终边经过P（4，﹣3）.
（1）求2sinα﹣cosα的值；
（2）求角α的终边与单位圆的交点P的坐标.
19．已知函数，其中.
(1)解关于的不等式：；
(2)若函数的最小值为，求实数的值.
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，方程有解，求实数的取值范围.
21．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
22．已知函数（且）．
(1)求的定义域；
(2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
(3)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.泗阳县实验高级中学2023-2024学年第一学期高一第二次调研测试数学参考答案：
1．B
【分析】是三角形的内角，则，再根据三角函数值可得答案.
【详解】是三角形的内角，则，
因为，所以或.
故选：B．
2．B
【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】由不一定能推出，如当时，，但是，
由，可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．A
【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案.
【详解】令，解得或，
当时，，图象经过坐标原点，不合要求，
当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.
故选：A
4．B
【分析】利用同角三角函数之间的关系以及平方公式计算即可求出结果.
【详解】由题意可得，得，
则，
由可知，所以.
故选：B
5．A
【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得.
【详解】因为“”为假命题，
所以其否定恒成立，
所以在上恒成立，
所以即，
所以的取值可以是5.
故选：A
6．D
【分析】利用指数和对数的运算规则和指数函数、对数函数与幂函数的性质，比较大小.
【详解】
，
,故A错误；
，，故BC错误，D正确．
故选：D.
7．A
【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以，
故选：A.
8．D
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
9．ABD
【分析】利用象限角的概念判断A；利用终边相同的角的特征判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积判断C；利用三角形函数值的符号法则判断D.
【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，
因此是第四象限的角，A正确；
对于B，由于，因此角与角终边重合，B正确；
对于C，由圆心角为的扇形弧长为，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误；
对于D，由是第二象限角，得，则点在第四象限，D正确.
故选：ABD
10．ABC
【分析】由已知结合基本初等函数的值域即可求解．
【详解】对于A，函数的值域为，故A符合；
对于B，因为分母上的，所以，
即函数的值域为，故B符合；
对于C，因为，所以，所以，
即函数的值域为，故C符合；
对于D，因为，所以，
即函数的值域为，故D不符合.
故选：ABC.
11．AD
【分析】根据分段函数的解析式，考查每段的零点情况即可判定A；根据函数在上单调递减，可判定B；分段求出函数值的取值范围，可判定C，令，解出方程可判定D.
【详解】当时，，符合条件，故是函数的一个零点，
当时，令，
由韦达定理知，两个根之和为，
故方程不可能有两个正根，也不可能有一正根，一个根为零，
若方程有一负根和一正根，则，解得，
即方程至多有一个正根，
综上可知，函数至多有2个零点，故A正确；
因为函数的图象开口向下，对称轴为，
故在上单调递减，
则不存在，使得是R上的增函数，故B错误；
当时，，
当时，函数的图象开口向下，对称轴为，
故在上单调递减，
所以，当时，
则函数的值域为，不符合题意，故C错误；
当时，，
令，则方程，可化为，
若，则，解得，
若，则，解得或者，均不符合条件，
故只有，即，此时只有为其根，
故时，方程有且只有1个实数根，则D正确，
故选：AD.
12．ABC
【分析】选项A分情况代入的值讨论即可；选项B直接把代入分段函数求值；选项C分情况讨论；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.
【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：，，故选项不正确；
对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，
函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.
故选：ABC
13．
【分析】利用终边相同的角的定义可得出结果.
【详解】因为，故与终边相同的最小正角为.
故答案为：.
14．
【分析】令，先求出的范围，再根据对数函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
则，可得，
已知单调递减，所以，
则的值域为.
故答案为：.
15．(1,2)
【分析】由指数函数经过(2,9)求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集.
【详解】设且，所以有，解得，即，
因此函数为R上的增函数，
因为，所以，解得，
故答案为：.
16．
【分析】可知，，利用函数在R上为减函数求的取值范围.
【详解】因为，，，是都不为1的正数，且，所以，，且为方程的解.
设，因为，，所以在上单调递减.
又，所以.
故答案为：
17．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由已知，结合平方关系式及角的范围化简计算即可；
（2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边.
【详解】（1）原式
，
因为，所以，原式.
（2）证明：.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）根据终边上的点的坐标分别求出正弦和余弦即可得解；
（2）根据三角函数的定义即可得解.
【详解】（1）角a的终边经过P（4，﹣3）.
所以，，
所以2sinα﹣cosα=-2；
（2）角a的终边与单位圆的交点P的坐标为（cosα，sinα），即.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性，结合可得出关于x的不等式组，解之即可；
（2）求出函数的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出的最小值的表达式，结合a的取值范围可解得结果.
【详解】（1）不等式，即，因为，
所以，即，故不等式的解集为.
（2）对于函数，由，得，即函数的定义域为，
又，设，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为，的最小值为，所以，得.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和，即可求出答案.
（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.
【详解】（1）当时，则，
是奇函数，.
又当时，
.
（2）由，
可得.
是奇函数，
.
又是上的单调减函数，
所以在有解.
令，则在有解.
即在有解，
设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为
实数的取值范围为
21．(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22．(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）由可得的定义域；
（2）注意到在上单调递增，则在，即的范围是就是在上的值域；
（3）由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，即可得答案.
【详解】（1）由，得或．
∴的定义域为；
（2）令，
因函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，∴在上为增函数；函数在有且只有一个零点，
即在有且只有一个解，∵函数在的值域为，
∴的范围是．
（3）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由（2）在上为增函数，在上为减函数.
则在上为减函数，得.
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于2的相异零点.
设零点为，则.解得．
又∵，故存在这样的实数符合题意．
