陕西省西安中学高2025届高二第二次综合评价
数学答案和解析
单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
1-5 C B C B B 6-8 D B D
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AD 10.BC 11.AB 12.ABD
12.【解答】
解：对于A，由题意知，C的准线方程为，焦点，
如图，过点A作C的准线的垂线，垂足为，
则，
故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；
对于B，由题意易知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，，
由，得
所以，，
，，
所以，故B正确；
对于C，若，又，，
所以
，解得，
则直线AB的斜率为，故C错误；
对于D，，所以，
当且仅当，时，等号成立，故D正确，故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分
13.16 14. 15. 16.（0,4）
四、解答题：本小题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】解：设圆心，则，
圆经过点和，
，
解可得，，，即圆心，，
故圆C的方程为：；
圆C的方程为：，圆心，，
①当直线l的斜率不存在时，直线l方程为：，
此时，
符合题意，
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：，即，
圆心到直线l的距离，
，，
直线l的方程为：，
综上所求，直线l的方程为：或
18.【答案】解：设动圆圆心为，半径为R，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆M与圆外切时，，当动圆M与圆内切时，，
所以，所以点M的轨迹是焦点为，，且长轴长等于12的椭圆.
所以动圆圆心M轨迹方程为
由得，，设，
所以，
因为点P在椭圆上，所以，，
所以，
所以当时，，故的最小值为
19.【答案】解：设的公差为d，则，，
，，由得，
，2，3，4时，时，，的最小值为
由知，当时，
时，，
，
当时，
当时，，
20.【答案】解：因为，所以，
所以双曲线的方程为，即
因为点在双曲线上，所以，所以
所以所求双曲线的方程为即
由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由 ，得，所以同理可得，，所以
21.【答案】解：设动点，且，则，化简得E：；
假设存在符合题意的定点M，
由题意，直线AB的斜率不为0，
设定点M的坐标，直线AB的方程为，
联立，可得，恒成立，设，，
则，
，，
即，
化简得，
代入韦达定理得，
解得故存在符合题意的定点M，且定点M的坐标为 陕西省西安中学高 2025 届高二第二次综合评价
数学试题
（时间：120 分钟 满分：120 分 ）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 4分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.
1.抛物线 y 2x2 的焦点到准线的距离为( )
1 1 1
A. B. C. D. 4
8 2 4
y2 x2 x2 y2
2.若双曲线 1的焦点与椭圆 1的焦点重合，则m的值为( )
2 m 4 9
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
3.记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a4 a5 24 ， S6 48，则{an}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
x2 y2
4.已知双曲线 2 1的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的焦点到渐近线的距离是( )a 3 3
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1 或 3
5.冬春季节是流感多发期，某地医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，
已知 a1 1，a2 2 ，且满足 an 2 an 1 ( 1)
n (n N *)，则该医院 30 天入院治疗流感的人
数为( )
A. 225 B. 255 C. 365 D. 465
6.圆 x2 y2 2x 4y 4 0 与直线 x my 2m 2 0(m R) 交于 A，B两点，则 | AB |最小
值为( )
A. 2 B. 2 5 C. 6 D. 4 2
2
7.如右图，过抛物线 y 2px p 0 的焦点 F的直线 l交抛物线于点 A，B，交其
BC
准线于点 C，准线与对称轴交于点 M，若 3，且 AF 3BF ，则 p为( )
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知圆M : x2 y2 2x 2y 2 0，直线 l : 2x y 2 0，P为 l上的动点，过点 P作圆M
的切线 PA，PB，切点为 A，B，当 | PM | | AB |最小时，直线 AB 的方程为( )
A. 2x y 1 0 B. 2x y 1 0 C. 2x y 1 0 D. 2x y 1 0
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9.若直线 y kx 1(k R) 与双曲线 x2 y 2 2 有且仅有一个公共点，则 k的取值可能为( )
1 3 6A. B. 2 C. D.
2 2
56
10.已知数列{an}的通项公式 an n ，若 an ak 对 n N * 恒成立，则满足条件的正整数n
k 可以为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11.已知圆 C： x2 y2 4y 3 0 ，一条光线从点P(2,1)射出经 x轴反射，下列结论正确的
是( )
A. 圆 C 关于 x轴的对称圆的方程为 x2 y2 4y 3 0
B. 若反射光线平分圆 C的周长，则入射光线所在直线方程为3x 2y 4 0
C. 若反射光线与圆 C相切于 A，与 x轴相交于点 B，则 | PB | | BA | 2
D. 若 Q 是圆 C上的任意一点，则 | PQ |的最大值为 13 1
12.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线 C： y2 4x的焦点为 F，过点 F的直线 l交 C于不同
的 A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 若点Q 3,1 ，则 AQ | AF |的最小值是 4
B. OA OB 3
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C. 若 AF BF 12 ，则直线 AB 的斜率为 2
D. 4 AF | BF |的最小值是 9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分,共 20 分
n
13.已知数列{an}的前 n项和 S n 2 1，则 a5为_________.
x2
14.已知直线 y kx 1与椭圆 y2 1相交于 A，B两点，若线段 AB 中点的横坐标为 1，
4
则 k 的值为__________.
15.如图，椭圆的中心在坐标原点，F是椭圆的左焦点，A, B分别是椭圆的右顶点和上顶点，
当 FB AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率 e __________.
x2 y2
16.已知点 P是椭圆 1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合， F
25 9 1
,F2分别是椭圆
的左右焦点，O为坐标原点，若点M 是 F1PF2 的角平分线上的一点，且 F1M MP, 则 OM
的取值范围是__________.
四、解答题：本小题共 5小题，共 48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（8 分）已知圆心为 C的圆经过点 A(1, 2) 和 B( 3,6) ，且圆心在直线 x y 3 0上.
(1)求圆 C的方程;
(2)过点 P( 2,0) 的动直线 l与圆 C相交于 M，N两点.当 |MN | 2 19 时，求直线 l的方程.
2 2
18.（10 分）一动圆与圆C1 : x y 6x 5 0 C : x
2 2
外切，同时与圆 2 y 6x 91 0内切，动
圆圆心的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E的方程;
(2)点 P为 E上一动点，点 O为坐标原点，曲线 E的右焦点为 F，求 | PO |2 | PF |2的最小值.
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19.（10 分）记 Sn是等差数列{an}的前 n 项和，若 S5 35， S7 21.
(1)求{an}的通项公式，并求 Sn的最小值；
(2)设bn an ，求数列{bn}的前 n项和Tn .
x2 y2
20.（10 分）已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0) ，O为坐标原点，离心率 e 2，点M 5, 3 a b
在双曲线上．
(1)求双曲线的方程;
(2)如图，若直线 l与双曲线的左、右两支分别交于点 Q，P，且OP OQ 0 .
1 1
求证: OP 2 OQ 2 为定值；
21.（10 分）已知平面上的动点 P到定点 F (1, 0) 的距离比到直线 l： x 2 的距离小1.
(1)求动点 P的轨迹 E的方程；
(2)过点 (2,0) 的直线交 E于 A、B两点，在 x轴上是否存在定点 M，使得 A、B变化时，直线
AM 与 BM 的斜率之和是 0，若存在，求出定点 M的坐标，若不存在，写出理由.
第二次综合评价数学试题第 4页，共 4 页
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