课件9张PPT。22.2 二次函数与一元二次方程教学目标1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．重点难点重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学设计一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．教学设计教学设计探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？教学设计(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．教学设计教学设计三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
四、课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
五、作业布置
教材第47页 第3，4，5，6题. 第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x＝－时，函数y有最小值.
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－时，函数y有最大值.
二、新课教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
举例：求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．
结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．
例1 已知函数y＝－x2－7x＋，
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．
三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
四、课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
五、作业布置
教材第47页 第3，4，5，6题.
22．2 二次函数与一元二次方程(1)
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．
难点：掌握方程与函数间的转化．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1；
方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3；
方程x2－x＋1＝0的根是：无实根．
2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？
点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．
,第3题图)
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是x1＝x2＝1．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．
解：根据题意知b2－4ac>0，
即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，
解得k>－.
点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1．
点拨精讲：根据对称性来求．
2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．
3．用函数的图象求下列方程的解．
(1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0；
(3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.
点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．2 二次函数与一元二次方程(2)
1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．
2．熟练掌握函数与方程的综合应用．
3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．
重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．
难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是的解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．交点个数无法确定
3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )
A．2 B．0
C．2 D．无法确定
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．
解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，
由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；
(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即
解得或
点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．
探究2 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A )
A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1
C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1
2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝－1．
点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．
3．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若S△ABC＝2，求点C的坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
