河南省南阳市唐河县重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

唐河县重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B．
C． D．
4．若集合A=，B={︳}，则=（ ）
A． B． C． D．
5．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知集合，则
A． B． C． D．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：）
A．22% B．33% C．44% D．55%
8．设函数，且的定义城为，若所在点构成一个正方形区域，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．普查是要对所有的对象进行调查
B．我国的人口普查是为了了解我国人口的分布情况
C．当普查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当普查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
10．已知实数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数 B．是奇函数
C．的值域是 D．的值域是
12．已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2
C．若，则 D．若，则有最小值
三、填空题
13． ．
14．若“，”的否定是真命题，则实数的取值范围是 ．
15．若，，且满足，则最小值是 ．
16．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实效k的取值范围是 .
四、问答题
17．（1）计算：．
（2）计算：．
18．已知函数的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最小正周期及单调递增区间.
19．已知．
（1）求函数的单调递减区间：
（2）若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围.
20．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)若两根同号，求实数的取值范围；
(2)求使得的值为整数的整数的值．
五、证明题
21．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
22．定义在上的函数满足：对任意的，都有.
(1)求证：函数是奇函数；
(2)若当时，有，求证：在上是减函数；
(3)在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】解一元二次不等式求出集合B，再利用补集和交集的定义求解.
故选：B.
2．B
【分析】根据不等式的性质即可判断AB；举例说明即可判断CD.
【详解】A：若，当时，，故A错误；
B：若，则，所以，故B正确；
C：当，，，时，满足，；但，故C错误；
D：当，时，满足，但，故D错误.
故选：B
3．C
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】解：，
又因为函数在区间上都是增函数，
所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.
故选：C.
4．B
【分析】求出集合后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.
【详解】,
,
故选：B
【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题.
5．A
【分析】题意说明在R上有解，再转化为求函数的最小值可得．
【详解】为局部奇函数，则在R上有解，
即，∴，
∵，∴，即，∴，
故选：A．
6．C
【分析】根据集合的交集的定义求出两集合的交集．
【详解】∵，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可.
【详解】由题意可知：大约增加了
，
故选：C
8．A
【分析】根据题意，求出的定义域和值域，根据构成一个正方形区域，列出等式关系，求出的值.
【详解】因为的值域为，
所以的值域为.
设的两根是，且，则定义域.
而点，构成一个正方形区域，
于是.
故选：A.
9．ACD
【分析】根据普查的特点结合选项可以判断正误.
【详解】普查就是要对所有的对象进行调查，所以A正确；
我国的人口普查不仅是为了了解我国人口的分布情况，还有年龄结构特征等，所以B不正确；
由于普查要对所有对象进行调查，所以当普查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力，所以C正确；
普查不是在任何情况下都能实现的，也受人力、物力和财力的制约，所以D正确.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A：因为，所以，故A 正确；
选项B：因为，，
所以，故B正确；
选项C：因为，
所以，所以，故C正确；
选项D： ，取，
故D错误；
故选：ABC.
11．BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
12．BC
【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式的最值，注意取值条件，即可判断各项正误.
【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；
B：，当且仅当时等号成立，
即，可得，
所以有最大值2，对；
C：，则，
又，，则，可得，所以，对；
D：由题设，即，
当且仅当时等号成立，所以，错.
故选：BC
13．2
【分析】根据对数与指数的运算法则计算即可
【详解】解：.
故答案为：
14．
【分析】先写出已知命题的否命题，然后结合二次函数的图象利用判别式得到关于a的不等式，解得其取值范围.
【详解】由已知“”为真，故，解得,
故答案为：.
15．/2.5
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以有：
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
16．
【分析】关于x的方程有两个不同的实根等价于的图像与有两个不同的交点，做出图像进行分析即可.
【详解】解：当时，
指数函数在上单调递减，且
函数在上单调递减，且
当时，则函数在上单调递增，且
故函数图像如下：
又关于x的方程有两个不同的实根等价于的图像与有两个不同的交点
当时满足题意
故实效k的取值范围是.
故答案为：
17．（1）11；（2）0.
【分析】（1）根据题意，结合指数幂的运算公式，即可化简求值；
（2）根据题意，结合对数的运算公式，即可化简求值.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．(1)
(2)，单调递增区间为，
【分析】（1）由图象求得及周期，再由周期公式求得，即可得到解析式；
（2）利用三角恒等变换公式将化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由图象可知，，即，又，
所以，解得，；
（2）因为，
所以
，
所以的最小正周期，
令，，
解得，，
的单调递增区间为，．
19．（1）；（2）或.
【解析】（1）化简，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；
（2）转化为函数在上的图象与的图象有唯一交点，根据图象可得结果.
【详解】（1）
，
令，，解得：，，
∴的单调递减区间为.
（2）由（1）知，函数，
在上有唯一零点等价于在上有唯一实根，
设，，依题意可知与的图象有唯一交点，
函数在上的图象如图：
由图可知实数应满足或，
∴或，
故实数的取值范围或.
【点睛】关键点点睛：转化为函数在上的图象与的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.
20．(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得；
（2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解.
【详解】（1）由题意得即，
所以实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，
可知，
于是，
由，则，则，
即要使的值为正整数，且为整数，则，
则有，化简得，则，
令，此时为整数，则满足题意．
故使得的值为整数的整数的值为.
21．(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【详解】（1）要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）计算，取计算得到，得到证明.
（2）设，计算，确定，得到证明.
（3）根据奇函数和单调性确定，变换得到，根据解得答案.
【详解】（1）取，则，即，
取，则，，故函数为奇函数；
（2）设，，
，故，，
且，即，，
故，即，函数在上单调递减，
又在上为奇函数，，故在上是减函数；
（3），，故，即，
不等式对恒成立，故，解得.