课件9张PPT。22.3 实际问题与二次函数第1课时 用二次函数解决利润等代数问题教学目标能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点难点重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
难点
1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．教学设计一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．
2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？教学设计二、教学活动
活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教学设计活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？
3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．教学设计(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．教学设计活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．教学设计三、课堂小结与作业布置
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？
作业布置
教材第51～52页 习题第1～3题，第8题．课件9张PPT。22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与几何综合运用教学目标能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点难点重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．教学设计一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．教学设计二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？教学设计问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？教学设计问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？教学设计教学设计三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
五、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．
作业布置
教材第52页 习题第4～7题，第9题．22.3 实际问题与二次函数(2课时)
第1课时 用二次函数解决利润等代数问题
能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
难点
1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．
一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．
2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、教学活动
活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？
3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．
(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．
活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？
作业布置
教材第51～52页 习题第1～3题，第8题．
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．
二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x＝－＝－＝15时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为S m2，与墙平行的一边为x米，则S＝·x＝－＋30x.
提问4：当x＝30时，S取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x＝18时，Smax＝378.
小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
五、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．
作业布置
教材第52页 习题第4～7题，第9题．
22．3 实际问题与二次函数(1)
1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路．
2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题．
重难点：用抛物线知识解决实际问题．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P49～50，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义．
总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－h)2＋k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_m2．
2．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C是AB的三等分点时，S最大
第2题图 第3题图
3．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是．
点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)
解：由题意可知4y＋×2πx＋6x＝15，化简得y＝，设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x×＝－3x2＋x，∵a＝－3<0，∴S有最大值．∴当x＝1.25 m时，S最大值≈4.69(m2)，即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.
点拨精讲：中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解：设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为y＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2，当x＝－＝a时，y最小值＝2×(a)2－2a×a＋a2＝a2.
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．
点拨精讲：此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
点拨精讲：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．
点拨精讲：解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式；4.利用抛物线解析式结合图象解决实际问题．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(2)
能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．
重点：用函数知识解决实际问题．
难点：如何建立二次函数模型．
一、自学指导．(10分钟)
1．自学：自学课本P50，自学“探究2”，理解求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系，完成填空．
总结归纳：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，若a>0，当x＝h时，函数y有最小值，其值为y＝k；若a<0，当x＝h时，函数y有最大值，其值为y＝k．
点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是2，那么m的值是6．
2．边长为10 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是x cm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是y＝－x2＋100(0＜x＜10)．
3．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解：(1)45＋×7.5＝60(吨)；
(2)y＝(x－100)(45＋×7.5)，
化简，得y＝－x2＋315x－24000；
(3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
(4)我认为，王强说得不对．
理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋×7.5)＝－(x－160)2＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对．
点拨精讲：要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(1，3)，则b＝________，c＝________．
2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
3．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出，若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床位每晚应提高多少元？
点拨精讲：在根据实际问题建立函数模型时，要考虑自变量的取值范围．(3分钟)
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(3)
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题．
重难点：用抛物线知识解决实际问题．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P51，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系，完成填空．
总结归纳：建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的平面直角坐标系；②把已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数关系式；④利用待定系数法求出函数关系式；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( A )
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m
2．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为( B )
A．6.8米 B．6.9米 C．7.0米 D．7.1米
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？
解：由题意建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a，∴a＝－，
即抛物线的解析式为y＝－x2，当水面下降1 m时，点B的纵坐标为－3.将y＝－3代入二次函数解析式y＝－x2，得－3＝－x2，∴x＝±，∴此时水面宽度为2|x|＝2 (m)．即水面下降1 m时，水面宽度增加了(2－4) m.
点拨精讲：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(11分钟)
1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.
(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
点拨精讲：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y＝ax2，则点B的坐标为(10，－4)，即可求出解析式．
2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
