5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教案

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
一、教材分析
本节内容选自人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章5.4第一节.正弦函数、余弦函数是一类具有周期性的基本初等函数.考虑到第三章、第四章已对指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质进行系统研究，因此对正弦函数、余弦函数的研究，可以类比指数函数、对数函数等的研究思路展开研究：绘制函数图象—观察图象、发现性质—证明性质．又考虑到后续要根据正弦函数、余弦函数的图象进行性质分析和正弦型函数y=Asin(x+)的研究，同时高考大纲要求考生“理解正余弦函数的图象和性质，会用五点法画出正余弦函数的图象”，因此本节内容在全章乃至整个函数的学习中都具有极其重要的地位，起到承上启下的作用.
二、教学目标
教学目标 核心素养
1. 了解利用单位圆作出正弦函数在[0，2π]图象的方法，认识正弦曲线和余弦曲线； 2. 熟练掌握“五点法”作图的步骤和方法，能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]的图象； 3. 根据诱导公式，通过图象平移作出余弦函数的图象，渗透数形结合和化归的数学思想； 4. 通过作正弦函数与余弦函数图象，培养认真负责的学习精神和勇于探索、勤于思考的科学素养. a.数学抽象：五点作图法； b.逻辑推理：由正弦函数图象得出余弦函数图象； c.数学运算：特殊三角函数值的求解； d.直观想象：运用三角函数图象分析问题； e.数学建模：正弦函数图象及其变换.
三、教学重难点
1. 教学重点：正弦函数与余弦函数的图象，五点法作正弦函数、余弦函数在[0，2π]的简图.
2. 教学难点：利用单位圆作出正弦函数在[0]上的图象.
教学时数：1学时
四、教学准备
（一）教学准备
多媒体PPT，“大风车”小视频，翻页笔，希沃白板，畅言智慧课堂
课前作业
请同学们完成并拍照上传智学网.
写出诱导公式一，并把下列角化为+2kπ,(k∈Z，∈ [0，2π))的形式.
π π2π （2）π π4π
- ππ4π （4）- ππ4π
诱导公式一：sin(x+2k)=sinx，kZ
填写常用三角函数值表：
x 0 2
sin x 0 1 0 -1 0
cos x 1 0 0 -1 0 1
思考如何由y=f(x)图象得到y=f(x+k)图象.
思考研究新函数的方法.
研究的线路图：函数的定义—函数的图象—函数的性质．
五、教学过程
（一）创设情境
以小视频“大风车”引入，从“探究风车扇叶端点P随着旋转角度的改变高低起伏的变化规律”出发，构建数学模型，研究点P的纵坐标y=sin x的变化规律.
【设计意图】学生已了解圆周运动，教师利用云资源播放视频，创设央视儿童节目“大风车”情境更能贴近学生实际，调动学生学习积极性.另外，从实际问题中抽象出的单位圆进行研究，起到了承上启下的作用，既复习了三角函数定义，又为正弦函数作图时所用到的几何方法埋下伏笔，从整体上掌握整个课时的学习进程，形成整体观念.
问题探究
探究1：正弦函数的图象
1.1探究y=sin x，x∈[0，2π]的图象
已知单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性可用公式一：sin(x+2k)=sinx，kZ表示.据此，可以简化对正弦函数图象与性质的研究过程，首先探究点P在单位圆上旋转一周时纵坐标y=sin x的图象，即探究函数y＝sin x，x∈ [0，2π]的图象.
【问题1】绘制函数的图象，首先需要准确绘制图象上任意一点．在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
教师示范：根据三角函数定义在单位圆上描出点B(cos π，sin π)，同时在直角坐标系中描出点T(π，sin π).
师生活动：引导学生观察点B与点T的坐标之间的关系，从而得到借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)的方法.
【学生活动1】小组讨论，借助单位圆在导学案中画出点T2(π，sinπ)，T3(π，sinπ)，T4(π，sinπ).（预计用时3分钟）
具体分组如下：
第1、2组：T2(π，sinπ)；
第3、4组：T3(π，sinπ)；
第5、6组：T4(π，sinπ)
作答区域：
参考作图：
【设计意图】借助单位圆进行T(x0，sin x0)的绘制是本节课的难点.教师示范引导学生完成第一个点的绘制，其余三点分组完成，借助小组同伴的力量理解巩固该方法.教师利用手机拍摄各组学生代表作答情况上传大屏进行展示.学生点评，教师批改，规范作图，自主探究突破本节课难点.
【问题2】在精确度要求不高时，如何快速作出正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]图象？
师生活动：教师通过信息技术展示正弦函数y=sin x在x∈[0，2π]的图象，学生观察图象中的关键点并通过平板抢答.使用抢答功能为课堂增加竞争和游戏色彩，激发学生参与课堂的积极性和主动性.
x
y=sin x
学生（预设答案）：观察可得，在，∈［0,2π］的图象上，有以下五个点决定正弦函数的图象：
教师评价学生回答并总结五个关键点即为最高点、最低点和与x轴的3个交点，从而引出正弦函数作图方法——“五点法”.
师生活动：教师在黑板上作出，∈［0,2π］的图象，并强调“五点法”作图注意事项，包括五点将区间等分4份、图象光滑连接.学生跟着老师一起作图，初步掌握在∈［0,2π］的绘制方法.
【设计意图】学生通过自主探究发现图象在∈［0,2π］的五个关键点，从而总结出“五点法”，印象深刻.同时，由教师引导进行“五点法”作图，为准确绘制图象和图象打好基础.
x
y＝1＋sin x
【学生活动2】请利用五点法在上图中作出y＝1＋sin x，x∈［0，2π］的图象.
思考：y＝1＋sin x与y＝sin x图象之间有何关系？
参考答案：
【设计意图】巩固，∈［0,2π］的图象绘制过程，同时思考根据“上加下减”平移变换方法绘制特殊三角函数图象.
1.2探究y=sin x，x∈R的图象
【问题3】根据函数y＝sin x，x∈ [0，2π]的图象，你能得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象吗？依据是什么？
师生活动：教师提问，学生平板抢答.
学生（预设答案）：根据公式一，可知函数y＝sin x，∈［2kπ，2(k+1)π］，k且k的图象与y＝sin x，x∈ [0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈ [0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
教师动图展示y＝sin x，x∈ [0，2π]左右平移过程得到y＝sin x，x∈R的图象，学生根据图象自主归纳正弦函数y＝sin x，x∈R的图象特征.
概念：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，具有“周而复始的变化规律.
【设计意图】学生联系诱导公式一，主动提出自己的猜想，提高灵活应用所学知识的能力，同时培养学生的说理能力.动图展示y＝sin x，x∈R图象的生成过程，增强学生对y＝sin x，x∈R图象的认识.
【学生活动3】课堂练习：函数y＝sin x，x∈［－π，π］的简图是( B ).
师生活动：教师利用提前准备在课件上的题目，设置“全班作答”，学生利用平板上传答案.教师及时反馈正确答案，点赞做对的学生，并进行讲解和易错点强调.
【设计意图】即做即反馈以及表扬的方式充分调动了学生上课的积极性，同时配合着截图分享教师板书，学生课堂专注度较高.该方法能较好的让学生主动运用所学知识进行思考，有利于课堂知识点消化和吸收，提高课堂学习效率，进一步巩固学生对于正弦函数图象的认识.
探究2：余弦函数的图象
2.1探究y=cos x，x∈R的图象
【问题4】由三角函数定义可知，正弦函数与余弦函数是一对密切相关的函数．能否通过对正弦曲线进行变换，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象？依据是什么？
学生（预设答案）：对于函数，由诱导公式 得，∈R.
而函数∈R的图象可以通过正弦函数，∈R的图象向左平移个单位长度而得到．所以，余弦函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度得到.
【追问】你能利用点的坐标来解释这种平移变换吗？
师生活动：这是教学的难点，教师要首先选择一个具体的点进行示范．然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证．
学生（预设答案）：设函数y=sin x的图象上任意一个点为(m,n)即n=sin(m).则在函数y=sin(x+)上，当x+=m时，即x=m-时，函数值同样也为n.所以函数y=sin(x+)的图象上就有一个对应点，它的坐标为(m-,n).所以我们看到将点 (m,n)平移到点(m-,n)显然是将这个点向左平移了个单位.同时我们又是在正弦函数图象上任意取的一个点(m,n)，所以说明正弦函数上的所有点都向左平移了个单位.从而我们就用点的坐标进一步解释了这种平移变换.
师生活动：教师展示余弦函数生成的动态图象，得到余弦曲线的概念并引导学生得到正弦曲线与余弦曲线的异同点.
【设计意图】通过对正弦函数图象，推导出余弦函数图象的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养
2.2探究y=cos x，x∈[0，2π]的图象
【学生活动4】类比五点法绘制正弦函数图象，用五点法绘制余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图.
x
y=cos x
师生活动：教师开启“全班作答”功能，学生在导学案中绘制图象并拍照上传.随机选择学生作图结果，学生互评，教师点评.
【设计意图】观察余弦函数图象特征，学生自主类比五点法绘制正弦函数图象方法，利用五点法绘制余弦函数图象．
【学生活动5】用五点法画函数y＝2＋cos x，x∈[0，2π]的图象时，首先应描出五点的横坐标是( B ).
【设计意图】巩固余弦函数图象“五点”特征.
课堂小结
树状图展示知识框架，包括函数曲线和绘图方法两部分内容.
【设计意图】教师带领学生回忆课上所学知识，根据学生的回答逐渐展开思维导图，呈现课上所学知识全貌，达到学生自主构建思维导图、教师提醒修正纠错的效果，从而加深学生对正弦函数、余弦函数图象的认识，掌握用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数图象.
具体小结设计如下：
1. 函数曲线
师生活动：分别回顾正弦函数与余弦函数的图象.
教师：“如果你的心是x轴，那我就是正，余弦曲线，绕你转动，有收有放，无穷无尽，直至永远”.
【设计意图】通过对正弦函数、余弦函数图象的形象描述，展示数学人的浪漫，吸引学生注意力.
绘图方法
教师通过智慧课堂“随机抽取”功能抽2位学生回顾总结本节课学习的正弦函数“五点”和正弦函数“五点”特征，全班同学朗读一遍，加深记忆.
【设计意图】加深对正弦函数、余弦函数图象五个关键点的印象，掌握用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数图象.
（四）随堂测试
1. [基础练习]下列关于正弦函数、余弦函数图象的描述，不正确的是(　D　)
A.都是轴对称图形
B.都与x轴有无数个交点
C.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称
D.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
解：正弦函数与余弦函数图象参考如下，两个函数均有波浪起伏、连续不断的特征，故选D.
【设计意图】巩固对正弦函数、余弦函数图象的认识，为下节课学习正弦函数与余弦函数图象对称性做铺垫.
2. [巩固提高](多选)函数y=sin x＋1，x∈[0，2π]与y=a有一个交点，则a值可能是(　BD　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
解：结合图象，讨论a取不同范围的值时，交点个数的情况：（结合动图）
当a>2或a<0时，直线y=a与图象无交点；
当a=2或a=0时，直线y=a与图象有1个交点；
当0【设计意图】在掌握绘制正弦函数与余弦函数图象的基础上，灵活运用数形结合方法求解未知参数，考查学生的融会贯通情况和综合素养.
追问：请同学们思考，当函数y=sin x＋1，x∈[0，2π]与y=a有2个交点、3个交点和没有交点时，a的取值范围是多少呢？
【设计意图】提升难度，运用数形结合与分类讨论思想，进行拔高教学.
（五）作业布置
【课后作业】
（必做）教材P200练习1-4；
（选做）教材P215习题5.4第10-13题.
【设计意图】课后巩固利用“五点法”对正弦函数、余弦函数图象．
【探究思考】
观察正弦函数图象，请简述大风车上点P随着旋转角度的改变高低起伏的变化规律.
你能从正弦函数、余弦函数图象提炼出它们的性质吗？
【设计意图】问题1回扣问题情境，做到首尾呼应，从实际情况抽象出数学问题，最后又回到实际问题的解决上；问题2引导学生后续学习方向，为下节课的学习内容做铺垫．