4.5.2 用二分法求方程的近似解 教案

4.5.2用二分法求方程的近似解
教材分析：
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第五节《函数的应用》（第二课时），是高中数学在函数的零点之后的内容. 既渗透了逼近思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程，激发学生学习数学和应用数学的的意识，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养.
教学目标：
知识目标：
理借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
能力目标：
经历探索用二分法求方程近似解的过程，从中感受逐步逼近的数学思想,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
情感目标：
让学生在探索过程中，感受“近似与精确”的相对统一，并体验成功的乐趣.
根据我对学生实际学习情况的了解，我制定了如下的教学重难点.
教学重点：
通过二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学难点：
利用二分法求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算.
教学工具：
基于智慧课堂教学平台，多媒体，教学平板，计算器等.
教学实施：
创设情境，问题生成
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多. 每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子. 可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.
想一想：你知道工人师傅是如何做到的吗？
设计意图：通过此事例的引入，让学生在脑海中构建二分法的模型.
我们在前一节课已经学习了
函数零点存在定理 函数零点个数 方程实数解的个数
本节课我们将一起研究利用函数研究方程的近似解的求解过程.
二、引入问题，探讨方法
问题1：我们已经知道函数在（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？
追问1：你能求出函数零点的精确值吗？
分析：对于大部分函数的零点精确值都是求不出来的，在实际问题中我们只需求出满足一定精确度的近似解即可.
注：当精确度为ε时，只需要
设计意图：本问题的设置是为了引入精确度.
追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？
分析：
所以 2.5 是符合要求的零点
设计意图：本问题的设置是让学生体会精确度的使用，以及区间中点的求解
追问3：当精确度为0.5时，3可以看作零点的一个近似值吗？为什么？
分析：需要求解f(2.5)的函数值来进行判断.
设计意图：让学生体会求区间中点的函数值来缩小零点所在的区间.
追问4：当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似值，至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？我们可以采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？
分析：(1)、区间长度<0.01.
(2)、重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号.
设计意图：此问题的设置是让学生脑海中构造二分法的操作过程，为下一步的实际操作打下基础.
三、解决问题，实施方法
问题2：当精确度为0.01时，求函数零点的近似值.
设计意图：此问题的设计是和学生一起用二分法来具体求函数的零点的近似值，让学生熟悉用二分法求函数零点近似值的操作过程，为后面让学生总结二分法求函数零点近似值打下基础.
四、总结提炼，归纳方法
问题3：在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点的近似值？这种方法适用于哪些函数？
分析：不断将零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点.
理论基础：零点存在定理
适用条件：某区间上图象连续不断，区间端点函数值的乘积符号为负.
设计意图：让学生体会二分法的操作原理,以及能用二分法解决的函数满足的条件.
归纳出二分法的定义：
对于在区间上图象连续不断，且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
问题4：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度ε，用二分法求函数，零点的近似值的一般步骤吗？
回顾求函数零点的近似值的过程：
确定初始区间
不断缩小区间
通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间主次减半地缩小.
计算区间中点；
计算区间中点函数值；
计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；
确定零点所在区间.
注：区间长度<精确度时结束重复操作.
得到近似值
当零点所在区间的长度小于精确度时，把区间的一个端点作为零点的近似值.
设计意图：此问题的设置是让学生回顾刚才的求解过程，总结出二分法求函数零点的近似值的一般步骤.
小结：给定精确度ε，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤.
确定零点的初始区间，验证
求区间的中点c.
计算，并进一步确定零点所在区间；
若则c就是函数的零点；
若则令；
若则令；
4、判断是否达到精确度ε；若，则得到零点近似值；否则重复步骤2-4.
五、例题实践，熟悉方法
问题5：借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）
分析：转化研究函数零点的近似值（精确度为0.1）
第1步：确定零点所在的初始区间 （1,2）
第2步：求区间中点 取（1，2）的中点1.5
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间
第4步：判断是否达到精确度0.1
……
所以，方程的近似解可以取1.375.
设计意图：此例题的设置有两个原因：1、让学生体会方程和函数的联系，把方程转化为函数来求解零点. 2、让学生把刚刚总结用二分法求函数零点近似值的步骤进行实际运用，加深学生对步骤过程的理解.
六、课堂互动练习题（平板上展示）
学生动手操作题
设计意图：此例题让学生分组完成，本节课的教学重点就是让学生能会用二分法求解函数的零点的近似值.
设计意图：此题根据课堂时间把握，如果时间允许就让学生分组完成，时间不允许就让学生课下完成.此题是对上一题的补充，此题需要先转化为函数进行求解.
补充练习
1、以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)
2、已知有零点，但不能用二分法求出，则c的值是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3、某方程有一无理根在区间D＝(1，2)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分________次后，所得近似值的精确度达到0.01.
4、已知函数f(x)在（1,2）内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值_______次.
设计意图：此题设置是让学生体会计算中点、计算中点函数值和等分区间的次数的区别.
七、课堂小结：
1、二分法的概念.
2、用二分法求方程近似解的步骤.
3、二分法的应用.
课后作业
完成平板布置作
课后思考：右图是二分法求方程近似解过程的
程序框图，有兴趣的同学，可以用有关算法语言
编写程序，利用信息技术求方程的近似解.