第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 含解析
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| 名称 | 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 07:52:47 | ||
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文档简介
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北师大版2023年九年级下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A′B′C′，其中A′与A是对应顶点，则锐角A′的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（ ）
A． B． C． D．
6．（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．如图，若坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
12．在△ABC中，若，则∠C＝ ．
13．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
14．如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为 ．
15．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 米．（结果保留根号）
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，解这个直角三角形．
18．（8分）求下列各式的值：
（1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°．
19．（8分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
20．（9分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
21．（9分）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
22．（9分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为400米的山坡BD到达点D，BD的坡度为：1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；
（2）若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
北师大版2023年九年级下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠A＝60°，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sinA＝，cosB＝，
故选：A．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据sinA＝代入数据直接得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴sinA＝＝，
故选：D．
4．把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A′B′C′，其中A′与A是对应顶点，则锐角A′的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
【分析】根据题意可知∠A大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即∠A大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中所给的条件可以证明△ACD∽△CBD，可以得出对应线段的比例，根据所给的线段的比例可以设两条线段的长度，从而可以求出CD的长度，即可得出tan∠B的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∵，
设AD＝3a，DB＝2a，
则CD2＝3a 2a＝6a2，
∴CD＝，
∴tan∠B＝．
故选：C．
6．（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（sin45°）2+tan60°sin60°
＝（）2+×
＝+
＝2，
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
【分析】根据锐角三角函数可以计算出BC的长，再根据勾股定理可以得到AC的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解答】解：∵，
∴BC＝AB sinA＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积为：＝＝24，
故选：A．
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【解答】解：如图
在Rt△ACD中，tanC＝，
故选：B．
9．如图，若坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据坡度是坡角的正切值，即可求解．
【解答】解：坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为，
故选：B．
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，然后设BD＝x m，在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x m，
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（m），
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴AD＝＝x（m），
∵AB＝12m，
∴AD+BD＝12，
∴x+x＝12，
解得：x＝6（﹣1），
∴CD＝x＝6（3﹣）m，
∴这棵树CD的高度是6（3﹣）m，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
12．在△ABC中，若，则∠C＝ 105° ．
【分析】利用非负数和为零得出2sinA﹣1＝0，，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵，
∴2sinA﹣1＝0，，
∴，，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
13．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
【分析】根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明△BEF∽△CFD，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，
由折叠的性质得：AD＝DF＝BC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠DFC+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为 1 ．
【分析】取网格点E，连接DE，CE，根据题意可得：AB∥CE，从而利用平行线的性质可得∠BPC＝∠ECD，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠CDE＝90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得tan∠CPB的值，即可解答．
【解答】解：如图，取网格点E，连接DE，CE，
由题意得：AB∥CE，
∴∠BPC＝∠ECD，
在△DCE中，CD2＝22+12＝5，CE2＝12+32＝10，DE2＝12+22＝5，
∴CD2+DE2＝CE2，且，
∴△DCE是直角三角形，且∠CDE＝90°，
∴，
故答案为：1．
15．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 （3+） 米．（结果保留根号）
【分析】过点O作OC⊥BT，垂足为C，根据题意可得：BC∥OM，从而可得∠AOM＝∠OBC＝45°，再根据已知易得AO＝4米，OB＝2米，然后在Rt△OBC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
由题意得：BC∥OM，
∴∠AOM＝∠OBC＝45°，
∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，
∴AO＝4米，OB＝2米，
在Rt△OBC中，BC＝OB cos45°＝2×＝（米），
∵OM＝3米，
∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，
故答案为：（3+）．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用三线合一定理得到，利用勾股定理得到，则．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴，
∴，
∴．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，解这个直角三角形．
【分析】利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝30°，AB＝2，∠B＝60°．
18．（8分）求下列各式的值：
（1）；
（2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°．
【分析】（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可；
（2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝1；
（2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°
＝
＝．
19．（8分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
【分析】（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）利用直角三角形的特征得BH＝30，再根据速度、时间及路程的关系即可求解．
【解答】解：（1）AB＝（10﹣8）×30＝60，
∵∠CBN＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBN﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB＝60（海里），
答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里．
（2）作CH⊥AB，垂足为H．
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠HBC＝90°﹣60°＝30°，
∴，
30÷30＝1（h），
10+1＝11（h），
答：11时，船距离灯塔C最近．
20．（9分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
【分析】（1）作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，根据列式计算即可；
（2）作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt△ABE求出AE，可得CK＝DH＝210cm，然后在Rt△CFK中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cos72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
21．（9分）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 ②③ （填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°＝，命题错误；
②sin2x＝sinx cosx+cosx sinx＝2sinx cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°＝×+×＝+＝；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45° cos30°﹣cos45° sin30°
＝×﹣×
＝．
22．（9分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为400米的山坡BD到达点D，BD的坡度为：1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；
（2）若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【分析】（1）过点D作DF⊥BA，垂足为F，延长DE交CH于点G，根据题意可得：DG⊥CH，CH⊥BA，DF＝GH，∠CEG＝45°，在Rt△BDF中，根据已知易得tanB＝，从而可得∠B＝60°，然后利用锐角三角函数的定义求出DF，BF的长，再在Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，然后在Rt△ACH中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AC的长，最后进行计算比较即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点D作DF⊥BA，垂足为F，延长DE交CH于点G，
由题意得：DG⊥CH，CH⊥BA，DF＝GH，∠CEG＝45°，
在Rt△BDF中，tanB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∵BD＝400米，
∴DF＝BD sin60°＝400×＝600（米），
BF＝BD cos60°＝400×＝200（米），
∴DF＝GH＝600米，
在Rt△CEG中，CE＝1800米，
∴CG＝CE sin45°＝1800×＝900（米），
∴CH＝CG+GH＝600+900≈1873（米），
∴山顶C到AB的距离约为1873米；
（2）小红先到达山顶C，
理由：在Rt△ACH中，∠A＝30°，CH＝（600+900）米，
∴AC＝2CH＝（1200+1800）米，
∵DE＝900米，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分，小红的平路速度为90米/分，
∴小明到达山顶C需要的时间＝＝≈53.5（分），
小红到达山顶C需要的时间＝+＝+≈51.5（分），
∵51.5分＜53.5分，
∴小红先到达山顶C．
北师大版2023年九年级下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A′B′C′，其中A′与A是对应顶点，则锐角A′的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（ ）
A． B． C． D．
6．（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．如图，若坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
12．在△ABC中，若，则∠C＝ ．
13．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
14．如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为 ．
15．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 米．（结果保留根号）
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，解这个直角三角形．
18．（8分）求下列各式的值：
（1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°．
19．（8分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
20．（9分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
21．（9分）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
22．（9分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为400米的山坡BD到达点D，BD的坡度为：1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；
（2）若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
北师大版2023年九年级下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠A＝60°，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sinA＝，cosB＝，
故选：A．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据sinA＝代入数据直接得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴sinA＝＝，
故选：D．
4．把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A′B′C′，其中A′与A是对应顶点，则锐角A′的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
【分析】根据题意可知∠A大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即∠A大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中所给的条件可以证明△ACD∽△CBD，可以得出对应线段的比例，根据所给的线段的比例可以设两条线段的长度，从而可以求出CD的长度，即可得出tan∠B的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∵，
设AD＝3a，DB＝2a，
则CD2＝3a 2a＝6a2，
∴CD＝，
∴tan∠B＝．
故选：C．
6．（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（sin45°）2+tan60°sin60°
＝（）2+×
＝+
＝2，
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
【分析】根据锐角三角函数可以计算出BC的长，再根据勾股定理可以得到AC的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解答】解：∵，
∴BC＝AB sinA＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积为：＝＝24，
故选：A．
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【解答】解：如图
在Rt△ACD中，tanC＝，
故选：B．
9．如图，若坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据坡度是坡角的正切值，即可求解．
【解答】解：坡角∠BAC＝30°，则斜坡AB的坡度为，
故选：B．
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，然后设BD＝x m，在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x m，
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（m），
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴AD＝＝x（m），
∵AB＝12m，
∴AD+BD＝12，
∴x+x＝12，
解得：x＝6（﹣1），
∴CD＝x＝6（3﹣）m，
∴这棵树CD的高度是6（3﹣）m，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
12．在△ABC中，若，则∠C＝ 105° ．
【分析】利用非负数和为零得出2sinA﹣1＝0，，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵，
∴2sinA﹣1＝0，，
∴，，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
13．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
【分析】根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明△BEF∽△CFD，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，
由折叠的性质得：AD＝DF＝BC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠DFC+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为 1 ．
【分析】取网格点E，连接DE，CE，根据题意可得：AB∥CE，从而利用平行线的性质可得∠BPC＝∠ECD，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠CDE＝90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得tan∠CPB的值，即可解答．
【解答】解：如图，取网格点E，连接DE，CE，
由题意得：AB∥CE，
∴∠BPC＝∠ECD，
在△DCE中，CD2＝22+12＝5，CE2＝12+32＝10，DE2＝12+22＝5，
∴CD2+DE2＝CE2，且，
∴△DCE是直角三角形，且∠CDE＝90°，
∴，
故答案为：1．
15．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 （3+） 米．（结果保留根号）
【分析】过点O作OC⊥BT，垂足为C，根据题意可得：BC∥OM，从而可得∠AOM＝∠OBC＝45°，再根据已知易得AO＝4米，OB＝2米，然后在Rt△OBC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
由题意得：BC∥OM，
∴∠AOM＝∠OBC＝45°，
∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，
∴AO＝4米，OB＝2米，
在Rt△OBC中，BC＝OB cos45°＝2×＝（米），
∵OM＝3米，
∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，
故答案为：（3+）．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用三线合一定理得到，利用勾股定理得到，则．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴，
∴，
∴．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，解这个直角三角形．
【分析】利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝30°，AB＝2，∠B＝60°．
18．（8分）求下列各式的值：
（1）；
（2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°．
【分析】（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可；
（2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝1；
（2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°
＝
＝．
19．（8分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
【分析】（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）利用直角三角形的特征得BH＝30，再根据速度、时间及路程的关系即可求解．
【解答】解：（1）AB＝（10﹣8）×30＝60，
∵∠CBN＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBN﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB＝60（海里），
答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里．
（2）作CH⊥AB，垂足为H．
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠HBC＝90°﹣60°＝30°，
∴，
30÷30＝1（h），
10+1＝11（h），
答：11时，船距离灯塔C最近．
20．（9分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
【分析】（1）作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，根据列式计算即可；
（2）作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt△ABE求出AE，可得CK＝DH＝210cm，然后在Rt△CFK中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cos72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
21．（9分）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 ②③ （填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°＝，命题错误；
②sin2x＝sinx cosx+cosx sinx＝2sinx cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°＝×+×＝+＝；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45° cos30°﹣cos45° sin30°
＝×﹣×
＝．
22．（9分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为400米的山坡BD到达点D，BD的坡度为：1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；
（2）若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【分析】（1）过点D作DF⊥BA，垂足为F，延长DE交CH于点G，根据题意可得：DG⊥CH，CH⊥BA，DF＝GH，∠CEG＝45°，在Rt△BDF中，根据已知易得tanB＝，从而可得∠B＝60°，然后利用锐角三角函数的定义求出DF，BF的长，再在Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，然后在Rt△ACH中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AC的长，最后进行计算比较即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点D作DF⊥BA，垂足为F，延长DE交CH于点G，
由题意得：DG⊥CH，CH⊥BA，DF＝GH，∠CEG＝45°，
在Rt△BDF中，tanB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∵BD＝400米，
∴DF＝BD sin60°＝400×＝600（米），
BF＝BD cos60°＝400×＝200（米），
∴DF＝GH＝600米，
在Rt△CEG中，CE＝1800米，
∴CG＝CE sin45°＝1800×＝900（米），
∴CH＝CG+GH＝600+900≈1873（米），
∴山顶C到AB的距离约为1873米；
（2）小红先到达山顶C，
理由：在Rt△ACH中，∠A＝30°，CH＝（600+900）米，
∴AC＝2CH＝（1200+1800）米，
∵DE＝900米，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分，小红的平路速度为90米/分，
∴小明到达山顶C需要的时间＝＝≈53.5（分），
小红到达山顶C需要的时间＝+＝+≈51.5（分），
∵51.5分＜53.5分，
∴小红先到达山顶C．