2026届高一年级联考
数学（创新班）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
2．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．，则 （ ）
A． B． C． D．
4．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体中，E为BC的中点，F为上靠近点的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C． D．
6．在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
7．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则sinA的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8.已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是 （ ）
A． B．
C． D．
10．一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是 （ ）
A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件
C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
11．在平行四边形中，，，与交于点，设，，则 （ ）
A． B．
C． D．
12. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若，则平面MPN
B. 若，则平面MPN
C. 若平面MPQ，则
D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，
平面，，.若建立如图所示的“空间直角
坐标系”，则平面的一个法向量为 .
已知正三棱柱中，，，点为的中点，
则异面直线 与所成角的余弦值为 .
15．________ .
16．已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心， 为半径的球与四面体表面所得交线总长度为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知复数是纯虚数，是实数.
(1)求；
(2)若，求.
18．全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:
(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；
(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.
19．在中，点在边上异于，且在之间.
(1)若的平分线交于点，求的最小值；
(2)若，求面积的最小值.
20．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.
(1)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
(2)在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
21．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1~4 BBBA 5~8 DBCA
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. AC 10. ABD 11. AC 12. ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 1 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
【解析】（1）设且.
则为实数，
所以，所以，
所以 ；
（2）由（1），，
所以．
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）由频率分布直方图,
；
注意到前3个矩形对应频率之和为：,
前4个矩形对应频率之和为：,
则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.
（2）评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.
则从6人中选取2人的情况为：
,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,
故相应概率为：.
19.（本小题满分12分）
【解析】（1）由为的角平分线，得.
又，即.
所以.
即，
当且仅当时等号成立；
（2）由，得.设，
在中，，得.
在中，，得.
由，
又，得.
所以最小值为.
20.（本小题满分12分）
【答案】(1)
(2)
(3)存在，是的等分点，靠近点的位置
【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解；
（2）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论.
【解析】（1）解：连接、，
所以，为异面直线与所成的角.
平面，平面，则，
，，平面，
又平面，.
，所以，.
（2）解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、.
因为，为的中点，则，同理可得，
，故平面，
平面，平面平面，
又，，
所以，为正三角形，为的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
取的中点，连接，
、分别为、的中点，则且，
因为且，、分别为、的中点，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，则，故平面.
因此，是的等分点，靠近点的位置.
（本小题满分12分）
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.
【解析】（1）解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
（2）解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.
22.（本小题满分12分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证；
法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为
，即
不妨取，则，则
所以平面的一个法向量为
，，，平面
（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）
点到F到平面的距离=
（3）
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.
