4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计
课题名称 ： 4.4.3 不同函数增长的差异
学 科 数学 教材版本 人教A版（2019）必修第一册
一、教学内容分析
本节课内容是《普通高中教科书数学必修第一册A版》中第四章“指数函数与对数函数”4.4.3《不同函数的增长》．学生已经学习了指数函数、对数函数以及幂函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，同时也为下一节研究 “函数模型的应用”奠定了基础． 本节课蕴涵了丰富的数学思想和方法，如借助于表格和图象来研究基本初等函数的增长性，体现了数形结合的数学思想；从实际问题中抽象出函数模型，体现了函数建模的思想．因此本节课是渗透数学思想，培养学生理性思维能力和数学应用意识的良好载体。此外，本节课借助于信息技术手段，让学生按照由特殊到一般，由具体到抽象的思路来研究函数的增长性，也是培养学生信息素养及分析和解决数学问题能力的良好载体。
二、学情分析
本节课涉及到的一次函数、二次函数学生在初中已学过，对其图象和性质学生非常熟悉；指数函数、对数函数和幂函数这三类基本初等函数的模型学生通过前期的学习也已基本掌握了它们的概念、图象和性质。并且在前面的学习中，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法并对数形结合思想有了初步的了解。但应用函数模型解决实际问题，以及通过对模型的探究发现几类不同增长的函数模型的增长差异仍然是一个难点。
三、教学目标
（1）在畅言智慧课堂的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异； （2）通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识； （3）在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养。
四、教学策略选择
根据本节课的教学目标与教学问题本节课采取问题启发式、引导探究式的教学策略，并充分利用畅言智慧课堂演示函数图象，师生合作实现探究，充分突出了教学的重点，以及实现了教学难点的突破。
五、教学重点及难点
教学重点：在畅言智慧课堂的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义。 教学难点：几种函数增长的特点和函数增长模型的应用。
六、教学过程
教学环节 师生活动 设计意图
创设情境 初步感知 播放疫情期间确诊人数指数级增长的新闻视频。 通过联系生活实际, 让学生体会到数学在生活实际和生产实践的应用价值引出本节课课题。
课前热身 温故知新 在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？请画出符合要求的函数图象。 利用畅言智慧课堂让学生在平板上画出图象，并进行点评。 我们看到，不同函数之间的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律。就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。 通过畅言智慧课堂让学生画出图象，利用展示功能对学生的答案进行点评，基于学生的生成性问题，延伸和发展教学。
探究归纳 深度学习 探究一：指数函数和一次函数的增长差异 假设你有一笔资金用于投资，现有两种方案供你选择 方案一：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案二：第一天回报2元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 师生合作给出两种方案的日回报量和累计回报量，选定投资方案。 【问1】两种方案的日回报量有何特点？ 引导学生从图象增长趋势，增长速度，增长结果观察两个函数增长特点。 【问2】如何判断一个函数的增长速度？ 引导学生学会利用增长量判断增长速度。 【问3】通过本例，对特定的指数函数与一次函数的研究，是否可以推广到一般情况，可得到什么结论？ 利用畅言智慧课堂的函数功能，改变底数与系数，探究一般的指数函数与一次函数增长差异。 总结一：指数函数与一次函数的增长有差异.即使的值远远大于的值, 的增长速度最终都会大大超越的增长速度.总会存在一个,当时,有,其中 . 探究二：对数函数和一次函数的增长差异 【问1】可否类比指数函数与一次函数，探究对数函数与一次函数的增长差异？ 小组合作，利用平板画出下列函数图象并进行探究. （1）和（2）和 （3）和（4）和 总结二：对数函数与一次函数的增长有差异.即使的值远远小于的值, 的增长速度最终都会大大小于的增长速度.总会存在一个,当时,有,其中 . 探究三：指数函数、对数函数和一次函数的增长差异 【问1】可否类比上述过程，试着概括一次函数，指数函数对数函数的增长差异？ 直线上升：增长速度不变，是一个固定的值； 对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样； 指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样. 探究一选择4.5.3的例5进行改编，让学生从中简单易懂的实际情境中抽象出函数模型，初步感受两类函数的差异并学会选择合适的模型解决问题。渗透数形结合的数学思想，发展学生数学建模，逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。 利用畅言智慧课堂的函数功能，完成函数图象，提高教学效率。让学生从“形”的角度对增长速度有了初步的认识，然后进一步从“数”的角度认识增长速度，全面深化对增长速度的认识，让学生亲身经历从特殊到一般的过程，得到一般性结论，建构新知。并得到研究一类函数增长的方法，为后续探究对数函数的增长作铺垫。 利用畅言智慧课堂的互动功能，实时直播学生课堂探究情况，基于学生绘制的多组函数图象，充分利用生成性资源进行归纳和分析，师生合作再次经历从特殊到一般的过程，突破本节课的重点和难点。
实战演练 巩固新知 例1. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： 其中关于x呈指数增长的变量是 . 【例2】沙县某企业常年生产一种小吃调料，技术革新后，该产品平稳增长，记2014年为第一年，且前4年中，第年与年产量(万件)之间的关系如下表所示: 1234.54.005.587.009.30
（1）请在下列函数中找出你认为的最适合的函数模型（ ） （1）找出你认为的最适合的函数模型，说明理由 （2）求相应的解析式（保留一位小数） （3）试根据所选函数模型，预测该企业2023年的年产量. 【例3】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据如下表，现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A. B.
C. D. 利用畅言智慧课堂的互动功能，实时生成学生答题情况，通过学生生成数据巩固对不同函数增长差异性的认识，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
回顾反思归纳总结 1.不同函数增长的差异 指数爆炸 直线上升 对数增长 越来越快 不变 越来越慢 越来越陡 直线上升 越来越平缓 增加量越来越大 不变 越来越小 2.判断函数增长速度的方法 图象，增长量
作业布置 完成练习册上本课的相关习题
七、板书设计
4.4.3不同函数增长的差异 指数爆炸 直线上升 对数增长 越来越快 不变 越来越慢 多媒体 例2(共21张PPT)
4.4.3 不同函数增长的差异
我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义域上是增函数？请同学们画出符合要求的图象。
创设情境
探究一
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
假设你有一笔资金用于投资，现有两种方案供你选择：
方案一：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案二：第一天回报2元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
方案
累计回报量
日回报量
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
温故知新
实战演练
第
一 累计回报量
累计回报量
投资1~7天应选方案一，投资7天以上应选方案二
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
解：设第x天所得日回报量是y元，
第
温故知新
【问1】两种方案的日回报量有何特点？
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
第
增加量
增加量
增加量
增长速度
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
越来越陡
先慢后快
直线上升
不变
随着的增大的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度
当
图象趋势：
增长速度：
增长结果：
【小结】如何判断一个函数的增长速度？
陡峭程度
增加量
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
形
数
通过本例，对特定的指数函数与一次函数的研究，是否可以推广到一般情况，可得到什么结论？
探究一
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
1 指数函数与一次函数的增长差异
总会存在一个,当 .
指数函数与一次函数的增长有差异.即使的值远远大于的值, 的增长速度最终都会大大超越的增长速度.
创设情境
探究二
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
可否类比指数函数与一次函数，探索对数函数与一次函数的增长差异？小组合作，选择以下函数进行探究.
探究二
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
创设情境
探究一
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
2 对数函数与一次函数的增长差异
总会存在一个,当 .
对数函数与一次函数的增长有差异.即使的值远远小于的值,的增长速度最终都会慢于的增长速度.
创设情境
探究一
探究三
归纳总结
实战演练
温故知新
试着概括一次函数 = ( >0), 指数函数和对数函数的增长差异;
探究三
= ( >0)
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
实战演练
温故知新
3 一次函数，指数函数与对数函数的增长差异
一般地，无论 、如何取值，三种函数在区间(0,+∞)上都单调递增，
一次函数增长速度不变；
指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的数值；
对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值。
直线上升
指数爆炸
对数增长
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
实战演练
课前预习
【例1】三个随变量变化的数据如下：
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2205 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于呈指数增长的变量是（ ）
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
探究三
温故知新
【例2】沙县某企业常年生产一种小吃调料，技术革新后，该产品产量平稳增长，记2014年为第一年，且前4年中，第年与年产量(万件)之间的关系如下表所示:
（1）请在下列函数中找出你认为的最适合的函数模型（ ）
1 2 3 4.5
4.00 5.58 7.00 9.30
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
探究三
温故知新
增长类型
增长速度
增长量
图象
【例2】沙县某企业常年生产一种小吃调料，技术革新后，该产品产量平稳增长，记2014年为第一年，且前4年中，第年与年产量(万件)之间的关系如下表所示:
（1）在下列函数中找出你认为的最适合的函数模型（ ）
（2）求相应的解析式（保留一位小数）
（3）试根据所选函数模型，预测2023年的年产量.
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
探究三
温故知新
1 2 3 4.5
4.00 5.58 7.00 9.30
【例3】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据(如下表)，现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
B.
C. D.
创设情境
探究一
探究二
归纳总结
探究三
温故知新
增长类型
图象趋势
增长速度
增长结果 指数爆炸
越来越陡
越来越快
直线上升
匀速增长
不变
对数增长
越来越平缓
越来越慢
1.不同函数增长的差异
2.判断函数增长速度的方法
增加量
图象
创设情境
探究一
探究二
探究三
实战演练
温故知新
创设情境
探究一
探究二
探究三
实战演练
温故知新
