新泰一中东校 2022 级高二上学期第二次质量检测
参考答案
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BCD 10．ACD 11．BD 12．ABC
4 1 6
13． 14． 15． 16．1
5 15 3
17．【详解】（1）当 n 1时，有 a1 S1 20 30 28.
2 2
当n 2时，有 an Sn Sn 1 2n 30n 2(n 1) 30(n 1) 4n 32.
又因为4 1 32 28，所以 n 1时 an 4n 32也成立，
因此数列的通项公式为： an 4n 32 .
因为 an 1 an 4(n 1) 32 (4n 32) 4 ，所以 an 是等差数列.
15
2
225
（2）（方法一）因为 Sn 2n
2 30n 2 n2 15n 2 n ，
2 2
又因为 n 是正整数，所以当 n 7或 8 时， Sn最小，最小值是 2 72 30 7 112.
（方法二）由 an 4n 32可知数列 an 是递增的等差数列，
而且首项 a1 28 0.令 an 0，可得4n 32 0，
解得 n 8，而且 a8 0.
8 ( 28 0)
由此可知，n 7或 8 时， Sn最小，最小值是 112 .2
4 2
18．【详解】（1）直线 AB的斜率为 1，所以 AB边的高所在直线的斜率为1，
1 1
所以 AB边的高所在直线的方程为 y 5 1 x 4 , y x 1.
（2）直线 AB的斜率为 1，若直线 l与直线 AB平行，则直线 l的方程为
y 5 x 4 , y x 9 .线段 AB的中点坐标为 0,3 ，
若直线 l过 0,3 5 3 1，则直线 l的方程为 y x 3, y x 3.
4 0 2
2x x0 419．【详解】（1）解法 1：设P x ,y Q0 0 ， x, y ，由中点坐标公式可得：
2y y0
x0 2x 4
解得： y 2y 由于点 P 在圆 O：
x2 y2 4 x2 2上，所以： y 4，
0
0 0
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代入可得： 2x 4 2 2y 2 4
2
化简可得点 Q 的轨迹方程为： x 2 y2 1．
1
解法 2：设线段 OM 的中点为 N，连接 NQ，∵Q 为 MP 的中点，∴ NQ OP 1，
2
2
∴点 Q 的轨迹为以 N 为圆心，1 为半径的圆，则点 Q的轨迹方程为： x 2 y2 1．
3 3 1
（2）当 k不存在时，直线 l的方程为 x ．此时圆心 Q到直线 l的距离为 d 2
2 2 2
1
所以： AB 2 r 2 d 2 2 1 3满足条件．
4
y k x 3 当 k 存在时，直线 l 的方程为 2，设圆心 Q到直线 l的距离为 d，
2
2 2 2 d 1则 AB 2 r d 2 1 d 3，所以：
2
k 2 3 2 1 k 2 15
而 Q 到直线 l 的距离为 d 2 1 2 ，解得：
k
1 k 2 1 k 2 2
8
15 3 15 77
此时直线 l 方程为： y x 2 x ．8 2 8 16
3 15 77
综上：满足条件的直线 l 的方程为： x 或 y x ，
2 8 16
20．【详解】（1） 动点 P x, y x 0 到定点F 1,0 的距离比到 y轴的距离大1，
又 x 0， P到 F 的距离等于 P到直线 x= 1的距离， 动点 P的轨迹为以 F 1,0 为焦点的
抛物线， 轨迹C的方程 y2 4x x≥ 0 ；
（2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，M t,0 ， 直线 l过点Q 2,0 ，
设直线 l方程：x my 2，代入 y2 4x， 可得 y2 4my 8 0，显然 16m2 32 0，
则 y1 y2 4m， y1y2 8，
AMQ BMQ kAM kBM y2 x1 t y1 x2 t 0
y2 my1 2 t y1 my2 2 t 0 得2my1y2 2 t y1 y2 0
又 y1 y2 4m， y1y2 8 2m 8 2 t 4m 0
得m 2 t 0 t 2，即M 2,0 .
故在 x轴上存在点M 2,0 使得 AMQ BMQ
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21．【详解】（1）连接 PO，因为PA PD 7，所以PO AD，
因为底面 ABCD是菱形， AB 2 3，所以 AD 2 3，因为O为边 AD的中点，
所以 AO 3，∴ PO PA2 AO2 7 3 2，
因为 BAD 60 ，
BO2 AO2 AB2所以 2AO AB cos BAO 3 12 2
1
3 2 3 9，
2
因此 PO2 BO2 4 9 13 PB2 ，即 PO OB，
又因为OA2 OB2 3 9 AB2 12 ，所以 AD OB，
又 AD PO O， AD 平面 PAD，PO 平面 PAD，所以OB 平面 PAD，
又 PD 平面 PAD，所以OB PD，即 PD OB .
（2）由（1）知OA，OB，OP两两垂直，故以O为坐标原点，
OA，OB，OP为 x， y， z轴建立如图示空间直角坐标系，
则O 0,0,0 ， A 3,0,0 ，B 0,3,0 ， P 0,0,2 ，C 2 3,3,0 ，
于是 PC 2 3,3, 2 ， PO 0,0, 2 ，OB 0,3,0 ，令 PM PC(0 1)，
则OM PM PO PC PO 2 3 ,3 , 2 2 ，
r
取平面OBC的一个法向量为m 0,0,1 ，设平面OBM的一个法向量为n x, y, z ，
n OB 0 3y 0 3
因为 ，所以 n 1,0, ，
n OM 0 2 3 x 3 y 2 2 z 0 1
m n
2 7
又二面角M OB C为锐二面角且设为 ，所以 cos cos m ,n
m
，
n 7
3
1 2 7 2
即 ， = （负值舍去），
2 7 5
1 3
(1 )2
2 7
故存在点M 使得二面角M OB C的余弦值为 ，此时点M 满足 PM
2
PC .
7 5
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22．【详解】（1）设动圆圆心 P的坐标为 x, y ，动圆 P 的半径为 r，
则由已知 PF2 r， PF1 10 r ，
消去 r得 PF1 PF2 10，
x2 y2
故动圆圆心 P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆，设为 2 2 1,a b 0，a b
则2a 10， a 5， b2 25 9 16
x2 y2
则 E 的方程为 1；
25 16
（2）设直线 l的方程为 x ky m,m 5， A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x2 , y2 )
x ky m
联立 x (16k 2 25) y2 32kmy 16m2 400 0
16x
2 25y2 400 ，消去 得 ，
32km 2
y1 y2 2 , y y
16m 400
，
16k 25 1 2 16k 2 25
y y1 y 2又直线 AC 的方程为 (x xx x 1
) y1
1 2
令 y 0，
x y1x2 y2x1 y1(ky m) y 2 2(ky1 m) 2ky1y2 m( y1 y2)得 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2k 16m
2 400
2 m
32km
16k 25 16k 2 25 2532km
，
m
16k 2 25
即Q
25
,0
，
m
MD DQ 1 1 1 1 m 5 1
MD DQ DQ MD 5 25 m 5 5 m 5 5m 5 5
m
MD DQ
1
MD DQ 是定值，且为 .5
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数学试题
时间：120 分钟；满分 150 分
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1．抛物线 y 2x2的焦点到准线的距离为（ ）
1 1 1
A． B． C．
8 4 2
D．4
2．若直线 ax 2y 0与直线 x (a 1) y (a2 1) 0平行，则 a的值是（ ）
A．1 或 2 B． 1 C． 2或 1 D． 2
3．空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OC c，点 M 在OA上，且OM 2MA，点 N 为 BC 中点，则MN
( )
1 2 a b 1 c 1 1
1 2 1 1 2 1
A． B a b c．C． a b c D． a b c
2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2
x2 y2
4．已知双曲线 C： 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的左支交于 A，B两点，且a b
AF1 2F1B， ABF2 90 ，则 C 的渐近线为（ ）
y 10 x y 3 2A． B． x y 6 2 2C． x D． y x
2 4 2 3
a a 10,a 8 *5．在数列 n 中， 1 2 ，且 an 1 an 1 2an n 2,n N ，则数列 an 的前 15 项和为（ ）
A．120 B．102 C．84 D．138
y2 x2
6．已知 F是双曲线 1的下焦点， A(4,1)是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则 PF PA的最小值
4 12
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
a2022
7．已知等差数列 an 的前 n项和 Sn有最小值，且 1 0a ，则使 Sn 0成立的正整数 n的最小值为（ ）2023
A．2022 B．4044 C．4043 D．2023
8．已知圆C : x2 y2 4x 4y 1 0，AB是圆C上的一条动弦，且 AB 4 2 ，O为坐标原点，则 OA OB 的最小
值为（ ）
A．2 2 B． 2 2 1 C． 4 2 2 D． 4 2
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）
9．已知圆O : x2 y 2 4和圆M : x2 y2 4x 2y 4 0，下列说法正确的是（ ）
A．两圆的公共弦所在的直线方程为 y 2x 2 B．圆O上有 2 个点到直线 x y 2 0的距离为 2
C．两圆有两条公切线 D．点 E在圆O上，点 F 在圆M 上， EF 的最大值为 5 3
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10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层
有 1 个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，…，设第 n 层有 an 个球，从上往下 n 层球的总数为 Sn，则（ ）
A． S5 35 B．a5 35 C． an 1 an n 1 D．不存在正整数m 2，使得am为质数
11．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F ，G，H分别是DD1， A1B1，CD， BC的中点，则下
列说法正确的有（ ）
A． BD与 EF 所成角的大小为 B.E， F ，G，H四点共面
3
C．在线段 BD上存在点M ，使得 MC1 平面 EFG
D．在线段 A1B上任取一点 N，三棱锥 N EFG的体积为定值
12．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以
x2 y2
坐标原点为圆心， a2 b2 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆C : 1相切，则下列5 4
说法正确的是（ ）
A．椭圆C的蒙日圆方程为 x2 y2 9
B．若G为正方形，则G的边长为3 2
C．若 P是直线 l： x 2y 3 0上的一点，过点 P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M ，N两点，O是坐标原
点，连接OP
4
，当 MPN为直角时， kOP 0或 3
D．若H是椭圆C蒙日圆上一个动点，过H作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于 P，Q两点，则△HPQ面
积的最大值为 18
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三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知点F 为抛物线 y2 4x的焦点，点 P在抛物线上，O为坐标原点，若△OFP的面积为 2，则O 到直线 PF 的
距离为 .
14．已知数列 an 满足 a1 1,an an 1 2anan 1 ，则 a8 __________．
15．在以 O为中心， F1、 F2为焦点的椭圆上存在一点 M，满足 MF1 2 MO 2 MF2 ，则该椭圆的离心率
为 .
x2 y2
x x
16．已知椭圆 2 2 1 a b 0 ，经过仿射变换 a ，则椭圆变为了圆 x
2 y 2 a2，并且变换过程有如下
a b y y b
对应关系：①点P x ,y 变为 P x , a y a0 0 0 0 ；②直线斜率 k 变为 k k，对应直线的斜率比不变；③图形面积 S 变 b b
为 S
a
S ，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中
b
x2 1
点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆 y2 1内一点P 1,
4 2
作一直线与椭圆相交于 C两点 A,B，则 AOB
的面积的最大值为 ．
四、解答题（17 题 10 分，18-22 每小题 12 分，共 70 分）
17．已知数列 an 的前 n 项和公式为 S 2n 2n 30n：
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求 Sn的最小值，并求 Sn取得最小值时 n 的值.
18．已知 ABC的三个顶点是 A(1,2),B( 1,4),C(4,5)．
(1)求 AB 边的高所在直线的方程；
(2)若直线 l 过点 C，且点 A，B 到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程．
19．已知圆 O： x2 y2 4及点M 4,0 ，动点 P在圆 O 上运动，线段 MP 的中点为 Q．
(1)求点 Q 的轨迹方程；
3
(2)过点 , 2
作直线 l 与 Q 的轨迹交于 A，B两点，满足 AB 3，求直线 l 的方程．
2
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20．已知平面内一动点 P x, y x 0 到点 F 1,0 的距离比到 y轴的距离大1.
(1)求动点 P的轨迹C的方程；
(2)过点Q 2,0 的直线 l与C相交于A，B两点，在 x轴上是否存在点M 使得 AMQ BMQ？若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由.
21．如图，已知四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是菱形， BAD 60 ，O为边 AD的中点，AB 2 3，PA PD 7，
PB 13 .
(1)证明： PD OB；
2 7
(2)试判断线段 PC上是否存在点M 使得二面角M OB C的余弦值为 ，若存在求出点M 的位置；若不存在，
7
请说明理由.
2
22．如图，已知圆 F 21 : x 3 y 100 ，动圆 P 过点 F2 3,0 且与圆 F1内切于点 N，记动圆圆心 P的轨迹为 E．
(1)求 E 的方程；
(2)过点M m, 0 m 5 的直线 l（不与 x轴重合）与 E 交于 A，B 两点，点 C与点 B 关于 x轴对称，直线 AC 与 x轴
MD DQ
交于点 Q，已知点D 5,0 ，试问 MD DQ 是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
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