江门市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学科试题
（考试时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．
2. 平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线：与：互相平行，则a的值是（ ）
A. B. 2 C. 或2 D. 3或
4．平行六面体中，，则实数的值分别为( )
A． B． C． D．
（第4题） （第5题）
5．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，
直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，
点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
10．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B、已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
11．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12. 如图，在正方体中，点是线段(含端点）上的动点，下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 异面直线与所成的角最小值为
C. 无论点在线段的什么位置，都有
D. 无论点在线段的什么位置，都有平面
第Ⅱ卷（非选择题90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过点且与直线垂直的直线方程为________.
14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____
15．已知点，平面经过点且垂直于向量，则点D到平面的距离为 .
16．平面直角坐标系中，直线与交于点,则点到直线
距离的最小值为_________
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
如图所示，正方形的顶点.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，并写出边所在直线的方程.
18. (本小题满分12分)
在空间直角坐标系中，已知点，，．
(1)若A，B，C三点共线，求a和b的值；
(2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值．
19．(本小题满分12分)
在长方体中，，，与交于点，点为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
20．(本小题满分12分)
已知圆过点三点
（1）求圆的方程;
（2）是否存在斜率存在的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知圆.
（1）直线截圆的弦长为，求的值。
（2）记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.
22. (本小题满分12分)
如图，棱长为3的正四面体中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面
（2）若过点，的平面与平行，且交于点，
求的长，并求直线与平面夹角的正弦值.
答案第4页，共5页江门市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题答案
单项选择：ABAC BCAA
多项选择：AD ACD ABD ACD
填空题：
一、单项选择题(每小题5分，共40分,在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求).
1. 已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．
【答案】A
【解析】.
2. 平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 若直线：与：互相平行，则a的值是（ ）
A. B. 2
C. 或2 D. 3或
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线：与：互相平行，由求解.
【详解】因为直线：与：互相平行，
所以，即，
解得或，
当时，直线：，：，互相平行；
当时，直线：，：，重合；
所以，
故选：A
4、平行六面体中，，
则实数x，y，z的值分别为( )
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】C
【解析】在中
5、如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，两两垂直，
以为原点，，，分别
为，，轴建立空间直角坐标系.
又因为，，
所以，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
所以，故选：B.
6. 如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率
率为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】三角形的外角公式可得，
所以，.
故选：C.
7、已知圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由 ；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4 x2+y2﹣6x+6y+14=0．故选：A
8、如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，
点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案；A
【解析】以D为原点，建立空间直角坐标系如图，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，
设，即
故，设
，则点P到直线CC1的距离
即P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9、下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】AD
【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B错误；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：AD
10．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B、已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
【答案】ACD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ACD.
11、圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为
，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD
12. 如图，在正方体中，点是线段(含端点）上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 异面直线与所成的角最小值为
C. 无论点在线段的什么位置，都有
D. 无论点在线段的什么位置，都有平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】当点与点重合时，由于，，根据平行线的性质可知，从而有，即可判断A选项；由，可知异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，再通过几何法求出线面角的余弦值，即可判断B选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，且，得出，再根据空间向量的坐标运算得出，即可判断C选项；由正方体的性质，可知平面平面，再根据面面平行的性质即可得出，从而可判断D选项.
【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，
∴，即，故A正确；
对于B，∵，则异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，
进而得出与所成角的最小值即为与平面所成角，
所以与所成角的最小值即为与平面所成角，设为，
设正方体的棱长为1，则，
在正三棱锥中，底面的外接圆半径为，
所以，则，故B不正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
设，且，则，
则，所以，故C正确；
对于D，易知平面平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ部分 非选择题
三、填空题(每小题5分，共20分)
13. 过点（－1，3）且与直线垂直的直线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】由直线可知斜率为，根据两直线垂直的斜率关系，可知与之垂直的直线的斜率为，最后利用点斜式求出直线方程.
14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____
【答案】
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．
【详解】解：向量，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
15．已知点，平面经过点且垂直于向量，则点D到平面的距离为 .
【答案】
【分析】根据点到平面的距离的向量求法计算即可.
【详解】由题意，为平面的一条法向量，
，
则点D到平面的距离为.
故答案为：.
16、平面直角坐标系中，直线与交于点,
则点到直线距离的最小值为_________
解析：直线过定点；直线过定点
且两直线垂直，即点在以为直径的圆上。
即点的轨迹为，圆心C到距离为
则点到直线距离的最小值为：
四、解答题(必做)：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
如图所示，正方形的顶点.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，并写出边所在直线的方程.
17. 解：（1）因为，所以.又，所以，
所以边所在直线的方程为，
即 ....................4分
（2）设，
由已知得，解得：，即， ....7分
因为，所以，
所以边所在直线的方程为，即 ........10分
18. 在空间直角坐标系中，已知点，，．
(1)若A，B，C三点共线，求a和b的值；
(2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值．
18.【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据向量共线的坐标关系结合条件即得；
（2）根据共面向量基本定理可得存在，使，然后结合条件即得.
【详解】（1）由题可得，，
∵A，B，C三点共线，
∴，存在，，
即，
∴，解得，
∴，；
（2）因为，，，
∵A，B，C，D四点共面，
∴，，共面，
∵，由（1）知A，B，C三点不共线，
∴存在，使，
即，
∴，解得，
所以．
19．在长方体中，，，与交于点，点为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
19.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由长方体的结构特征，可证，，得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，
因为为正方形，所以，
因为，平面
所以平面
（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，；
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即，
设平面的法向量为，则
，令，则，即，
，
所以，平面与平面的夹角的余弦值为.
20、已知圆C过点三点
（1）求圆C的方程
（2）是否存在斜率存在的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.
解析：（1）因为圆C过点，故圆心C在直线上，
设则，
即，解得，
故圆C的方程为
（2）当直线l过原点，则设 ，则
此时直线方程为；
当直线不过原点时，设 ，则
解得 ，此时直线方程为：或
综上，所求直线的方程为： 或或
21．(本小题满分12分)已知圆.
（1）直线截圆的弦长为，求的值。
（2）记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.
（1）圆心到直线距离为，故，解得
............4分
（2），设，由得
化简得：，即
所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， ..............................8分
因为圆心距，所以两圆有两个公共点， ............10分
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，
公共弦长为 ................................................12分
22. (本小题满分12分)
如图，棱长为3的正四面体中，，分别为，的中点.
(1)证明：平面平面 （2）若过点，的平面与平行，且交于点，求的长，并求直线与平面夹角的正弦值.
（1）证明：在正三角形中，点为的中点
所以， 1分
同理， 2分
因为，平面，
所以平面， 3分
因为平面，所以平面平面
4分
（2）解法一、
在中，设平面与相交于点，
因为，平面，平面平面
故， 6分
因为点为的中点，故点为的中点.
连接并延长， 则与的交点即为点
7分
如图2，在中，过点作，交于点，
因为点为的中点，所以，
在中，点为的中点，
所以，所以 9分
设点在平面的投影为，则为的重心
过作，交于，则平面
连接，则为直线与平面的夹角. 10分
，，,
在中，，11分
故
即直线与平面夹角的正弦值 12分
解法二、设点在平面的投影为点，则为的重心.
由（1）知，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，所以点
5分
，，，
6分
因为，设，则
7分
因为，，，，所以存在实数，，
使得
8分
所以，解得，所以的长为. 9分
所以, 平面的一个法向量 10分
设直线与平面夹角为，则
即直线与平面夹角的正弦值 12分
解法三、设点在平面的投影为点，则为的重心.
由（1）知，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，所以点
5分
，，，
6分
设平面的一个法向量，则，即
取，得到平面的一个法向量 7分
因为，设，则
8分
因为，所以
，
解得，所以的长为. 9分
所以, 平面的一个法向量 10分
设直线与平面夹角为，则
即直线与平面夹角的正弦值 12分
