1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 课件 湘教版数学九年级下册（18张PPT）

(共18张PPT)
第一章 二次函数
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
复习导入
y=ax2+bx+c
对称轴是：
顶点坐标是：
当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
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二次函数y=ax2+bx+c的性质：
y=ax2+bx+c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性
a>0
a<0
向上
向下
时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大．
时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而减小．
1、怎样用待定系数法确定一次函数的解析式？
y=kx+b (k≠0)
系数k，
b待定
找两个点
确定两个方程
解二元一次方程组
2、二次函数的表达式有哪些？
一般式： y=ax2+bx+c
顶点式： y=a（x-h）2+k
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如何求二次函数的表达式？
探究新知
例1 已知一个二次函数的图象过点（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）三点，求这个函数的表达式？
解：设该二次函数表达式为y=ax2+bx+c．
将三个点的坐标（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=-3，b=4，c=2.
因此，所求的二次函数的表达式为y＝-3x2＋4x＋2．
探究新知
例2 已知一个二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三点，求这个函数的表达式？
分析：二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),给出三点，其中两点为函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)时可利用此式来求.
解：∵二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0）
∴设该二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3)．
将（1，-4）代入函数表达式，可得：
-4=a(1+1)(1-3)
解得 a=1.
∴所求的二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)，即 y=x2-2x-3 ．
知识要点
已知三点求二次函数的解析式的一般步骤：
1.设：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c或y=a(x-x1)(x-x2)；
2.代：把三点的坐标代入所设的函数解析式；
3.解：解方程（组）；
4.写：回代解析式，写成一般形式．
那么如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式.
典例精析
例3 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.
典例精析
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）
解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=2，b=-4，c=-3．
因此，二次函数y＝2x2-4x-3的图象经过P，Q，R三点．
典例精析
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）
解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=0，b=-4，c=-1．
因此，一次函数y＝-4x-1的图象经过P，Q，M三点．这说明没有这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点．
y = - 4x – 1
例2中：两点P（1， -5）， Q（-1， 3）确定了一个一次函数 y = - 4x - 1 .
点 R（2， -3）的坐标不适合 y = - 4x - 1 ， 因此点 R 不在直线 PQ 上，即P， Q， R 三点不共线.
点 M（2， -9）的坐标适合 y = - 4x - 1，因此点 M在直线 PQ 上，即 P，Q，M 三点共线.
典例精析
如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式.
知识要点
通过例2的解答你可以得到什么结论？
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上．
2、若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点．
典例精析
例3 选取顶点（-2,1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式。
解：设这个二次函数的表达式是y=a（x-h）2+k，
把顶点(-2,1)代入y=a（x-h）2+k得
y=a（x+2）2+1
再把点（1，-8）代入上式得
a（1-h）2+1=-8，
解得a=-1
因此，所求的二次函数的表达式为y=-（x+2）2+1或y=-x2-4x-3
知识要点
通过例3的解答你可以得到什么结论？
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为y=a（x-h）2+k。
2.特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0，k=0，可设函数的解析式为y=ax2。
3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0，可设函数的解析式为y=ax2+k。
4.当抛物线的对称轴为x轴时，k=0，可设函数的解析式为y=a（x-h）2。
当堂练习
1.已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？
解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将（0，3）、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2+bx+c，
解得 a=-1，b=-2，c=3．
∴此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3．
（2）当x=-2时，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3，
∴点P（-2，3）在此二次函数的图象上．
当堂练习
2. 若抛物线经过点 (3, 0)和(2, －3), 且以直线 x ＝1为对称轴,
则该抛物线的表达式为（ ）
A．y＝－x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋3
C．y＝x2－2x－3 D．y＝－x2＋2x－3
C
3. 抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点分别为(－1, 0),
(3, 0),其形状和开口方向与抛物线 y＝－2x2 相同,则抛物线
y＝ax2＋bx＋c 的表达式为（ ）
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
D
3.（分类讨论题）已知抛物线过点 A（2,0）,B（-1,0）,与 y 轴交于点 C, 且 OC ＝2, 则这条抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2 或 y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2 或 y＝x2＋x＋2
C
4. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 如图所示, 则此抛物线
的表达式为_________________．
　y ＝－x2＋2x＋3　
当堂练习
课堂小结
求二次函数解析式的三种表达式的形式.
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k.
(3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).
如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式.