广东省惠州市重点实验学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

惠州市一中实验学校2023学年第一学期高一年级期中检测
数学
（时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．计算的值为
A．17 B．18
C．6 D．5
6．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C． D．
11．（多选）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
12．（多选）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（ ）
A．若是“阶集”，则
B．若是“阶集”，则为任意正实数
C．若是“阶集”，则
D．若是“阶集”，则
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数的定义域是
14．已知函数是偶函数，则实数 .
15．已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 .
16．已知函数，若，使不等式成立，则实数m的取值范围为 .
三、解答题（共70分）
17．（本题10分）集合.
(1)求；
.
18．（本题12分）(1)已知，求的最小值；
(2)已知，求的最大值．
19．（本题12分）用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为米.
（1）所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出的范围；若不能，说明理由．
（2）求所围成的矩形的面积的最大值.
20．（本题12分）已知集合，.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的范围；
(2)若，求m的范围.
21．（本题12分）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)画出函数的图象；
(2)求函数的解析式（写出求解过程）．
(3)求，的值域．
22．（本题12分）已知函数
(1)求函数的零点;
(2)证明: 函数在区间上单调递增;
(3)若时,恒成立，求正数的取值范围.
参考答案：
1．D
【详解】.
2．B
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得，
命题“，”的否定是“，”.
3．A
【详解】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
4．A.
【详解】设，则，又.
5．B
【详解】．
6．A
【详解】因为一元二次不等式对一切实数都成立，
所以，
7．D
【详解】由为递减函数，且在上的单调函数，
所以单调递减，则.
8．A
【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，
所以当时， ，
当时，，
所以由可得或,
即 或，
解得 或 ，即的解集为，
9．BD
【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；
对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数；
对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数；
10．CD
【详解】若，，则，故错误；
若，，例如，则，，此时，故B错误；
，∴，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
，，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，故D正确．
11．BD
【详解】对于A，，得到或，由可以得到，
但是若，显然成立，但不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：命题“任意，则”的否定是“存在，则”，故B正确；
对于C，由，则，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对于D，且，则由无法得到，但是由可以得到，
即“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
12．ABC
【详解】对于A，若是“阶集”，则，所以，
因为，所以，故A正确；
对于B，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确；
对于C，若是“阶集”，则，由得出，
当时，，所以，当时，取，，满足，
但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确；
对于D，若是“阶集”，则，
当，，时，，故不成立，故D错误.
13．
【详解】根据题意可知需满足，解得且；所以函数定义域为.
14．
【详解】，
由题意该二次函数是偶函数，则对称轴为轴，即对称轴方程，解得.
15．2
【详解】由是幂函数可得，
解得或 ，
当时，满足，为奇函数，符合题意；
当时，，此时，不满足，不合题意，
16．
【详解】令，则问题可转化为在，上有，
易知在上单调递增，故，
①当时，在上单调递增，则，
所以，可得；
②当时，则，不符合题意；
③当时，在上单调递减，则，
所以，可得.
综上所述，.
17．【详解】（1）由题意可得：，
所以.
（2）由题意可得：或，
所以.
18．【详解】（1）由，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
（2）由，则，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为．
19．【详解】（1）依题意得所围成的矩形的面积为，由即，解得；
（2）由，当时，；
所以所围成的矩形的面积的最大值为．
20．【详解】（1）由题意可得
（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，解得，即m的范围为；
（2）因为，所以.当时，，解得；
当时，，解得.
综上，，即m的范围为.
21．【详解】（1）先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象：

（2）是奇函数，时，，，
所以，
所以；
（3）由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数，
，，，，因此最大值为1，最小值为，
所以的值域为．
22．【详解】（1）因为 所以，
令 则有，
解得或 ；
（2）任取,∈(0,+∞),<，
则
因为0<<,所以 ，
即 ，
所以函数在区间(0,+∞)上单调递增；
（3）若>0时,恒成立，即恒成立，
因为a>0,所以ax +2a>0，
又函数在区间(0,+∞)上单调递增，
所以“恒成立”等价于“ax +2a>1恒成立”，
即 在x∈(0,+∞)上恒成立,
即，
令，
易知在x∈(0,+∞)单调递减，
，
故a的取值范围为