福建省厦门市厦外2023-2024学年高二上学期12月阶段性训练数学试卷（PDF版含解析）

厦外 2023-2024学年第一学期高二 12月份阶段性训练
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分为 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的
位置上，用 2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指
定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第Ⅰ卷 （本卷共 60分）
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．直线 3x 3y 2 0的倾斜角是（ ）
π 2π π 5π
A． B． C． D．
3 3 6 6

2．已知向量 p在基底 a b,b c,c a 下的坐标为 0,1,2 ，则 p在基底 a,b,c 下的坐标为（ ）
A． 0,1,2 B． 2,1,3 C． 1,3,2 D． 3,2,1
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚
痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 378里路，
第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则该人
第一天走的路程为（ ）
A．228里 B．192里 C．126里 D．63里
4 C：x2 y2．已知圆 x ay＝0与圆C：x2 y21 2 2x 4y 2＝0的公共弦所在直线与 x轴垂直，则实数a
的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
5．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，当点 F在线段 BC1上运动时，下列结论
正确的是（ ）．
A． A1F与 BD可能平行 B． A1F与B1D始终异面
C． A1F与平面 BDC1可能垂直 D． A1F与B1D始终垂直
6 x
2 y2
．已知椭圆C : 1，点M ，N为平面内两点(不与椭圆焦点重合)，若M 关于C的焦点的对称
9 4
点分别为 A,B，线段MN的中点在椭圆C上，则 AN BN 的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．已知数列 a 2n 满足a1a2a3 an n ，其中 n 1,2,3, ，则数列 an （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
1
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
8．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延
x22 y22
长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线 E :: 2 2 1((a 0,,b 0) 的左 a 2 b 2 )
右焦点分别为 F1,F2，从F2发出的光线经过图中的 A，B两点反射后，分
5
别经过点 C和 D，且 cos BAC , AB BD 0 ，则 E的离心率为（ ）
13
A 17 37． B． C 10． D． 5
3 5 2
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知直线 l的一个方向向量为a m,1,3 ，平面 的一个法向量为b 2,n,1 ，则（ ）
A．若 l / / ，则2m n 3 B．若 l ，则2m n 3
C．若 l / / ，则mn 2 0 D．若 l ，则mn 2 0
10．已知等比数列 an 的前n项和为 Sn，且2S5，3S7，4S8成等差数列，则数列 an 的公比可能为（ ）
1
A 1．1 B． 2 C． D． 12
11 2 2．已知点 P在圆 x 5 y 5 16上，点 A 4,0 ,B 0,2 .则（ ）
A．点 P到直线 AB的距离小于 10 B．圆上到直线 AB的距离等于 1的点只有 1个
C．当 PBA最小时， PB 3 2 D．当 PBA最大时， PB 3 2
12．已知O为坐标原点，F为抛物线E : y2 2x的焦点，过点P 2,0 的直线交E于A、B两点，直线 AF、
BF分别交E于C、D，则（ ）
1
A．E的准线方程为 x B．
2 AOB 90

C． FA FB 的最小值为4 D． AC 2 BD的最小值为3 3 66
4
第 IⅠ卷 （本卷共 90分）
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
2 2
13 x y．双曲线C : 1的右焦点 F到其一条渐近线的距离为 ．
2 4
14．在数列 an 1中， a1 ，an a4 n 1 an 1 1 n 2 ，则a2023=_________.
15．已知直线 l :mx y 3m 1 0与圆 x2 y2 4交于 A，B两点，过 A，B分别作 l的垂线与 x轴交
于 C，D两点，若 AB 2，则梯形 ABDC面积为 .
a a log n 216 ．已知数列 n 满足 n 2 .给出定义：使数列 an 的前 k *项和为正整数的 k k N 叫做“好
n 1
数”，则在 1,2023 内的所有“好数”的和为 .
2
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知等差数列 an 前 n项和为Sn，且S2 = 18, S11 = 0.
(1) b = S若 nn ，求证：数列 bn 是等差数列．n
(2)求数列{ an }的前 n项和Tn．
18．已知抛物线C : y2 2 px( p 0)的焦点为F ，点A在抛物线C上，点B 1,1 ，且满足3OB BA（O
为坐标原点）.
(1)求C的方程；
(2)求 AFB的角平分线所在直线的方程.
19．设数列{an}的前 n项和为Sn，且Sn = 2an 1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意的 n ∈ N ，不等式λ (Sn + 1) ≥ 3n 11恒成立，求实数λ的取值范围．
3
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
20．如图，在圆台O O中，截面 EFBC分别交圆台的上下底面于点 E,C,F,B四点．点 A为劣弧 BF的
中点．
(1)求过点 A作平面α垂直于截面 EFBC，请说明作法，并说明理由；
(2)若圆台上底面的半径为 1，下底面的半径为 3，母线长为 3，∠BOF=120°，求平面α与平面 CAB所
成夹角的余弦值．
21．西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一
定林木出售以增加群众收入.当地 2023年年末有林场和荒山共 2千平方公里，其中荒山 1.5千平方公
里，计划从 2024年起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的 16%植树绿化，年末砍伐上年
年末共有林区面积的 4%以创收.记 2024年为第一年，an为第 n年末林区面积(单位：千平方公里)．
(1)确定an与an 1的递推关系(即把an用an 1表示)；
(2)证明：数列{an 1.6}是等比数列，并求an；
(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过 1.2千平方公里？（0. 84 = 0.4096，0. 85 = 0.32768）
22 C x
2 y2
．已知椭圆 ： 2 2 1 a b 0
3
的离心率为 ，椭圆上一动点 P与左、右焦点构成的三角形
a b 2
面积的最大值为 3．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设椭圆 C的左、右顶点分别为 A，B，直线 PQ交椭圆 C于 P，Q两点，记直线 AP的斜率为 k1，
直线 BQ的斜率为 k2，已知 k1 3k2，设△APQ和 BPQ的面积分别为 S1， S2 ，求 S1 S2 的最大值．
4
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
【参考答案】
π
1 3．【答案】C【解析】依题意有 k tan ，解得倾斜角 ，故选 C.
3 6
2．【答案】B【 分 析】由题 意 ， 结 合 向量 坐标的意义即可求解.
【详解】由向量 p在基底 {a b,b c,c a}
下的坐标为 (0,1, 2)，得 p 0 (a b) 1 (b c) 2 (c a) 2a b 3c ，

所以向量 p在基底{a,b,c}下的坐标为 (2,1,3) .故选：B.
3 1．【答案】B【详解】由题意得，该人所走路程构成以 2 为公比的等比数列，令该数列为 an ，其前 n项
a (1 11 6 )
和为 Sn，则有 S6 21 378，解得 a1 192，故选：B.1
2
4 2 2 2 2．【答案】D【详解】 C1：x y x ay＝0，C2：x y 2x 4y 2＝0
两方程相减得到公共弦所在直线方程为 x a y 2＝0
公共弦所在直线方程与 x轴垂直， 4 a 0，解得 a 4故选：D
5．D【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为 1，则D(0,0,0) ，
A1(1,0,1)，
B1(1,1,1)， B(1,1,0)，C1(0,1,1)，令 F (a,1,1 a)且0 a 1，故 A1F (a 1,1, a)，而
B1D ( 1, 1, 1)， BD ( 1, 1,0)，DC1 (0,1,1)，所以 A1F B1D 1 a 1 a 0，
即 A1F B1D，故 D正确；显然 A1F在由相交线 A1F和 BC1 所成的平面上，且 B1D
与该平面有交点，故 F在 BC1上移动过程中 A1F可能与 B1D相交，B错误；

a 1

若 A1F BD且 R，则 1 ，不存在这样的 值，A错误；

a 0

A F BD 1 a 1 0
若 A1F 面 BDC

1，则
1 ，显然不存在这样的 a值，故 C错误.故选：D
A1F DC1 1 a 0
6.【答案】B【详解】解：如图设MN的中点为Q，椭圆C的左右焦
点分别为 F1、F2 ,连接QF ,QF2 , F1 1是MA的中点, Q是MN的中
1 1
点, F1Q是△MAN ， QF1 AN ,同理: QF2 NB ,2 2
Q在椭圆C上, QF1 + QF2 2a =6 AN + BN =12.故选：B.
7．A【详解】依题意，因为 a1a2a3 an n
2
，其中 n 1,2,3, ，当 n 1
2
时， a1 1 1，
2 2
当 n 2时， a1a2a3 an 1 (n 1) ， a1a2a3 an n ，两式相除有
n2a 1 1
2
n
,n 2，易得 a 随着 n的增大而减小，故 a a 4，且 a 1 a ，故最小项为 a 1，
(n 1)2 n 1 n n 2 n 1 1
最大项为 a2 4故选：A
8．【答案】B【解析】由题意知延长CA,DB则必过点 F1 ,如图：
AF1 AF2 2a
由双曲线的定义知 ，又因为 cos BAC
5

BF1 BF 2a
，所以
2 13

cos 5 F1AB ，因为 ，所以 AB BD，13 AB BD 0
AF 13m 2a
设 AF1 13m,m 0
2
，则 AB 5m, BF1 12m，因此
BF2 12m
，
2a
从而由 AF2 BF2 AB 得13m 2a 12m 2a 5m，所以 a 5m BF
12
，则 1 a
2
，BF2 a，F F 2c5 5 1 2
，
5
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
2 2
BF 2 2又因为 1 BF2 F F
2 12 2
1 2 ，所以 a a 2c
2
，即37a2 25c2，即 e 37 ，故选：B.
5 5 5
9 ．【答案】AD【详解】若 l / / ，则a b，即有 a b 0，即
2m n 3 0，即有 2m n 3，故 A正确，

C错误；若 l a //b ，则 ，即有b a，可得 2 m,n ,1 3 ，
1解得 ,m 6,n
1
，则mn 2 2 2 0，故 B错误，D正确．故选：AD
3 3
10．【答案】AC
【详解】设数列 an 的公比为q，
因为 2S5，3S7， 4S8成等差数列，所以 6S7 2S5 4S8，则有3S7 S5 2S8 ，即 S7 S5 2S8 2S7，
所以 2a8 a7 a6 0，又 a6 0，两边同除以 a6得， 2q2 q 1 0，解得 q 1 q
1
或 .故选：AC.
2
11．【答案】ACD
2
【详解】由 x 5 y 5 2 16，可得圆心 5,5 , r 4，
过点 A 4,0 ,B 0,2 x y直线为： 1,即 x 2y 4 0，
4 2
所以圆心 5,5 5 10 4到直线 x 2y 4 0 d 11的距离 5 4，
1 4 5
11
所以点 P到直线 AB的距离的最大值为 d r 5 4 10，点 P到直线 AB的
5
距离小于 10，A选项正确；
11
所以点 P到直线 AB的距离的最小值为 d r 5 4 1，圆上到直线 AB的距
5
离等于 1的点有 2个, B选项错误；如图：当 PBA最大或最小时，此时与圆相切,
5,5 B 0,2 5 0 2 5 2 2且有圆心 到 的距离为 34，利用勾股定理可得：
PB 34 16 3 2，故 C，D选项正确;故选：ACD.
12．【答案】ABD
【详解】对于 A选项，对于抛物线 E， 2p 2，可得 p 1，
1
所以，抛物线 E的准线方程为 x ，A对；
2
对于 B选项，若直线 AB与 x轴重合，此时，直线 AB与抛物线 E只有一个公
共点，不合乎题意，设直线 AB的方程为 x my 2，设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
y2 2x
联立 ，可得 y2 2my 4 0，x my 2 4m
2 16 0 ，

所以， y1 y2 2m， y1y2 4，则
2 2
OA OB x x y y y1 y2 y y 4
2
1 2 1 2 ，则1 2 4 0 AOB 90
，B对；
4 4
2 2 2 2
对于 C 1 1 y选项， FA FB x x 1 y 2 1 y 2 1 y21 2 1 y y 1 5，2 2 2 2 4 1 2
y2 y21 2
当且仅当 时，即当 y1 2时，等号成立，故 FA FB 的最小值为5，C错；
y1y2 4

1 x ty
1

对于 D选项，设点C x3 , y3 、D x 24 , y4 ，设直线 AF的方程为 x ty ，联立 2 可得 y 2ty 1 0，2 2
y 2x
2
判别式为 1 4t 4 0，由韦达定理可得 y1 y3 2t， y1y3 1，同理可得 y2 y4 1，
y2 y2 y2 y2AC x1 x3 1 1 3 1，同理可得， BD 2 4 1，2 2
6
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
2 2 2
所以， AC 2 BD
y 1 1 y 1 16 y
1 y2 3 1 1 3
2 2y2 2 y2 2 21 2 2 2y1 y1 16
9y21 33 3 2 9y
2
1
33
3 3 66 3 ，
16 2y2 21 16 2y1 4
9y2
当且仅当 1
33
88时，即当 4
16 2y2 y1
时，等号成立，
1 3
所以， AC 2 BD 3 66的最小值为3 ，D对.故选：ABD.
4
13．【答案】2
2 2
【详解】C : x y 1的右焦点为 F 6,0 ，渐近线方程为 y 2x，
2 4
6 2 0
不妨取 y 2x，则右焦点 F到其一条渐近线的距离为 d 2 .故答案为：2
1 2
1 a 1 1 1 1 4 1 114． 【详解】 1 ,an 1 4 a ，
a2 1 5a ，
a3 1 aa 5 ， 4
1 a1 ， a 4 数列 an 4 n 1 1 2 3
1
是以 3为周期的数列， a2023 a1 ，4
15．【答案】 2 3
【详解】直线 l的方程可化为 y 1 m x 3 ，所以直线 l过定点 3,1 ，
又 AB 2，所以直线 l与圆的两个交点都在 x轴上方，取 AB中点M，
易知 OAB为边长为 2的等边三角形，则OM 3，
因为 AC l,OM l,BD l，且M为 AB中点，
所以OM 为梯形 ABDC的中位线，故 AC BD 2OM 2 3，
1 1
所以梯形 ABDC的面积为 AC BD AB 2 3 2 2 3，
2 2
故答案为： 2 3
16．【答案】2026
【详解】设数列 an 的前 n项和为 Sn，则 Sn log
1 2 log 2 2 n 2 2 1 1 2
log
2 1 2 n 1
log 3 log 4 log n 2 2 2
n 2
2 log2 log n 2 log 2 log n 2 1．2 3 n 1 2 2 2 2
所以 Sk log2 k 2 1，因为 Sk为正整数，所以 log2 k 2 1 0，即 k 2 2 k 0．
令m log2 k 2 ，则 k 2m 2，因为 k 1,2023 2m，所以 3,2025 ,m N*，
因为 y 2x为增函数，且 21 2,22 4, ,210 1024,211 2048，所以m 2,10 ,m N*，所以所有“好数”的
22 210
和为 22 2 23 2 210 2 2 2 9 2026．故答案为：2026．
1 2
(1) 2
a1 + d = 1817． 由题意， 11a1 + 55d = 0
,
a1 = 10解得 ,-----------------------------------------------------------------2d = 2 分
Sn = 10n +
n n 1 × 2 = n2 11n，----------------------------------------------------------------3 分
2
∴ b = Snn = n 11，----------------------------------------------------------------4 分n
∴ bn+1 bn = n + 1 11 n 11 = 1，
7
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
∴数列 bn 是等差数列；-----------------------------------------------------------------5分
(2) ∵ an = 2n 12，-----------------------------------------------------------------6分
∴当 n ≤ 6时，an ≤ 0，数列{ an }的前 n项和Tn = Sn = 11n n2，-----------------------------------------7 分
当 n > 6时，an > 0，数列{ an }的前 n项和
Tn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + . . . + an
= 2 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + Sn
6 × 10 + 0
= 2 × + n2 11n
2
= n2 11n + 60，-----------------------------------------------------------------9 分
∴ T = 11n n
2, n ≤ 6
n -----------------------------------------------------------------10 分n2 11n + 60, n > 6
18．【答案】(1) y2 4x (2)3x y 3 0

【详解】（1）因为3OB BA，设 A x, y ，则3 1,1 x 1, y 1 ，解得 A 4, 4 .
因为点A在C上，所以 42 2 p 4，
所以 p 2，所以 y2 4x .-----------------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）知 F 1,0 ，所以直线 BF的方程为 x 1，
k 4 4又 AF ，所以直线 AF的方程为 y x 1 ，即 4x 3y 4 0 .3 3
由抛物线的图形知， AFB的角平分线所在直线的斜率为正数.
设 P x, y 4x 3y 4为 AFB的角平分线所在直线上任一点，则有 x 1 ，
5
若 4x 3y 4 5x 5，得 x 3y 1 0，其斜率为负，不合题意，舍去.
所以 4x 3y 4 5x 5，即3x y 3 0，
所以 AFB的角平分线所在直线的方程为3x y 3 0 .-----------------------------------------------------------------12 分
19.【答案】解：(1)当 = 1 时， 1 = 2 1 1 = 1，
解得： 1 = 1，
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 2 1，即 = 2 1，
所以数列{ }是以 1为首项，2 为公比的等比数列，
故 = 2 1 ．-----------------------------------------------------------------5分
(2)由 ( + 1) ≥ 3 11 对任意的 ∈
3 11
恒成立，即 ≥ 2 ，
= 3 11令 2 ，
= 3 8 3 11 = 14 3 则 +1 2 +1 2 2 +1 ，
当 ≤ 4 时， +1 > ，当 ≥ 5 时， +1 < ，
所以 1 < 2 < 3 < 4 < 5 > 6 > 7 >
1
即 的最大值为 5 = 8，
8
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
≥ 1 1故 8，即实数 的取值范围是 8 , +∞ ．-----------------------------------------------------------------12 分
20．【答案】(1)见详解 (2) 10
8
【详解】（1）连接 O’A,AO,OO’，平面 O’OA即为所求作的平面 ,证明如下:
∵在圆台 OO’中,OO’⊥面 OBA,BF 面OBA
∴OO’⊥BF
∵A为劣弧 BF中点，OA为圆 O的半径
∴OA’⊥BF
又∵OO ' OA ' O
∴BF⊥平面 O’OA
又∵ BF 平面EFBC
∴平面O 'OA 平面EFBC -----------------------------------------------------------------5分
（2）连接 O’C,OB,在圆台 OO’中,OO’⊥面 OBA,因此梯形 O’CBO为直角梯形.
∵O’C=1,OB=3,BC=3,∴OO’= 5
过点 O在下底面内作 OA的垂线交圆 O于点D,分别以 OA,OD,OO’所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系.
A(3,0,0),B(3 , 3 3 ,0),F (3 3 3 1 3∴由题意 , ,0),C( , , 5) .
2 2 2 2 2 2
∴ FB (0,1,0) ,即为平面 的法向量.

∵ AB ( 3 , 3 3 ,0),CB (1, 3, 5),设平面 CAB的法向量为 n (x, y, z) .
2 2

n AB 0 2 x 3 3 y 0
∴ ,

即 3 2 ,
n CB 0
x 3y 5z 0

n ( 3,1, 2 3 ) ( 3,1, 2 15∴解得 ) .
5 5
| FB n | 10
因此平面 与平面 CAB的夹角余弦值为cos .-----------------------------------------12 分
| FB || n | 8
21．【答案】解：(I)a1 = 1.5 × 16% + 0.5 × (1 4%) = 0.72，
an = (2 an 1) × 16% + an 1 × (1 4%) = 0．8an 1 + 0.32，
∴ an = 0．8an 1 + 0.32(n ≥ 2)-----------------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)证明an 1.6 = 0．8an 1 + 0.32 1.6 = 0.8(an 1 1.6)
∴ an 1.6 = 0.8
a 1.6 且a1 1.6 = 0.88 ≠ 0n 1
∴ an 1.6 = (a1 1.6) × 0. 8n 1
所以数列{an 1.6}是等比数列
解得an = 1.6 1.1 × 0. 8n-----------------------------------------------------------------8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知a nn = 1.6 1.1 × 0. 8 ≥ 1.2
解得 0. 8n ≤ 4，当 n = 4 时 0. 84 = 0.4096 > 4，当 n = 5 时 0. 85 = 0.32768 ≤ 4．
11 11 11
经过 5年，该地当年末的林区面积首次超过 1.2千平方公里． --------------------------12 分
2
22 x．【答案】(1) y2 1(2) 3
4
9
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
c 3
,
a 2
【详解】（1）由题意知 bc 3,
2
a b
2 c2 ,

a2 4, x2
解得 2 所以椭圆 C的方程为 y
2 1．-----------------------------------------------------------------4分
b 1, 4
（2）依题意， A 2,0 ， B 2,0 ，设 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ．
若直线 PQ的斜率为 0，则点 P，Q关于 y轴对称，必有 kAP kBQ ，即 k1 k2 ，不合题意．--------------5 分
所以直线 PQ的斜率必不为 0，设其方程为 x ty n n 2 ，
x2 4y2 4,
与椭圆 C的方程联立
x ty n,
得 t2 4 y2 2tny n2 4 0，
y 2tn 1 y2 2 ,
所以 16 t 2 4 n2 0 t 4，且 2 -----------------------------------------------------------------6分
y1y
n 4
.
2 t2 4
x2
因为 P x1, y1 是椭圆上一点，满足 1 y21 1，4
2
k k y
2
1 y1 y1 1
x
1
所以 AP BP 1 ，x 2 x 2 x2 4 1 1 1 4 x21 4 4
1
则 kAP 3kBQ ，即12kBP k4k BQ
1．
BP
12y1y2
因为12kBP kBQ x1 2 x2 2
12y1y2 12y1y 2
ty1 n 2 ty 22 n 2 t y1y2 t n 2 y1 y2 n 2
2
12 n2 4
2
t 4
t 2 n2 4 2t 2n n 2
2 2 n 2
2
t 4 t 4
12 n 2
3 n 2
t2 n 2 2t2n n 2 t2 4 1，n 2
所以 n 1，此时 16 t 2 4 n2 16 t 2 3 0，
故直线 PQ恒过 x轴上一定点D 1,0 ．-----------------------------------------------------------------9分
y y 2t因此 1 2 2 ， y1y
3
t 4 2
2 ，t 4
1 1
所以 S1 S2 y1 y2 2 1 y2 2 1 y2 2 1
y1 y2 y1 y
2
2 4y1y2
4 t 2 3 t 2 4 1
2 4t 4 2t 2 4
10
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}
1 1
4
t 2

4 2t 2 4
1 1 2
4 1 ，
t 2
4 2 4
1
则 2

0,
1 1 1
，当 2 即 t 0时， S1 S2 取得最大值 3．-------------------------------------------------12t 4 4 t 4 4
分
11
{#{QQABaYqEggiAABJAABhCQQGICAAQkAGAAIoOQAAMoAABARFABAA=}#}